第03讲 圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程（高阶拓展、竞赛适用）（6类核心考点精讲精练）-备战2025年高考数学一轮复习考点帮（新高考通用）

第03讲 圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程（高阶拓展、竞赛适用） （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新Ⅱ卷，第10题,6分 圆中切线问题 切线长 根据抛物线方程求焦点或准线 直线与抛物线交点相关问题 2023年新I卷，第6题,5分 圆中切线问题 给值求值型问题 余弦定理解三角形 2022年新I卷，第14题,5分 圆的公切线方程 判断圆与圆的位置关系 2021年新I卷，第11题,5分 切线长 直线与圆的位置关系求距离的最值 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等，分值为5-6分 【备考策略】1.熟练掌握圆中切线问题的快速求解 2.熟练掌握圆系方程的快速求解 【命题预测】本节内容是新高考卷的拓展内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习 知识讲解 一、圆中切线问题 1. 已知圆方程为:, 若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是: 2. 已知圆方程为:, 若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为; 3. 已知圆方程为圆:. (1)过圆上的点的切线方程为. (2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为. 4. 过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长度 一般方程(标准方程) 二、常见的圆系方程 1、同心圆圆系 (1)以为圆心的同心圆圆系方程:; (2)与圆同心圆的圆系方程为:; 2、过线圆交点的圆系 过直线与圆交点的圆系方程为: ; 3、过两圆交点的圆系 过两圆 交点的圆系方程为,此圆系不含) (1)特别地,当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程. (2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程: 考点一、过圆上一点的切线问题 1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 2．（23-24高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知圆，则过点的圆的切线方程为 . 2．（11-12高二上·浙江杭州·期中）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 考点二、过圆外一点的切线问题 1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）过点且与圆：相切的直线方程为 2．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2023·全国·模拟预测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的正切值为（    ） A． B． C． D． 1．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高二上·湖南岳阳·期中）经过向圆作切线，切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（2024高三·全国·专题练习）设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 考点三、切点弦方程 1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 2．（2024·浙江·模拟预测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·全国·模拟预测）已知圆：，点，若直线分别切圆于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 考点四、切线长 1．（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 2．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 1．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 2．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D．3 考点五、圆中的公切线问题（含根轴） 1．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 1．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ． 2．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）与圆和圆都相切的直线方程是 ． 考点六、圆系方程 1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ． 1．（2023高三·全国·专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．所有过点的圆系的方程可以记为（其中，） B．直线的方程为 C．线段的长为 D．两圆有两条公切线与 一、单选题 1．（23-24高二上·江苏连云港·期中）圆在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 2．（2023高三·全国·专题练习）过点向圆引两条切线，切点是、，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆上点的切线方程为 ． 4．（2023·天津武清·模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则 ． 5．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为 . 6．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ． 7．（2023·江西·二模）已知圆，圆.请写出一条与两圆都相切的直线方程： . 8．（2023·河南·模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 9．（22-23高二上·河北邢台·期末）已知圆的方程为，则过点的圆的切线方程为 . 三、解答题 10．（2024高三·全国·专题练习）平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 一、单选题 1．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·江西·阶段练习）过点作圆：的切线与轴交于点，过点的直线与，轴及轴围成一个四边形，且该四边形的所有顶点都在圆上，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 3．（23-24高二上·广东·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．2 D． 5．（23-24高三上·浙江·开学考试）过圆上一点作圆的两条切线，切点为，当最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D．1 二、多选题 6．（2023·全国·模拟预测）已知圆C：，P是直线l:上的一个动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A，B，则下列说法中正确的是（    ） A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1 C．的最小值为 D．直线AB恒过定点 7．（2023·广西·模拟预测）已知圆：，点为直线：上一动点，点在圆上，以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线与圆相离 B．圆上有2个点到直线的距离等于1 C．过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为 D．过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过点 三、填空题 8．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）过点P向圆作切线，切点为A，过点P向圆作切线，切点为B，若，则动点P的轨迹方程为 10．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知圆，过直线上一动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ． 1．（2024·全国·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 2．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 3．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 4．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 5．（2021·全国·高考真题）（多选）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 6．（2020·全国·高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 圆中的切线方程、切点弦方程及圆系方程（高阶拓展、竞赛适用） （6类核心考点精讲精练） 1. 5年真题考点分布 5年考情 考题示例 考点分析 关联考点 2024年新Ⅱ卷，第10题,6分 圆中切线问题 切线长 根据抛物线方程求焦点或准线 直线与抛物线交点相关问题 2023年新I卷，第6题,5分 圆中切线问题 给值求值型问题 余弦定理解三角形 2022年新I卷，第14题,5分 圆的公切线方程 判断圆与圆的位置关系 2021年新I卷，第11题,5分 切线长 直线与圆的位置关系求距离的最值 2. 命题规律及备考策略 【命题规律】本节内容是新高考卷的选考内容，设题不定，难度中等，分值为5-6分 【备考策略】1.熟练掌握圆中切线问题的快速求解 2.熟练掌握圆系方程的快速求解 【命题预测】本节内容是新高考卷的拓展内容，需要大家掌握二级结论来快速解题，需强化练习 知识讲解 一、圆中切线问题 1. 已知圆方程为:, 若已知切点在圆上,则切线只有一条,其方程是: 2. 已知圆方程为:, 若已知切点在圆上,则该圆过点的切线方程为; 3. 已知圆方程为圆:. (1)过圆上的点的切线方程为. (2)过圆外一点作圆的两条切线,则切点弦方程为. 4. 过圆外一点引圆(标准方程,一般方程)的切线长度 一般方程(标准方程) 二、常见的圆系方程 1、同心圆圆系 (1)以为圆心的同心圆圆系方程:; (2)与圆同心圆的圆系方程为:; 2、过线圆交点的圆系 过直线与圆交点的圆系方程为: ; 3、过两圆交点的圆系 过两圆 交点的圆系方程为,此圆系不含) (1)特别地,当时,上述方程为一次方程,两圆相交时,表示公共弦方程;两圆相切时,表示公切线方程. (2)为了避免利用上述圆系方程时讨论圆过,可等价转化为过圆和两圆公共弦所在直线交点的圆系方程: 考点一、过圆上一点的切线问题 1．（23-24高二上·四川成都·阶段练习）过点作圆的切线l，求切线l的方程 【答案】 【分析】当直线斜率不存在时，直线方程为：，由圆心到直线的距离等于半径判断；当直线的斜率存在时：设直线方程为，由圆心到直线的距离等于半径求解. 【详解】当直线斜率不存在时，直线方程为：， 圆心到直线的距离为，不成立； 当直线的斜率存在时：设直线方程为，即， 圆心到直线的距离等于半径为：， 解得，所以直线方程为：， 即. 故答案为：. 2．（23-24高三下·福建·开学考试）过点的直线l与圆相切，则直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，点P在圆C上，由切线性质即可得出结果. 【详解】由点P在圆C上，又由直线的斜率为， 可得直线l的斜率为2，则直线l的方程为． 故选：B． 1．（22-23高二上·上海浦东新·期中）已知圆，则过点的圆的切线方程为 . 【答案】 【分析】根据切线与过切点的半径垂直即可求解. 【详解】点在圆上,圆心为， ，所以切线的斜率， 则过点的圆的切线方程为, 即. 故答案为：. 2．（11-12高二上·浙江杭州·期中）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】容易知道点为切点，圆心，设切线斜率为k，从而，由此即可得解. 【详解】将圆的方程化为标准方程得， ∵点在圆上，∴点P为切点． 从而圆心与点P的连线应与切线垂直． 又∵圆心为，设切线斜率为k， ∴，解得． ∴切线方程为． 故选：D. 考点二、过圆外一点的切线问题 1．（23-24高三上·陕西西安·阶段练习）过点且与圆：相切的直线方程为 【答案】或 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，再分切线的斜率存在与不存在两种情况讨论，分别求出切线方程. 【详解】圆：即，圆心为，半径， 当切线的斜率不存在时，直线恰好与圆相切； 当切线的斜率存在时，设切线为，即，则， 解得，所求切线方程为， 综上可得过点与圆相切的直线方程为或. 故答案为：或 2．（22-23高三上·湖南长沙·阶段练习）过点作圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】根据切线斜率是否存在分类讨论，利用圆心到切线距离等于半径可求结果． 【详解】由圆心为，半径为2，斜率存在时，设切线为， 则，可得，所以，即； 斜率不存在时，，显然与圆相切， 综上，切线方程为或． 故选：D． 3．（2023·全国·模拟预测）已知圆，过点作圆的两条切线，切点分别为A，B，则的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出切线方程，然后根据圆心到直线的距离等于半径求出斜率，然后根据几何图形的性质得答案. 【详解】由题可得，圆的圆心为，半径． 易知切线的斜率都存在， 设切线的方程为，即， 圆心到切线的距离， 解得或， 如图，设点在点下方， ， （提示：由圆的性质可知）．      另法： 由题可得，圆的圆心为，半径． 易知直线是圆的一条切线，不妨设切点为，则． 又（提示：圆的切线的性质），． 故选：A． 1．（24-25高三上·山东潍坊·开学考试）已知圆，则过点的圆的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先说明点在圆外，再设点斜式方程，利用圆心到直线距离等于半径得到方程，解出即可. 【详解】将代入圆方程得，则该点在圆外， ，即，则其圆心为，半径为1， 当切线斜率不存在时，此时直线方程为，显然不合题意，故舍去， 则设切线方程为：，即， 则有，解得，此时切线方程为. 故选：C. 2．（22-23高二上·湖南岳阳·期中）经过向圆作切线，切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得正确答案. 【详解】（1）当切线的斜率不存在时，直线是圆的切线； （2）当切线斜率存在时，设切线方程为， 由到切线距离为得， 此时切线方程为即. 故选：C 3．（2024高三·全国·专题练习）设过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】解法1：如图，由题意确定圆心坐标和半径，求出，由二倍角的余弦公式求出即可求解；解法2：如图，由题意确定圆心坐标和半径，利用余弦定理求出即可求解；解法3：易知切线斜率存在，利用点到直线的距离公式和斜率的定义求出，进而求出即可. 【详解】解法1：如图，圆，即， 则圆心，半径，过点作圆的切线，切点为，连接. 因为，则，得， 则，即为钝角，且为锐角， 所以. 故选：A. 解法2：如图，圆，即，则圆心，半径， 过点作圆的切线，切点为，连接.因为，则， 因为， 且，则， 即，解得， 即为钝角，且为锐角，则. 故选：A. 解法3：圆，即，则圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，则设切线方程为，即， 则圆心到切线的距离，解得， 所以，又为锐角， 由解得. 故选：A. 考点三、切点弦方程 1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为（圆的方程为），代入即可的直线的方程. 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为: ， 化简得：. 故答案为：. 2．（2024·浙江·模拟预测）过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则原点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先求解四边形的外接圆的方程，再求解直线的方程，即可求解点到直线的距离. 【详解】由图可知，，， 则四点共圆，圆的直径是，点，， ，的中点坐标为， 所以四边形的外接圆的方程为， 即，圆， 两式相减得直线的方程， 则原点到直线的距离. 故选：A 1．（2023·全国·模拟预测）已知圆：，点，若直线分别切圆于两点，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：利用直线，得出，在中，利用几何关系求出及，进而可求出点到直线MN的距离，再利用点到直线的距离公式即可求出结果；方法二：利用直线为圆和以AC为直径的圆的公共弦，求出以AC为直径的圆，即可求出结果. 【详解】由题意得直线垂直平分线段，又圆：，所以圆心，， 又由，得直线AC的斜率，所以直线MN的斜率， 可设直线的方程为，又， 在中，，， 得到，则点到直线MN的距离， 即，解得或， 当时，直线MN与圆C相离，不符合题意，所以直线MN的方程为．    一题多解  因为分别是圆C的切线，所以， 所以点在以AC为直径的圆上．因为， 所以以为直径的圆的圆心为，半径为 故以为直径的圆的方程为，又因为圆C：， 所以直线MN的方程为，化简得， 故选：B． 2．（2024高三·全国·专题练习）已知圆外一点，过点作圆的两条切线，切点分别为和，则直线的方程为 . 【答案】 【分析】由二级结论：若点在圆外，过点引圆的两条切线，切点为，则切点弦(两切点的连线段)所在直线的方程为：（圆的方程为），代入即可的直线的方程 【详解】由题意，切点弦所在直线的方程为： ， 化简得：. 故答案为：. 考点四、切线长 1．（2024·四川攀枝花·三模）由直线上的一点向圆引切线，切点为，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，求得，由此可知时，取得最小值，由此即可求解. 【详解】 由已知有：圆的圆心，半径为，直线的一般方程为， 设点到圆心的距离为，则有，所以， 所以取最小值时，取得最小值， 因为直线上点到圆心的距离最小值为圆心到直线的距离， 所以，故的最小值为. 故选：B 2．（2024·全国·模拟预测）已知P为直线上一点，过点P作圆的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【分析】根据已知条件，结合勾股定理以及点到直线的距离公式求解即可. 【详解】连接，则， 而的最小值为点C到直线l的距离， 所以. 故选：A. 1．（24-25高三上·陕西·开学考试）由直线上的一点向圆引切线，则切线段的最小值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆的方程得圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，利用切线的性质及勾股定理求出切线长的最小值即可. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径， 如图，切线长，当最小时，最小， 最小值为圆心到直线的距离， 所以切线长的最小值. 故选：C.    2．（24-25高三上·湖南衡阳·阶段练习）已知圆，过直线上的动点作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D．3 【答案】C 【分析】求出切线长，得出最小时，最小，再由点到直线距离公式求解可得. 【详解】连接，则，当最小时，最小， 又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为. 故选：C. 考点五、圆中的公切线问题（含根轴） 1．（23-24高三下·山东·开学考试）圆和圆的公切线方程是（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】先判断两个圆的位置关系，确定公切线的条数，求解出两圆的公共点，然后根据圆心连线与公切线的关系求解出公切线的方程. 【详解】解：，圆心，半径， ，圆心，半径， 因为， 所以两圆相内切，公共切线只有一条， 因为圆心连线与切线相互垂直，， 所以切线斜率为， 由方程组解得， 故圆与圆的切点坐标为， 故公切线方程为，即． 故选：A. 2．（23-24高二下·江苏盐城·阶段练习）（多选）已知直线与圆：和圆：都相切，则直线的方程可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】先明确两圆位置关系，从而根据两圆位置关系明确公切线的情况，再根据公切线特征情况分情况直接计算求解即可. 【详解】由题知，两圆半径， 所以， 故圆、外切，则两圆有三条公切线，如图，的中点为两圆外切切点， 当直线过的中点，且与垂直时， 因为，所以直线的方程为，即； 当直线与平行，且到的距离为时，设直线的方程为， 所以，解得或， 所以直线的方程为或． 故选：ABC． 1．（2024·河北张家口·三模）圆与圆的公切线的方程为 ． 【答案】 【分析】先判断两圆位置关系，然后将圆化为一般式，两式相减可得. 【详解】圆的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为6， 因为，所以两圆内切，只有一条公切线， 将圆化为一般式得： ，， 两式相减得，即， 所以圆的公切线的方程为. 故答案为： 2．（23-24高三下·江苏镇江·开学考试）与圆和圆都相切的直线方程是 ． 【答案】 【分析】根据题意，判断两圆的位置关系内切，联立方程组求得公切线方程. 【详解】设圆的圆心为，半径为，则，， 设圆的院系为，半径为，则，， 所以，所以两圆内切. 联立方程，解得， 所以两圆的公切线方程为. 故答案为：. 考点六、圆系方程 1．（2024高三·全国·专题练习）已知圆系方程（，m为参数），这些圆的公切线方程为 . 【答案】 【分析】先求圆心的轨迹,再设切线方程计算即可求出公切线. 【详解】圆心坐标为，所以圆心在直线上， 设圆的切线为，即， 所以两直线间的距离为圆的半径，，所以直线方程为. 故答案为: . 2．（24-25高二上·全国·课后作业）若圆与圆相交，我们把经过圆和圆交点的圆称为圆、圆的圆系方程，其方程可设为．根据以上信息，解决如下问题：已知圆与交于两点，则以为直径的圆的一般方程为 ． 【答案】 【分析】由题意可设经过点，的圆的方程，化简整理可得圆心为，圆和圆方程相减，求出直线的方程，再把圆心代入直线的方程求出的值即可． 【详解】由题意可设经过点的圆的方程为， 整理得，则圆心为． 圆①，圆②， 由①-②得，，即直线的方程为． 因为为直径，圆心在直线上，所以，解得， 故以为直径的圆的方程为． 故答案为：． 1．（2023高三·全国·专题练习）（多选）已知圆和圆相交于两点，下列说法正确的是（    ） A．所有过点的圆系的方程可以记为（其中，） B．直线的方程为 C．线段的长为 D．两圆有两条公切线与 【答案】CD 【分析】 根据圆系方程的条件，可判定A错误；利用两圆相减，求得公共弦的方程，可判定B错误；利用圆的弦长公式，求得弦长，可判定C正确；根据得到为两圆的公切线，得到关于两圆圆心所在直线对称的直线得到另一条公切线，求得公切线的方程，可判定D正确. 【详解】 对于A中，圆系方程（其中，）此时不含圆M，所以A错误． 对于B选项，联立方程组， 两式相减得到直线AB的方程为，所以B错误． 对于C中，原点O到直线AB的距离为， 根据勾股定理得，所以C正确． 对于D中，由圆，可得， 可得圆的圆心坐标为，半径为， 又由圆，可得圆心，半径为， 可得直线与两圆相切，即为两圆的公切线， 则关于两圆圆心所在直线对称的直线即为另一条公切线， 由和，可得两圆心所在直线为，即， 联立方程组，解得，即交点坐标为， 在直线上任取一点， 设点关于直线对称点为，可得， 解得，即对称点的坐标为， 所求的另一条切线过点，，可得其方程为， 故所求切线方程为或，所以D正确. 故选：CD.    一、单选题 1．（23-24高二上·江苏连云港·期中）圆在点处的切线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用直线与圆的位置关系计算即可. 【详解】易知该切线斜率存在，不妨设切线方程， 易知圆心，半径，所以到的距离为， 解之得，即切线. 故选：A 2．（2023高三·全国·专题练习）过点向圆引两条切线，切点是、，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据圆的切线的特点求出的长，然后得出以为圆心，长为半径的圆的方程，两圆的交点就是、，再把两圆的方程作差即可求出直线的方程. 【详解】把（1） 转化为，圆心，半径， 则，， 圆的方程为（2）， （1）（2），得． 故选：B. 二、填空题 3．（23-24高三上·浙江·阶段练习）过圆上点的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由圆的切线性质求出切线斜率，利用点斜式方程即可得. 【详解】由题知，，则切线斜率， 所以切线方程为，整理为． 故答案为： 4．（2023·天津武清·模拟预测）已知点，，经过点作圆的切线与轴交于点，则 ． 【答案】 【分析】由直线与圆的位置关系作出切线，求得，即可得解. 【详解】如图所示，设圆心为点，则， ，则点在圆上，且， 由与圆相切可得，所以切线方程为， 令，解得，故， 所以 故答案为：. 5．（23-24高三上·湖北·开学考试）已知过点作圆的切线，则切线长为 . 【答案】 【分析】根据题意，利用圆的切线长公式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 设切点为，因为，可得， 所以切线长为. 故答案为：. 6．（23-24高三上·河北邢台·期末）已知圆，过作圆的切线，则直线的倾斜角为 ． 【答案】（或写为） 【分析】分析可知，点在圆上，根据圆的几何性质可知，求出直线的斜率，即可得出直线的倾斜角. 【详解】因为，所以，点在圆上，直线的斜率为， 由圆的几何性质可知，，则直线的斜率为， 设直线的倾斜角为，则，则，故. 即直线的倾斜角为（或）. 故答案为：（或写为）. 7．（2023·江西·二模）已知圆，圆.请写出一条与两圆都相切的直线方程： . 【答案】或 【分析】由题可知两圆相交，两圆有2条公切线，求出切线与两圆圆心连线的交点，点斜式设切线方程，利用圆心到切线距离等于半径，计算即可. 【详解】圆圆心，半径， 圆圆心，半径， 由两圆相交，所以两圆有2条公切线，设切线与两圆圆心连线的交点为， 如图所示， 则 ，即，所以， 解得，所以， 设公切线l︰，所以圆心到切线l的距离 ，解得 ， 所以公切线方程为，即或. 故答案为：或 8．（2023·河南·模拟预测）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 【答案】（或或，写出一个即可） 【分析】根据题意，得到圆与圆相外切，将两圆的方程相减，求得其中一条公切线的方程，再由圆与圆的半径相等，得到外公切线与平行，求得，设，结合圆心到直线的距离等于半径，列出方程，求得的值，即可得到公切线的方程. 【详解】由题意得，圆，可得圆心，半径为， 圆，可得圆心，半径为， 因为，可得，所以圆与圆相外切， 将两圆的方程相减，可得，此方程为圆与圆的公切线， 又由圆与圆的半径相等，故外公切线与直线平行， 因为，所以圆C与圆D的外公切线的方程可设为， 即，则，解得或， 所以两条外公切线的方程为或， 综上所述，圆C与圆D公切线的方程为或或. 故答案为：或或.    9．（22-23高二上·河北邢台·期末）已知圆的方程为，则过点的圆的切线方程为 . 【答案】或 【分析】若直线斜率存在，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解, 若直线斜率不存在，直接验证可得答案. 【详解】圆的方程为，即. 因为，所以点P在圆外， 若直线斜率存在，设切线的斜率为， 则切线方程为，即 所以，解得. 所以切线方程为， 若直线斜率不存在，直线方程为，满足题意. 综上过点的圆的切线方程为或 故答案为：或 三、解答题 10．（2024高三·全国·专题练习）平面上有两个圆，它们的方程分别是和，求这两个圆的内公切线方程． 【答案】 【分析】判断出两圆外切，两圆的方程相减可得答案. 【详解】圆，圆心，半径， 圆， 其圆心，半径， ，∴这两圆外切， ∴， 可得， ∴所求的两圆内公切线的方程为：． 一、单选题 1．（23-24高三上·广西百色·阶段练习）圆，圆，则两圆的一条公切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过，两条公切线平行于，假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线. 【详解】 由两圆方程得：圆心，，半径， 两圆圆心距，，即两圆外离，公切线共有条； 两圆半径相同，两圆两条公切线经过中点，两条公切线与平行， 经过中点的公切线斜率显然存在，可设为：， ，解得：或，即公切线方程为：或； ，与平行的公切线方程为，即， ，解得：，即公切线方程为或； 综上所述：两圆的公切线方程为：或或或. 故选：C. 2．（23-24高二上·江西·阶段练习）过点作圆：的切线与轴交于点，过点的直线与，轴及轴围成一个四边形，且该四边形的所有顶点都在圆上，则点到直线的距离为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据圆的切线性质，结合点到直线距离公式、四边形的性质进行求解即可. 【详解】化为标准方程为， 所以，圆的半径为，设：， 由直线与圆相切得，解得，：， 令得， 若，交于点，且，设原点为， 因为，， 所以四边形对角互补，点，，，都在圆上， 点为线段的中点，，直线的方程为， 到直线的距离为； 若，设与轴交于点， 四边形是等腰梯形，对角互补，点，，，都在圆上， 此时点既在线段的垂直平分线上， 又在线段的垂直平分线上，所以， 此时直线的方程为， 到直线的距离为， 故选：C. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的切线性质、四点共圆的性质. 3．（23-24高二上·广东·期末）在平面直角坐标系中，已知圆，若圆上存在点P，由点P向圆C引一条切线，切点为M，且满足，则实数a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据可求出点P的轨迹方程，根据点P的轨迹与圆D有交点列出不等式求解. 【详解】设点P的坐标为，如图所示： 由可知：，而，∴ ∴，整理得，即. ∴点P的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，又∵点P在圆D上，∴所以点P为圆D与圆E的交点，即要想满足题意， 只要让圆D和圆E有公共点即可，∴两圆的位置关系为外切，相交或内切，∴，解得. 故选：D 4．（23-24高三上·广东·阶段练习）已知圆M：，P为x轴上的动点，过点P作圆M的切线切，，切点为A，B，则四边形面积的最小值为（    ） A．2 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】把四边形面积转化为和的面积的和，而和均为直角三角形且面积相等，进而面积的最小值转化为求最小，由此求得答案. 【详解】圆M的方程可化为， 所以x轴与圆M相离. 又，且和均为直角三角形， ，为圆的半径，且， 所以面积的最小值转化为求最小， 当垂直于x轴时，四边形面积取得最小值， 此时，所以四边形面积最小值为. 故选：B.    5．（23-24高三上·浙江·开学考试）过圆上一点作圆的两条切线，切点为，当最大时，直线的斜率为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】由题意确定当三点线时，最大，进而得到即可得解. 【详解】 ，当最大时，也即取最大， 因为，在直角三角形中，当最短时，最大， 又，当且仅当三点线时最小， 此时，， 所以直线的斜率为. 故选：. 二、多选题 6．（2023·全国·模拟预测）已知圆C：，P是直线l:上的一个动点，过点P作圆C的切线PA，PB，切点分别是A，B，则下列说法中正确的是（    ） A．圆C上恰有一个点到直线l的距离为 B．切线长PA的最小值为1 C．的最小值为 D．直线AB恒过定点 【答案】BCD 【分析】用点到直线的距离可判断A，由圆的切线长可判断B，用面积法可判断C，两圆联立得直线方程，可判断D. 【详解】如图，由圆C：，可知圆心，半径． 对于A，圆心到直线l：的距离为， 则圆上任意一点到直线l的距离的取值范围为． 而，所以圆C上有两个点到直线l的距离为．故A错误． 对于B，由圆的性质可得切线长， 所以当最小时，最小．故B正确． 对于C，四边形ACBP的面积， ，而，故．故C正确． 对于D，设，因为PA，PB为过点P的圆C的切线， 所以点A，B在以PC为直径的圆D上． 圆D上任意一点满足， 则以PC为直径的圆为， 即，与圆C：联立， 两式相减得直线AB的方程为． 由得即直线AB恒过定点．故D正确． 故选：BCD.        7．（2023·广西·模拟预测）已知圆：，点为直线：上一动点，点在圆上，以下四个命题表述正确的是（    ） A．直线与圆相离 B．圆上有2个点到直线的距离等于1 C．过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为 D．过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过点 【答案】ABD 【分析】A、B应用点线距离公式求圆心到直线的距离，结合圆的半径，判断直线与圆的位置及点到直线的距离等于1的个数；C由圆切线性质求最小切线长；D设点，写出以为直径的圆，结合已知圆求公共弦的方程为，进而求定点即可判断. 【详解】A：圆：的圆心，半径， 圆心到直线的距离，所以直线与圆相离．正确； B：圆心到直线的距离， 所以，则圆上有2个点到直线的距离等于1，正确； C：由切线的性质知，为直角三角形，， 当且仅当与直线垂直时等号成立，所以的最小值为，错误； D：设点，，，所以四点，，，共圆， 以为直径，圆心为，半径，圆的方程为， 又圆：，两圆相减得，所以直线的方程为， 因为点在直线上，所以， 所以，整理得， 由，得，所以直线过定点，正确． 故选：ABD    三、填空题 8．（23-24高三上·湖南衡阳·阶段练习）写出与圆和圆都相切的一条直线的方程 . 【答案】或或（答案不唯一） 【分析】根据两圆方程可得两圆相离，且关于原点对称，两圆半径相等，所以有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线，利用点到直线距离即可求出结果. 【详解】由题设知，圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 所以，即两圆外离，故共有4条公切线； 又易知关于原点对称，且两圆半径相等，则有过原点的两条公切线和与平行的两条公切线. 设过原点的公切线为，则，即，解得或， 所以公切线为或； 设与平行的公切线为，且M，N与公切线距离都为1， 则，即， 所以公切线为. 故答案为：或或 9．（23-24高二上·河北石家庄·阶段练习）过点P向圆作切线，切点为A，过点P向圆作切线，切点为B，若，则动点P的轨迹方程为 【答案】 【分析】求出圆的圆心坐标及半径，再利用切线的性质结合已知求解即得. 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 设点，因为分别切圆，圆于点，且， 于是，则， 整理得，所以动点P的轨迹方程为. 故答案为： 10．（23-24高三上·重庆沙坪坝·阶段练习）已知圆，过直线上一动点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】首先利用图形，解决向量的运算，再利用的最小值，即可求解. 【详解】如图，连结，，，和交于点， ， 因为，所以, 设，易知其在为增函数， 则的最小值为圆心到直线的距离， 所以的最小值为，那么的最小值为. 故答案为： 1．（2024·全国·高考真题）（多选）抛物线C：的准线为l，P为C上的动点，过P作的一条切线，Q为切点，过P作l的垂线，垂足为B，则（    ） A．l与相切 B．当P，A，B三点共线时， C．当时， D．满足的点有且仅有2个 【答案】ABD 【分析】A选项，抛物线准线为，根据圆心到准线的距离来判断；B选项，三点共线时，先求出的坐标，进而得出切线长；C选项，根据先算出的坐标，然后验证是否成立；D选项，根据抛物线的定义，，于是问题转化成的点的存在性问题，此时考察的中垂线和抛物线的交点个数即可，亦可直接设点坐标进行求解. 【详解】A选项，抛物线的准线为， 的圆心到直线的距离显然是，等于圆的半径， 故准线和相切，A选项正确； B选项，三点共线时，即，则的纵坐标， 由，得到，故， 此时切线长，B选项正确； C选项，当时，，此时，故或， 当时，，，， 不满足； 当时，，，， 不满足； 于是不成立，C选项错误； D选项，方法一：利用抛物线定义转化 根据抛物线的定义，，这里， 于是时点的存在性问题转化成时点的存在性问题， ，中点，中垂线的斜率为， 于是的中垂线方程为：，与抛物线联立可得， ，即的中垂线和抛物线有两个交点， 即存在两个点，使得，D选项正确. 方法二：（设点直接求解） 设，由可得，又，又， 根据两点间的距离公式，，整理得， ，则关于的方程有两个解， 即存在两个这样的点，D选项正确. 故选：ABD 2．（2023·全国·高考真题）过点与圆相切的两条直线的夹角为，则（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】方法一：根据切线的性质求切线长，结合倍角公式运算求解；方法二：根据切线的性质求切线长，结合余弦定理运算求解；方法三：根据切线结合点到直线的距离公式可得，利用韦达定理结合夹角公式运算求解. 【详解】方法一：因为，即，可得圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为， 因为，则， 可得， 则， ， 即为钝角， 所以； 法二：圆的圆心，半径， 过点作圆C的切线，切点为，连接， 可得，则， 因为 且，则， 即，解得， 即为钝角，则， 且为锐角，所以； 方法三：圆的圆心，半径， 若切线斜率不存在，则切线方程为，则圆心到切点的距离，不合题意； 若切线斜率存在，设切线方程为，即， 则，整理得，且 设两切线斜率分别为，则， 可得， 所以，即，可得， 则， 且，则，解得. 故选：B.      3．（2022·全国·高考真题）写出与圆和都相切的一条直线的方程 ． 【答案】或或 【分析】先判断两圆位置关系，分情况讨论即可. 【详解】[方法一]： 显然直线的斜率不为0，不妨设直线方程为， 于是， 故①，于是或， 再结合①解得或或， 所以直线方程有三条，分别为，， 填一条即可 [方法二]： 设圆的圆心，半径为， 圆的圆心，半径， 则，因此两圆外切， 由图像可知，共有三条直线符合条件，显然符合题意； 又由方程和相减可得方程， 即为过两圆公共切点的切线方程， 又易知两圆圆心所在直线OC的方程为， 直线OC与直线的交点为， 设过该点的直线为，则，解得， 从而该切线的方程为填一条即可 [方法三]： 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆圆心距为，等于两圆半径之和，故两圆外切， 如图， 当切线为l时，因为，所以，设方程为 O到l的距离，解得，所以l的方程为， 当切线为m时，设直线方程为，其中，， 由题意，解得， 当切线为n时，易知切线方程为， 故答案为：或或. 4．（2021·天津·高考真题）若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则 ． 【答案】 【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得. 【详解】设直线的方程为，则点， 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为， 则，解得或，所以， 因为，故. 故答案为：. 5．（2021·全国·高考真题）（多选）已知点在圆上，点、，则（    ） A．点到直线的距离小于 B．点到直线的距离大于 C．当最小时， D．当最大时， 【答案】ACD 【分析】计算出圆心到直线的距离，可得出点到直线的距离的取值范围，可判断AB选项的正误；分析可知，当最大或最小时，与圆相切，利用勾股定理可判断CD选项的正误. 【详解】圆的圆心为，半径为， 直线的方程为，即， 圆心到直线的距离为， 所以，点到直线的距离的最小值为，最大值为，A选项正确，B选项错误； 如下图所示： 当最大或最小时，与圆相切，连接、，可知， ，，由勾股定理可得，CD选项正确. 故选：ACD. 【点睛】结论点睛：若直线与半径为的圆相离，圆心到直线的距离为，则圆上一点到直线的距离的取值范围是. 6．（2020·全国·高考真题）已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点共圆，且，根据 可知，当直线时，最小，求出以 为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线的方程． 【详解】圆的方程可化为，点 到直线的距离为，所以直线 与圆相离． 依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而 ， 当直线时，， ，此时最小． ∴即 ，由解得， ． 所以以为直径的圆的方程为，即 ， 两圆的方程相减可得：，即为直线的方程． 故选：D. 【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$