精品解析：天津市第四中学2025届高三上学期统练（二）数学试题

天津四中2025届高三第一学期统练（二） 命题人：杨赫梁 一、单选题（每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解集合中函数定义域和集合中函数的值域，得到这两个集合，再由定义进行补集和交集的运算. 【详解】函数有意义，则有，解得，则； ，有，得，则，， 所以. 故选：C. 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数奇偶性排除C,D;再由函数的零点只有三个，排除B即得. 【详解】因为，所以是偶函数，排除C，D; 因为在上的零点有共三个，排除B. 故选:A. 3. 设等比数列的前项和为，则“数列为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】由可得或，由递增得出恒成立，再由充分条件、必要条件的定义判断即可. 【详解】令等比数列的公比为，由，得，则或， 由数列为递增数列，得，即，，因此， 所以“数列为递增数列”是“”的既不充分也不必要条件. 故选：D 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两角和与差的正弦公式求得，然后利用二倍角公式求解． 【详解】由，得， ∴，即， ∴， ∴， 故选：A． 5. 已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用投影向量的定义列式，结合题设求得，根据两向量的夹角范围即可求得该角. 【详解】因向量在向量上的投影向量为， 由题意，，即， 因，则. 故选：A. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数性质得，再利用对数函数性质得，最后即可比较大小关系. 【详解】，则，即， 因为， 则，则，则. 又因为， 所以. 故选：B. 7. 已知数列的通项公式为，且对任意的两个正整数，都有，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可知数列为递增数列，根据数列的单调性求参数的取值范围. 【详解】因为对任意的两个正整数，都有， 所以数列是递增数列，当时，，可得， 当时，，即，解得， 又，所以，解得或． 综上，实数t的取值范围是． 故选：C 8. 已知函数，将函数图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数图象的一条对称轴是直线 D. 函数是偶函数 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数图象的平移和伸缩变换即可求解函数，再由正弦函数的性质逐项判断即可 【详解】将函数的图象向右平移个单位可得：， 再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的倍，可得，显然D错误； 因为的最小正周期为，所以的最小正周期为，故A错误； 当时，； 当时，，显然函数在上不是单调递减，故B错误； 当时，，所以函数图象的一条对称轴是直线，故C正确； 故选：C 9. 已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据导函数求出函数单调递减，结合函数是偶函数得出，最后应用结合函数的单调性求解即可. 【详解】因为，所以, 令, 因为，所以单调递减， 单调递减， 因为，所以为偶函数， 因为，所以， 当时， 单调递增， 单调递增， 所以. 故选：B. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. ______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘除法运算法则计算即可. 【详解】． 故答案为：. 11. 在的展开式中，含的项的二项式系数为______. 【答案】1 【解析】 【分析】直接由二项式定理即可求解. 【详解】由，， 当，含的项为，其二项式系数为. 故答案为：1 12. 设，若，则___________． 【答案】3 【解析】 【分析】利用换底公式将已知转化为关于的一元二次方程求解即可. 【详解】由 整理得：，解得或， 即（舍去）或. 故答案为：3 13. 两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为_________；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为_________． 【答案】 ①. ## ②. 0.42## 【解析】 【分析】先计算从6人中选2人的所有种数，再计算同一家庭的种数，求概率即可；由全概率公式计算即可得第二空. 【详解】由题意可知从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为； 而来自不同家庭的概率为， 则游戏成功的概率为. 故答案为：； 14. 如图，在中，，，D，E分别是直线AB，AC上的点，，，且，则______．若P是线段DE上的一个动点，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】第一空，根据向量的线性运算以及向量基本定理，将转化为之间的运算，即可求得答案；第二空，设，，根据数量积的运算律，化简为之间的相关运算，结合二次函数的性质，即可求得答案. 【详解】∵，，∴，， ∵，又，， ∴ ， 解得，∵，∴． 设，， ∴ ，， ∴当时，有最小值，最小值为， 当时，有最大值，最大值为16， 故答案为：； 15. 已知函数，若函数有三个不同的零点（）则实数的取值范围为________；的取值范围为________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】（1）先讨论的取值范围，结合二次函数的单调性，结合图象即可判定方程根的个数； （2）根据韦达定理可得，，以及，即可代入化简，利用不等式的性质求解. 【详解】由题意，可知， 当时，在，上单调递减，在单调递增，故方程有3个不相等的实数根，则有1个根，有2个根，如图： 所以，解得； 当时，方程的判别式， 可知方程无解，所以此时不符合题意； ③当时，，不符合题意； 综上，取值范围是． ，是方程的两个不等实根， 则，， 是方程的根，即， ， 记， 由于，所以， 故 所以的取值范围． 故答案为：， 【点睛】方法点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决； (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 三、解答题（5个小题，共75分） 16. 已知，，设. （1），求函数的值域. （2）若，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由平面向量数量积的坐标运算和三角恒等变换化简可得，再由定义域区间求值域即可； （2）由，求得，由二倍角公式可得，又，再由两角和的正切公式计算即可. 【小问1详解】 因为，， 所以 ， ，，， 所以函数的值域为． 【小问2详解】 由题设，又，则， 所以，所以， 所以， 所以. 17. 在中，角对应边分别为，外接圆半径为，已知. （1）证明：； （2）求角和边； （3）若，求. 【答案】（1）证明见解析； （2），； （3）. 【解析】 【分析】（1）由条件结合正弦定理可得，，，代入可证结论； （2）由（1）根据余弦定理求，结合正弦定理求； （3）由条件结合正弦定理求，结合内角和关系及二倍角正弦公式求结论. 【小问1详解】 设的外接圆半径为， 由正弦定理可得，又， 所以，，，又， 所以， 所以； 【小问2详解】 由余弦定理可得，又， 所以，又，所以， 由（1），所以， 所以，； 【小问3详解】 因为，，所以，， 所以，故为锐角，所以， 因为，， 所以， 所以. 所以. 18. 如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2，若，且向量与夹角的余弦值为. （1）求实数值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，建立空间直角坐标系，利用向量夹角余弦值求出. （2）由（1）的结论，求出平面的法向量，利用平面角的向量求法求解即得. （3）求出平面的法向量，结合（2）中信息，面面角的向量求法求解即得. 【小问1详解】 依题意，以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ，由，得，则，而， 而，显然，解得. 【小问2详解】 由（1）得，，设平面的法向量， 则，令，得，又， 于是， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由（2）令平面的法向量，则，令，得， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 19. 已知等比数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． （i）求数列的通项及； （ii）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i） （ii）不存在，理由如下： 假设在数列中存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列， 则， 即， 则 又∵m，k，p成等差数列，∴， ∴ ∴化简得：即 ∴， ∴，又∵， ∴，与已知矛盾， ∴数列中不存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 【解析】 【分析】（1）由前项和与的关系式利用作差即可求出公比，代入求出首项即可得到通项公式； （2）（i）由（1）的结论和等差数列的定义即可得出通项公式结果，再利用等比数列求和公式求和即可；（ii）假设这样的项存在，利用等差中项和等比中项的性质即可做出判断. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴. 【小问2详解】 （i）由题意可知：， ∴（i）求数列的通项：， ； （ii）不存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列，理由略. 20. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：对任意正整数（），都有. 【答案】（1） （2） （3）证明：记，则， 当时，,当，故在单调递增，在单调递减，故，当且仅当取等号， 令，则， 所以，由于, 所以，即 【解析】 【分析】（1）求导，即可由点斜式得切线方程， （2）构造函数以及利用导数求解函数的单调性，进而可得最值，即可求解， （3）利用得，即可由放缩法以及裂项求和，结合对数的运算性质即可求解. 【小问1详解】 由得，由得，又， 所以切线方程为，即 【小问2详解】 由恒成立可得恒成立， 记，则， 当时，在恒成立，所以在单调递减，而，故当时，不符合题意，故舍去， 当时，当时，,当，故在单调递增，在单调递减，故， 记当时，，当，所以在单调递减，在单调递增，故，因此，又，所以， 【小问3详解】 略. 【点睛】本题考查了导数的综合运用，求某点处的切线方程较为简单，利用导数求单调性时，如果求导后的正负不容易辨别，往往可以将导函数的一部分抽离出来，构造新的函数，利用导数研究其单调性，进而可判断原函数的单调性.在证明不等式时，常采用两种思路：求直接求最值和等价转化.无论是那种方式，都要敢于构造函数，构造有效的函数往往是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津四中2025届高三第一学期统练（二） 命题人：杨赫梁 一、单选题（每小题5分，共45分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 3. 设等比数列的前项和为，则“数列为递增数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. D. 6. 设，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知数列的通项公式为，且对任意的两个正整数，都有，则实数t的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，将函数图象向右平移个单位长度，再把所有点的横坐标缩短为原来的倍，得到函数的图象，则下列关于函数的说法正确的是（ ） A. 周期为 B. 函数在上单调递减 C. 函数图象的一条对称轴是直线 D. 函数是偶函数 9. 已知函数，若对任意，有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题5分，共30分） 10. ______． 11. 在的展开式中，含的项的二项式系数为______. 12. 设，若，则___________． 13. 两个三口之家进行游戏活动，从6人中随机选出2人，则这2人来自同一个家庭的概率为_________；若选出的2人来自同一个家庭，游戏成功的概率为0.6，若来自不同的家庭，游戏成功的概率为0.3，则游戏成功的概率为_________． 14. 如图，在中，，，D，E分别是直线AB，AC上的点，，，且，则______．若P是线段DE上的一个动点，则的取值范围是______． 15. 已知函数，若函数有三个不同的零点（）则实数的取值范围为________；的取值范围为________. 三、解答题（5个小题，共75分） 16. 已知，，设. （1），求函数的值域. （2）若，且，求的值. 17. 在中，角对应边分别为，外接圆半径为，已知. （1）证明：； （2）求角和边； （3）若，求. 18. 如图，在四棱锥中，已知棱两两垂直，长度分别为1，2，2，若，且向量与夹角的余弦值为. （1）求实数值； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 19. 已知等比数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． （i）求数列的通项及； （ii）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 20. 已知函数. （1）若，求函数在处的切线方程； （2）若恒成立，求的值； （3）求证：对任意正整数（），都有. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $