11.1.2三角形的高、中线和角平分线　课件　2024—2025学年人教版数学八年级上册

第十一章 三角形 11.1 与三角形有关的线段 11.1.2 三角形的高、中线和角平分线 学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练 一线课堂 YIXIAN KETANG 指点之间，一线即达 学习目标 1.了解三角形的高、中线及角平分线的概念. 2.掌握三角形的高、中线及角平分线的画法.（重点） 3.掌握钝角三角形的两短边上高的画法.（难点） 一线课堂 指点之间，一线即达 新课导入 复习引入 垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角 时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做 另一条直线的垂线 线段中点：把一条线段分成两条相等的线段的点 角平分线：一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射 线叫做这个角的平分线 一线课堂 指点之间，一线即达 新课导入 怎样“过一点画已知直线的垂线” ? 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 1.放 2.靠 3.过 4.画 复习引入 一线课堂 指点之间，一线即达 新知探究 你还记得小学学过的“三角形的高”的定义吗？ 定义：从三角形的一个顶点向它所对的边所在 的直线画垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三 角形的这条边上的高，这条对边叫做三角形 的底.如图，线段AD是边BC上的高. 知识点1 三角形的高 ┐ 高 底 几何表达形式：如图，AD是△ABC（的边BC上）的高，或AD⊥BC于点D，或∠BDA=∠CDA=90°. A C B D 一线课堂 指点之间，一线即达 新知探究 过三角形的某一顶点 知识点1 三角形的高 A B D 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 0 1 2 3 4 5 0 1 2 3 4 5 向其对边或对边所在的直线 用三角板画垂线， 所得的垂线段就是这条边上的高. C 三角形高的画法: 交对边或对边延长线于一点， 注意标明垂直的记号和垂足的字母. 一线课堂 指点之间，一线即达 新知探究 思考：三角形有几条高？ 知识点1 三角形的高 一个三角形有三个顶点，应该有三条高. 你能用刚才学到的三角形画高的方法画出三角形的三条高吗？ 动手试一试吧！ 一线课堂 指点之间，一线即达 新知探究 知识点1 三角形的高 试一试分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的高. D D F E D E F 思考：（1）这三种三角形的三条高是在三角形的内部还是外部?（2）三条高之间有怎样的位置关系？ 一线课堂 指点之间，一线即达 新知探究 知识点1 三角形的高 （2）锐角三角形的三条高交于同一点， 且交点在三角形内部 （1）锐角三角形的三条高在三角形的内部 锐角三角形 一线课堂 指点之间，一线即达 新知探究 知识点1 三角形的高 （1）直角三角形的两条高与直角边重合， 另外一条高在内部 BC边上的高是AB，AB边上的高是BC， AC边上的高是BD （2）三条高的交点为直角顶点. 直角三角形 一线课堂 指点之间，一线即达 新知探究 知识点1 三角形的高 （1）钝角三角形的两条高在外部， 另外一条高在内部 BC边上的高是AF，AB边上的高是CD， AC边上的高是BE （2）三条高没有交点， 三条高所在直线交于三角形外一点. 钝角三角形 一线课堂 指点之间，一线即达 1.(2021云南玉溪模拟）下列各图中，正确画出AC边上的高的是（ ） 新知探究 跟踪训练 D 三角形任意一边上的高必须满足：(1)过该边所对的顶点；(2)垂足必须在该边或在该边的延长线上． 一线课堂 指点之间，一线即达 跟踪训练 新知探究 2.三角形的三条高中，在三角形外的可能的条数是 . 0或2 【解析】当三角形为直角三角形或锐角三角形时，没有高在三角形外；当三角形为钝角三角形时，有两条高在三角形外；一条高在三角形内.故答案为0或2. 一线课堂 指点之间，一线即达 知识点2 三角形的中线 定义：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得线段叫做三角形的这条边上的中线.如图，AD就是△ABC的中线. 新知探究 D C B A 几何表达形式：如图，AD是△ABC的（边BC上的）中线，或点D是边BC的中点，则BD=CD= BC. 一线课堂 指点之间，一线即达 新知探究 知识点2 三角形的中线 O 三角形三条中线的交点叫做三角形的重心. 如图，点O即为△ABC的重心. 根据三角形中线的定义，任意画一个三角形，然后利用刻度尺画出这个三角形的中线，你发现了什么？ 三角形有 条中线，三条中线相交于 点，交点在三角形的 部. 三 一 内 一线课堂 指点之间，一线即达 新知探究 例：如图，在△ABC中，AD，AE分别是边BC的中线和高，试比较△ABD和△ACD的面积大小和周长的长短. 知识点2 三角形的中线 D E ┐ B C A 思考：被三角形中线分成的两个小三角形的面积有什么关系？周长有什么关系？ 一线课堂 指点之间，一线即达 新知探究 知识点2 三角形的中线 解：因为AD是△ABC的边BC的中线，所以BD=CD. 因为△ABD的面积= BD×AE，△ACD的面积= CD×AE， 所以△ACD的面积和△ABD的面积大小一样. D E ┐ B C A 性质：三角形的中线将三角形分成面积相等的两个小三角形,这两个三角形的周长差等于另两边长的差. 因为△ABD的周长=AB+BD+AD，△ACD的周长=AC+CD+AD， 所以△ABD的周长-△ACD的周长=（AB+BD+AD）-（AC+CD+AD）=AB-AC. 一线课堂 指点之间，一线即达 如图，已知△ABC，点D，E分别是BC，AB的中点，若△ABC的面积为8，则△BDE的面积为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 跟踪训练 D 【解析】因为点D是BC的中点，△ABC的面积为8，所以 △ABD的面积为4.因为点E是AB的中点，所以 △BDE的面积为2. 新知探究 一线课堂 指点之间，一线即达 知识点3 三角形的角平分线 新知探究 定义：在三角形中，一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫三角形的角平分线.如图，AD就是△ABC的角平分线. 几何表达形式：如图，AD是△ABC的角平分线，或AD平分∠BAC交BC于点D，或∠BAD=∠CAD= ∠BAC. 三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线. 一线课堂 指点之间，一线即达 新知探究 根据三角形角平分线的定义，任意画一个三角形，然后利用量角器画出这个三角形的三个角的角平分线，你发现了什么？ 三角形有 条角平分线，三条角平分线相交于 点，交点在三角形的 部. 知识点3 三角形的角平分线 三 一 内 一线课堂 指点之间，一线即达 1.如图，AD，BE，CF分别是△ABC的三条角平分线，请判断下列各角之间的大小关系并填空. （1）∠1=∠（ ）； （2）∠3= （ ）； （3）∠ACB=（ ）∠4. 跟踪训练 新知探究 2 ∠ABC 2 一线课堂 指点之间，一线即达 2.已知△ABC中，∠C=50°，AD是边BC上的高，将∠CAD对折，使AC与AD重合，得到折痕AE，那么∠DAE=（ ） A.50° B.40° C.30° D.20° D 新知探究 将三角形的一个角对折，使其两边重合.折痕即为三角形的一个角平分线. 拓展点 【解析】因为AD是边BC上的高，所以∠C+∠CAD=90°. 因为∠C=50°，所以∠CAD=40°.由对折可知，线段 AE是△CAD的角平分线，所以∠DAE=∠CAE= ∠CAD=20°.故选D. 一线课堂 指点之间，一线即达 课堂小结 三角形中的重要线段 线段 概念 图示 高 中线 角平分线 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线,顶点和垂足之间的线段 三角形中,连结一个顶点和它对边中点的线段 三角形一个内角的平分线与它的对边相交,这个角顶点与交点之间的线段 一线课堂 指点之间，一线即达 课堂小结 三角形中的重要线段 线段 几何推理 性质 高 中线 角平分线 因为AD是△ABC（的边BC）的高，所以AD⊥AC（∠BDA=∠CDA=90°）. 因为AE是△ABC（的边BC上）的中线，所以BD=CD= BC 因为AF是△ABC的角平分线，所以∠BAF=∠CAF= ∠BAC △ABE的面积与△ACE的面积相等，且两者的周长差等于|AB-AC| 一线课堂 指点之间，一线即达 课堂小结 三角形中的重要线段 线段 位置 交点位置 高 锐角三角形 直角三角形 钝角三角形 中线 角平分线 一条高位于三角形内部，另外两条高位于三角形外部 全在三角形内部 全在三角形内部 一条高位于三角形内部，另外两条高与直角边重合 全在三角形内部 在三角形内部 在三角形直角顶点 在三角形外部 在三角形内部（重心） 在三角形内部 一线课堂 指点之间，一线即达 1.如图，在直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于点D， DE⊥BC于点E，则下列说法中正确的是（　　） A．DE是△ACE的高 B．BD是△ADE的高 C．AB是△BCD的高 D．DE是△BCD的高 【解析】因为∠ABC=90°，BD⊥AC于点D，DE⊥BC于点E，所以DE是△CDB的高，BD是△ABC的高，AB是△ABC的高.故选D． D 课堂训练 一线课堂 指点之间，一线即达 课堂训练 2.下列说法正确的是（　　） A．三角形的三条高线交于一点 B．直角三角形有三条高 C．三角形的高、中线、角平分线一定在三角形的内部 D．三角形的角平分线是射线 B 【解析】A.三角形三条高线所在的直线一定交于一点，但三角形的三条高线不一定交于一点，比如钝角三角形，因为高线是线段不可延长，故 错误；C.锐角三角形的三条高都在三角形内部；直角三角形有两条高与 直角边重合，另一条高在三角形内部；钝角三角形有两条高在三角形外部，一条高在三角形内部．D.三角形的角平分线是线段.故选B ． 一线课堂 指点之间，一线即达 3.如图，△ABC中，AB=15，BC=9，BD是AC边上的中线，若△ABD的周长为30，则△BCD的周长是（　　） A．20 B．24 C．26 D．28 B 【解析】方法一：因为BD是AC边上的中线，所以AD =CD．因为△ABD的周长为30，所以AB+BD+AD=30． 所以BD+AD=30﹣AB=30﹣15=15．所以△BCD的周长为BC+CD+BD=BC+AD+BD=9+15=24．方法二：因为BD是AC边上的中线，所以△ABD的周长-△BCD的周长=AB-BC=15-9=6．又因为△ABD的周长为30，所以△BCD的周长=30﹣6=24．故选B． 一线课堂 指点之间，一线即达 4.如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，则下列结论正确 的有（　　） ①AD平分∠BAF；②AF平分∠BAC；③AE平分∠DAF； ④AF平分∠DAC；⑤AE平分∠BAC． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 C 【解析】因为∠1=∠2，所以AE平分∠DAF，故③正确；又因为∠3=∠4，所以∠1+∠3=∠2+∠4，即∠BAE=∠EAC，所以AE平分∠BAC，故⑤正确．故选C． 一线课堂 指点之间，一线即达 课堂训练 5.如图，AD是△ABC的中线，AE是△ADC的中线，则有BD＝　 　CE． 2 【解析】因为AD是△ABC的中线，所以BD=CD.因为AE是△ADC的中线， 所以CD=2CE.所以BD=2CE.故答案为2． 一线课堂 指点之间，一线即达 6．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3， CD＝1，则△ABC的面积等于 　． 课堂训练 【解析】分析画图如图所示．因为BD=3，CD=1，所以BC=BD﹣CD=2，又因为AD是BC边上的高，AD=2，所以△ABC的面积= BC•AD= ×2×2=2．故答案为2． 2 一线课堂 指点之间，一线即达 7.如图，在△ABC，AD是角平分线，AE是中线．AF是高. （1）如果BC＝10cm，求BE的长； （2）如果∠ABC=40°，∠ACB=60°，求∠BAD和∠DAF的度数． 解：（1）因为AE是中线，BC=10cm，所以BE=5cm. （2）因为∠ABC=40°，∠ACB=60°，所以∠BAC= 180°﹣40°﹣60°=80°.因为AD是角平分线， 所以∠BAD=40°.因为AF是高，所以∠CAF=90° ﹣60°=30°，所以∠DAF=40°﹣30°=10°. 课堂训练 一线课堂 指点之间，一线即达 $$