11.2与三角形有关的角课件2024-2025学年人教版数学八年级上册

11.2与三角形有关的角(三角形的内角) 第十一章 三角形 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学(初中) (八年级 上) 1 前 言 学习目标 1、理解“ 三角形的内角和等于180 ”。 2、运用三角形内角和结论解决实际问题。 重点难点 重点:1、探索证明三角形内角和定理的不同方法。 2、利用三角形内角和定理简单计算和证明。 难点:三角形内角和定理的应用。 2 在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起,就得到一个平角,从这个操作过程中,你能发现证明的思路吗? 将三角形的两个内角剪下,分别拼在第三个内角两侧。三个角合起来形成了一个平角,出现了一条过A 点的直线l。 A A l 问题:直线l与顶点A的对边有什么关系?并说明原因? 探究 3 在纸上任意画一个三角形,将它的内角剪下拼合在一起,就得到一个平角,从这个操作过程中,你能发现证明的思路吗? A B C 过三角形顶点C做AB边平行线。 由平行线性质及平角的定义你能证明“三角形内角和等于180 ”吗。 探究 4 已知: ABC 求证:∠A+∠B+∠C=180 A B C 1 2 3 4 5 L 证明:过点A 做BC边平行线L,使L∥BC ∵ L∥BC ∴ ∠1= ∠4, ∠3= ∠5 ∵ ∠1, ∠2, ∠3组成平角 ∴ ∠1+∠2+∠3=180 ∠2+∠4+∠5=180 两直线平行内错角相等 平角定义 等量代换 三角形内角和等于180 证明 5 已知: ABC 求证:∠A+∠B+∠C=180 A B C 证明:过点C做AB边平行线L,即L∥BC ∵ L∥BC ∴ ∠1=∠4, ∠3+∠4+∠2=180 (两直线平行,内错角相等,同旁内角回补) ∴ ∠1+∠2+∠3=180 (等量代换) L 1 2 3 4 证明 6 直角边 直角边 斜边 A B C 在直角三角形ABC中,∠C=90 由三角形内角和定理 ∠ A+∠ B+∠C=180 而∠C=90 , 所以∠ A+∠ B=90 直角三角形的两个锐角互余 问题:有两个角互余的三角形是直角三角形吗? 直角三角形特殊性 7 三角形 锐角三角形 三个都是锐角 直角三角形 一个直角 两个锐角 钝角三角形 一个钝角 两个锐角 构成 定理应用 8 例1:在 ABC中,∠A=100 ,∠B=∠C , 求∠C的度数。 解:∵在 ABC中,∠A=100 ∠A+∠B+∠C=180 , ∴∠B+∠C=80 而∠B=∠C ∴∠B=∠C=400 A B C 课堂测试 9 例2:已知三角形三个内角的度数之比为2:3:7,求这三个内角的度数。 解:设三个内角度数分别为:2x、3x、7x,由三角形内角和为180 得: 2x+3x+7x=180 解得x=15 所以三个内角度数分别为30 ,45 ,105 。 课堂测试 10 例3:如图,C岛在A岛的北偏东50 方向,B岛在A岛的北偏东80 方向,C岛在B岛的北偏西60 方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度? 北 . A D 北 . C B . 东 E 50 80 60 解:∵∠CAD=50 , ∠FAD=80 ∴∠CAF=30 而AD∥BE ∴∠ABE+∠DAB=180 (两直线平行同旁内互补) ∴∠CBA=180 -∠DAB-∠CBE=40 ∴∠ACB=180 -∠CAB-∠CBA=110 生活中常见的图形 11 1、一个三角形最多有 个直角,最多有 个钝角。 2、在 ABC中,若∠A+∠B=3∠C,则∠C= 。 3、若一个三角形的三个内角之比为3:3:4,则这三个内角的度数为 。 4、如图:∠ = 。 320 440 500 1 1 45 54 、 54 、 72 26 课堂测试 12 (1)在 ABC中,∠A=75 ,∠B=43 ,则∠C= . (2)在 ABC中,∠A:∠B:∠C=8:3:4,则∠A = ,∠B= ,∠C= . (3)在 ABC中,∠A=55 ,∠B=43 ,则∠ACD= . B A C D 62 96 36 48 98 基础巩固 13 4.如图, 在 ABC中, BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB. (1).若∠A=60 ,求∠BOC的度数. (2).若∠A= ,求∠BOC的度数. 1)解:∵∠A=60 ∴∠ABC+∠ACB=120 而BD、CE分别平分∠ABC和∠ACB ∴∠OBC+∠OCB=(∠ABC+∠ACB)=60 ∴∠BOC=120 2) ∠BOC=90 + 基础巩固 14 (1)一个三角形中最多有 个直角?为什么? (2)一个三角形中最多有 个钝角?为什么? (3)一个三角形中至少有 个锐角?为什么? (4)任意一个三角形中,最大的一个角的度数至少为 . 60 2 1 1 讨论 15 感谢各位的仔细聆听 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学(初中) (八年级 上) 16 11.2与三角形有关的角 (三角形的外角) 第十一章 三角形 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学(初中) (八年级 上) 17 前 言 学习目标 1、认识三角形的外角。 2、三角形外角的两个基本性质。 3、能利用三角形外角性质解决实际问题。 重点难点 重点:1、探索证明三角形内角和定理的不同方法。 2、利用三角形内角和定理简单计算和证明。 难点:三角形内角和定理的应用。 18 A B C 问题2:若把 ABC的一边BC延长,得到∠ACD.这个角还是三角形的内角吗? 问题1:如图, ABC的三个内角是什么?它们有什么关系? A B C 内角和为180 D 不是 概念理解 19 概念: 三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. A B C D 概念理解 20 A B C 问题:每个顶点处有_个外角,它们是_角。 备注:研究有关外角的问题时,通常每个顶点处取一个外角。 扩展 21 外角 三角形外角∠ACD与内角有什么关系? 相邻的内角 不相邻的内角 A C B D 探究 22 B D A C ∵∠ACD=180 -∠ACB 又∠A+∠B=180 -∠ACB ∴∠ACD=∠A+∠B 证法1: 证法2: 过C点作CE∥AB ∴ ∠ACE= ∠A, ∴∠ACD=∠ACE+∠ECD 推论:三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和 E 探究 23 三角形的外角与内角的关系: 1、三角形的一个外角与它相邻的内角 ; 2、三角形的一个外角 与它不相邻的两个内角的和; 3、三角形的一个外角 任何一个与它不相邻的内角。 等于 大于 互补 归纳总结 24 6 5 4 3 2 A 1 例1:如图,∠4,∠5,∠6 是 ABC的三个外角,它们的和是多少? 解法1: ∵ ∠4 =∠2 +∠3, ∠5 =∠1 +∠3, ∠6 =∠1 +∠2, ∴∠4 +∠5 +∠6 =(∠2+∠3)+(∠1+∠3)+(∠1+∠2) = 2(∠1+∠2+∠3). = 2 180 =360 (三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和) 课堂测试 25 6 5 4 3 2 A 1 例1:如图,∠4,∠5,∠6 是 ABC的三个外角,它们的和是多少? 解法2: ∵∠4+∠1=180 , ∠5+∠2=180 , ∠6+∠3=180 , ∴∠4 +∠5 +∠6 + ∠1+∠2 +∠3 = 540 . ∵∠1 + ∠2 + ∠3 =180 ∴∠4 + ∠5 + ∠6= 540 -180 =360 . (三角形的一个外角与它相邻的内角互补) 课堂测试 26 例1:如图,∠4,∠5,∠6 是 ABC的三个外角,它们的和是多少? D 6 4 1 3 2 C A B 1 7 8 5 解法3:过A作AD∥BC, ∴ ∠5=∠7, ∠6=∠8. ∴ ∠4+∠5+∠6=∠4+∠7+∠8 (两直线平行,同位角相等) 三角形的外角和等于360 . 课堂测试 27 1.三角形的外角和是指三角形所有外角和 2.三角形的外角和等于它内角和的2倍。 3.三角形的一个外角等于两个内角的和。 4.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 5.三角形的一个外角大于任何一个内角。 6.三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角 基础巩固(判断) 28 例2.如图,若∠A=32 ,∠B=45 ,∠C=38 ,则∠DFE等于( ) A.120 B.115 C.110 D.105 F E D C B A 分析: 方法一: ∠ADB是三角形BDC的外角,根据三角形内角和等于180 ,可求出∠AFD,而∠DFE =180 - ∠AFD 分析: 方法二: ∠DFE = ∠A+ ∠ADF= ∠A+ ∠B+ ∠C 课堂测试 29 例3.如图,∠A=50 ,∠B=40 ,∠C=30 ,则 ∠BDC=_. D C B A 分析: ∠BDC = ∠A+ ∠B+ ∠C 120 课堂测试 30 例4:如图,D是 ABC的BC边上一点,∠B=∠BAD,∠ADC=80 ,∠BAC=70 求:(1)∠B的度数;(2)∠C的度数. A B C D 80 (1)解:∵∠B+∠BAD=∠ADC ∴∠B+∠BAD=80 又∵∠B=∠BAD ∴∠B=∠ADC=40 (2)∵∠B+∠BAC+∠C=180 ∴∠C=180 -∠B-∠BAC =180 -40 -70 =70 课堂测试 31 例5.已知 ABC中,∠B=∠C, AD平分外角∠EAC,求证:AD∥BC 证明: ∵∠EAC是 ABC的一个外角(已知) ∴∠EAC=∠B+∠C (三角形一个外角等于和它不相邻的两个内角的和) ∠B=∠C (已知) ∴∠EAC=2∠C (等量代换) ∵AD平分∠EAC (已知) ∴∠EAC=2∠1(角平分线定义) ∴ 2∠1 =2∠C (等量代换) ∴ ∠1 =∠C (等式性质) ∴ AD∥BC (内错角相等,两直线平行) A E C B D 1 课堂测试 32 感谢各位的仔细聆听 Please Enter Your Detailed Text Here, The Content Should Be Concise And Clear, Concise And Concise Do Not Need Too Much Text 人教版 数学(初中) (八年级 上) 33 $$