4.1 2.垂线 (同课异构设计)（课件）2025-2026学年华东师大版七年级数学上册

该初中数学课件聚焦“垂线”核心知识点，涵盖概念、画法、性质及应用。通过观察现实图片导入，结合木条转动实验抽象垂直概念，再经工具画图探究基本事实，形成从具体到抽象再到应用的学习支架。 特色在于以活动探究和问题驱动为主线，用木条实验、跳远测量等实例培养数学眼光（几何直观）和数学思维（推理意识），通过灌溉渠道等问题体现数学语言（模型意识）。“一靠二过三画”口诀助理解，利于学生发展应用能力，为教师提供结构化探究式教学资源。

华师大版七年级数学上册 第4章 相交线和平行线 4.1 相交线 2.垂线 导入新课 观察下面图片,你能找出其中相交的直线吗? 它们有什么特殊的位置关系吗? 3 高效课堂 取两根木条a、b,将它们钉在一起,固定木条a,转动木条b,记a、b所成的夹角为α.转动木条(如图)的同时观察其夹角的变化. 活动一：探究垂直、垂线、垂足的概念 4 高效课堂 如图,当两条直线AB、CD所构成的四个角中有一个为直角时,其他三个角也都成为直角,此时,直线AB、CD互相垂直,记作“AB⊥CD”,它们的交点O叫做垂足.我们把其中的一条直线叫做另一条直线的垂线. 由AB⊥CD,可得∠AOC＝90°. 5 高效课堂 提问:根据垂直的定义,要想画出垂线,需要作出多少度的角呢?可能用到哪些工具? 活动二：探究垂线的画法及基本事实 需要作出90°的角.可能用到三角板,量角器,直尺. (1)用三角板或量角器画已知直线l的垂线,这样的垂线能画出几条呢? (2)若直线l上有一点A,经过点A,能画几条直线l的垂线呢? (3)经过直线l外一点B画l的垂线,这样的垂线能画出几条呢? 6 高效课堂 结论:经过一点(已知直线上或直线外),能画出已知直线的一条垂线,并且只能画出一条垂线. 总结过程:一靠二过三画. 基本事实:同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 7 高效课堂 例1 如图,过点P画出射线AB和线段AB的垂线. 活动三:灵活运用,典例探究 8 高效课堂 练习:如图,AB⊥l,BC⊥l,B为垂足,那么A,B,C三点在同一条直线上吗? 请说明理由. 答案:A,B,C三点在同一条直线上. 理由:同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 9 高效课堂 对于线段的垂线,有一种特殊且重要的情况.如图,直线CD经过线段AB的中点O,并且垂直于线段AB,则有AO＝BO,AB⊥CD.我们把垂直并且平分一条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线.如图所示的直线CD就是线段AB的垂直平分线.垂直平分线又可称为中垂线. 活动四:探究线段的垂直平分线和点到直线的距离 10 高效课堂 如图,过直线外一点向已知直线作垂线时,这一点与垂足之间的线段比较特殊,大家观察此图,分组总结其特殊地方. 在上图所示的方格图中,点A是直线l外一点,AB与直线l垂直,点B为垂足.点A与直线l上各点的距离长短不一,我们可以发现其中最短的是线段AB.线段AB叫做点A到直线l的垂线段. 直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.简称:垂线段最短. 点到直线的距离:从直线外一点到这条直线的垂线段的长度.例如,线段AB的长度就是点A到直线l的距离. 11 高效课堂 问题:如图1,在灌溉时,要把河中的水引到农田P处,如何挖掘能使渠道最短? 请将其转化成数学问题并找出最短的渠道. 答案:如图2. 12 高效课堂 例2 如图,三角形ABC中,∠C＝90°. 活动五:巩固概念,灵活运用 (1)分别指出点A到直线BC、点B到直线AC的距离等于哪条线段的长度. (2)三条边AB、AC、BC中哪条边最长? 为什么? 解 (1)点A到直线BC、点B到直线AC的距离分别等于线段AC、线段BC的长度. (2)根据“垂线段最短”可知线段AB最长. 13 1.（1）（2024惠州模拟改编）如图，若要在河堤两岸搭建一座桥，则搭建方式中最短的是线段　　　　.  PN 课堂评价 （2）如图，PB⊥m，垂足为B，A为直线m上异于B的点，则PB<PA的理由是 . 垂线段最短 2.（1）如图，已知△ABC是直角三角形，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则点C到直线AB的距离是（　　） A.线段AB的长 B.线段AD的长 C.线段CD的长 D.线段AC的长 C　 （2）（2024黔南州一模）如图，点A，B，C在直线l上，PB⊥l，PA=5 cm，PB=4 cm，PC=6 cm，则点P到直线l的距离是　　　　. 4 cm 3.（人教7下P6，教材新增）如图，分别过点P画直线AB，CD的垂线，并量出点P到直线AB的距离. 解：如图，即为所作，量距离略. 4.【例1】（人教7下P6、北师7下P40）如图，某单位要在河岸l上建一个水泵房引水到C处.他们的做法是：过点C作CD⊥l于点D，将水泵房建在了D处.这样做最节省水管长度，其数学道理是 . 垂线段最短 5.（跨学科融合）（人教7下P9、北师7下P39）如图，这是小明同学在体育课上跳远后留下的脚印，怎样测量他的成绩呢？请你画一画，其依据是　　　　　　　.  垂线段最短 图略（画靠后的脚印后跟到起跳线的垂线段）　 6. 如图，一辆汽车在平直的公路上由M向N行驶，A，B分别是位于公路MN两侧的村庄.设汽车行驶到公路MN上点P的位置时，距离村庄A最近；行驶到点Q的位置时，距离村庄B最近，请在图中的直线MN上分别画出点P，Q的位置. 解：如图. 7.如图，在河岸l的同侧有一村庄A和自来水厂B.现要在河岸l上建一抽水站D，将河中的水输送到自来水厂后，再送往A村，问抽水站D应建在何处，才能使铺设的水管最短？在图中画出来. 解：如图，D即为所求作. 8.人教7下P6改编）如图，BC⊥AB，CB=6 cm，AB=8 cm，AC=10 cm，则A，C两点间的距离是　　　　，点A到BC的距离是 　　　　，点C到AB的距离是　　　　.  　8 cm　 10 cm 6 cm 课堂总结 1.垂直的定义是什么? 2.经过一点画已知直线的垂线的方法是什么? 3.垂线的性质是什么? 4.垂线段的性质是什么? 24 作业设计 基础性作业:教材练习第1~3题. 提高性作业:如图,有A、B、C、D四个村庄,政府准备修建一个蓄水池. (1)不考虑其他问题,请你画图确定蓄水池H的位置,使它到四个村庄的距离和最短. (2)若要把河水引入蓄水池,怎样开渠最短? 说明根据. 25 感 谢 观 看 $