精品解析：广西壮族自治区贵百河联考2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2023级“贵百河—武鸣高中”10月高二年级新高考月考测试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为虚数单位，若复数，则复数的实部为（ ） A. B. C. D. 2. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 3. 定义运算：．已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，两点到直线的距离相等，求a的值（ ） A. B. C. 或 D. 或 5. 从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是（ ） A. 16 B. 30 C. 32 D. 51 6. 关于x的方程有一根为1，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 7. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，则有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分） 9. 在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ） A. B. 向量与的夹角的余弦值为 C. 点关于轴的对称点坐标为 D. 向量在上的投影向量为 10. （多选）从今年起年内，小李的年薪（万元）与年数的关系是，小马的年薪（万元）与年数的关系是，则下列判断正确的有（ ） A. 年后小马的年薪超过小李 B. 年后小马的年薪超过小李 C. 小马的年薪比小李的增长快 D. 小马的年薪比小李的增长慢 11. 已知内角的对边分别是，则（ ） A. B. 的最小值为3 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是____________． 13. 已知是边长为6的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则__________． 14. 如图，正方体的棱长为，在棱上有一动点，设直线与平面所成的角为，当时，则此时点与点之间的距离_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线． （1）若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． （2）若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 16. 已知函数. （1）若，解不等式； （2）若关于的方程有解，求的取值范围. 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，底面，是线段的中点，在线段上，． （1）证明：平面； （2）在线段上，与所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； （2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 19. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）点是上的一点，，且，求周长的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023级“贵百河—武鸣高中”10月高二年级新高考月考测试 数学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号. 3．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 设为虚数单位，若复数，则复数的实部为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由复数的除法运算化简，再由复数的实部概念得解. 【详解】因为， 所以复数的实部为， 故选：D 2. 若向量是直线的一个方向向量，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的方向向量求出直线的斜率，再求出倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角为， 若向量是直线的一个方向向量， 则直线的斜率为， 因为，所以. 故选：A. 3. 定义运算：．已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据定义得出，再根据同角三角函数的商数关系即可求解． 【详解】依题意，，则， 故. 故选：D． 4. 已知，两点到直线的距离相等，求a的值（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】利用点到直线距离公式列出关于的方程求解即可. 【详解】因为点到直线的距离相等， 所以，即， 化简得，解得或. 故选：C. 5. 从1984年第23届洛杉矶夏季奥运会到2024年第33届巴黎夏季奥运会，我国获得的夏季奥运会金牌数依次为15、5、16、16、28、32、51、38、26、38、40，这11个数据的分位数是（ ） A. 16 B. 30 C. 32 D. 51 【答案】C 【解析】 【分析】将数据按照从小到大的顺序排列，根据百分位数的计算方法即可求解. 【详解】把11个数据按照从小到大排列得5、15、16、16、26、28、32、38、38、40、51， 因为，这11个数据按照从小到大排列第7个是32. 故选：. 6. 关于x的方程有一根为1，则一定是（ ） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 锐角三角形 D. 钝角三角形 【答案】A 【解析】 【分析】将1代入，根据二倍角公式和两角差的余弦公式，整理可得 ，即，根据角的范围，即可求出结果. 【详解】因为1是的根， 所以， 又， 所以有，， 整理可得，，即. 因为，，，所以. 则由可得，，所以. 所以一定是等腰三角形. 故选：A. 7. 如图，在直三棱柱中，，，分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，利用平移法找到异面直线与所成的角，再结合余弦定理求解即可. 【详解】把直三棱柱补成一个底面为菱形的直四棱柱，如图所示： 因为，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 所以异面直线AD与EF所成的角为或其补角， 不妨设， 因为，所以， 所以为等边三角形，所以，， 所以， 因为为边长为的等边三角形，所以， 又因为， 所以在中，由余弦定理可得， 故异面直线与所成角的余弦值为. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查立体几何，解题关键是合理补形，然后利用平移法结合余弦定理，得到所要求的余弦值即可． 8. 已知函数，则有（ ） A. 最小值 B. 最大值 C. 最小值 D. 最大值 【答案】B 【解析】 【分析】利用双勾函数的单调性求出的最小值，再利用对数函数的单调性可求得函数的最大值，即可得出结论. 【详解】解：，令，，， 任取、且，则，， 所以， 则，所以函数在上单调递增， 故当时，， 所以， 又因为函数为减函数，故. 故选：B. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题的选项中，有多项符合题目要求.（答案有两个选项只选一个对得3分，错选不得分；答案有三个选项只选一个对得2分，只选两个都对得4分，错选不得分） 9. 在空间直角坐标系中，点，，，下列结论正确的有（ ） A. B. 向量与的夹角的余弦值为 C. 点关于轴的对称点坐标为 D. 向量在上的投影向量为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据空间两点距离公式可判断A；根据空间向量的夹角坐标公式可判断B；根据点的对称性可判断C；根据投影向量的概念可判断D. 【详解】记，， 对于A，，故A错误； 对于B，，，， 设与的夹角为，则，故B正确； 对于C，点关于轴的对称点坐标为，故C错误； 对于D，在上的投影向量为，D正确． 故选：BD． 10. （多选）从今年起年内，小李的年薪（万元）与年数的关系是，小马的年薪（万元）与年数的关系是，则下列判断正确的有（ ） A. 年后小马的年薪超过小李 B. 年后小马的年薪超过小李 C. 小马的年薪比小李的增长快 D. 小马的年薪比小李的增长慢 【答案】BC 【解析】 【分析】利用一次函数与指数函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【详解】易知指数函数的增长速度更快，故C正确，D错误； 画出函数和的图象， 从图象中观察，可知在这年内先是小马的年薪低，后来超过了小李， 令， 则，， 所以存在，当时，， 由于， 所以至少经过年，小马的年薪超过小李的年薪，即A错误，B正确； 故选：BC． 11. 已知内角的对边分别是，则（ ） A. B. 的最小值为3 C. 若为锐角三角形，则 D. 若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】由，得，由正弦定理得和余弦定理化简判断A；由选项A，结合基本不等式求解判断B；由正弦定理边化角，再由的范围得的范围判断C；由选项A及已知求得判断D. 【详解】对于A，由，得， 由正弦定理得，由余弦定理得，则， 当时，，即， 当时，，又，则，， 于是，因此，A正确； 对于B，由，得，当且仅当时取等号，B正确； 对于C，由正弦定理得， 由为锐角三角形，，得，则， ，因此，C正确； 对于D，由，，，得，D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 过直线和的交点，且与直线垂直的直线方程是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先求交点，再设与垂直的直线方程，代点坐标，即可. 【详解】联立，解得，故直线的交点坐标为， 设与直线垂直的直线方程是． 将交点的坐标代入该方程，得，解得． 所以所求直线方程为. 故答案为： 13. 已知是边长为6的等边三角形，点是的中点，点是线段上一点，满足，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理由，，三点共线，可得，代入并由数量积的定义及运算法则计算可得结果. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，， 因为，，三点共线，可得， 解得，即， 又因为是边长为6的等边三角形， 所以 ． 故答案为： 14. 如图，正方体的棱长为，在棱上有一动点，设直线与平面所成的角为，当时，则此时点与点之间的距离_____________． 【答案】 【解析】 【分析】以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系.如图所示， 利用线面角的向量求解方法可求得，从而求得答案. 【详解】解：以为坐标原点，以分别为轴建立空间直角坐标系.如图所示， 则，设，得，则； 设平面的法向量为，又， 于是有， 不妨，可得，所以； 因为，且， 则，化简得， 解得，或 (舍去).即， 从而得 故答案为：. 【点睛】方法点睛：考查用空间向量及其坐标运算来探究立体几何中的任意不确定性和恒成立问题是非常实效且方便简洁，注意掌握空间线面角的余弦值的坐标运算.考查化归与转化、数形结合思想，检验空间想象、逻辑推理和运算求解能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知直线． （1）若直线l不经过第二象限，求k的取值范围． （2）若直线l与x轴、y轴正半轴分别交于A、B两点，当△AOB的面积为时（O为坐标原点），求此时相应的直线l的方程． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）首先确定直线过定点，再根据条件，求斜率的取值范围； （2）首先分别求直线与坐标轴的交点，并表示的面积，即可求直线的斜率和方程. 【小问1详解】 由题意可知直线， 易知直线过定点， 当直线过原点时，可得， 当时，直线不经过第二象限． 【小问2详解】 由题意可知 ∵直线与轴、轴正半轴的交点分别是， ， 当时，由得： ， 即：， 或， 即：直线的方程为或. 16. 已知函数. （1）若，解不等式； （2）若关于的方程有解，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由一元二次不等式解法得，再由指数函数单调性求解； （2）分离参数，得，利用基本不等式求最值，即可. 【小问1详解】 当时，，即， 则， ， ， . 故不等式的解集为. 【小问2详解】 即. ， 当且仅当，即时，等号成立. 故的取值范围是. 17. 如图，在四棱锥中，底面四边形是正方形，，底面，是线段的中点，在线段上，． （1）证明：平面； （2）在线段上，与所成的角为，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 证明：因为底面，且底面，所以， 又因为为正方形，可得， 因为，且平面，所以平面， 又因为平面，所以， 因为，且为的中点，所以， 又因为，且平面，所以平面， 因为平面，所以， 又因为，且，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，证得和，得到平面，证得，再由，得到，证得平面，得到，进而证得平面； （2）以点为原点，建立空间直角坐标系，设正方形的边长为，设，根据与所成的角为，求得，得到，求得平面和平面的法向量分别为和，结合向量的夹角公式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：以点为原点，以所在的直线分别为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，如图所示，设正方形的边长为，可得， 可得， 则，，， 因为在线段上，设，其中， 则， 因为与所成的角为，可得， 解得，所以，所以，可得， 设平面的法向量为，则， 令，可得，所以， 因为平面，所以平面的一个法向量为， 设平面与平面所成的二面角为，其中， 可得，即平面与平面DEG夹角的余弦值为. 18. 在神舟十五号载人飞行任务取得了圆满成功的背景下．某学校高一年级利用高考放假期间组织1200名学生参加线上航天知识竞赛活动，现从中抽取200名学生，记录他们的首轮竞赛成绩并作出如图所示的频率分布直方图，根据图形，请回答下列问题： （1）若从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人，求10人中成绩不高于50分的人数； （2）求的值，并以样本估计总体，估计该校学生首轮竞赛成绩的平均数以及中位数； （3）由首轮竞赛成绩确定甲、乙、丙三位同学参加第二轮的复赛，已知甲复赛获优秀等级的概率为，乙复赛获优秀等级的概率为，丙复赛获优秀等级的概率为，甲、乙、丙是否获优秀等级互不影响，求三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率． 【答案】（1）4 （2）；平均数为71；中位数为 （3） 【解析】 【分析】（1）先分别求出的频率，进而由10乘以抽样比可求答案； （2）根据频率的性质，利用各小长方形的面积和等于1可求；利用各组中值与频率可估计平均数；先确定中位数所在的小长方形，再设中位数为，进而利用面积等于0.5即可求解； （3）独立事件的乘法公式即可求解. 【小问1详解】 从图中可知组距为，则的频率分别为, 从成绩不高于60分的同学中按分层抽样方法抽取10人时, 成绩不高于50分的人数为（人）. 【小问2详解】 由图可知，解得. 使用组中值与频率可估计平均数为 . 因为且， 所以中位数在内， 设估计的中位数为，则，得. 【小问3详解】 记甲、乙、丙获优秀等级分别为事件、、，则 三人中至少有两位同学复赛获优秀等级的概率等于 . 19. 在中，内角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）点是上的一点，，且，求周长的最小值. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）由二倍角公式及正弦定理化简计算可得角B; （2）应用正弦定理，再结合周长化简得出周长结合函数的单调性求出最小值即可. 【小问1详解】 由二倍角公式得， 故由正弦定理得，而， 故， 则； 【小问2详解】 设，设，则， 在中，，即 在中，，即 周长. 令，则 . 即周长最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $