24.7 向量的线性运算 讲义-2024-2025学年沪教版（上海）九年级数学第一学期

《24.7向量的线性运算》讲义 同学们好，咱们现在已经到了九年级啦，在沪教版（上海）的数学教材里，今天咱们要一起学习第二十四章相似三角形里的第四节内容，也就是向量的线性运算。这部分知识呀，就像打开数学世界里一个新的小宝藏箱，里面有很多有趣的东西等着咱们去发现呢。 那什么是向量呢？我给大家讲个事儿啊。有一次我去公园遛弯儿，看到一个小朋友在放风筝。那风筝线就好像是一个向量。风筝线有长度吧，这就相当于向量的大小；风筝线还有方向，是朝着天上风筝的方向，这就是向量的方向。所以说向量这个东西啊，就是既有大小又有方向的量。 咱们再来说说向量的表示方法。通常呢，我们可以用有向线段来表示向量。就像刚刚说的风筝线，我们可以把它看成是一条有方向的线段。在纸上画的时候，我们用一个箭头来表示方向，线段的长度就表示向量的大小。比如说，我们画一个小箭头从点A指向点B，这个就可以表示一个向量，我们可以写成向量AB，这个箭头可不能丢哦，丢了就不知道方向啦。 一、向量的加法运算 1、 三角形法则 咱们先来讲向量加法的三角形法则。还是拿刚刚放风筝的事儿来说，假如这个小朋友先往东走了一段距离，这可以看成是一个向量，我们就叫向量a吧。然后呢，他又往北走了一段距离，这就是另一个向量，叫向量b。那他从最开始的位置到最后的位置这个总的位移呢，就是向量a和向量b的和。咱们在图上画的时候，就把向量a的终点和向量b的起点连起来，然后从向量a的起点指向向量b的终点的这个向量，就是向量a加向量b。这就像你要去一个地方，先走了一段路，接着又走了另一段路，总的路程就是这两段路的合成。 2、 平行四边形法则 除了三角形法则，向量加法还有平行四边形法则呢。想象一下，你和你的小伙伴一起推一个箱子。你从箱子的左边往右边用力，这是一个向量，你的小伙伴从箱子的前面往后面用力，这是另一个向量。那箱子最终移动的方向和距离呢，就是这两个向量的和。在图上怎么画呢？我们把这两个向量的起点放在一起，然后以这两个向量为邻边作一个平行四边形，那从这两个向量共同的起点指向平行四边形对角顶点的这个向量，就是这两个向量的和。这就好比箱子受到了你们两个方向的力，最终朝着合力的方向移动了。 这里有个重点要注意啦，同学们。向量的加法满足交换律和结合律。交换律就是说向量a加向量b等于向量b加向量a。就像你先往东走再往北走，和先往北走再往东走，最后到达的地方是一样的。结合律呢，就是向量a加（向量b加向量c）等于（向量a加向量b）加向量c。这就像你要去三个地方，不管你先把哪两段路程合起来算，最后总的路程是不变的。 二、向量的减法运算 向量的减法其实可以看成是加法的逆运算。比如说，你本来有一定的钱数，这是一个向量，你花出去一部分钱，这就相当于做减法。那怎么在图上表示向量的减法呢？我们还是用有向线段来说。如果我们有向量a和向量b，要算向量a减向量b，我们可以先把向量b的方向反过来，变成 向量b，然后再用向量a加上 向量b，就得到向量a减向量b了。这就像你本来有一些东西，别人拿走了一部分，那你剩下的就相当于你原来有的减去被拿走的。 比如说，你有10个苹果，这是向量a，别人拿走了3个苹果，这3个苹果就是向量b。那你剩下的7个苹果就相当于向量a减向量b。在向量的世界里，也是这个道理，只不过我们要考虑方向。 三、向量的数乘运算 1、 概念 向量的数乘是个很有趣的运算。假如你有一个向量a，然后给它乘以一个数k。如果k大于0呢，那得到的新向量ka的方向和向量a的方向是一样的，但是它的大小变成了向量a大小的k倍。就像你有一个小棍子，它代表向量a，你把这个小棍子拉长k倍，方向不变，这就是ka。如果k等于0呢，那ka就变成了零向量，零向量是很特殊的，它的大小是0，方向是任意的。如果k小于0呢，那ka的方向就和向量a的方向相反，大小是向量a大小的 ｜k|倍。这就像你把那个小棍子倒过来，并且拉长 ｜k|倍。 2、 运算律 向量的数乘也有运算律哦。比如说，数乘对向量加法的分配律，k（向量a加向量b）等于k向量a加k向量b。这就好比你有两堆苹果，一堆是向量a，一堆是向量b，你把它们合起来，然后乘以k，和你分别把这两堆苹果乘以k，然后再合起来，结果是一样的。还有（k ＋ l）向量a等于k向量a加l向量a，这就像你把一个东西分成两部分，一部分乘以k，一部分乘以l，然后加起来，和你把这个东西整体乘以（k ＋ l）是一样的。 这里有个难点要注意啦，同学们。在做向量的数乘运算时，一定要清楚数乘对向量大小和方向的影响。特别是当数是负数的时候，很容易搞错方向。 四、向量线性运算的实际应用 向量的线性运算在生活中有很多应用呢。咱们再回到放风筝的例子。假如风的方向和大小可以用一个向量来表示，小朋友放风筝的力量也可以用一个向量来表示。那风筝最终在空中的位置和状态，就可以通过这两个向量的线性运算来得到。风可能会把风筝往一个方向吹，小朋友又通过放风筝的线把风筝往另一个方向拉，这两个向量相互作用，就像向量的加法一样。 再比如说，在物理学里，力是一个向量。当多个力作用在一个物体上时，我们可以通过向量的线性运算来求出这些力的合力。就像刚刚说的推箱子的例子，两个力的合力就是这两个力对应的向量的和。还有在速度这个概念里，速度也是向量。如果一个物体有一个初始速度，然后又受到一个加速度的影响，这个加速度也是向量，那物体最终的速度就可以通过向量的线性运算来得到。 同学们，向量的线性运算虽然有点小复杂，但是只要咱们结合生活中的例子去理解，就会发现它很有趣也很好掌握。咱们来总结一下这节课的重点内容吧。向量的加法有三角形法则和平行四边形法则，减法是加法的逆运算，数乘要注意对向量大小和方向的影响，而且向量的线性运算满足各种运算律。难点就是在做数乘运算时方向的判断和在实际应用中准确地找出对应的向量关系。希望同学们课后多做一些练习题，这样就能更好地掌握向量的线性运算啦。 咱们今天的课就上到这里啦，希望同学们都能有所收获哦。 学科网（北京）股份有限公司 $$