4.1.2　垂线 课件 2024-2025学年华东师大版数学七年级上册

4.1.2　垂线 第4章　 相交线和平行线 - 4.1.2　垂线 探究与应用 课堂小结与检测 第4章　相交线和平行线 全品初中 探究一　垂线的相关概念及表示 [观察操作] 如图4-1-7,将两根木条用一枚钉子钉在一起, 固定一根木条,另一根木条绕着钉子转动,请 你认真观察,随着木条的转动,两根木条相交 形成的四个角(∠1,∠2,∠3,∠4)的大小有没有发生改变?在转动过程中,如果∠1=90°,那么∠2,∠3,∠4的度数各是多少? 图4-1-7 解:四个角的大小有发生改变.在转动过程中,如果∠1=90°,那么∠2,∠3,∠4都是90°. 探究与应用 [概括新知] 两条直线互相垂直的概念 在两条直线相交所构成的四个角中,有一个角是　　　 时,其他三个角也都是直角,此时这两条直线互相垂直,其中一条直线是另一条直线的　　　,它们的交点叫做　　　　.垂直用符号“　　　　”来表示,读作“　　　　”. 直角 垂线 垂足 ⊥ 垂直于 探究与应用 如图4-1-8,直线AB垂直于直线CD,记为　　　　　,垂足为 　　　,并在图中任意一个角处作上直角记号.  几何语言表达为:因为∠BOC=90°, 所以　　　 　(垂直的定义).  反过来就是:因为直线AB⊥CD,所以             (垂直的性质).  图4-1-8 AB⊥CD O AB⊥CD ∠AOC=∠BOC=∠AOD=∠BOD=90° 探究与应用 应用一　利用垂直的定义解题 例1 如图4-1-9,OA⊥OB,若∠1=35°,则∠2的度数是 (　　) A.35° B.45° C.55° D.70° 图4-1-9 C 探究与应用 例2 如图4-1-10,直线AB,CD相交于点E,EF⊥CD于点E,∠1= 40°,求∠2的度数. 图4-1-10 解:因为EF⊥CD,所以∠DEF=90°. 因为∠1=40°, 所以∠BED=∠DEF-∠1=90°-40°=50°. 因为∠2与∠BED是对顶角, 所以∠2=∠BED=50°. 探究与应用 探究二　垂线的基本事实及中垂线 [操作发现] 1.如图4-1-11,已知一条直线l,利用直尺、三角板等工具,画出它的垂线. 图4-1-11 解:略 探究与应用 2.思考: (1)点和直线有几种位置关系? (2)如图4-1-12①,在同一平面内,经过直线AB上一点P,画出垂直于直线AB的直线.这样的垂线能画出多少条呢? (3)如图②,在同一平面内,经过直线AB外 一点P,画出垂直于直线AB的直线,这样的 垂线能画出多少条呢? 图4-1-12 探究与应用 解:(1)点和直线有两种位置关系,即点在直线上,点在直线外. (2)图略,这样的垂线能画出一条. (3)图略,这样的垂线能画出一条. 探究与应用 [概括新知] 1.同一平面内,过一点　 　　 一条直线与已知直线垂直.  2.对于线段的垂线,有一种特殊且重要的情况.如图4-1-13,直线CD经过线段AB的中点O,并且垂直于线段AB, 则有AO　　　BO,AB　　　CD.我们把垂直并 且平分一条线段的直线叫做这条线段的           　　　　.如图所示的直线CD就是线段AB的 　　　　 　(又可称为　　　　).  图4-1-13 有且只有 = ⊥ 垂直 平分线 垂直平分线 中垂线 探究与应用 理解此基本事实的关键在于理解“有且只有”和“过一点”的含义.“有且只有”中,“有”指“确定性”,“只有”指“唯一性”;“过一点”中的点既可以在直线外,也可以在直线上. 知 关键 探究与应用 探究三　垂线段及点到直线的距离 [观察发现] 如图4-1-14,A是直线l外一点,AB与直线l垂直,B为垂足,点A与直线l上各点的距离长短不一,观察哪条线段最短? 图4-1-14 解:线段AB最短. 探究与应用 [概括新知] 垂线段及其性质 定义:过　　　　　一点作已知直线的垂线,这个点与垂足之间的线段叫做　　　　　,这条　　　　　　　　叫做点到这条直线的距离.  性质:直线外一点与直线上各点连结所得到的所有线段中, 　　　　　最短.  直线外 垂线段 垂线段的长度 垂线段 探究与应用 应用二　利用垂线的基本事实解决问题 例3 如图4-1-15,O是直线m上一点,OA⊥m,OB⊥m,所以OA与OB重合,理由是 (　　) A.过两点只有一条直线 B.过一点只能作一条直线 C.同一平面内过一点有且只有一条 直线与已知直线垂直 D.垂线段最短 图4-1-15 C 探究与应用 应用三　作三角形的高 例4 如图4-1-16所示,在△ABC中,∠BAC为钝角. (1)画出点A到直线BC的垂线段; (2)画出点C到直线AB的垂线段; (3)画出点B到直线AC的垂线段. 图4-1-16 解:如图所示. (1)线段AD即为所求. (2)线段CF即为所求. (3)线段BE即为所求. 探究与应用 应用四　利用点到直线的距离及垂线段的性质解决问题 例5 如图4-1-17,∠A=90°,点B到线段AC的距离指的是下列哪条线段的长度 (　　) A.线段AB B.线段BC C.线段BD D.线段AD 图4-1-17 A 探究与应用 例6 如图4-1-18,小鹏家在A村庄,村庄不远处有一条小河,为了把河水引入村庄,准备在河边l建一个水泵站.为了节省投资,怎样确定水泵站的位置?请在图上把最佳的位置画出来. 图4-1-18 解:过点A作AB⊥l,垂足为B,则线段AB就是村庄A到河边l的最短路线,所以水泵站的最佳位置应在点B处(图略). 探究与应用 懂 应用 垂线段性质的应用 涉及直线外一点与直线的距离问题,通常是过该点作直线的垂线段,根据垂线段最短确定所求点的位置或求出最短路线. 探究与应用 [本课时认知逻辑] 课堂小结与检测 C [检测] 1.下列说法中正确的有 (　　) ①在同一平面内,过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ②在同一平面内,过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线; ③在同一平面内,过一点均可以画一条直线垂直于已知直线; ④在同一平面内,有且只有一条直线垂直于已知直线. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 课堂小结与检测 2.图4-1-19中,线段PQ的长表示点P到直线l的距离的是 (　　) 图4-1-19 D 课堂小结与检测 3.如图4-1-20,把小河里的水引到田地C处,作CD⊥AB,垂足为D,沿CD挖水沟,则水沟最短,其理论依据是　　　　　　.  图4-1-20 垂线段最短 课堂小结与检测 4.如图4-1-21,AB,CD相交于点O,OE⊥AB,O为垂足,若∠AOC∶∠BOC=1∶2,求∠EOD的度数. 图4-1-21 解:因为∠AOC∶∠BOC=1∶2, ∠AOC+∠BOC=180°, 所以∠AOC=60°, 所以∠BOD=∠AOC=60°. 因为OE⊥AB,所以∠EOB=90°, 所以∠EOD=∠EOB-∠BOD=30°. 课堂小结与检测 例6　[解析] 根据直线外一点与直线上各点所连的线段中,垂线段最短,过点A作直线l的垂线,垂足即为最佳位置. 解:过点A作AB⊥l,垂足为B,则线段AB就是村庄A到河边l的最短路线,所以水泵站的最佳位置应在点B处(图略). 相关解析 谢 谢 观 看！ 全品初中 $$