精品解析：山东省菏泽市第一中学（八一路校区）2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

菏泽一中八一路高二上学期第一次月考 数学试题 一、单选题 1. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ） A B. C. D. 3. 如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，…，，是椭圆的左焦点，则（ ） A 35 B. 30 C. 25 D. 20 4. 方程所表示的圆的最大面积为（　　） A. B. C. D. 5. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A. B. C. D. 6. 已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们斜率之和是3，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知椭圆，若的顶点，分别是椭圆的两个焦点，在椭圆上，则的值为（ ） A. 25 B. C. 12 D. 24 8. 下列方程中，圆与圆的公切线方程是（ ） A. B. C. D. 二、多选题 9. 若直线与直线平行，则a的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 10. 关于方程，下列说法正确的是（ ） A. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B. 若，则该方程表示圆，其半径为 C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D. 若，则该方程表示两条直线 11. 下列说法正确是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 点关于直线的对称点为 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为 三、填空题 12. 过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为__________. 13. 曲线围成的图形的面积是___________. 14. 已知圆，直线，，则下列结论： ①直线l恒过定点； ②当时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1； ③圆C与曲线恰有三条公切线，则； ④当时，直线l上一个动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点. 其中所有正确的有___________. 四、解答题 15. 已知直线. （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 17. 已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标. （2）求直线的方程. 18. 已知点是圆上任意一点． （1）求P点到直线的距离的最大值和最小值． （2）求的最大值和最小值． （3）求的最大值和最小值 19. 已知为坐标原点，椭圆，其右焦点为，为椭圆（第一象限部分）上一点，为中点，，面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过作圆两条切线，切点分别为，，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 菏泽一中八一路高二上学期第一次月考 数学试题 一、单选题 1. 直线的倾斜角的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线方程可得斜率，结合斜率与倾斜角之间的关系分析求解. 【详解】设的倾斜角为， 由题意可知：直线的斜率， 即，且，所以. 故选：C. 2. 已知椭圆的长轴长是短轴长的倍，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用已知条件求解，的关系，即可求解离心率. 【详解】设该椭圆的长轴长为，短轴长为，由题意得，则， 故选：D 3. 如图，把椭圆的长轴分成8等份，过每个分点作轴的垂线交椭圆的上半部分于点，，…，，是椭圆的左焦点，则（ ） A. 35 B. 30 C. 25 D. 20 【答案】A 【解析】 【分析】设椭圆右焦点为，利用椭圆的对称性有，，，结合椭圆的定义，即可求目标式的值. 【详解】设椭圆的右焦点为，由椭圆的对称性，知，，， ∴． 故选：A 4. 方程所表示的圆的最大面积为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】对方程配方整理，结合圆的标准方程求的取值范围，以及半径的最大值，即可得结果. 【详解】由题意整理可得：， 则，解得， 且圆的半径， 当且仅当时，等号成立， 即圆的半径最大值为3，所以圆的最大面积为. 故选：B. 5. 点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方程求出其所过定点坐标，由此确定最大距离及此时直线的方程. 【详解】直线的方程可化为， 联立，解得， 所以直线经过定点， 当时，点到直线的距离最大，最大距离为， 因为直线的斜率，， 所以直线的斜率， 所以， 所以， 所以，故， 所以直线的方程为. 故选：C. 6. 已知两点坐标分别.直线相交于点，且它们的斜率之和是3，则点的轨迹方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先设K点的坐标，根据斜率之和为3列出方程，化简即可得出结果. 【详解】设，则直线的斜率为，直线的斜率为， 依据题意可知，，化简得：， 因为直线、的斜率存在，所以， 所以， 故选：A. 7. 已知椭圆，若的顶点，分别是椭圆的两个焦点，在椭圆上，则的值为（ ） A. 25 B. C. 12 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】计算得到，，根据正弦定理得到答案. 【详解】由椭圆，可得，，所以， 所以，． 在中，由正弦定理可得． 故选：A 8. 下列方程中，圆与圆的公切线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，由几何关系求出，即可得出. 【详解】根据题意可知，， 如图，设公切线l与圆，圆分别相切于第一象限的A，B两点，与x轴相交于点P， 由几何关系可知，，，， 所以，，，，l的斜率为， 则l的方程为，即， 根据对称可得出另一条公切线方程为. 故选：B． 二、多选题 9. 若直线与直线平行，则a的值为（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】 根据直线平行的等价条件进行求解即可. 【详解】若，则和平行，满足题意； 若，则，解得， 即的值为0，， 故选：BD. 【点睛】易错点点睛：该题中应注意时情形. 10. 关于方程，下列说法正确的是（ ） A. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在y轴上 B. 若，则该方程表示圆，其半径为 C. 若，则该方程表示椭圆，其焦点在x轴上 D. 若，则该方程表示两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】AC选项，化为标准方程，结合椭圆的特征得到答案；B选项，化为，得到B正确；D选项，化为，故D正确. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以，即该方程表示焦点在y轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为，此时该方程表示圆心在原点，半径为的圆，故B错误； 对于C，，则可化为， 由于，所以，故该方程表示焦点在x轴上的椭圆，故C正确； 对于D，若，则可化为，即， 此时该方程表示平行于x轴的两条直线，故D正确． 故选：ACD 11. 下列说法正确的是（ ） A. 直线的倾斜角的取值范围是 B. 点关于直线的对称点为 C. 过点，且在两坐标轴上截距互为相反数的直线的方程为 D. 直线的方向向量为，则该直线的倾斜角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系、关于直线对称的性质、方向向量的定义逐一判断即可. 【详解】对A：直线的倾斜角为，则， 因为，所以，故A正确； 对B：点和的中点在直线上，且连线的斜率为， 可得与直线垂直，所以点关于直线的对称点为，故B正确； 对C：设直线与轴交点为，则与轴交点为， 当时，直线过原点，斜率为，故方程为； 当时，直线的斜率，故直线方程为， 即，故C错误； 对D：设直线的倾斜角为，则， 又因为，故，故D正确， 故选：ABD. 三、填空题 12. 过的直线被曲线所截得的线段长度为，则直线的方程为__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据曲线的方程确定曲线为圆，再根据直线与圆的位置，分2种情况讨论：①当直线的斜率不存在，②当直线的斜率存在时，每种情况下先设出直线的方程，利用直线被圆所截得的线段长度，求解直线的方程可得出答案. 【详解】由曲线知，该曲线为圆 且圆心为，半径为. 当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线的距离为. 根据垂径定理，直线截圆所得线段长为：，满足题意. 当直线的斜率存在时，设直线方程为：，即 圆心到直线的距离为，当直线截圆所得线段长度时 根据垂径定理可得，，解得 此时直线方程为. 故答案为：或. 13. 曲线围成的图形的面积是___________. 【答案】## 【解析】 【分析】曲线围成的图形关于轴，轴对称，故只需要求出第一象限的面积即可. 详解】将或代入方程，方程不发生改变，故曲线关于轴，轴对称， 因此只需求出第一象限的面积即可， 当，时，曲线方程为，表示的图形占整个图形的，而表示的图形为一个腰长为1的等腰直角三角形和半径为的一个半圆， ∴， 故围成的图形的面积为：. 故答案为：. 14 已知圆，直线，，则下列结论： ①直线l恒过定点； ②当时，圆C上有且仅有三个点到直线l的距离都等于1； ③圆C与曲线恰有三条公切线，则； ④当时，直线l上一个动点P向圆C引两条切线PA，PB，其中A，B为切点，则直线AB经过点. 其中所有正确的有___________. 【答案】③④ 【解析】 【分析】直接利用经过定点的直线系建立方程组，进一步求出直线经过的定点，从而确定选项①的结论，利用点到直线的距离公式的应用确定选项②，选项③的结论利用两圆的位置关系的应用确定；选项④的结论，先表示出以为直径的圆的方程，从而可求出两圆的公共弦的方程，进而可求出公共弦经过的定点. 【详解】对于①，直线，整理得 ， 所以，得，所以直线恒过定点，所以①错误， 对于②，当时，直线为，则 圆心到直线的距离为，而圆的半径为2，所以圆上有且仅有四个点到直线的距离都等于1，所以②错误， 对于③，当时，曲线为，整理得，则圆心为，半径为3， 圆的圆心，半径为2， 所以两圆的圆心距为， 所以两圆相外切，所以两圆恰有3条公切线，所以③正确， 对于④，当时，直线的方程为，设，则以为直径的圆的方程为，即， 因为圆，所以两圆的公共弦的方程为， 整理得，所以，得， 所以直线经过点，所以④正确， 故答案为：③④ 四、解答题 15. 已知直线. （1）求证：直线经过一个定点； （2）若直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点为坐标原点，设的面积为S，求S的最小值及此时直线的方程. 【答案】（1）证明见解析； （2）S的最小值为16，直线的方程为 【解析】 【分析】（1）利用直线的点斜式方程即可得到直线经过一个定点； （2）先求得的面积S的表达式，再利用均值定理即可求得S的最小值，进而求得此时直线的方程. 【小问1详解】 直线，可化为 故直线过定点. 【小问2详解】 由（1）得直线过定点， 又直线交轴的负半轴于点A，交轴的正半轴于点则， 令，得,所以， 令得所以， 所以 ， （当且仅当即时等号成立，） 此时直线的方程是即 16. 已知圆的圆心在直线上，并且经过点，与直线相切. （1）求圆的方程； （2）求圆关于直线对称的圆的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆心为，根据直线与圆相切可知圆心到直线距离等于半径，且，由此可构造方程求得圆心坐标和半径，进而得到圆方程； （2）设圆心关于直线的对称点为，根据连线与直线垂直、中点在直线上可构造方程组求得点坐标，又半径不变，由此可得对称的圆的方程. 【小问1详解】 由题意可设圆的圆心为， 圆与直线相切，且过点， ，解得：，圆心， 半径，圆的方程为：. 【小问2详解】 设圆心关于直线对称的点为， 则，解得：，即， 圆关于直线对称的圆的方程为：. 17. 已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． （1）求顶点的坐标. （2）求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据互相垂直两直线斜率关系，结合直线的点斜式方程，通过解方程组进行求解即可； （2）根据中点坐标公式，结合直线点斜式方程进行求解即可. 【小问1详解】 边上的高所在直线方程为， ，且，即， 的顶点，直线方程;， 即与联立，， 解得：，顶点的坐标为； 【小问2详解】 所在直线方程为，设点， 是中点，，， 在所在直线方程为上， ,解得：,， 的方程为：，即. 18. 已知点是圆上任意一点． （1）求P点到直线的距离的最大值和最小值． （2）求的最大值和最小值． （3）求的最大值和最小值 【答案】（1）最大值为，最小值为 （2）最大值为，最小值为 （3）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）转化为圆心到直线距离的最大值和最小值； （2）解法一，转化为直线与圆有公共点，解法二，利用三角换元求最值； （3）首先设，再转化为直线与圆有交点， 【小问1详解】 圆心到直线的距离为． ∴P点到直线的距离的最大值为，最小值为． 【小问2详解】 解法一 ：设，则直线与圆有公共点， ∴，解得， 则，即的最大值为，最小值为． 解法二：设，则，其中， ∴得，即的最大值为，最小值为． 【小问3详解】 表示圆上的点与点连线的斜率为k， 设，即，直线与圆有交点， 设， 解得． 则，即的最大值为，最小值为． 19. 已知为坐标原点，椭圆，其右焦点为，为椭圆（第一象限部分）上一点，为中点，，面积为． （1）求椭圆的方程； （2）过作圆两条切线，切点分别为，，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设椭圆左焦点为，则易知，，则有，由此求解即可； （2）先求出点的坐标与，进而可知，，求出，由数量积的定义即可求解. 【小问1详解】 设椭圆左焦点为，则， 又，则， 又， 则， 则， 故， 则椭圆方程为． 【小问2详解】 ，则， 代入椭圆得，故，， 又过做圆两条切线，切点分别为， 则， 设，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$