精品解析：陕西省西安市高陵区2024-2025学年八年级上学期第一阶段巩固练习数学试卷

2024～2025学年度第一学期第一阶段巩固练习 八年级数学 注意事项： 1．本套题共6页，建议完成时间120分钟，满分120分； 2．如有答题纸，请在答题纸上作答；如无答题纸，请将第一部分答案填写在答题栏内，第二一部分直接在题上作答； 3．答题前，请将装订线内的项目填写清楚．书写要工整、规范、美观． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平方根，根据平方根的定义即可求解，掌握平方根的定义是解题的关键 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：． 2. 若一个直角三角形一条直角边为，斜边为，则另一条边的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据勾股定理即可求解． 【详解】解：∵一个直角三角形一条直角边为，斜边为， ∴另一条边的长为， 故选：C． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 3. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，解题关键是掌握最简二次根式的概念，即满足以下条件：（1）被开方数不含能开方开的尽的因数或因式；（2）被开方数不含有分母． 本题依次进行判断后选出满足以上两个条件的选项即可． 【详解】解：A、被开方数是分数，不满足被开方数不含有分母，不符合题意，故错误； B、被开方数可以写成，不满足被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，不符合题意，故错误； C、满足以上两个条件，符合题意，故正确； D、被开方数可以写成，不满足被开方数不含能开方开的尽的因数或因式，不符合题意，故错误；   故选：C ． 4. 如图，直线相交于点，且，线段，以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，圆的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键，由垂直的定义得到，根据勾股定理得到，得到，即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类二次根式，二次根式的乘除法法则逐项分析即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、，故B不符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的计算，熟练掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． 6. 如图，在中，，，分别以为直径向外作半圆，面积分别记为、，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及半圆的面积公式，由勾股定理得：，又，代入求解即可，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故选：． 7. 已知，则a的算术平方根为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了立方根与算数平方根，解题关键是牢记立方根与算数平方根的定义． 本题由得出,进而求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴a的算术平方根为2，   故选：B ． 8. 如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，图形类的规律探索，正方形的性质，根据勾股定理求出前几个正方形的边长，然后通过对比总结规律，推出第n个正方形的边长，最后把2022代入求解即可． 【详解】解：由题知，第1个正方形的边长， 根据勾股定理得，第2个正方形的边长， 根据勾股定理得，第3个正方形的边长， 根据勾股定理得，第4个正方形的边长， …… ∴第n个正方形的边长为， ∴第2024个正方形的边长为， 故选：C． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 3______．（选填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数大小比较，算术平方根，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．先估算的取值范围，即可得出比较结果． 【详解】解：∵， ∴， 即， 故答案为：． 10. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴x-1≥0， 解得x≥1． 故答案为：x≥1． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0． 11. “赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算，解题关键是发现图中的面积关系与掌握勾股定理的计算公式． 本题利用13减去四个直角三角形的面积等于小正方形的面积即可求解． 【详解】解：∵， ∴小正方形面积为1， ∴小正方形边长为1， 故答案为：1 ． 12. 如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的运算及应用，由两张正方形纸片面积分别为和，则两张正方形纸片边长分别为和，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】∵两张正方形纸片面积分别为和， ∴两张正方形纸片边长分别为和， ∴剩余部分的面积为， 故答案为：． 13. 如图，是边长为2的等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是边上一动点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是最短线路问题及等边三角形的性质，勾股定理，连接，，根据等边三角形三线合一可得垂直平分，即可得到，，当，，三点共线时最小，最小值即为的长，在中，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：如图连接，， ∵是边长为2的等边三角形，是边上的高，点是边的中点， ∴垂直平分，，，， ∴， ∴， ∴当，，三点共线时最小，最小值即为的长， 在中，， ∴的最小值为， 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质先化简，再合并即可求解，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 15. 已知，求x的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用开立方的形式解方程，解题关键是先转化再开立方． 本题先将方程转化为乘方形式，再开立方即可． 【详解】解：， ， ， ， ∴x的值为． 16. 如果表示大于的整数，，，，求证：，，为勾股数． 【答案】 证明：如下， ∵，， ∴，， ∴， 又∵，，为正整数， ∴，，为勾股数． 【解析】 【分析】根据，，，勾股定理的逆定理，即可． 【详解】略 【点睛】本题考查勾股定理的知识，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 17. 已知实数x，y满足，求的算术平方根． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查非负数的性质，算术平方根，先根据绝对值、平方的非负性计算出x和y的值，进而求出代数式的值，最后计算算术平方根． 【详解】解：，，， ，， ，， ， ， 的算术平方根是4． 18. 如图，一棵大树在离地面高的处断裂，树顶恰好落在离树底部处，已知点A，C在同一直线上，求大树断裂之前的高度． 【答案】16m 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，根据题意，得到，利用勾股定理求出的长，进而求出大树断裂之前的高度即可． 【详解】解：由题意，得， 在Rt中，由勾股定理，得 所以， 答：大树断裂之前的高度为． 19. 已知一个等腰三角形的两边长分别为和，求这个三角形的周长． 【答案】． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加法运算，等腰三角形的定义和三角形三边关系，根据等腰三角形定义及三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则，等腰三角形的定义和三角形三边关系． 【详解】解：∵和， 当三边的长为，，， ∴，不能构成三角形，不符合题意； 当三边的长为，，， ∴，能构成三角形，符合题意； ∴周长为 ． 20. 如图，网格中每个小正方形的边长为，的三个顶点均在格点上，求证：为直角三角形． 【答案】 证明：由网格得，，，， ∵， ∴为直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，由勾股定理可得，，，即得，即可求证，掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键． 【详解】略 21. 如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． （1）求的长； （2）这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 【答案】（1）的长为16米 （2）这辆小汽车在段的速度约是米/秒 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是理解题意，正确计算． （1）直接利用勾股定理计算的长即可； （2）利用路程除以时间即可求解． 【小问1详解】 解：由题意可知，米，米，， ∴（米）， 答：的长为16米． 【小问2详解】 解：（米/秒）， 答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒． 22. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，已知点A表示的数为，点B表示的数为m． （1）填空：________； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，化简绝对值： （1）点在数轴上运动时左加右减，据此求解； （2）根据化简绝对值即可． 【小问1详解】 解：由题意知点B表示的数为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：， ， ． 23. 如图，某工厂到笔直的公路的垂直距离为千米，与该公路上车站的距离为千米，现要在公路边上建一个物品中转站，使，已知点在线段上，求物品中转站与车站之间的距离． 【答案】物品中转站与车站之间的距离为千米． 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用，由，则，然后由勾股定理即可求解，熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得：千米，千米， ∵， ∴， ∴在中，由勾股定理得：（千米）， ∴（千米）， ∵， ∴在中，由勾股定理得：， ∴， ∴， 答：物品中转站与车站之间的距离为千米． 24. 对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如． （1）求的值； （2）若，求x的值． 【答案】（1）4 （2）x的值为 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算和解一元一次方程，二次根式的混合运算，解题关键是掌握实数运算的方法和解一元一次方程的步骤． （1）直接利用新运算的规定列出算式运算即可； （2）先将左边根据规定变形，再解方程即可． 【小问1详解】 解：， ∴的值为4． 【小问2详解】 解：∵， ∴， ， ∴， ∴， ∴x的值为． 25. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（）由勾股定理得，由线段垂直平分线的性质得，即得，即可求证； （）由线段垂直平分线的性质可得∴，，进而由勾股定理得，最后由的周长即可求解； 本题考查了勾股定理，线段垂直平分线的性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵是的垂直平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴的周长． 26. 如图，在中，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求的值． 【答案】（1） （2）4或 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理以及分类讨论． （1）由勾股定理求解即可； （2）①由题意得：，分两种情况：①当时，点P与点C重合，则，得； ②当时，，在和中，由勾股定理得：，求解即可． 【小问1详解】 解：在中，由勾股定理， 得， ； 【小问2详解】 解：由题意，得，分以下两种情况： ①如图，当时，点与点重合， 即， ； ②如图，当时，， ， 在中，， 在中，， 即， 解得． 综上所述：当为直角三角形时，的值为4或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度第一学期第一阶段巩固练习 八年级数学 注意事项： 1．本套题共6页，建议完成时间120分钟，满分120分； 2．如有答题纸，请在答题纸上作答；如无答题纸，请将第一部分答案填写在答题栏内，第二一部分直接在题上作答； 3．答题前，请将装订线内的项目填写清楚．书写要工整、规范、美观． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的平方根是（ ） A. B. C. D. 2. 若一个直角三角形一条直角边为，斜边为，则另一条边的长为（ ） A. B. C. D. 3. 下列式子中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线相交于点，且，线段，以点为圆心，以长为半径作弧，交射线于点，则的长为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5. 下列计算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，，分别以为直径向外作半圆，面积分别记为、，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则a的算术平方根为（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，正方形边长为1，以为边作第2个正方形，再以为边作第3个正方形，按照这样的规律作下去，第2024个正方形的边长为（ ）． A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 3______．（选填“”“”或“”） 10. 若代数式在实数范围内有意义，则x的取值范围是_______． 11. “赵爽弦图”巧妙地利用了面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的一个小正方形拼成的一个大正方形，设直角三角形较长的直角边长为a，较短的直角边长为b，若，大正方形的面积为13，则小正方形的边长为________． 12. 如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为______． 13. 如图，是边长为2的等边三角形，是边上的高，点是边的中点，是边上一动点，则的最小值为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 已知，求x的值． 16. 如果表示大于的整数，，，，求证：，，为勾股数． 17. 已知实数x，y满足，求的算术平方根． 18. 如图，一棵大树在离地面高的处断裂，树顶恰好落在离树底部处，已知点A，C在同一直线上，求大树断裂之前的高度． 19. 已知一个等腰三角形的两边长分别为和，求这个三角形的周长． 20. 如图，网格中每个小正方形的边长为，的三个顶点均在格点上，求证：为直角三角形． 21. 如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． （1）求的长； （2）这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 22. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬了2个单位长度到达点B，已知点A表示的数为，点B表示的数为m． （1）填空：________； （2）化简：． 23. 如图，某工厂到笔直的公路的垂直距离为千米，与该公路上车站的距离为千米，现要在公路边上建一个物品中转站，使，已知点在线段上，求物品中转站与车站之间的距离． 24. 对于实数a，b定义一种新运算“”，规定，如． （1）求的值； （2）若，求x的值． 25. 如图，在中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接． （1）求证：； （2）若，，求的周长． 26. 如图，在中，，，动点从点出发沿射线以的速度移动，设运动的时间为． （1）求边的长； （2）当为直角三角形时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $