22.5 等腰梯形　讲义　2024—2025学年沪教版（上海））数学八年级第二学期

《22.5 等腰梯形》讲义 同学们，咱们现在已经到了初中八年级第二学期啦，在沪教版（上海）的数学课本里，第二十二章四边形可是很有趣的内容呢。今天咱们就专门来好好讲讲第三节梯形中的22.5等腰梯形。 一、梯形的简单回顾 咱们先简单回顾一下梯形哈。梯形呢，就像一个有点特别的四边形，它有一组对边是平行的，另外一组对边呢是不平行的。这就好像是一群小伙伴里，有两个人总是并肩走在一条线上，另外两个人呢就各走各的路，不和他们平行啦。 比如说咱们学校的操场，旁边有个小花坛的形状就有点像梯形。花坛的一边和操场的跑道边是平行的，另外一边就不是平行的啦。这就是我们生活中能看到的梯形的样子。 二、等腰梯形的定义 那什么是等腰梯形呢？等腰梯形啊，就是梯形里更特别的一种。它的两条腰是相等的。就好比是一个梯形穿上了一双一模一样的鞋子，这两条腰就像是它的两条腿一样长。 我给大家讲个我小时候的事情哈。我小时候住的老房子，窗户的形状就有点像等腰梯形。当时我就特别好奇，为什么这个窗户的两边是一样长的呢？后来才知道这就是等腰梯形的特点。我还拿着尺子去量呢，发现真的是两边的长度几乎一样，就差那么一点点误差。 等腰梯形的定义就是：一组对边平行（这组对边我们可以叫做上底和下底），另一组对边不平行且相等的四边形叫做等腰梯形。 三、等腰梯形的性质 1、 等腰梯形同一底边上的两个角相等 咱们来想象一下哈。就像刚刚说的那个等腰梯形窗户，你站在窗户的一边看，底边上的两个角就像是两个小卫士，他们的大小是相等的。 我们可以通过做辅助线来证明这个性质。我们可以过上底的一个端点做一条腰的平行线。这样就会形成一个平行四边形和一个三角形。因为平行四边形的对边是平行且相等的，再加上等腰梯形的腰相等，我们就能证明出同一底边上的两个角相等啦。 比如说有一个等腰梯形ABCD，AD平行于BC，AB ＝ CD。我们过A点做AE平行于DC，这样四边形AECD就是平行四边形啦，AE ＝ DC，又因为AB ＝ CD，所以AE ＝ AB。在三角形ABE中，因为AE ＝ AB，所以角B ＝ 角AEB。而角AEB和角C是同位角，所以角B ＝ 角C。同理，我们也可以证明角A ＝ 角D。 2、 等腰梯形的两条对角线相等 还是拿那个等腰梯形窗户来说，窗户的两条对角线就像是两个交叉的手臂，它们的长度是相等的。 我们也可以证明这个性质。还是在等腰梯形ABCD中，我们可以通过三角形全等来证明。 我们可以利用等腰梯形同一底边上的两个角相等这个性质。在三角形ABC和三角形DCB中，因为AB ＝ DC，角ABC ＝ 角DCB，BC ＝ CB（公共边），所以三角形ABC全等于三角形DCB（SAS），所以AC ＝ BD，也就是等腰梯形的两条对角线相等。 四、等腰梯形的判定 1、 定义法判定 如果一个四边形是梯形，而且它的两条腰相等，那这个梯形就是等腰梯形。这就像是我们认人一样，如果一个人符合某种特别的特征，我们就可以确定他是谁啦。 比如说有一个四边形，我们知道它有一组对边平行，另外一组对边不平行，然后我们再量一量它的两条腰，发现是相等的，那这个四边形就是等腰梯形。 2、 同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形 这是一个很重要的判定方法哦。就像我们刚刚证明等腰梯形性质的时候反过来想一样。 比如说有一个梯形EFGH，EF平行于GH，如果角E ＝ 角H，我们就可以判定这个梯形是等腰梯形。我们还是可以通过做辅助线来证明。过F点做FM平行于EH，这样就得到平行四边形EFMH，所以FM ＝ EH，角E ＝ 角FMG。又因为角E ＝ 角H，所以角FMG ＝ 角H，所以FG ＝ FM，又因为FM ＝ EH，所以FG ＝ EH，所以梯形EFGH是等腰梯形。 五、等腰梯形的应用 1、 在建筑中的应用 等腰梯形在建筑里可是经常出现的。比如说一些古老的桥梁，桥洞的形状很多时候就是等腰梯形。这是为什么呢？因为等腰梯形的结构比较稳定。它就像一个坚固的架子，能够承受很大的重量。 就像我们城市里的那座老石桥，它已经有很多年的历史了。工程师在设计的时候，选择等腰梯形的桥洞形状，就是考虑到它的稳定性。这么多年过去了，这座桥依然稳稳地横跨在河面上，每天都有很多车辆和行人从上面经过。 2、 在生活中的其他应用 在生活中还有很多地方用到等腰梯形呢。比如说一些特殊的容器，它的横截面可能是等腰梯形。这样的形状可以方便我们放置东西，而且在一些情况下还能更好地利用空间。 我有一次去超市，看到一种装糖果的盒子，它的横截面就是等腰梯形。这种形状的盒子可以让糖果在里面摆放得更整齐，而且看起来也很美观。 六、等腰梯形相关的例题 1、 基础例题 例1：已知等腰梯形的上底是3厘米，下底是5厘米，腰长是4厘米，求这个等腰梯形的周长。 解：等腰梯形的周长就是上底加下底再加两条腰的长度。所以这个等腰梯形的周长为：3 ＋ 5 ＋ 4 ＋ 4 ＝ 16（厘米）。 例2：在等腰梯形ABCD中，AD平行于BC，角B ＝ 60度，AD ＝ 3厘米，BC ＝ 7厘米，求腰AB的长。 解：我们过A点做AE平行于DC交BC于E点。因为AD平行于BC，AE平行于DC，所以四边形AECD是平行四边形，所以EC ＝ AD ＝ 3厘米，BE ＝ BC EC ＝ 7 3 ＝ 4厘米。 因为三角形ABE是等腰三角形（由等腰梯形同一底边上的两个角相等可知角B ＝ 角AEB ＝ 60度），所以三角形ABE是等边三角形，所以AB ＝ BE ＝ 4厘米。 2、 提高例题 例3：等腰梯形ABCD中，AD平行于BC，对角线AC和BD相交于点O，AC垂直于BD，AD ＝ 3厘米，BC ＝ 5厘米，求这个等腰梯形的面积。 解：我们可以通过平移对角线来解决这个问题。过D点做DE平行于AC交BC的延长线于E点。 因为DE平行于AC，AD平行于BC，所以四边形ACED是平行四边形，所以CE ＝ AD ＝ 3厘米，DE ＝ AC。 又因为等腰梯形的两条对角线相等，所以BD ＝ AC ＝ DE。 因为AC垂直于BD，DE平行于AC，所以BD垂直于DE。 所以三角形BDE是等腰直角三角形，BE ＝ BC ＋ CE ＝ 5 ＋ 3 ＝ 8厘米。 根据等腰直角三角形的面积公式，三角形BDE的面积为：1/2×BE×（BE/2)＝1/2×8×4 ＝ 16（平方厘米）。 而这个等腰梯形的面积就等于三角形BDE的面积，所以这个等腰梯形的面积是16平方厘米。 七、总结 同学们，今天我们学习了等腰梯形。我们知道了等腰梯形的定义、性质、判定方法，还了解了它在建筑和生活中的应用，也做了一些相关的例题。等腰梯形是四边形里很特别的一种，大家一定要好好掌握哦。就像我们认识新朋友一样，要记住它的特点，这样在以后的数学学习和生活中，我们就能更好地识别和运用等腰梯形啦。希望同学们都能把等腰梯形这个知识牢牢地装在自己的知识小口袋里。 学科网（北京）股份有限公司 $$