精品解析：湖南省益阳市安化县第二中学2024-2025学年高三上学期第二次调研考试（10月）数学试题

2025届高三第二次调研考试试卷 数学 时量：120分钟 满分：150分 命题人：李世清 审题人：刘美才 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则等于（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由复数的除法法则求得，可求. 【详解】由，可得， 所以， 所以. 故选：A. 2. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出命题为真命题时a的值，再结合充分不必要条件的定义即可得解. 【详解】若命题“”为真命题， 则，恒成立. 令，则函数在上单调递增，所以在当时，取得最大值4， 可得， 所以各选项中只有是的真子集， 即是“”为真命题的一个充分不必要条件. 故选：B 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出集合，再求出其补集，然后求出集合，再由. 【详解】由，得，得，解得或， 所以或， 所以， 由，得，所以， 所以. 故选：A 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出为奇函数，排除AB；由排除D，得到答案. 【详解】定义域为R， ，函数为奇函数， 图象关于原点对称，排除AB； 又，排除D. 故选：C. 5. 已知角的终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意得 ，则 为第一或三象限角，分别讨论一和三象限结果即可. 【详解】因为角的终边在直线上，所以 ，则 为第一或三象限角 当为第一象限角时，，所以； 当为第三象限角时，，所以； 故选：B 6. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需 【答案】D 【解析】 【分析】运用代入法，结合对数的运算逐一判断即可. 【详解】由，得， 即，故，A、B错误； 又由，，得， 故牛奶的温度从降至需， 从降至还需. 故选：D 7. 已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】把先降幂，再辅助角公式化简成，根据求出的范围，根据图象观察再确定右端点的取值范围. 【详解】函数， 时，则， 函数在内有且仅有三条对称轴， 则，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 8. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数平移可得，进而根据即可代入化简得求解. 【详解】解：，要的图象与的图象关于轴对称，则， 所以，故， 又，故， 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】解出x的范围，即可求解. 【详解】解：，则, 解得：,当, 或,当, 故选：BC 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则t的最大值为2 D. 当时，方程有且只有两个实根 【答案】BCD 【解析】 【分析】求得，得到函数的单调性和极值，以及时，，当时，，作出函数的图象，如图所示，结合图象，逐项判定，即可求解. 【详解】由函数，可得， 令，解得或， 当时，；当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在上单调递增， 当，函数取得极小值； 当，函数取得极大值， 当时，，当时，， 作出函数的图象，如图所示，结合图象得： 对于A中，函数存在两个不同的零点，所以A不正确； 对于B中，函数既存在极大值又存在极小值，所以B正确； 对于C中，当时，，可得，所以t的最大值为，所以C正确； 对于D中，若方程有且只有两个实根， 即与的图象有两个不同的交点，可得，所以D正确. 故选：BCD. 11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x（x为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. S的最大值为 D. S的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】设斜边长为，则，，即可代入求解A，根据定义域求解B，再结合基本不等式可判断CD． 【详解】设三角形的斜边长为，则 ①， 所以，其中, 对于A，当时，由①式得，， 所以，故A正确； 对于B，因为，故不关于对称，故B错误； 对于CD，， 因为，当且仅当时，等号成立， 又由①可得，， 所以， 因为为锐角，所以，所以,， 所以,，所以,， 所以,，所以， 即，故C正确，D错误． 故选：AC． 【点睛】关键点点睛：根据旋转的性质结合锐角三角函数得到，进而根据三角形面积公式得面积表达式. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的导函数为，则____________． 【答案】0 【解析】 【分析】根据题意，求导可得，然后令，代入计算，即可求解. 【详解】由题意可得，，令， 则，解得. 故答案为：0 13. 已知，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合，利用余弦的倍角公式，即可求解. 【详解】由题意知，则 . 故答案为：. 14. 函数与x轴的交点分别为A，B，C，且在点处的切线的斜率为，则____________. 【答案】9 【解析】 【分析】先设点，再根据待定系数法得出坐标间的关系，再结合斜率计算化简求值即可. 【详解】设点， 因为点在上， 所以 ， 所以， 因为在上， 所以，所以点为， 则 . 故答案为：9. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于，利用三次函数的一般式与零点式得到系数与零点的关系，从而得解. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是数列的前项和，，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据，可得当时，，两式相减可证得数列是等比数列，从而可的答案； （2）利用错位相减法即可求得答案. 【详解】解：（1）∵①， ∴，即. ∵，∴. 当时，.② 由①-②得，即.又， ∴数列是以首项为2，公比为3的等比数列， ∴; （2）由， 得①， ②， 由①-②，得， . ∴. 16. 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下:得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示. 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题: （1）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）; （2）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值. 附:若随机变量X服从正态分布，则，，. 【答案】（1）1587； （2）分布列见解析，数学期望为. 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图求出，再由正态分布的对称性求出，进而求出学生数. （2）由（1）求出，再利用二项分布求出分布列及期望. 【小问1详解】 由频率分布直方图知，各小矩形面积从左到右依次为， 样本平均数的估计值， 则所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，而， 因此 所以参赛学生中成绩超过79分的学生数约为. 【小问2详解】 由（1）知，，， 即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该学生竞赛成绩在64分以上的概率为， 因此随机变量服从二项分布，的可能值为0，1，2，3， 则，，，， 所以随机变量的分布列为： 0 1 2 3 P 数学期望. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，其中，，，，点是的中点. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用空间两点间距离公式进行求解即可； （2）利用空间向量夹角公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可. 【小问1详解】 因为平面，平面， 所以， 因为，所以， 建立如图所示的空间直角坐标系， ， 因为，， 所以； 【小问2详解】 ， 设平面的法向量为， 于是有， 设平面的法向量为， 于是有， 设二面角为， ， 所以二面角的正弦值为：. 18. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中． （1）求的最大值； （2）若为____________，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值． （从条件①内心,②垂心，③重心，,任选一个作答） 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理得，化简应用基本不等式得到得到答案. （2）选择条件① ② ③时分别计算，根据重心得到，根据得到，根据余弦定理得到，结合基本不等式计算面积最值即可. 【小问1详解】 由余弦定理得 所以， 又因为，所以， 所以. 当且仅当时取最大值. 【小问2详解】 若选条件①： 因为为的内心，所以， 由，得 因为，所以， 所以，即， 所以. 当且仅当时取面积最小值. 若选条件②： 因为为的垂心，且，所以， 故，即， 又， 即，所以 所以. 当且仅当时取面积最小值. 若选条件③： 因为为的重心，且，所以， 又，故， 即， 即，所以 所以. 当且仅当时取最大值. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是基本不等式与余弦定理结合应用. 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）对求导，得到，利用导数的几何意义，得到函数在处的切线的斜率，即可求解； （2）对求导，得到，构造函数，利用零点存在性原理，可得，使得，从而得到的单调区间，进而得到，再利用，即可证明结果； （3）根据条件，将问题转化成证明在上恒成立，构造函数，利用导数与函数的单调性间的关系，求出单调区间，进而得到，即可证明结果. 【小问1详解】 因为，则， 所以，又，所以函数在处的切线方程为. 【小问2详解】 因为，则， 令，则，所以在区间上单调递减， 又，，所以，使得，即， 当时，，当时，， 得到在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以，又，得到， 又，当且仅当时取等号，又，则， 所以，得证. 【小问3详解】 因为，由，得到， 又，得到，即， 所以要证，即证，即证， 令，则在区间上恒成立，所以， 即证在上恒成立， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 得到，所以，即，命题得证. 【点睛】关键点点晴，对于第（2）问，利用导数与函数单调性间的关系，结合零点存在性原理，求出函数的“隐零点”，进而得到，再结合，利用基本不等式，即可求解；对于第（3）问，利用同构思想，将问题转化成求证，通过换元，转化成在上恒成立，构造函数，利用导数，求出函数最小值，即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届高三第二次调研考试试卷 数学 时量：120分钟 满分：150分 命题人：李世清 审题人：刘美才 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若复数满足，则等于（ ） A. B. C. D. 2 2. 命题为真命题的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 4. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 5. 已知角的终边在直线上，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知把物体放在空气中冷却时，若物体原来的温度是，空气的温度是，则后物体的温度满足公式（其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数）.某天小明同学将温度是的牛奶放在空气中，冷却后牛奶的温度是，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 牛奶的温度降至还需 D. 牛奶的温度降至还需 7. 已知函数在内有且仅有三条对称轴，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，将的图象向左平移个单位后，得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则的最小值等于（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 若，则可以是（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 函数存在三个不同的零点 B. 函数既存在极大值又存在极小值 C. 若时，，则t的最大值为2 D. 当时，方程有且只有两个实根 11. 把一个三阶魔方看成是棱长为1的正方体，若顶层旋转x（x为锐角），记表面积增加量为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的图象关于直线对称 C. S的最大值为 D. S的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知的导函数为，则____________． 13. 已知，则____________． 14. 函数与x轴的交点分别为A，B，C，且在点处的切线的斜率为，则____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知是数列的前项和，，且满足. （1）求数列的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 某市为了传承发展中华优秀传统文化，组织该市中学生进行了一次文化知识有奖竞赛，竞赛奖励规则如下:得分在[70，80）内的学生获三等奖，得分在[80，90）内的学生获二等奖，得分在[90，100]内的学生获一等奖，其他学生不得奖.为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了样本频率分布直方图，如图所示. 若该市所有参赛学生的成绩X近似服从正态分布，其中为样本平均数的估计值，利用所得正态分布模型解决以下问题: （1）若该市共有10000名学生参加了竞赛，试估计参赛学生中成绩超过79分的学生数（结果四舍五入到整数）; （2）若从所有参赛学生中（参赛学生数大于10000）随机抽取3名学生进行访谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生数为，求随机变量的分布列和均值. 附:若随机变量X服从正态分布，则，，. 17. 如图，在四棱锥中，平面，底面为梯形，其中，，，，点是的中点. （1）证明：； （2）求二面角的正弦值. 18. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，其中． （1）求的最大值； （2）若为____________，线段的延长线交于点，求的最大值或最小值． （从条件①内心,②垂心，③重心，,任选一个作答） 19. 已知函数． （1）求函数在处的切线方程； （2）证明：； （3）证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $