精品解析：河北省石家庄二中2024-2025学年高一上学期开学考数学试题

石家庄二中初升高入学考数学 （考试时间120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题5分，一共10题，满分50分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 如果a，b，c，d是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），有几个命题成立（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 2. 一个三角形三边长为连续整数，且1个内角等于另一个内角2倍，那它的三边长为，试求abc的值（ ） A. 120 B. 130 C. 60 D. 140 3. 已知，那么（ ） A 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知，那么的整数部分是（ ） A. B. C. D. 5. 如果是正实数，方程和方程都有实数解，那么的最小值是（ ） A 2 B. 4 C. 5 D. 6 6. 正整数解有（ ）组 A. 0 B. 8 C. 12 D. 16 7. 如图，与的斜边AB相切于点D，与直角AC相交于点E，且．已知，，则的半径是（ ） A. B. 4 C. D. 3 8. 整数满足那么的最小值是（ ） A. 1 B. 0 C. 7 D. 4 9. 已知实数p是一个三位数，也是一个质数，p的百位数为a﹐十位数为b，个位数为c，那么一元二次方程的根的关系为（ ） A. 有1个整数根 B. 有2个整数根 C. 无整数根 D. 无法确定 10. 中，和均为锐角，，且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 二、填空题（一共6小题，每小题5分，满分30分） 11. 已知pq为实数，且满足，那么的最大值为______． 12. 已知为自然数，且，有，那么的最大值是__________． 13. 在等腰三角形ABC中，D为腰AC的中点，DE平分交于E，圆交BD于N，，那么_________． 14. 如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若，，四边形AEPH面积，则四边形PFCG的面积为_____． 15. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4：第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…则在这个子数列中，由1开始的第2008个数是_________． 16. 将1，2，3，4，5这5个数排成一排，最后一个是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个整除，那么满足要求的排法有______种． 三、解答题（一共5小题，满分70分，每小题都要写出相应的解题过程，证明过程及演算步骤） 17. 解方程： 18. 如图，梯形ABCD中，，E为线段AB上的点，且满足，过E作交CD于F，设P为线段CD上任意一点，试说明的理由 19. 已知正三角形ABC，、点分别从两点同时出发，以相同速度作直线运动，且点P沿射线方向运动，点Q沿射线方向运动．设的长为x，的面积为． （1）求关于x的函数关系式． （2）当的长为多少时，的面积和的面积相等？ 20. 在1，2，3，…，n中，任取10个数，使得其中任意2数的比值大于，小于，求n的最大值． 21. 如图，点P为外一点，过点P作的两条切线，切点分别为，过点作PB的平行线，交于点C.连接PC，交于点E；连接AE，并延长AE交PB于点K．求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 石家庄二中初升高入学考数学 （考试时间120分钟，满分150分） 一、选择题（每小题5分，一共10题，满分50分，每小题只有一个选项符合题意） 1. 如果a，b，c，d是非零实数，且满足，下列结论中，（1）（2）（3），有几个命题成立（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意结合完全平方公式，等量代换及提公因式对式子变形，逐一分析即可判断. 【详解】, , ，即， 可得，故（1）成立； ， 即，故（2）成立； ， 只有当或时，， 即只有当或时，成立，故（3）不成立. 故选：. 2. 一个三角形三边长为连续整数，且1个内角等于另一个内角的2倍，那它的三边长为，试求abc的值（ ） A. 120 B. 130 C. 60 D. 140 【答案】A 【解析】 【分析】在中，设，延长到点，使得，根据题意可构造相似三角形，得到的关系式，再根据边长为三个连续的正整数，进行分析求解. 【详解】如图，在中，设，延长到点，使得， 则， 由，知， 从而∽， 故，即， 于是， 当时，设， 可得，解得， 此时，； 当时，设， 可得，即，解得， 此时，不能构成三角形； 当时，设， 可得，即，方程无整数解， 综上，满足条件的三角形只有一个，其三边长为，. 故选：. 3. 已知，那么（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】将三式分别相加和相乘，化简得到结果. 【详解】三式相加得， 三式相乘得， 所以，故. 故选：A. 4. 已知，那么的整数部分是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先代入化简得，再由利用不等式性质计算 即得，故可确定的整数部分. 【详解】因，则， 因，则，即得， 故的整数部分是. 故选：C. 5. 如果是正实数，方程和方程都有实数解，那么的最小值是（ ） A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】由题意得，由均为正实数可得，解得，再根据，可得，取的最小值即可求解. 【详解】方程和方程都有实数解， ， ， 是正实数， ，即， ，最小值为4， 又， ，的最小值为2， 所以的最小值为6. 故选：. 6. 的正整数解有（ ）组 A. 0 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】不妨设，所以，根据题意可得，讨论的值，可求的的关系式，在讨论的值，最后可求得组数. 【详解】不妨设，所以， 根据题意可得，解之可得，故可取值为， 当时，，与已知正整数解矛盾，故舍， 当时，，可得，可得， 若，(舍) 若，(舍) 若，，故满足条件， 若，，故满足条件 若，，故不满足条件， 当时，，可得，可得， 若，(舍) 若，，故不满足条件， 若，，故不满足条件， 共有三组解，根据顺序不同，共有6种顺序， 每种两个解，可知共有组解. 故选：C 7. 如图，与的斜边AB相切于点D，与直角AC相交于点E，且．已知，，则的半径是（ ） A. B. 4 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用圆周角为直角确定直径，由三角形相似得出，再由射影定理求即可. 【详解】延长交圆于点，连接，如图， , 则根据的圆周角所对的弦是直径知是直径. ∽， ，则， 在直角中，根据射影定理得， 根据勾股定理，则圆的半径是. 故选：A 8. 整数满足那么的最小值是（ ） A. 1 B. 0 C. 7 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】平方去掉绝对值号，利用累加法后变形可得，根据左边为整数确定为奇数，据此寻求平方离11最近的数即可得解. 【详解】由题意，，，，， 累加可得，， 由，可得， 即， 所以， 由为整数，知为奇数， 所以的最小值为和的较小者， 故 的最小值为， 此时，，即可. 故选：A 9. 已知实数p是一个三位数，也是一个质数，p的百位数为a﹐十位数为b，个位数为c，那么一元二次方程的根的关系为（ ） A. 有1个整数根 B. 有2个整数根 C. 无整数根 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】假设存在整数解，设为，则，将变形可得，根据为三位数的质数，且，分四种情况可验证假设不成立，即可求解. 【详解】假设存在整数解，设为， 则， 因为 ， ，且，，，为自然数且，，， 因为为三位数的质数，所以， 所以或 或或， 若，则，， 所以， ，所以，所以， 所以，而，不合题意舍； 若，则，，不合题意舍； 若，因为，所以， ，所以不能等于，不合题意舍； 若，因为，所以， ，不能等于，不合题意舍； 综上，是三位数的质数不成立，与已知矛盾， 所以假设不成立，所以一元二次方程无整数根. 故选：C 10. 中，和均为锐角，，且，则的值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】如图，过点作于点，在和中利用勾股定理及锐角三角函数即可求解. 【详解】如图，过点作于点， 在中，， ，可得， 在中，， . 故选：. 二、填空题（一共6小题，每小题5分，满分30分） 11. 已知pq为实数，且满足，那么的最大值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】构造三元基本不等式，即可求解. 【详解】， 当且仅当时等号成立. 故答案为：2 12. 已知为自然数，且，有，那么的最大值是__________． 【答案】61 【解析】 【分析】由题意，把除以外的数用表示，进而可得七个数的和小于等于159，可得的最大值，同理可得的最大值，相加即可求解. 【详解】为自然数，且， ， ， 的最大值为19； 同理， ， ， 的最大值为20； 当都取最大值时，有， ， ， 的最大值为22； 所以得最大值为. 故答案为：61. 13. 在等腰三角形ABC中，D为腰AC的中点，DE平分交于E，圆交BD于N，，那么_________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，借助圆内接四边形性质及相似三角形性质可得，再利用圆及角平分线性质求得结果. 【详解】连接，由四边形内接于圆，得，而， 则∽，，而，于是， 又，即，因此. 故答案为： 14. 如图，矩形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，点P在矩形ABCD内．若，，四边形AEPH的面积，则四边形PFCG的面积为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】连接，设出点到边的距离，利用三角形面积公式建立关系求解. 【详解】连接，令边上的高分别为， 则边上的高为，边上的高为 而，则， 于是，四边形面积. 故答案为：8 15. 在正整数数列中，由1开始依次按如下规则取它的项：第一次取1，第二次取2个连续偶数2、4：第三次取3个连续奇数5、7、9；第四次取4个连续偶数10、12、14、16；第五次取5个连续奇数17、19、21、23、25．按此规则一直取下去，得到一个子数列1，2，4，5，7，9，12，14，16，17，…则在这个子数列中，由1开始的第2008个数是_________． 【答案】3953 【解析】 【分析】找出取数的规律为：奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数，前次总共取的数各数量可以通过等差数列求和得到，且第次的最后一个数为，据此即可求解. 【详解】依题意，奇数次取奇数个奇数，偶数次取偶数个偶数， 前次共取了个数，且第次的最后一个数为， 当时，，第次取时取了个奇数，且前次共取了个数，第个数为， 第2008个数在第次取，它是奇数，从往前依次数到第9个奇数为3593，即为第2008个数. 故答案为：3953 16. 将1，2，3，4，5这5个数排成一排，最后一个是奇数，且使得其中任意连续三个数之和都能被这三个数中的第一个整除，那么满足要求的排法有______种． 【答案】5 【解析】 【分析】根据题设设一个满足要求的数列，然后分情况讨论题目中的要求，列出奇数和偶数的排列情况，即可求解. 【详解】设是的一个满足要求的排列， 首先对于不能有连续的两个都是偶数，否则这两个之和都是偶数，第三个是奇数列， 这三个数和为奇数，不能被偶数整除，这与已知矛盾， 又如果是偶数，是奇数，则是奇数， 这说明一个偶数后面一定要接两个或两个以上的奇数，除非接的这个奇数是最后一个数， 所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5种情形满足条件； 2,1,3,4,5，或2,3,5,4,1，或2,5,1,4,3，或4,3,1,2,5，或4,5,3,2,1. 故答案为：5 【点睛】关键点点睛：本题的关键是确定奇数和偶数的排列位置. 三、解答题（一共5小题，满分70分，每小题都要写出相应的解题过程，证明过程及演算步骤） 17. 解方程： 【答案】 【解析】 【分析】将一元三次方程整理为，分类讨论得到结果. 【详解】观察得是原方程的根， 所以必有这一因式，可得 ①，所以 ②，所以，，所以无实根， 综合得，原方程的根为． 18. 如图，梯形ABCD中，，E为线段AB上的点，且满足，过E作交CD于F，设P为线段CD上任意一点，试说明的理由 【答案】答案见解析 【解析】 【分析】过E作，交直线DA，BC于点M，N，过点P作，交AB于点Q，利用三角形相似求得，利用平行线分线段成比例定理化简得，最后分两种情况，证明,即可证得. 【详解】如图，过E作，交直线DA，BC于点M，N，过点P作， 交AB于点Q，则．因 由，即得， 解得： 由，由， 因为 而，（*） 因P为线段CD上任意一点， 则①，当点在线段上时，点在线段上， 故有,故（*）为 , 故，即； ②，当点在线段上时，点在线段上, 故有，故（*）为 故．即得证 19. 已知正三角形ABC，、点分别从两点同时出发，以相同速度作直线运动，且点P沿射线方向运动，点Q沿射线方向运动．设的长为x，的面积为． （1）求关于x的函数关系式． （2）当的长为多少时，的面积和的面积相等？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，分点在线段上和线段延长线上两种情况，利用三角形面积公式计算的函数关系式，并把它写成分段函数的形式即可； （2）根据（1）已得的分段函数，依题分别求解两个方程，取舍后即得的长. 【小问1详解】 ① 如图1，当时, 则，则 ； ② 如图2，当时，, 则，则 即 ； 【小问2详解】 因为由题意有， ① 当时，由，可得，此方程无实根； ②当时，由，可得， 解得， （因，故舍去） 即当时，的面积和的面积相等． 20. 在1，2，3，…，n中，任取10个数，使得其中任意2数的比值大于，小于，求n的最大值． 【答案】91 【解析】 【分析】根据题意，按要求最多需构造9个抽屉，使得这9组数中任取10个数，任意两个数的比值在大于，小于之间，列举出各个抽屉里的数，即得n的最大值. 【详解】由题意，我们可以这样构造抽屉：每个抽屉里有一些1，2，3…，n的数 且这个抽屉里每两个数的比值在大于，小于之间， 由于要求任取10个数有2个数在同一抽屉，显然，最多需构造9个抽屉. 即：（1） ， 从这9组数中任取10个数，必定两个数的比值在大于，小于之间， 所以n的最大值为91. 21. 如图，点P为外一点，过点P作的两条切线，切点分别为，过点作PB的平行线，交于点C.连接PC，交于点E；连接AE，并延长AE交PB于点K．求证：． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】由，可得，又由切割线定理得，即，再通过线段的转化，即可得出结论. 【详解】证明，因为， 所以．又PA是切线， 所以， 故，于是， 所以，即． 由切割线定理得，所以． 因为， 于，故， 即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$