第13章 分式 知识归纳与题型突破（20类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（沪教版2024）

第13章 分式知识归纳与题型突破（20类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1.分式的有关概念 分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零． 注意：分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0． 分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0． 知识点2.分式的性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为 注意： （1）分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变； （2）将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底； （3）巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值． 知识点3．分式的加减运算 加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减 ② 异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再加减 ． 注意： （1）分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． （2）异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母． 知识点4.分式的乘除运算 （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方． （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 注意：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去． 知识点5.分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式． 知识点6.分式方程的有关概念 (1)分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程． (2)分式方程的增根:分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根． 基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可． 知识点7：分式方程的解法 解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根． 基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最简公分母、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根． 归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根． 知识点8.分式方程的应用 (1)分式方程解应用题的一般步骤： （1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系． （2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． （3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程． （4）解方程． （5）检验，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案． (2)解应用题的书写格式： 设→根据题意→解这个方程→答． 基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可． 注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验． 03 题型归纳 题型一　分式的定义 1．下列各式中是分式的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各式①，②，③，④中，是分式的有（   ） A．①④ B．①③④ C．①③ D．①②③④ 3．式子，，，，，中属于分式的有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 巩固训练 1．有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 2．代数式，，，中分式有 个． 3．在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，，． 题型二　分式的规律性问题 4．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 5．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 6．一列数，，，…，其中，（为不小于的整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 2．一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 3．观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 题型三　分式有无意义的条件 7．对于分式有意义，则应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 8．分式无意义，则未知数取值为（ ）． A． B． C． D．或 9．若分式无意义，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若分式的值不存在，则x的值为 ． 3．为何值时，分式无意义？ 题型四　分式值为零的条件 10．若分式的值为零，则a的值是（　　） A． B．2 C． D．0 11．若式子的值为0，则x的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 12．若分式的值为0，则a的值为（　　） A． B．0 C．2 D．2或 巩固训练 1．若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D．不存在m的值，使得 2．当 时，分式的值为0． 3．对于分式： (1)如果，那么y取何值时，分式无意义？ (2)如果，那么x取何值时，分式无意义？ (3)使分式无意义的x，y有多少对？ (4)要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ (5)如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 题型五　求分式值为正负数、整数时未知数的的范围 13．若分式的值为正，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 14．对于分式下列说法不正确的是（　　） A．时，分式值为0 B．3时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 15．若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 巩固训练 1．已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 2．能使分式值为整数的整数有 个． 3．我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 题型六　分式的基本性质 16．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 17．下列分式变形从左到右一定成立的是（　 　） A． B． C． D． 18．将分式中的都变为原来的3倍，那么分式的值变为原来的（      ） A．倍 B．3倍 C．不变 D．倍 巩固训练 1．下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如果把分式中的、同时扩大为原来的倍，那么该分式的值 ． 3．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 题型七　最简分式与最简公分母 19．下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 20．分式和的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 21．分式的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 27．有下列分式：①；②；③；④；⑤．其中是最简分式的有 ．（填序号） 3．求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 题型八　约分 22．下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 23．下列分式的约分中，正确的是（   ） A． B． C． D． 24．下列约分中正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．约分的结果是（    ） A． B． C． D． 2．约分：（1） ．（2） ． 3．约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 题型九　通分 25．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 26．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 27．下列各题中，所求的最简公分母，错误的是（    ） A．与最简公分母是 B．与最简公分母是 C．与最简公分母是 D．与最简公分母是 巩固训练 1．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 2．分式、的最简公分母是 ，通分为 ． 3．通分： (1)，，； (2)，． 题型十　分式的乘除法 28．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 29．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 30．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 2．计算：＝ ． 3．计算： (1) ； (2)． 题型十一　分式的加减法 31．对于式子的描述，正确的是（    ） A．该代数式的值必大于0 B．该代数式的值必小于0 C．该代数式的值可能为0 D．该代数式的值不能为0 32．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 33．如图是数学老师给小雨留的习题，正确结果为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 巩固训练 1．若，则（    ）中的数是（    ） A． B．1 C． D．任意实数 2．计算： ． 3．计算： (1)； (2)． 题型十二　分式的乘方运算 34．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 35．计算：的结果是（　　） A．－ B． C．－ D． 36．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 2．计算： ． 3．计算：． 题型十三　分式的混合运算 37．化简：（    ） A． B． C． D． 38．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 39．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知，， 则P与Q 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．化简的结果为 ． 3．化简． 题型十四　分式的化简求值 40．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 41．若，则的值是（   ） A．2 B． C．4 D． 42．已知a是实数，并且，则代数式的值是（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 巩固训练 1．已知，则分式的值是（    ） A． B． C． D． 2．已知，则 ． 3．先化简，再求值：，然后从、0、1、2这几个数中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 题型十五　分式加减的实际应用 43．从甲地到乙地依次需经过的上坡路和的下坡路．已知小明骑车在上坡路上的速度为，在下坡路上的速度为，则他骑车从甲地到乙地需多长时间？（      ） A． B． C． D． 44．生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”．设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖水更甜了（糖水浓度更大了），其中．根据这一现象，可以列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 45．一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为千米/小时，下山速度为千米/小时，则货车上、下山的平均速度为（  ） A． B． C． D． 巩固训练 1．一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（　  　  ） A． B． C． D． 2．学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读 页． 3．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ (2)谁的购买方式平均单价较低？ 题型十六　分式方程的解 46．分式方程的解是（　　） A． B． C． D．无解 47．分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 48．分式方程的解为（   ） A．1 B． C．2 D．无解 巩固训练 1．方程的解为（    ） A． B． C． D． 2．分式方程的解为 ． 3．解分式方程： (1)； (2)． 题型十七　根据分式方程解的情况求值 49．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 50．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．或 B． C．且 D．且 51．关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围（   ） A． B．且 C．且 D． 巩固训练 1．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 2．若关于y的分式方程的解为负数，则所有满足条件的非负整数m的值之和为 ． 3．若数使关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 题型十八　分式方程的增根问题 52．已知分式方程有增根，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 53．若关于x的方程有增根，则a的值是（  ） A．3 B． C．4 D．6 54．若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知关于x的分式方程 的增根是，则m的值为（   ） A．8 B．4 C． D． 2．关于的分式方程． （1）若方程的根为，则 ； （2）若方程有增根，则 3．关于的分式方程． (1)若此方程有增根，求的值 (2)若此方程解为正数，求的取值范围． 题型十九　分式方程的无解问题 55．若关于的方程无解，则的值是（    ） A． B．2 C．-3 D．3 56．若关于x的分式方程＝﹣1无解，则m的值是（　　） A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 57．若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 巩固训练 1．若分式方程无解，则的值为(　　) A．5 B．4 C．3 D．0 2．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 3．已知关于的方程无解，求的值． 题型二十　分式方程的实际应用 58．为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 59．开学初，我校决定购进A，B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费2400元，购买B品牌足球共花费3600元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知B品牌足球比A品牌足球单价贵了30元，设A品牌足球单价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 60．为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（    ） A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h 巩固训练 1．按照山西省“改薄工程”规划，我省5年投入85亿元用于改造农村县(市、区)薄弱学校，促进义务教育均衡发展，其中某项“改薄工程”建设，甲队单独完成需要20天，若由甲队先做13天，则剩下的工程由甲、乙两队合作3天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，测得甲厂有合格品48件，乙厂有合格品45件，且甲厂的产品合格率比乙厂的产品合格率高，问甲厂的产品合格率是多少？如果设甲厂的合格率是x，则可列出方程 ． 3．某商场预测某种衬衫能够畅销，用32000元购进了一批这种款式的衬衫，面市后很快脱销，该商场又用68000元购进第二批这种款式的衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价多了10元． (1)该商场两次一共购进这种款式的衬衫多少件？ (2)若这两批衬衫按相同的标价销售，最后的50件衬衫按标价的八折优惠售出，全部销售完两批衬衫后获利不低于18000元（不考虑其它因素），求每件衬衫的标价至少是多少元？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！21 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第13章 分式知识归纳与题型突破（20类题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 知识点1.分式的有关概念 分式有意义的条件是分母不为零；分式无意义的条件是分母等于零；分式值为零的条件是分子为零且分母不为零． 注意：分式有意义的条件是分母不为0，无意义的条件是分母为0． 分式值为0要满足两个条件，分子为0，分母不为0． 知识点2.分式的性质 分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变．用式子表示为 注意： （1）分式的基本性质是分式变形的理论依据，所有分式变形都不得与此相违背，否则分式的值改变； （2）将分式化简，即约分，要先找出分子、分母的公因式，如果分子、分母是多项式，要先将它们分别分解因式，然后再约分，约分应彻底； （3）巧用分式的性质，可以解决某些较复杂的计算题，可应用逆向思维，把要求的算式和已知条件由两头向中间凑的方式来求代数式的值． 知识点3．分式的加减运算 加减法法则：① 同分母的分式相加减：分母不变，分子相加减 ② 异分母的分式相加减：先通分，变为同分母的分式，然后再加减 ． 注意： （1）分式加减运算的运算法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，然后再加减． （2）异分母分式通分的依据是分式的基本性质，通分时应确定几个分式的最简公分母．求最简公分母的方法是：①将各个分母分解因式；②找各分母系数的最小公倍数；③找出各分母中不同的因式，相同因式中取次数最高的，满足②③的因式之积即为各分式的最简公分母． 知识点4.分式的乘除运算 （1）乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方． （2）除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘． 注意：分式乘除法的运算与因式分解密切相关，分式乘除法的本质是化成乘法后，约去分式的分子分母中的公因式，因此往往要对分子或分母进行因式分解（在分解因式时注意不要出现符号错误），然后找出其中的公因式，并把公因式约去． 知识点5.分式的混合运算 在分式的混合运算中，应先算乘方，再将除法化为乘法，进行约分化简，最后进行加减运算．若有括号，先算括号里面的．灵活运用运算律，运算结果必须是最简分式或整式． 知识点6.分式方程的有关概念 (1)分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程． (2)分式方程的增根:分式方程化成整式方程解得的未知数的值，如果这个值令最简公分母为零则为增根． 基本方法归纳：判断分式方程时只需看分母中必须有未知数；分式方程的解只需带入方程看等式是否成立即可． 知识点7：分式方程的解法 解分式方程的步骤：解分式方程的思想是将“分式方程”转化为“整式方程”．它的一般解法是： （1）去分母，方程两边都乘以最简公分母 （2）解所得的整式方程 （3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根，应该舍去；若不等于零，就是原方程的根． 基本方法归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最简公分母、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根． 归纳：分式方程首要是方程两边同乘以分母最小公倍数、去掉分母，转化为整式方程求解，其次注意一定要验根． 知识点8.分式方程的应用 (1)分式方程解应用题的一般步骤： （1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系． （2）设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数． （3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程． （4）解方程． （5）检验，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案． (2)解应用题的书写格式： 设→根据题意→解这个方程→答． 基本方法归纳：解题时先理解题意找到等量关系列出方程再解方程最后检验即可． 注意问题归纳：找对等量关系最后一定要检验． 03 题型归纳 题型一　分式的定义 1．下列各式中是分式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的定义，一般地，如果、表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，其中称为分子，称为分母，根据分式的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握分式的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、满足分式的定义，是分式，故符合题意； B、中分母不含有字母，不是分式，故不符合题意； C、中分母不含有字母，不是分式，故不符合题意； D、中分母不含有字母，不是分式，故不符合题意； 故选：A． 2．下列各式①，②，③，④中，是分式的有（   ） A．①④ B．①③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式定义，关键是掌握分式的分母必须含有字母，而分子可以含字母，也可以不含字母．注意是实数不是字母. 根据分式定义：一般地，如果表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式，据此进行分析即可． 【详解】解：根据分式的定义，①，④，是分式； ②，③中，分母中不含字母，不是分式； 故选：A. 3．式子，，，，，中属于分式的有（　　）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查分式的定义，能够准确判断代数式是否为分式是解题的关键．看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含字母则不是，根据此依据逐个判断即可． 【详解】解∶式子，，的分母中含有字母，属于分式，共有3个． 故选：B． 巩固训练 1．有下列各式：①；②；③；④．其中是分式的是（） A．①② B．③④ C．①③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意是常数不是字母． 【详解】解：①，③是分式，②，④不是分式， 故选：C． 2．代数式，，，中分式有 个． 【答案】2 【分析】根据分式的定义进行判断即可． 【详解】解：代数式，，，中分式有，，共2个． 故答案为：2． 【点睛】本题考查分式的定义，分母中含有字母的式子就叫做分式；注意π是一个具体的数，不是字母． 3．在下列代数式中，哪些是分式？哪些是整式？ ，，，，． 【答案】是分式，其余的都是整式． 【分析】判断分式的依据是：两个整式相除，且分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式． 【详解】解：代数式，，，，中，只有是分式， ，，，分母中都不含字母，不是分式，是整式， 答：是分式，其余的都是整式． 【点睛】本题主要考查分式的定义．熟练掌握分式的定义是解决本题的关键． 题型二　分式的规律性问题 4．给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案． 【详解】解：第一个分式为：， 第二个分式为：， 第三个分式为：， 第四个分式为：， 第五个分式为：， ， 按此规律，那么这列分式中的第n个分式为， 故选：C． 5．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案. 【详解】解：∵，，，，…… ∴第个代数式为：， 当是，第9个代数式为：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键. 6．一列数，，，…，其中，（为不小于的整数），则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，代入计算，根据分式的混合运算即可求解． 【详解】解：，（为不小于的整数）， ∴，，，， 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的运算，掌握代入求值，分式的运算法则是解题的关键． 巩固训练 1．按一定规律排列的代数式：，，，，……，第9个代数式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由前面几个代数式归纳可得第个代数式为：，从而可得答案. 【详解】解：∵，，，，…… ∴第个代数式为：， 当是，第9个代数式为：， 故选B 【点睛】本题考查的是分式的规律题，掌握探究的方法并利用归纳得到的规律解题是关键. 2．一组按规律排列的式子：，则第的个式子是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式规律问题，解题的关键是得到代数式的一般规律；由题意易得奇数项为负数，偶数项为正数，分母符合，分子的指数则符合，进而问题可求解． 【详解】解：由可知： ， ∴第n个式子是； 故答案为：． 3．观察下面一列分式：，，，，…（其中）． (1)根据上述分式的规律写出第6个分式； (2)根据你发现的规律，试写出第n（n为正整数）个分式，并简单说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题主要考查了分式的规律性问题以及数字规律的探索问题，得出分子与分母的变化规律即可解题． （1）根据已知分式的分子与分母的次数与系数关系进而得出答案； （2）利用（1）中数据变化规律，进而得出答案． 【详解】（1）解：观察各分式的规律可得第6个分式为． （2）解：根据题意得：第n（n为正整数）个分式为．理由： ∵分母的底数为y，次数是连续的正整数，分子的底数是x，次数是连续的奇数，且第偶数个分式的系数为负， ∴第n（n为正整数）个分式为． 题型三　分式有无意义的条件 7．对于分式有意义，则应满足的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不等于0即可得出答案． 【详解】解：由题意得， ， 故选：C． 8．分式无意义，则未知数取值为（ ）． A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式无意义的条件，根据分母为即可求解，掌握分式无意义的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， ∴， 故选：． 9．若分式无意义，则实数x的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式无意义的条件，根据分式无意义，分母等于0列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意可得出， 解得：， 故选：D． 巩固训练 1．若分式有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式有意义的条件，分式有意义，则分母不为零，据此求解即可． 【详解】根据题意得：， 解得：， 故选：C． 2．若分式的值不存在，则x的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式无意义的条件，正确把握分式无意义的条件：分式无意义的条件是分母等于零是解题关键．直接利用分式无意义的条件得出x的值，进而得出答案． 【详解】解：∵分式的值不存在， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．为何值时，分式无意义？ 【答案】 【分析】分式无意义的条件是分母等于0，根据分母等于0，列出方程，求出的值即可． 【详解】解：分式无意义． ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要是考查了分式无意义的条件，掌握“分式的分母为0，分式无意义”是解决本题的关键． 题型四　分式值为零的条件 10．若分式的值为零，则a的值是（　　） A． B．2 C． D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，根据分式的值为零得出，求出a的值即可，解题的关键是熟练掌握分式的值为零，分子为零，分母不为零． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：． 故选：B． 11．若式子的值为0，则x的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式有意义的条件，根据分式值为0的条件是分子为0，分母不为0进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得：， 故选：B． 12．若分式的值为0，则a的值为（　　） A． B．0 C．2 D．2或 【答案】C 【分析】本题考查分式的值为零的条件，熟练掌握分母不为零且分子为零的条件是解题的关键． 根据分母不为零且分子为零的条件进行解题即可． 【详解】解：由题可知， 且， 解得：， 故选： C ． 巩固训练 1．若分式的值为0，则（    ） A． B． C． D．不存在m的值，使得 【答案】D 【分析】本题考查了分式值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件为：分子为0，分母不为0，是解题的关键． 根据题意可得，此方程组无解． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得：， 故无解， 故选：D． 2．当 时，分式的值为0． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式值为0的条件，分式值为0的条件是分子为0，分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， ∴， 故答案为：． 3．对于分式： (1)如果，那么y取何值时，分式无意义？ (2)如果，那么x取何值时，分式无意义？ (3)使分式无意义的x，y有多少对？ (4)要使得分式有意义，x，y应有什么关系？ (5)如果，那么y取什么值时，分式的值为零？ 【答案】(1) (2) (3)无数对 (4) (5) 【分析】（1）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （2）根据分式无意义的条件可得，再把代入可得的值； （3）根据分式值为零的条件可得当； （4）时，即时，分式有意义； （5）且，即时，分式的值为零． 【详解】（1）解：当时，分式无意义，把代入可得，分式无意义； （2）当时，分式无意义，把代入可得当，即时，分式无意义； （3）当，即时，分式无意义，分式无意义的，有无数对； （4）当时，即时，分式有意义； （5）且时，分式值为0，把代入，当且，即时，分式的值为零． 【点睛】此题主要考查了分式无意义，分式值为零，分式的值的条件，关键是注意分式有意义，分母． 题型五　求分式值为正负数、整数时未知数的的范围 13．若分式的值为正，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据可得即可使分式的值为正． 【详解】解：∵， ∴时，分式的值为正， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的值，当分子分母同为正或同为负时，分式的值为正． 14．对于分式下列说法不正确的是（　　） A．时，分式值为0 B．3时，分式无意义 C．时，分式值为负数 D．时，分式的值为正数 【答案】C 【分析】根据分式的分子与分母的不同取值，进行判断即可． 【详解】A、时，分式，A正确，但不符合题意； B、时，分式的分母为0，故分式无意义，B正确，但不符合题意； C、时，，则分式，分式值为正数，C不正确，但符合题意； D、时，，且，于是， D正确，但不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了分式的值为0、为正数、为负数、无意义的条件，解题的关键是熟知分式在分母为0时无意义． 15．若分式的值是正整数，则可取的整数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．8个 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式的值，利用已知条件得到关于m的不等式，再利用有理数的整除的性质解答即可． 【详解】解：若分式的值是正整数，且为整数， 则是6的约数，． ∴或或或， 即的值为8或5或4或3，共4个． 巩固训练 1．已知分式的值是非负数，那么x的取值范围是（    ） A．且 B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式值的正负性问题，也考查了解一元一次不等式．根据的值是非负数得到且，进而能求出x的取值范围． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且． 故选：D． 2．能使分式值为整数的整数有 个． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的值，正确化简分式是解题关键．将转化为，进一步求解即可． 【详解】解：， ∵分式的值为整数， ∴的值为整数， ∴， ∵也是整数， ∴， 解得：； ∴能使分式值为整数的整数有个． 故答案为：． 3．我们知道，假分数可以化为整数与真分数和的形式，例如：．在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，：当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分数”，例如：，．类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ； ； (1)请根据以上信息，任写一个真分式； (2)将分式化为整式与真分式的和的形式； (3)如果分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)（答案不唯一） (2) (3)或或或 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据假分式可以化为整式与真分式的和的形式来进行计算即可； （3）先化为带分式，然后根据题意列出方程，即可求出x的值． 本题考查了分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算． 【详解】（1）解：∵当分子的次数小于分母的次数时，称之为“真分式” ∴分式是真分式， 故答案为：（答案不唯一）； （2）解： ； （3）解： = ∵分式的值为整数，x为整数， ∴或， 解得或或或， ∴当或或或时，分式的值为整数． 【点睛】 题型六　分式的基本性质 16．下列各式中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了利用分式的基本性质对分式进行变形，解题关键是熟练掌握分式的基本性质．根据分式的基本性质进行变形，再进行判断即可． 【详解】A．，故A错误，不符合题意； B．，故B正确，符合题意； C．，故C错误，不符合题意； D．，故D错误，不符合题意． 故选：B． 17．下列分式变形从左到右一定成立的是（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的化简，根据分式的性质依次进行判断即可得；掌握分式的性质是解题的关键． 【详解】解：A．不成立，例如，，选项说法错误，不符合题意； B．成立，选项说法正确，符合题意； C．当时，，选项说法错误，不符合题意； D．不成立，例如，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 18．将分式中的都变为原来的3倍，那么分式的值变为原来的（      ） A．倍 B．3倍 C．不变 D．倍 【答案】A 【分析】把变成，再化简，即可得出答案．本题考查了分式的基本性质的应用，能理解题意是解此题的关键． 【详解】解：∵将分式中的都变为原来的3倍, ∴， 故选：A． 巩固训练 1．下列各式从左到右的变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了分式的基本性质，根据分式的基本性质逐项计算即可判断求解，掌握分式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：、原变形错误，该项不符合题意； 、原变形错误，该选项不符合题意； 、原变形错误，该选项不符合题意； 、原式 原变形正确，该选项符合题意； 故选：． 2．如果把分式中的、同时扩大为原来的倍，那么该分式的值 ． 【答案】缩小为原来的 【分析】此题主要考查了分式的基本性质，正确化简分式是解题关键． 直接利用分式的性质化简得出答案． 【详解】解：把分式中的x和y都扩大为原来的2倍， 则原式可变为：， 故分式的值缩小为原来的． 故答案为：缩小为原来的． 3．不改变分式的值，把下列各分式的分子和分母中各项系数化为整数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式基本性质的应用，掌握分式基本性质是关键． （1）根据分式分子分母中小数最多是两位小数，由分式基本性质，分式分子分母都乘100即可； （2）分子、分母的最小公倍数都为6，分式的分子分母都乘6即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七　最简分式与最简公分母 19．下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简分式判断，根据分式的分子分母不含有公因式的分式叫最简分式判断即可． 【详解】解：．，不是最简分式，故该选项不符合题意； ．是最简分式，故该选项符合题意； ．，不是最简分式，故该选项不符合题意； ．，不是最简分式，故该选项不符合题意； 故选：B． 20．分式和的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母．熟练掌握最简公分母是解题的关键． 根据最简公分母的定义求解作答即可．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【详解】解：由题意知，最简公分母为， 故选：C． 21．分式的最简公分母是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简公分母，解题的关键在于能够熟记最简公分母的定义． 根据最简公分母的定义：各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的乘积，进行求解即可 【详解】解：根据题意可得：分式的最简公分母是， 故选：B． 巩固训练 1．下列各式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查最简分式，根据最简分式的定义判断即可，解题的关键是掌握一个分式的分子与分母没有公因式时，叫最简分式． 【详解】解：A、，故选项不符合题意； B、，故选项不符合题意； C、，故选项不符合题意； D、是最简分式，故选项符合题意； 故选：D． 27．有下列分式：①；②；③；④；⑤．其中是最简分式的有 ．（填序号） 【答案】④⑤ 【分析】根据最简二次根式的定义进行判断即可． 【详解】解：①，原式不是最简分式； ②，原式不是最简分式； ③，原式不是最简分式； ④，原式是最简分式； ⑤是最简分式； 综上分析可知，最简分式有④⑤． 故答案为：④⑤． 【点睛】本题主要考查了最简分式的定义，解题的关键是熟练掌握定义， 在化简结果中（利用约分的方法），分子和分母已没有公因式，这样的分式称为最简分式． 3．求下列各式的最简公分母，并通分． (1)，，； (2)，，． 【答案】(1)最简公分母为；通分后为，， (2)最简公分母为，通分后为，， 【详解】（1）∵，，的最简公分母是 ∴通分后为，， 故答案为：最简公分母为；通分后为，， （2）∵，， ∴，，，最简公分母为，通分后为，， 【点睛】本题考查分式的通分，正确进行因式分解和找到最简公分母是解题的关键 题型八　约分 22．下列约分正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的基本性质，解题的关键是：熟练掌握分式的基本性质．根据分式的基本性质，分别进行判断，即可求解， 【详解】解：A、，故该选项错误，不符合题意； B、不能够约分，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意． 故选：D． 23．下列分式的约分中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的约分，在约分时要注意约掉的是分子分母的公因式． 分别根据分式的基本性质进行化简得出即可． 【详解】解：A．，此选项约分错误； B．不能约分，此选项错误；     C．，此选项正确；     D．，此选项错误；     故选：C． 24．下列约分中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了约分．约分：将分子和分母数共同的约数约去（也就是除以那个数）剩下如果还有相同因数就继续约去，据此判断即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，左边最简，不能约分，故本选项不符合题意； C、，故本选项符合题意； D、，左边最简，不能约分，故本选项不符合题意； 故选：C． 巩固训练 1．约分的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的约分，分子分母同时约去即可得出答案． 【详解】解：， 故选：A． 2．约分：（1） ．（2） ． 【答案】 【分析】本题考查了约分，约分的关键是找出分式分子分母的公因式． （1）找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可； （2）分子分母分解因式后，找出分子分母的公因式，利用分式的基本性质约分即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2）， 故答案为：． 3．约分： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】本题考查约分，用到的知识点是分式的基本性质，分式的基本性质是分式的分子、分母同时乘以或除以同一个非0的数或式子，分式的值不变． （1）根据分式的基本性质求解即可； （2）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可； （3）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可； （4）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可； （5）首先将分子分母因式分解，然后根据分式的基本性质求解即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ； （5）原式 ． 题型九　通分 25．下列各式计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质以及分式的混合运算法则进行计算即可． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了分式的性质以及分式的混合运算法则，熟练掌握分式的约分、通分是解本题的关键． 26．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式与的公分母是，据此作出选择． 【详解】解：分式与的公分母是，则分式的分子应变为． 故选：A． 【点睛】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 27．下列各题中，所求的最简公分母，错误的是（    ） A．与最简公分母是 B．与最简公分母是 C．与最简公分母是 D．与最简公分母是 【答案】D 【分析】根据确定最简公分母的方法是：取各分母系数最小的公倍数；凡单独出现的字母连同它的指数作为最简公分母的一个因式；同底数幂取次数最高的，得到的因式的积就是最简公分母． 【详解】解：A、正确； B、正确； C、最简公分母是（m＋n）（m－n）＝m2－n2，故正确； D、最简公分母是ab（x－y），故选项错误． 故选：D 【点睛】本题考查了最简公分母，通分的关键是准确求出各分式中分母的最简公分母，一定要掌握确定最简公分母的方法． 巩固训练 1．若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式与的公分母是，据此作出选择． 【详解】解：分式与的公分母是，则分式的分子应变为． 故选：A． 【点睛】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 2．分式、的最简公分母是 ，通分为 ． 【答案】 、 【分析】本题考查了最简公分母和通分，先对分式的分母进行因式分解，再根据最简公分母的定义可得出最简公分母，最后根据所得的最简公分母通分即可，掌握最简公分母的定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴分式、的最简公分母是， ∴，， 故答案为：；、． 3．通分： (1)，，； (2)，． 【答案】(1)，， (2)， 【分析】本题考查了通分，准确熟练地找出最简公分母是解题的关键． （1）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答； （2）先求出最简公分母是，然后根据分式的基本性质进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：最简公分母是， 所以； ； ； （2）解：最简公分母是， 所以； ． 题型十　分式的乘除法 28．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用除法法则变形，因式分解，约分解答即可． 本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式． 故选A． 29．计算的结果是（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式先化除法为乘法，再约分即可得到结果． 【详解】解：原式 ． 故选：C 30．计算的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的乘除混合运算，按照从左至右的顺序进行计算即可． 【详解】解：； 故选B 巩固训练 1．化简的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了分式运算，熟练掌握相关运算法则是解题关键．根据分式乘除运算法则求解，即可获得答案． 【详解】解：原式． 故选：A． 2．计算：＝ ． 【答案】 【分析】先把除法转变为乘法，再根据乘法法则计算． 【详解】解： = =． 故答案案为． 【点睛】本题考查了分式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．计算： (1) ； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式运算，涉及到因式分解，熟记运算法则是关键． （1）根据分式的乘除混合运算运算即可； （2）运用完全平方式、平方差公式、提取公因式因式分解，再约分化简即可． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 ． 题型十一　分式的加减法 31．对于式子的描述，正确的是（    ） A．该代数式的值必大于0 B．该代数式的值必小于0 C．该代数式的值可能为0 D．该代数式的值不能为0 【答案】D 【分析】先进行通分化简，根据已知可得a≠0，b≠0，c≠0，进一步分析代数式的值即可． 【详解】解：由题意可知，a≠0，b≠0，c≠0， ＝ ＝， ∵a≠0，b≠0，c≠0， ∴a2+b2+c2＞0，abc≠0， ∴≠0， ∴该代数式的值不能为0． 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的求值，分式的求值题型简单总结以下三种：①已知条件不化简，所给代数式化简；②已知条件化简，所给代数式不化简； ③已知条件和所给代数式都要化简． 32．计算的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把分式进行通分，然后计算分式的加减，即可得到答案． 【详解】解：原式． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了分式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 33．如图是数学老师给小雨留的习题，正确结果为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由题意找出的最简公分母为，然后通分转化为同分母相加，最后代入求值即可． 【详解】解：原式， ∵， ∴原式， 故选：C． 【点睛】本题考查分式的加减运算，属于基础题，关键是找准最简公分母，然后进行通分转化为同分母计算即可． 巩固训练 1．若，则（    ）中的数是（    ） A． B．1 C． D．任意实数 【答案】A 【分析】将看成差，将看成减数，用差加上减数即可求出被减数的值． 【详解】解： ＝ ＝ ＝ ＝． 故选：A． 【点睛】本题主要考查分式的加减，熟练掌握分式的加减的运算法则是解题的关键． 2．计算： ． 【答案】 【分析】根据分式的加减混合运算求解即可． 【详解】 ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了分式的加减法运算，解题的关键是熟练掌握分式加减运算从而完成求解． 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，分式的加减乘除混合运算，掌握相关知识是解题的关键． （1）利用分式的加减混合运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式化简，再根据分式的混合运算进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型十二　分式的乘方运算 34．计算的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查含乘方的分式乘除混合运算．原式先计算乘方运算，再计算乘除法运算即可得到结果． 【详解】解： ． 故选：A． 35．计算：的结果是（　　） A．－ B． C．－ D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 先计算乘方，然后将除法转化成乘法，然后求解即可． 【详解】 ． 故选：C． 36．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 先计算乘方，然后计算分式的乘法求解即可． 【详解】 ． 故选：C． 巩固训练 1．计算：的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的混合运算，掌握分式的运算法则是解题的关键． 先计算乘方，然后计算分式的乘法求解即可． 【详解】 ． 故选：C． 2．计算： ． 【答案】 【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果． 【详解】解：原式， 故答案为：． 【点睛】此题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 3．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了含乘方的分式乘除混合计算，先计算乘方，再计算分式乘除法即可． 【详解】解： ． 题型十三　分式的混合运算 37．化简：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加减乘除的混合运算．先把括号内通分，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】解： ， 故选：A． 38．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是分式的乘除法、完全平方公式，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．根据分式的乘法法则、完全平方公式计算即可． 【详解】解： ， 故选：D． 39．化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内分式的减法运算，再计算乘法运算即可． 【详解】解： ； 故选：C． 巩固训练 1．已知，， 则P与Q 的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的混合运算，先利用分式的运算法则化简、，再计算与的差，最后分类讨论得结论． 【详解】解析：， ， ∵， ∴时，， 即； 当且时，， 即． 故无法确定P 与 Q的大小关系， 故选：D． 2．化简的结果为 ． 【答案】/ 【分析】先把括号内通分合并，再约分化简．本题考查分式的混合运算，解题关键是熟练掌握分式及整式的运算法则． 【详解】解：原式， ， ． 故答案为：． 3．化简． 【答案】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内的分式的加减运算，再把除法化为乘法，再约分即可． 【详解】解： ． 题型十四　分式的化简求值 40．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的化简，已知式子的值求代数式的值，数量掌握消元思想是解题的关键． 先将变形得，再代入代数式消去a，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：D． 41．若，则的值是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【详解】解：∵， ∴． 故选D． 42．已知a是实数，并且，则代数式的值是（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的求值，先求出，再把代入所求式子中可得所求式子为，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故选：B． 巩固训练 1．已知，则分式的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查分式的化简计算，先将化简得到，再代入代数式进行计算. 【详解】∵， ∴， ∴， 故选：D 2．已知，则 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了分式化简求值．首先把两边同时乘以，可得，进而可得，然后再利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3．先化简，再求值：，然后从、0、1、2这几个数中选取一个合适的整数作为的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式减法和除法的运算法则．先通分括号内的式子，同时将括号外的除法转化为乘法，然后化简，再从、0、1、2中选取一个使分式有意义的整数代入化简后的式子计算即可． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴原式． 题型十五　分式加减的实际应用 43．从甲地到乙地依次需经过的上坡路和的下坡路．已知小明骑车在上坡路上的速度为，在下坡路上的速度为，则他骑车从甲地到乙地需多长时间？（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式加减的计算，解答本题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系．分别求出小刚上坡路走的时间和下坡路走的时间，然后相加求解即可． 【详解】上坡路走的时间：， 下坡路走的时间：， 总时间为：． 故选：D． 44．生活中有这么一个现象：“糖水加糖就更甜”．设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖水更甜了（糖水浓度更大了），其中．根据这一现象，可以列出的不等式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】有一杯克的糖水里含有克糖，则糖占糖水的百分比是，设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖占糖水的百分比是，则，根据得，即可得． 【详解】解：有一杯克的糖水里含有克糖，则糖占糖水的百分比是， 设有一杯克的糖水里含有克糖，如果在这杯糖水里再加入克糖（加入的克糖可以全部溶化），则糖占糖水的百分比是， ∵ = = = = ∵， ∴， ∴， 即， , 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是理解题意，掌握分式混合运算的运算法则和运算顺序． 45．一辆货车送货上山，并按原路下山．上山速度为千米/小时，下山速度为千米/小时，则货车上、下山的平均速度为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】平均速度=总路程 总时间，设单程的路程为，表示出上山下山的总时间，把相关数值代入化简即可； 【详解】设上山的路程为 千米 则上山的时间 小时，下山的时间为 小时 则上、下山的平均速度 千米/时 故选：D 【点睛】本题考查了列代数式，得到平均速度的等量关系是解决本题的关键，得到总时间的代数式是解决本题的突破点． 巩固训练 1．一件工程甲单独做小时完成，乙单独做小时完成，甲、乙二人合作完成此项工作需要的小时数是（　  　  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】甲、乙合作完成工程的时间=工作总量÷甲乙工效之和，没有工作总量，可设其为1，所以甲、乙合做此项工程所需的时间为1÷（）=小时． 【详解】设工作量为1，由甲1小时完成 ，乙1小时完成， 因此甲、乙合作此项工程所需的时间为1÷（）=小时， 故选：D． 【点睛】本题考查了利用列代数式（分式），分式的加减乘除运算，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量与已知量间的关系． 2．学校倡导全校师生开展“全科阅读”活动，小亮每天坚持读书．原计划用a天读完b页的书，如果要提前m天读完，那么平均每天比原计划要多读 页． 【答案】 【分析】此题考查分式加减的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的关系．根据题意列出算式，根据分式的减法法则计算，得到答案． 【详解】平均每天比原计划要多读的页数新工作效率原工作效率． 解：按原计划每天读页，实际每天读页， 故每天比原计划多读的页数是：， 故答案为：． 3．甲乙两位采购员同去一家饲料公司购买两次饲料，两次饲料的价格有变化，第一次的价格为m元/千克，第二次的价格为n元/千克（m，n是正数，且），甲每次购买800千克，乙每次用去800元，而不管购买多少饲料． (1)甲、乙所购饲料的平均单价各是多少元？ (2)谁的购买方式平均单价较低？ 【答案】(1)甲的平均价格是，乙的平均价格是 (2)所以乙的购买方式平均单价低． 【分析】此题考查了列代数式，分式的混合运算的应用，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时，分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分． （1）表示出甲乙两人的总千克数与总钱数，用总钱数除以总千克数，即可表示出甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价； （2）由表示出的甲、乙两名采购员两次购买饲料的平均单价相减，通分并利用同分母分式的减法法则计算，整理后根据完全平方式大于等于0，判断其差的正负，即可得到乙的购货方式合算． 【详解】（1）解：甲的平均价格是（元） 乙的平均价格是：（元） （2）解：甲－乙  即 因为（）， 所以， 所以，即 所以． 所以乙的购买方式平均单价低． 题型十六　分式方程的解 46．分式方程的解是（　　） A． B． C． D．无解 【答案】D 【分析】本题考查解分式方程，去分母，将分式方程转化为整式方程，求解后验根得到分式方程的解，判断即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 解得：， 当时，， ∴是原方程的增根，舍去， ∴原方程无解； 故选：D． 47．分式方程的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把分式方程去分母化为整式方程，再解方程，最后检验即可． 【详解】解： 去分得：， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解， 故选：A． 48．分式方程的解为（   ） A．1 B． C．2 D．无解 【答案】D 【分析】此题考查了解分式方程．分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】解：去分母得：， 解得：， 经检验是增根，分式方程无解． 故选：D． 巩固训练 1．方程的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的解法，去分母，化为整式方程，解出方程，并进行检验，即可求解． 【详解】解：方程两边同时乘以得： ， 解得：， 检验：当时，， 原方程的根为． 故选：B． 2．分式方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，解题的关键是熟练掌握分式方程的解法，注意：解分式方程要验根． 根据分式方程的解法即可求出答案． 【详解】解：， ， ， 经检验：是原方程的解． 故答案为：． 3．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】本题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． （1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解； （2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解： 方程两边同时乘以得：，整理得：， 解得：， 检验：当时，， 则是增根， ∴原方程无解； （2）解：， 方程两边同时乘以得：，整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 题型十七　根据分式方程解的情况求值 49．已知关于的分式方程的解是非负数，则的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查根据分式方程的解的情况求参数，先求出分式方程的解，然后根据解的情况求出的取值范围即可． 【详解】解：解方程，得：， ∵关于的分式方程的解是非负数， ∴且， ∴且， ∴且； 故选D． 50．若关于的分式方程的解是正数，则的取值范围是（   ） A．或 B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】本题考查的是分式方程的解，熟知求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解是解答此题的关键．先利用表示出的值，再由为正数求出的取值范围即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得，， 解得． 为正数， ，解得． ， ，即． 的取值范围是且． 故选：A 51．关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围（   ） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查解分式方程和一元一次不等式，根据分式方程的求解方法，注意分母不为零，且解为非负数的条件． 【详解】解：解分式方程的解为， ∵分式方程的解为非负数， ∴且， 解得：且， 故选C． 巩固训练 1．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题考查了利用分式方程的解求参数的取值范围，正确求解分式方程并掌握分式的分母不等于零的性质是解题的关键．先求出分式方程的解，根据关于的分式方程的解为正数，分式有意义的条件，可得且，进而求解即可． 【详解】解：， ， ， 关于的分式方程的解为正数， 且，即， 且， 且， 故选：． 2．若关于y的分式方程的解为负数，则所有满足条件的非负整数m的值之和为 ． 【答案】3 【分析】本题考查根据分式方程解的情况求参，熟练掌握式解分式方程是解题的关键．注意分式有意义有条件． 解分式方程，根据“解为负数”和分母不能为0以及m为非负整数确定m的可能值，求它们的和即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， ∵，即，解得， ∵，即，解得． 综上，且且m为非负整数， ∴， ， ∴所有满足条件的非负整数m的值之和为3． 故答案为：3． 3．若数使关于的分式方程的解为非负数，求的取值范围． 【答案】且 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．分式方程去分母转化为整式方程，表示出整式方程的解，由分式方程的解为非负数，确定出a的范围即可． 【详解】解： 去分母得：， 即， 解得：， 关于的分式方程的解为非负数， 且， 解得：且． 题型十八　分式方程的增根问题 52．已知分式方程有增根，则的值为（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的增根，分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出的值，代入整式方程计算即可求出的值． 【详解】去分母得：， 由分式方程有增根，得到，即， 把代入整式方程得：， 故选：C． 53．若关于x的方程有增根，则a的值是（  ） A．3 B． C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查分式方程增根的定义，解决本题的关键是要熟练掌握分式方程的解法和增根的定义．分式方程的增根是使得最简公分母为0的未知数的取值，根据分式方程的增根定义即可求解． 【详解】解： 方程两边同乘得：， ∵方程有增根， ∴满足，即， 解得： 故选：D． 54．若关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】考查分式方程的增根问题；增根问题可按如下步骤进行：（1）让最简公分母为0确定增根；（2）化分式方程为整式方程；（3）把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 把分式方程化为整式方程，进而把可能的增根代入，可得的值． 【详解】解： 去分母得， 当增根为时，， ， 故选：A． 巩固训练 1．已知关于x的分式方程 的增根是，则m的值为（   ） A．8 B．4 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式方程的增根，理解增根产生的背景是正确解答的关键． 根据分式方程的增根的意义和产生的背景进行计算即可． 【详解】解：关于的分式方程， 去分母得，， 即， 关于的分式方程有增根， ∴满足方程， 所以， 故选：A． 2．关于的分式方程． （1）若方程的根为，则 ； （2）若方程有增根，则 【答案】 【分析】本题考查了分式方程的增根和分式方程的解，解题的关键使牢记增根的定义． （1）将代入分式方程即可求解； （2）分式方程的增根：使分式方程最简公分母为的未知数的值，根据增根的含义可得答案． 【详解】解：（1）将代入得：， 解得：； （2）， ， ， 的分式方程有增根， ， ， ； 故答案为：，． 3．关于的分式方程． (1)若此方程有增根，求的值 (2)若此方程解为正数，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)且． 【分析】（1）方程两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增根就是使最简公分母等于0的未知数的值求出的x的值，然后代入进行计算即可求出的值； （2）解分式方程得，根据方程的解为正数得出，且，解不等式即可得出答案． 【详解】（1）解：方程两边都乘以得， ， 分式方程有增根， ， 解得， ， 解得； （2）解：方程两边都乘以得， ， 解得， 方程的根为正数， ，且 ∴且． 【点睛】本题考查了分式方程解的情况，将分式方程化为整式方程是解题的关键． 题型十九　分式方程的无解问题 55．若关于的方程无解，则的值是（    ） A． B．2 C．-3 D．3 【答案】D 【分析】先把m当做已知数，求解该分式方程，再根据分式方程无解，则分母为0，即可解答． 【详解】解：， 去分母，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 化系数为1，得：， ∵该方程无解， ∴，解得：， ∴，解得：， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解分式方程，分式方程无解的条件，解题的关键是掌握解分式方程的方法和步骤，以及分式方程无解的条件． 56．若关于x的分式方程＝﹣1无解，则m的值是（　　） A．m＝2或m＝6 B．m＝2 C．m＝6 D．m＝2或m＝﹣6 【答案】A 【分析】先去分母得到整式方程，解整式方程得x=m-4，利用分式方程无解得到x=±2，所以m-4=±2，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：＝﹣1 去分母得x+m-x（x+2）=-x2+4， 解得x=m-4， ∵原方程无解， ∴x=2或-2，即m-4=2，解得m=6；或m-4=-2，解得m=2； 即当m=2或6时，关于x的分式方程＝﹣1无解． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式方程的解：求出使分式方程中令等号左右两边相等且分母不等于0的未知数的值，这个值叫方程的解．在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 57．若关于x的方程无解，则m的值是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】方程两边都乘以x-1，化分式方程为整式方程，再由分式方程无解得出x=1，代入整式方程求解可得． 【详解】解：方程两边都乘以x-1，得：x+1+2（x-1）=m， 根据题意知x=1， 将x=1代入整式方程，得：m=2， 故选：B． 【点睛】本题主要考查分式方程的解，在解方程的过程中因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根，增根是令分母等于0的值，不是原分式方程的解． 巩固训练 1．若分式方程无解，则的值为(　　) A．5 B．4 C．3 D．0 【答案】A 【分析】解分式方程，用含a的式子表示x，根据分式方程无解，得到x-4=0，得到关于a的方程，即可求解． 【详解】解： ， 方程两边同时乘以（x-4）得 ， ， 由于方程无解， ， ， ， 故选：． 【点睛】本题考查根据分式方程解的情况求字母的取值，解题关键是熟练解分式方程． 2．若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】3 【分析】先去分母解化为整式方程，再根据分母等于0求出x的值，代入整式方程即可求出m的值． 【详解】解：， 两边都乘以，得 ， ∵分式方程无解， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了根据分式方程的无解求参数的值，掌握分式方程的解法是解答本题的关键． 3．已知关于的方程无解，求的值． 【答案】 【分析】根据题意可得，然后把x的值代入去分母后得到的整式方程中进行计算即可解答． 【详解】解：， 两边同乘以得 ， 解得： ∵关于x的方程无解， ∴， 即 把代入中可得： 解得：， ∴． 【点睛】本题考查了分式方程，把的值代入整式方程中进行计算是解题的关键． 题型二十　分式方程的实际应用 58．为改善生态环境，打造宜居城市，某市园林绿化部门计划植树20万棵，由于工程进度需要，实际每天植树棵数比原计划增加了，结果提前4天完成任务．若设实际每天植树x万棵，则根据题意可得方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵，根据“提前4天完成任务”列出方程即可． 【详解】解：设实际每天植树x万棵，则原计划每天植树万棵， 根据题意可得方程为， 整理为：， 故选：A． 59．开学初，我校决定购进A，B两种品牌的足球，其中购买A品牌足球共花费2400元，购买B品牌足球共花费3600元，且购买A品牌足球的数量是购买B品牌足球数量的2倍，已知B品牌足球比A品牌足球单价贵了30元，设A品牌足球单价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式方程的应用，确定等量关系具体化即可． 本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 【详解】解：设A品牌足球单价为x元，根据题意，得． 故选C． 60．为了促进粤港澳大湾区城市群的互联互通，国家将在珠江口东西两岸的深圳市和中山市修建一条集“桥、岛、隧、水下互通”于一体的工程，计划于2024年建成通车，届时深圳与中山将进入“半小时生活圈”．现在从深圳到中山的全程约为126km，建成通车后全程约为28km，平均速度将提高原来的，时间将少用90min，则原来的平均速度是（    ） A．63km/h B．60km/h C．72km/h D．80km/h 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意，正确列出分式方程是解题的关键；设原来的平均速度是，则现在的平均速度为，根据时间少用90min列出分式方程并求解即可． 【详解】解：设原来的平均速度是，则现在的平均速度为， 由题意得： 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意， 即原来的平均速度是， 故选：C． 巩固训练 1．按照山西省“改薄工程”规划，我省5年投入85亿元用于改造农村县(市、区)薄弱学校，促进义务教育均衡发展，其中某项“改薄工程”建设，甲队单独完成需要20天，若由甲队先做13天，则剩下的工程由甲、乙两队合作3天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查分式方程的应用，根据题意得出甲队的工作效率为，乙队的工作效率为，列出方程即可，理解题意是解题关键． 【详解】解：由题意知：甲队的工作效率为，乙队的工作效率为， 根据题意可列方程为：． 故选B． 2．某质检部门抽取甲、乙两厂相同数量的产品进行质量检测，测得甲厂有合格品48件，乙厂有合格品45件，且甲厂的产品合格率比乙厂的产品合格率高，问甲厂的产品合格率是多少？如果设甲厂的合格率是x，则可列出方程 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了列分式方程，理清各量之间的数量关系、找到两厂产品总数的等量关系是解决本题的关键． 根据等量关系“甲厂产品总数=乙厂产品总数”即可列出分式方程． 【详解】解：设甲厂的合格率是x，则乙厂的合格率为，甲厂的产品总数为，乙厂的产品总数为：， 根据等量关系“甲厂产品总数=乙厂产品总数”可列出方程：． 故答案为：． 3．某商场预测某种衬衫能够畅销，用32000元购进了一批这种款式的衬衫，面市后很快脱销，该商场又用68000元购进第二批这种款式的衬衫，所购数量是第一批购进数量的2倍，但每件进价多了10元． (1)该商场两次一共购进这种款式的衬衫多少件？ (2)若这两批衬衫按相同的标价销售，最后的50件衬衫按标价的八折优惠售出，全部销售完两批衬衫后获利不低于18000元（不考虑其它因素），求每件衬衫的标价至少是多少元？ 【答案】(1)商场两次一共购进这种款式的衬衫600件； (2)每件衬衫的标价至少是200元． 【分析】本题考查分式方程的应用，以及一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系或不等关系是解决问题的关键． （1）设该商场第一次购进这种衬衫x双，则第二次购进数量为双，根据关键语句“每双进价多了10元”可得等量关系：第一次购进运动鞋的单价第二次购进运动鞋的单价，根据等量关系列方程解题即可； （2）设每件衬衫的标价至少是y元，由题意可得不等量关系：总售价总进价，根据等量关系列出不等式，解不等式即可． 【详解】（1）设第一批购进衬衫件，则第二批购进衬衫件． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解． （件）． 答：该商场两次一共购进这种款式的衬衫600件． （2）设每件衬衫的标价至少是y元， 依题意得∶ ， 解得∶， 答∶每件衬衫的标价至少是200元． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$