精品解析：福建省莆田第二十五中学2024-2025学年八年级上学期第一次月考数学试题

莆田第二十五中学2024-2025学年上学期月考一试卷 八年数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下面各组线段中，能围成三角形的是（       ）（单位：厘米）． A. 6，5，11 B. 3，4，5 C. 5，10，5 D. 2，4，6 2. 下列图案中，属于全等形是（    ） A. B. C D. 3. 过某个多边形的一个顶点可以引出4条对角线，这些对角线将这个多边形分成（　　）个三角形． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 4. 一副三角板按如图所示的方式摆放，则余角的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③④ 8. 如图，已知，，则的度数为（ ） A B. C. D. 9. 如图，于点于点，若，则的理由是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，，，点，，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11. 厦门海沧大桥，是世界第二、亚洲第一座特大型三跨全漂浮钢箱梁悬索桥，也是厦门市历史上投资最大的交通工程项目，工程全长5926.527米．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的______． 12. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 13. 如图，在△ABC 和△ADC 中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝125°，则∠D＝__________ °． 14. 如图，在中，D，E分别为边的中点，且，则______． 15. 如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝_____ 度． 16. 如图，在中，，以 为边，作，满足，点E为 上一点，连接AE，，连接 ．下列结论中正确的是__________．（填序号） ①；②；③若，则；④． 三、解答题:本大题有9个小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． （1）画出的边上的高． （2）画出的边上的中线； （3）直接写出面积为______． 18. 的三边，，满足且为偶数，求的周长. 19. 如图，AC和BD相交于点0，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB 20. 中，，，平分交于点，求的度数． 21. 如图，在四边形的草坪中，，点分别在上，数学兴趣小组在测量中发现，正准备继续测量与的长度时，小亮则说：不用测量了，．小亮的说法是否正确？请说明理由． 22. 如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）若，求的长． 23. 已知O是四边形内一点，且，，． （1）如图1，连接，交点为G，连接，求证：； （2）如图2，若，是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 24. 中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图2位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明； （3）当直线绕点旋转到图3位置时，、、之间的等量关系是___（直接写出答案，不需证明）． 25. 理解与探究：构造辅助线是一种探究和解决数学几何问题常用的方法 【问题理解】 （1）在数学课上，老师提出如下问题：如图，中，若是边上的中线，且．问：与有怎样的数量关系？ 小李同学经过观察和思考，提出的猜想结论，并给出了证明其猜想的方法： 如图1，延长中线到点E，使，连接，则容易证得． ，；而 ；； 小李同学的上述解决问题的方法当中，其证明的判定依据是：_______．（填或或或） 【探索发现】 （2）如图2，中，，，若E是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，且．小李同学连接后（如图3），发现且．请证明他的结论． 【方法迁移】 （3）在（2）的条件下，取的中点F，连接和，如图4，请判断与有怎样的关系？并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 莆田第二十五中学2024-2025学年上学期月考一试卷 八年数学 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下面各组线段中，能围成三角形的是（       ）（单位：厘米）． A. 6，5，11 B. 3，4，5 C. 5，10，5 D. 2，4，6 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形三边关系进行判断即可． 【详解】解：A．∵， ∴6，5，11不能组成三角形，故A不符合题意； B．∵， ∴3，4，5能组成三角形，故B符合题意； C．∵， ∴5，10，5不能组成三角形，故C不符合题意； D．∵， ∴2，4，6不能组成三角形，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． 2. 下列图案中，属于全等形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等图形，熟知概念是关键． 能够完全重合的图形叫做全等图形，根据定义解答即可． 【详解】解：观察各选项：只有选项中的两个图案能够完全重合，选项、、中的两个图案不能够完全重合； 故选：A． 3. 过某个多边形的一个顶点可以引出4条对角线，这些对角线将这个多边形分成（　　）个三角形． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的对角线问题，熟练掌握过n边形的一个顶点，可以引出条对角线，这些对角线把该多边形分成个三角形是解题的关键． 【详解】解：∵某个多边形的一个顶点可以引出条对角线， ∴该多边形的边数为， ∴这些对角线将这个多边形分成个三角形． 故选B． 4. 一副三角板按如图所示的方式摆放，则余角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，再利用余角的定义即可求解． 【详解】解：由题意知：，， 得， 所以的余角为． 故选：D． 【点睛】本题主要考查余角及角的和差关系，解答的关键是由图形得到的度数． 5. 如图，分别过的顶点A，B作．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行，同位角相等，得到，利用三角形内角和定理计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴， 故选B． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线性质是解题的关键． 6. 如图，点A、B、C、D、E在同一平面内，连接、、、、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接BD，根据三角形内角和求出∠CBD+∠CDB，再利用四边形内角和减去∠CBD和∠CDB的和，即可得到结果． 【详解】解：连接BD，∵∠BCD=100°， ∴∠CBD+∠CDB=180°-100°=80°， ∴∠A+∠ABC+∠E+∠CDE=360°-∠CBD-∠CDB=360°-80°=280°， 故选D． 【点睛】本题考查了三角形内角和，四边形内角和，解题的关键是添加辅助线，构造三角形和四边形． 7. 如图，，下列条件①；②；③；④中，若只添加一个条件就可以证明，则所有正确条件的序号是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形全等的判定条件判定即可． 【详解】解：已知， 加上①，可用“”来判定． 加上②，可用“”来判定． 加上③，可用“”来判定 加上④不能判定 故选C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定条件，熟练掌握是解题的关键． 8. 如图，已知，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用全等三角形性质得出对应角相等进而求出答案，熟练掌握三角形内角和定理及全等三角形的性质是解题关键． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴． 故选：B． 9. 如图，于点于点，若，则的理由是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形全等的判定方法“”，即可判断． 【详解】证明：于点，于点， ， 在和中， ， ， 的理由是． 故选：B． 【点睛】本题考查直角三角形全等的判定，关键是掌握直角三角形全等的判定方法：． 10. 如图，，，点，，则点B的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E，利用已知条件可证明△ADC≌△CEB，再由全等三角形的性质和已知数据即可求出B点的坐标． 详解】解：过C和B分别作CD⊥OD于D，BE⊥CD于E， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACD+∠CAD＝90°，∠ACD+∠BCE＝90°， ∴∠CAD＝∠BCE， 在△ADC和△CEB中， ， ∴△ADC≌△CEB（AAS）， ∴DC＝BE，AD＝CE， ∵点C的坐标为（1，2），点A的坐标为（﹣2，0）， ∴AD＝CE＝3，OD＝1，BE＝CD＝2， ∴则B点的坐标是（3，﹣1）． 故选：C． 【点睛】本题借助于坐标与图形性质，重点考查了直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是做高线构造全等三角形． 二、填空题：(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 11. 厦门海沧大桥，是世界第二、亚洲第一座特大型三跨全漂浮钢箱梁悬索桥，也是厦门市历史上投资最大的交通工程项目，工程全长5926.527米．如图，桥梁拉杆和桥面构成三角形的结构，运用的数学原理是三角形的______． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】根据题意可直接进行求解． 【详解】由题意可知运用的数学原理是三角形的稳定性； 故答案：稳定性． 【点睛】本题主要考查三角形的稳定性，熟练掌握三角形的稳定性是解题的关键． 12. 如果一个正多边形的一个外角是60°，那么这个正多边形的边数是_____． 【答案】6 【解析】 【详解】解：根据多边形的外角和等于360°和正多边形的每一个外角都相等，得多边形的边数为360°÷60°=6． 故答案为：6. 13. 如图，在△ABC 和△ADC 中，AB＝AD，BC＝DC，∠B＝125°，则∠D＝__________ °． 【答案】125 【解析】 【分析】由“SSS”可证△ABC≌△ADC，可得∠B=∠D=125°． 【详解】解：在△ABC和△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（SSS）， ∴∠B=∠D=125°． 故答案为：125． 【点睛】本题考查了全等三角形判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 14. 如图，在中，D，E分别为边的中点，且，则______． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，根据三角形中线平分三角形面积先求出，则． 【详解】解：∵点D是，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 故答案为：5． 15. 如图，正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，DG平分正五边形的外角∠EDF，则∠G＝_____ 度． 【答案】54． 【解析】 【分析】根据正五边形的轴对称性以及多边形的外角和等于解答即可； 【详解】由正五边形ABCDE，BG平分∠ABC，可得， ∴， ∵，DG平分正五边形的外角∠EDF， ∴， ∴． 故答案是54． 【点睛】本题主要考查了多边形内角（和）与外角（和），准确分析计算是解题的关键． 16. 如图，在中，，以 为边，作，满足，点E为 上一点，连接AE，，连接 ．下列结论中正确的是__________．（填序号） ①；②；③若，则；④． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】因为，且，所以需要构造2倍的，故延长至，使，从而得到，进一步证明，且，接着证明，则，，所以②是正确的，也可以通过线段的等量代换运算推导出④是正确的，设，则，因为，所以，接着用表示出，再计算出，故③是正确的，当时，可以推导出，否则不垂直于，故①是错误的． 【详解】解：如图，延长至，使，设与交于点， ， ， 垂直平分， ，， ， ， ， ， 在与中， ， （SAS）， ，，故②是正确的； ， ， 平分， 当时，，则， 当时，，则无法说明，故①是不正确的； 设，则， ， ， ， ， ， ，故③是正确的； ， ， ， ， ， ， 故④是正确的． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，角度的计算，构造两倍的，是本题解题的关键． 三、解答题:本大题有9个小题,共86分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，点，点，点在小正方形的顶点上． （1）画出的边上的高． （2）画出的边上的中线； （3）直接写出的面积为______． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【解析】 【分析】（1）延长BC，过A作AD⊥BC与D，即可得到答案. （2）结合题意，根据中线的定义可得E点，连接BE即可得到答案. （3）根据三角形面积公式的求法，结合题意，即可得到答案. 【详解】解：（1）如图 （2）如图 （3）的面积为= 【点睛】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解. 18. 的三边，，满足且为偶数，求的周长. 【答案】16或18 【解析】 【分析】此题考查了非负数和三角形三边关系的应用能力，运用非负数和三角形三边关系确定出，，的值，再代入计算． 【详解】解：∵，，， ∴， 解得，， ，， ， 为偶数， 或， 当时，； 当时，； ∴的周长为16或18． 19. 如图，AC和BD相交于点0，OA=OC， OB=OD，求证：DC//AB 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据SAS可知△AOB≌△COD，从而得出∠A=∠C，根据内错角相等两直线平行的判定可得结论． 【详解】解：∵OA=OC，∠AOB=∠COD，OB=OD， ∴△AOB≌△COD（SAS）． ∴∠A=∠C． ∴AB∥CD． 【点睛】本题考查了1．全等三角形判定和性质；2．平行线的判定． 20. 中，，，平分交于点，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，最后根据三角形外角的性质即可得解．掌握三角形外角的定义及性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为． 21. 如图，在四边形的草坪中，，点分别在上，数学兴趣小组在测量中发现，正准备继续测量与的长度时，小亮则说：不用测量了，．小亮的说法是否正确？请说明理由． 【答案】小亮的说法正确，理由见解析 【解析】 【分析】连接，先利用证明，再利用证明，即可证得． 【详解】解：小亮的说法正确，理由如下： 连接， 在与中，， ∴， ∴， 在与中，， ∴ ∴， 即：小亮的说法正确． 【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，牢记全等三角形的判定方法：、、、是解决问题的关键． 22. 如图，在四边形中，． （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，再由“”即可证明； （2）结合（1）可得，可得结论． 【小问1详解】 证明：∵， ∴． 在和中， ， ∴； 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 23. 已知O是四边形内一点，且，，． （1）如图1，连接，交点为G，连接，求证：； （2）如图2，若，是的中点，过点O作，垂足为F，求证：点E，O，F在同一条直线上． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质． （1）先推导出，即可根据全等三角形的判定定理“”证明，则； （2）连接并延长到点，使，连接，由倍长中线，模型可证明，得到，，进一步，，则，而，所以，即可证明，得，所以，则，即可证明点，，在同一条直线上． 【小问1详解】 证明：， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 证明：如图2，连接并延长到点，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ∴， ，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 与在同一条直线上， 点，，在同一条直线上． 24. 在中，，，直线经过点，且于，于． （1）当直线绕点旋转到图1位置时，求证：； （2）当直线绕点旋转到图2位置时，试问：、、有怎样的等量关系？请写出这个等量关系，并加以证明； （3）当直线绕点旋转到图3位置时，、、之间的等量关系是___（直接写出答案，不需证明）． 【答案】（1）见解析 （2），证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质．余角的性质，解题的关键在于找出证明三角形全等的条件． （1）先用证明，得，，进而得出； （2）先用证明，可得，，进而得出； （3）证明过程同（2），进而可得． 【小问1详解】 证明：由题意知，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：． 证明：∵，， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ∵ ， ∴， ∴，， 又∵, ∴． 【小问3详解】 解：． 证明：∵于，于， ∴， ∴，， ∴∠ACD＝∠EBC， 在和中， ∵， ∴， ∴，， 又∵， ∴． 25. 理解与探究：构造辅助线是一种探究和解决数学几何问题常用的方法 【问题理解】 （1）在数学课上，老师提出如下问题：如图，中，若是边上的中线，且．问：与有怎样的数量关系？ 小李同学经过观察和思考，提出的猜想结论，并给出了证明其猜想的方法： 如图1，延长中线到点E，使，连接，则容易证得． ，；而 ；； 小李同学的上述解决问题的方法当中，其证明的判定依据是：_______．（填或或或） 【探索发现】 （2）如图2，中，，，若E是延长线上一点，连接，以为腰作等腰直角三角形，且．小李同学连接后（如图3），发现且．请证明他的结论． 【方法迁移】 （3）在（2）的条件下，取的中点F，连接和，如图4，请判断与有怎样的关系？并说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3），，理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用证明和全等即可； （2）先求出，再利用证明，得出，，进而得出结论； （3）利用可证和，得出，然后得到，即可得到最后结论． 【详解】证明：（1）在和中， ， ， （2）， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ； （3），， 理由如下：如图，延长使，延长交于点，连接， 为的中点， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 在中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，外角定义，直角三角形的判定，平行线的性质，正确作出辅助线构造全等三角形是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$