5.3.1 函数的单调性6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 5.3.1 函数的单调性6题型分类 一、函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 二、利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 三、函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) （一） 导函数与原函数的关联图象 1、定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)： f ′(x)的正负 f (x)的单调性 f ′(x)＞0 单调递增 f ′(x)＜0 单调递减 题型1：函数与导函数的关联图象 1-1．（2024高二下·四川成都·期中）已知函数的导函数 的图像如图所示，则函数（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 1-2．（2024高二·全国·课后作业）已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是（    ）    A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递增 1-3．（2024高二下·新疆巴音郭楞·期末）如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（  ）    A．函数在区间上是减函数 B．函数在区间上是减函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数在区间上是增函数 1-4．（天津市南开大学附属中学2023-2024学年高二下学期阶段检测数学试题）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 1-5．（2024高二下·广东深圳·期末）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．  B．   C．   D．   （二） 利用导数求函数的单调区间 用解不等式法求单调区间的步骤 1确定函数fx的定义域； 2求导函数f′x； 3解不等式f′x＞0或f′x＜0，并写出解集； 4根据3的结果确定函数fx的单调区间. 注：若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接. 题型2：利用导数求函数的单调区间 2-1．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，求函数的单调区间. 2-2．（2024高二下·江苏苏州·阶段练习）函数的增区间为 ． 2-3．（2024高二下·河北沧州·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 2-4．（新疆柯坪县柯坪湖州国庆中学2023届高三上学期期末考试数学（理）试题）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 2-5．（2024高三上·江苏扬州·期中）已知函数，其中． (1)若是函数的极值点，求a的值； (2)若，讨论函数的单调性． （三） 含有参数的函数单调性的讨论 利用导数研究含参函数fx的单调区间的一般步骤 1确定函数fx的定义域； 2求导数f′x； 3分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论； 4在不同的参数范围内，解不等式f′x＞0和f′x＜0，确定函数fx的单调区间. 注：1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数. 题型3：含有参数的函数单调性的讨论 3-1．（2024高三上·陕西咸阳·期中）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)求函数的单调区间. 3-2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 3-3．（2024高二·全国·专题练习）已知，．讨论的单调性； 3-4．（2024高二上·上海·课后作业）讨论函数的单调性． 3-5．（2024高三·全国·专题练习）设函数，其中为常数，讨论函数的单调性． 3-6．（2024高二·全国·课后作业）求函数的单调区间． （四） 单调性的应用 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)是单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题. 题型4：利用导数比较大小 4-1．（2024高二下·陕西西安·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 4-2．（2024高二下·江西上饶·期末）已知实数：，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 4-3．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 题型5：解不等式 5-1．（2024高二下·湖北武汉·期末）已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5-2．（2024高二下·四川绵阳·期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5-3．（2024高二下·江苏南通·阶段练习）设函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 5-4．（2024高二下·云南保山·期中）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当时，，则不等式的解集为 ． 题型6：根据函数单调性求参数 6-1．（2024高二下·湖北武汉·期中）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6-2．（2024高二下·重庆江北·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6-3．（2024高二下·江西抚州·阶段练习）函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 . 6-4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的单调递减区间是，则 . 6-5．（2024高二·全国·专题练习）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是 ． 6-6．（2024高二下·福建龙岩·期中）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6-7．（2024高二下·辽宁阜新·期末）若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数 一、单选题 1．（2024高二下·四川成都·期中）已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三上·四川成都·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高三上·河南安阳·期中）已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 5．（2024高二上·黑龙江双鸭山·期末）函数​的单调递增区间是（    ） A．​ B．​和​ C．​ D．​ 6．（2024高二下·宁夏中卫·期中）函数的单调递减区间是（    ） A．, B．, C．, D．, 7．（2024·湖南·二模）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ）    A． B． C． D． 8．（2024高二上·江苏常州·期末）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二下·四川资阳·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 10．（2024高二下·河北唐山·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 11．（2024高二下·广东东莞·阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．（2024高二下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知是函数的导函数，函数. 的图象如图所示，则的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 13．（2024高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（    ）      A．     B．   C．   D．   14．（2024高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 15．（2024高三上·辽宁大连·期中）若函数在具有单调性，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．（2024高二下·北京·期中）若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   17．（2024高二下·陕西汉中·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 18．（2024·安徽马鞍山·一模）设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 19．（2024高二下·河南省直辖县级单位·阶段练习）设，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 20．（2024高三上·广东揭阳·阶段练习）函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是，用此法探求的递增区间为（    ） A． B． C． D． 21．（2024高三上·山东德州·期中）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为（），则称区间为的“倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（    ） A．， B． C． D． 22．（2024高二下·湖北恩施·期中）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（2024高二下·天津·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 24．（2024高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 25．（2024高二下·湖北·阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 26．（2024高二上·陕西西安·期末）函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 27．（2024高二下·湖南湘潭·期末）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 28．（2024高三上·福建三明·期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 29．（2024高二下·广西南宁·期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 30．（2024高二上·广东梅州·期末）设，都是单调函数，其导函数分别为，，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则单调递增； B．若，，则单调递增； C．，，则单调递减； D．若，，则单调递减； 31．（2024高二下·山西运城·阶段练习）设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 32．（2024高二下·福建漳州·期末）已知函数的导函数图象如图，那么的图象可能是（    ）    A．     B．   C．   D．   33．（2024高二下·吉林长春·期中）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 34．（2024高二下·全国·单元测试）函数的单调减区间可以为（    ） A． B． C． D． 35．（2024高二下·湖北黄冈·阶段练习）已知定义在上的函数满足，在下列不等关系中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 三、填空题 36．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是 . 37．（2024高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 38．（2024·辽宁鞍山·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 39．（2024高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 40．（2024高二下·湖北武汉·期末）函数的单调减区间为 . 41．（2024高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 42．（2024高三上·新疆·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 43．（2024高三上·山东日照·阶段练习）若对任意的，且当时，都有，则的取值范围是 . 44．（2024高二下·福建泉州·期中）已知函数满足，则实数a的取值范围是 . 45．（2024高二下·福建漳州·阶段练习）若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 . 46．（2024高二下·广西·期中）若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为 ． 47．（2024高二上·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 48．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ． 49．（2024·海南·模拟预测）设且，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 ． 50．（2024高三上·广西·阶段练习）若函数是上的减函数，则实数的最大值为 ． 四、解答题 51．（2024高三上·湖北·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 52．（2024高二下·重庆璧山·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 53．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．讨论函数的单调性． 54．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性． 55．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．求函数的单调区间． 56．（2024高二·全国·专题练习）已知函数.讨论函数的单调性； 57．（2024高二下·山东淄博·阶段练习）（1）已知函数，.在区间内是减函数，求的取值范围； （2）已知函数.讨论的单调性. 58．（2024高三上·北京·阶段练习）已知函数 其中． (1)若，求函数的单调区间和极值; (2)当时，讨论函数的单调区间． 59．（2024高三上·河北保定·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 60．（2024高二·全国·专题练习）已知函数．讨论当时，单调性． 61．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性. 62．（2024高二·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性． 63．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的单调递减区间. 64．（2024高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，讨论的单调性. 65．（2024高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； 66．（2024高三上·甘肃庆阳·阶段练习）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递增区间. 67．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，其中.求函数的单调区间； 68．（2024高二·全国·专题练习）讨论函数 的单调性； 69．（2024高二·全国·专题练习）已知函数．求函数的单调区间； 70．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册） 5.3.1 函数的单调性6题型分类 一、函数的单调性与其导数的正负之间的关系 定义在区间(a，b)内的函数y＝f(x)： f′(x)的正负 f(x)的单调性 f′(x)>0 单调递增 f′(x)<0 单调递减 二、利用导数判断函数的单调性的一般步骤 (1)确定函数y＝f(x)的定义域； (2)求出导数f′(x)的零点； (3)用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 三、函数图象的变化趋势与导数的绝对值的大小的关系 一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上： 导数的绝对值 函数值变化 函数的图象 越大 快 比较“陡峭”(向上或向下) 越小 慢 比较“平缓”(向上或向下) （一） 导函数与原函数的关联图象 1、定义在区间(a，b)内的函数y＝f (x)： f ′(x)的正负 f (x)的单调性 f ′(x)＞0 单调递增 f ′(x)＜0 单调递减 题型1：函数与导函数的关联图象 1-1．（2024高二下·四川成都·期中）已知函数的导函数 的图像如图所示，则函数（   ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】根据导函数的符号确定单调性. 【详解】由图可知：当 时， 单调递减，当 时， 单调递增，当 时， 单调递增； 故选：D. 1-2．（2024高二·全国·课后作业）已知函数的导函数的图象如图，则下列结论正确的是（    ）    A．函数在区间上单调递增 B．函数在区间上单调递减 C．函数在区间上单调递增 D．函数在区间上单调递增 【答案】C 【分析】根据导函数的正负得到的单调性，即可判断. 【详解】由导数的图象可知，当时，，所以在区间，上单调递增，故C正确； 当时，，所以在区间上单调递减， 当时，，则在区间上单调递减，故A、B、D错误； 故选：C． 1-3．（2024高二下·新疆巴音郭楞·期末）如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（  ）    A．函数在区间上是减函数 B．函数在区间上是减函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数在区间上是增函数 【答案】A 【分析】根据导函数的正负决定了原函数的单调性，，原函数单调递增，，原函数单调递减，逐项分析判断即可. 【详解】对于选项A：当时，，则在上单调递减，故A正确； 对于选项B：当时，；当时，； 则在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 对于选项C：当时，，则在上单调递增，故C错误； 对于选项D：当时，，则在上单调递减，故D错误； 故选：A. 1-4．（天津市南开大学附属中学2023-2024学年高二下学期阶段检测数学试题）已知函数的图象如图所示（其中是函数的导函数），则的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由的图象得到的取值情况，即可得到的单调性，即可判断. 【详解】由的图象可知当时，则， 当时，则， 当时，则， 当时，则， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递减，在上单调递增， 故符合题意的只有C. 故选：C. 1-5．（2024高二下·广东深圳·期末）是函数的导函数，的图象如图所示，则的图象最有可能是下列选项中的（    ）    A．  B．   C．   D．   【答案】C 【分析】根据导函数的正负与原函数单调性的关系，结合图象进行判断即可. 【详解】由导函数的图象可知：当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增，只有选项C符合， 故选：C （二） 利用导数求函数的单调区间 用解不等式法求单调区间的步骤 1确定函数fx的定义域； 2求导函数f′x； 3解不等式f′x＞0或f′x＜0，并写出解集； 4根据3的结果确定函数fx的单调区间. 注：若所求函数的单调区间不止一个时，用“，”与“和”连接. 题型2：利用导数求函数的单调区间 2-1．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，求函数的单调区间. 【答案】的单调递减区间是，单调递增区间是. 【分析】 根据导函数正负求解函数的单调区间即可. 【详解】由，可得， 令，解得， 当时，则，可得，在单调递减； 当时，则，可得，在单调递增； 故函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 2-2．（2024高二下·江苏苏州·阶段练习）函数的增区间为 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的递增区间即可． 【详解】由函数，可得， 因为，令，即，解得， 所以函数的递增区间为. 故答案为：. 2-3．（2024高二下·河北沧州·阶段练习）函数的单调递减区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导函数的正负分析单调性即可. 【详解】，定义域为，令，解得，所以在上单调递减. 故选：D. 2-4．（新疆柯坪县柯坪湖州国庆中学2023届高三上学期期末考试数学（理）试题）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，令求解. 【详解】解：因为， 所以， 令，得， 所以的单调递减区间为， 故选：B 2-5．（2024高三上·江苏扬州·期中）已知函数，其中． (1)若是函数的极值点，求a的值； (2)若，讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，由得出，再检验即可； （2）讨论的大小关系，根据导数得出单调性. 【详解】（1） ， 因为是函数的极值点，所以，解得， 当时，， 若，则，若，则或. 即函数在上单调递减，在上单调递增，即是函数的极值点. 故． （2），， 当时，令，解得或， 当，即时， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当时， 当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． 当，即时，，所以在上单调递减. 综上， 当时，在上递减，在上递增，在上递减； 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减． （三） 含有参数的函数单调性的讨论 利用导数研究含参函数fx的单调区间的一般步骤 1确定函数fx的定义域； 2求导数f′x； 3分析参数对区间端点、最高次项的系数的影响，以及不等式解集的端点与定义域的关系，恰当确定参数的不同范围，并进行分类讨论； 4在不同的参数范围内，解不等式f′x＞0和f′x＜0，确定函数fx的单调区间. 注：1.(1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.(2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为0的点和函数的间断点. 2.个别导数为0的点不影响所在区间的单调性，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2≥0(f′(x)＝0在x＝0时取到)，f(x)在R上是增函数. 题型3：含有参数的函数单调性的讨论 3-1．（2024高三上·陕西咸阳·期中）已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)函数的极大值为，无极小值 (2)答案见解析 【分析】（1）求导，即可根据函数的单调性求解最值， （2）求导，分类讨论即可根据导函数的正负确定函数的单调性. 【详解】（1）当时，，其定义域为， . 令，则. 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 函数的极大值为，无极小值. （2），， 当时，，在上单调递增； 当时，由，得， 若，则,若，则，单调递减， 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为， 综上，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 3-2．（2024·福建泉州·模拟预测）已知函数. (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】 （1）利用导数的几何性质求解即可. （2）首先求导得到，再分类讨论，，，情况的单调性即可. 【详解】（1）由已知，则， 当时，，， 则曲线在处的切线方程为，即 （2）由（1）知，， ①当时，， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； ②当时，由，得， （ⅰ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； （ⅱ）当时，，，在单调递增； （ⅲ）当时，， 当时，，在，单调递增； 当时，，在单调递减； 综上可得：①当时，在单调递增，在单调递减； ②当时，在，单调递增，在单调递减； ③当时，在单调递增； ④当时，在，单调递增，在单调递减. 3-3．（2024高二·全国·专题练习）已知，．讨论的单调性； 【答案】在和上单调递增，在上单调递减 【分析】先对函数求导，再根据导函数的符号确定单调区间即可. 【详解】由题意，得 ，，∴， 当时，，单调递增；当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上所述，在和上单调递增，在上单调递减． 3-4．（2024高二上·上海·课后作业）讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】 求导后，分别讨论和时的正负，进而确定函数单调性. 【详解】的定义域为，； ①当时，在上恒成立，在上单调递增； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减. 3-5．（2024高三·全国·专题练习）设函数，其中为常数，讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】根据题意，由函数的解析式对其求导可得，分2种情况讨论：①与②时，分别利用导数分析函数的单调性，综合即可得答案． 【详解】根据题意，，则， 导数， 分2种情况讨论： ①当时，，函数在上为增函数； ②当时，， 令， 则有， 当时，，有恒成立， 则有，函数为减函数， 当时，，有两个根， 或， 且， 则在区间,和,上，， 则有，函数为减函数， 在区间,上， ，函数为增函数； 综合可得：当时，在上为增函数， 当时，函数在上为减函数， 当时，在区间, 和,上，函数为减函数， 在区间,上，函数为增函数． 3-6．（2024高二·全国·课后作业）求函数的单调区间． 【答案】详见解析. 【分析】求导，再分，求解. 【详解】解：因为函数， 所以， 当时，令，得，， 当或时，；当时，； 当时，令，得或， 当或时，，当时，， 综上：当时，的增区间是，，减区间是； 当时，的增区间是，减区间是，. （四） 单调性的应用 1.利用导数比较大小，其关键在于利用题目条件构造辅助函数，把比较大小的问题转化为先利用导数研究函数的单调性，进而根据单调性比较大小. 2.根据函数单调性求参数的一般思路 (1)利用集合间的包含关系处理：y＝f(x)在(a，b)上单调，则区间(a，b)是相应单调区间的子集. (2)f(x)是单调递增的充要条件是对任意的x∈(a，b)都有f′(x)≥0且在(a，b)内的任一非空子区间上，f′(x)不恒为零，应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解. (3)函数在某个区间存在单调区间可转化为不等式有解问题. 题型4：利用导数比较大小 4-1．（2024高二下·陕西西安·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 构造函数，利用导数判定其单调性，再结合对应的函数值，可得答案. 【详解】设，则， 令，解得，根据函数的单调性， 则当时，；当时，， 可得在上单调递增，在上单调递减. 而，，， 因为，所以. 故选：C. 4-2．（2024高二下·江西上饶·期末）已知实数：，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得，，，构造函数，利用导数探讨函数的单调性，结合单调性比较的大小作答. 【详解】由，得， 令，则，当时，，当时，， 于是函数在上单调递减，在上单调递增，则， 即，因此，即，又， 所以． 故选：D 【点睛】思路点睛：某些数或式大小关系问题，看似与函数的单调性无关，细心挖掘问题的内在联系，抓住其本质，构造函数，分析并运用函数的单调性解题，它能起到化难为易、化繁为简的作用. 4-3．（2024高二下·黑龙江哈尔滨·期末）已知函数，若，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先对求导，求出其单调区间，且注意到的对称轴是直线，由此即可得解. 【详解】由题意， 一方面有，令，所以有以下表格： 所以在上单调递减，在上单调递增，且有极小值； 另一方面注意到， 且有 因此，这表明了的对称轴是直线； 所以有， 又，且在上单调递增， 所以，所以. 故选：A. 【点睛】关键点点睛：单调区间是很容易求的，但是有个关键地方就是要把这三个数转化在同一单调区间内， 而此处的关键是发现直线是的对称轴. 题型5：解不等式 5-1．（2024高二下·湖北武汉·期末）已知定义域为的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，当时，，当时，，且，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先由题找到函数的单调性，画出示意图，从而判定不等式的解. 【详解】因为当时，，所以在单调递减； 当时，，所以在单调递增， 因为定义域为的奇函数，则过点，且，则过点， 由奇函数的图象关于原点对称，画出示意图如下：     或， 故选：D. 5-2．（2024高二下·四川绵阳·期中）已知定义在上的函数的导函数为，且，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，利用导数判断函数的单调性，不等式，即为不等式，再根据函数的单调性解不等式即可. 【详解】令，则， 所以函数在上单调递减， 不等式，即为不等式， 因为，所以， 不等式，即为不等式， 所以，所以，所以， 即不等式的解集为. 故选：B. 5-3．（2024高二下·江苏南通·阶段练习）设函数，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先判断出利用奇偶性，再利用导数求得的单调性，从而利用奇偶性、单调性解不等式即可得解. 【详解】 因为，其定义域为， 所以，故为奇函数， 又， 当且仅当，即时等号成立，所以在上单调递增， 故由得，即， 所以，解得. 故选：D. 5-4．（2024高二下·云南保山·期中）已知是定义在上的奇函数，其导函数为，，且当时，，则不等式的解集为 ． 【答案】． 【分析】由时，，可构造函数，判断其单调性，即可求得时，即的解集，再利用函数单调性和奇偶性，结合时，，即，可解得此时解集，综合可得答案. 【详解】由题意知当时，，， 故令，则， 即在上单调递增，且， 故由可解得， 即当时，，则即； 此时的解集为； 当时，，则即， 因为是定义在上的奇函数， 故为上的偶函数， 则在上单调递减，且， 故由可解得， 当时，无意义， 综合可得不等式的解集为， 故答案为： 【点睛】方法点睛：本题是关于函数的奇偶性以及单调性综合型题目，解答时要根据已知时，，根据其结构特征构造函数，并由此判断其单调性，再根据函数奇偶性，结合不等式变形，即可求解. 题型6：根据函数单调性求参数 6-1．（2024高二下·湖北武汉·期中）已知函数在上为减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求导，根据导函数的符号求解. 【详解】，由条件知当时，，即， 令，是减函数，； 故选：D. 6-2．（2024高二下·重庆江北·期中）若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可知：存在，使得，利用参变分离结合存在性问题分析求解. 【详解】因为， 由题意可知：存在，使得，整理得， 且在上单调递减，则，可得， 所以实数的取值范围是. 故选：A. 6-3．（2024高二下·江西抚州·阶段练习）函数在上存在单调递增区间，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用导数研究函数的有单调性可得不等关系，参数分离，根据值域求解. 【详解】函数，∴， ∵函数在上存在单调递增区间，，即有解， 令,,∴当时，，即可． 故答案为: 6-4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的单调递减区间是，则 . 【答案】 【分析】求导，根据函数单调递减区间是，可得为导函数的两个零点，从而可得出答案. 【详解】， 因为函数单调递减区间是， 所以，解得， 则，令，得， 所以函数单调递减区间是， 所以. 故答案为：. 6-5．（2024高二·全国·专题练习）已知函数．若在内不单调，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】求出函数的导数，然后参数分离，先求出函数在内单调时的范围，从而可得不单调时的范围. 【详解】由，得， 当在内为减函数时，则在内恒成立， 所以在内恒成立， 当在内为增函数时，则在内恒成立， 所以在内恒成立， 令，因为在内单调递增，在内单调递减， 所以在内的值域为，所以或， 所以函数在内单调时，a的取值范围是， 故在上不单调时，实数a的取值范围是． 故答案为：． 6-6．（2024高二下·福建龙岩·期中）已知函数在定义域内单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离可得在上恒成立，再结合二次函数的性质计算可得. 【详解】函数定义域为，且， 依题意在上恒成立， 所以在上恒成立， 因为函数在上单调递减， 且当时，所以，即实数的取值范围是. 故选：D 6-7．（2024高二下·辽宁阜新·期末）若函数在区间上单调，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D．不存在这样的实数 【答案】A 【分析】利用导数求出函数的单调区间，可得出区间的包含关系，即可得出的取值范围. 【详解】因为，该函数的定义域为，， 由可得，由可得或， 所以，函数的增区间为、，减区间为， 因为函数在区间上单调， 则或或， 若，则，解得； 若，则，解得； 若，则，解得. 综上所述，实数的取值范围是. 故选：A. 一、单选题 1．（2024高二下·四川成都·期中）已知函数在上为单调递增函数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题设可得在上恒成立，结合判别式的符号可求实数的取值范围. 【详解】， 因为在上为单调递增函数，故在上恒成立， 所以即， 故选：A. 2．（2024高三上·四川成都·阶段练习）若函数在区间上单调递增，则实数k的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数在区间上的导函数为非负数，列不等式，解不等式即可求得的取值范围. 【详解】由题意得， 在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 又函数在上单调递增，得， 所以，即实数的取值范围是. 故选：B 3．（2024高三上·河南安阳·期中）已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用导数讨论分段函数的单调性即可求解. 【详解】令函数，. 要满足条件，必须在上单调递减， 在上单调递减，且. 易知在上单调递减. ， 令,即,解得, 令,即,解得, 可得在上单调递增，在上单调递减，所以. ， 令,即,解得, 令,即,解得, 则当时，， 当时，， 要使，则. 所以的取值范围是. 故选:C. 4．（2024高三上·陕西汉中·阶段练习）已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数（    ） A．在上单调递增 B．在上单调递减 C．在上单调递增 D．在上单调递减 【答案】D 【分析】根据导函数图象判断出原函数的单调性. 【详解】根据导函数的图象可知，在区间上递减， 在区间上，递增， 所以D选项正确，ABC选项错误. 故选：D 5．（2024高二上·黑龙江双鸭山·期末）函数​的单调递增区间是（    ） A．​ B．​和​ C．​ D．​ 【答案】D 【分析】求导后，根据的正负可确定单调递增区间. 【详解】的定义域为，， 当时，；当时，； 的单调递增区间为. 故选：D. 6．（2024高二下·宁夏中卫·期中）函数的单调递减区间是（    ） A．, B．, C．, D．, 【答案】A 【分析】运用导数求解. 【详解】函数的导数 ，由得， 即， 所以函数的单调递减区间为； 故选：A. 7．（2024·湖南·二模）设函数在定义域内可导，的图象如图所示，则其导函数的图象可能是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的图象可得的单调性，从而得到在相应范围上的符号，据此可判断的图象. 【详解】由的图象可知，在上为单调递减函数，故时，，故排除A，C；当时，函数的图象是先递增，再递减，最后再递增，所以的值是先正，再负，最后是正，因此排除B， 故选：D. 8．（2024高二上·江苏常州·期末）函数的单调减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出导数，利用导数小于0可得答案. 【详解】函数的定义域为， ， 由得， 所以的单调减区间为. 故选：D. 9．（2024高二下·四川资阳·期末）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D．， 【答案】A 【分析】利用导数公式对函数进行求导，再根据导数与函数单调性的关系计算求解. 【详解】因为，所以函数的定义域为， 所以，由有：， 所以函数的单调递减区间为，故B，C，D错误. 故选：A. 10．（2024高二下·河北唐山·期中）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导函数在上恒成立，即可结合基本不等式求解. 【详解】由于在上单调递增，所以在上恒成立，故在上恒成立， 由于当且仅当 时取等号，所以 ， 故选：C 11．（2024高二下·广东东莞·阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且对任意都有，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令，利用导数法判断其单调性，再利用其单调性解不等式. 【详解】解：令， 则， 所以在R上递增， 又， 则不等式等价于， 所以， 故选：A 12．（2024高二下·新疆乌鲁木齐·阶段练习）已知是函数的导函数，函数. 的图象如图所示，则的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 取和，根据函数图像得到导函数的符号，进而判断原函数单调性，再逐一对照选项即可． 【详解】当时，由图象可得，则， 故在上单调递减，可知A、D错误； 当时，由图象可得，则， 故在上单调递减，可知B错误； 故选：C. 13．（2024高二下·上海普陀·期末）已知函数，其导函数的图像如图所示．以下四个选项中，可能表示函数图像的是（    ）      A．     B．   C．   D．   【答案】B 【分析】根据图象，以及导数的几何意义，即可求解． 【详解】从的图象可以看出，在区间,内，导函数大于0，且在区间,内， 导函数单调递增，在区间,内，导函数单调递减， 所以函数在区间,内单调递增，且的图象在区间内,越来越陡峭， 在区间,内越来越平缓，故选项符合题意． 故选：B． 14．（2024高二上·福建南平·阶段练习）已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用导数与函数的关系将问题转化为恒成立问题，从而得解. 【详解】因为，所以， 因为在区间上单调递减， 所以，即，则在上恒成立， 因为在上单调递减，所以，故. 故选：A. 15．（2024高三上·辽宁大连·期中）若函数在具有单调性，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据导数与函数的单调性的关系进行求解即可. 【详解】由， 当函数在单调递增时， 恒成立，得，设， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以， 因此有， 当函数在单调递减时， 恒成立，得，设， 当时，单调递增， 当时，单调递减，所以， 显然无论取何实数，不等式不能恒成立， 综上所述，a的取值范围是， 故选：C 16．（2024高二下·北京·期中）若函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】C 【分析】确定函数在和上单调递减，在和上单调递增，对比得到答案. 【详解】设导函数图像与的交点横坐标分别为和，，， 根据图像： 和时，； 和时，； 则函数在和上单调递减，在和上单调递增. 对比图像知C满足. 故选：C. 17．（2024高二下·陕西汉中·期中）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导后，令导数小于0求解即可. 【详解】函数的定义域为， ， 令，解得， 则的单调递减区间为. 故选：B. 18．（2024·安徽马鞍山·一模）设函数在定义域内可导，其图象如图所示，则导函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象得出单调性，然后判断导函数的正负即可选出答案. 【详解】由函数的图象，知 当时，是单调递减的，所以； 当时，先递减，后递增，最后递减，所以先负后正，最后为负． 故选：B． 19．（2024高二下·河南省直辖县级单位·阶段练习）设，则的单调递减区间是（    ） A． B． C． D．和 【答案】D 【分析】 利用函数的单调性与导函数的正负之间的关系即可得. 【详解】由，得， 令，得或， ，的变化情况如下表所示. 单调递减 单调递增 单调递减 所以，的单调递减区间是和. 故选：D. 20．（2024高三上·广东揭阳·阶段练习）函数在求导时可运用对数法：在解析式两边同时取对数得到，然后两边同时求导得，于是，用此法探求的递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】仔细分析题意，找出，然后依据题意求函数的导数，判断导数的单调性，求出一个单调增区间即可． 【详解】仿照题目给定的方法，， 所以， 所以，， ∵，∴， ∴要使，只要，即：， 所以的递增区间为：或它的一个子集即可. 故选：B. 21．（2024高三上·山东德州·期中）函数的定义域为，若存在闭区间，使得函数同时满足：在上是单调递增函数，且在上的值域为（），则称区间为的“倍值区间”．如下四个函数，存在“2倍值区间”的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】B 【分析】根据所给定义得到方程组，再根据图像判断或构造函数利用导数说明函数的单调性，即可判断函数的零点，从而得解. 【详解】对于A:，函数在上单调递增， 若函数存在“倍值区间”，则， 令，，则， 所以在上单调递减，故在上不可能存在两个零点， 所以函数不存在“2倍值区间”，故A错误； 对于B:为增函数，若函数存在“2倍值区间”，则， 令，则，所以当时，当时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，即有两个根，所以存在2倍值区间，故B正确； 对于C:在上单调递增， 若函数存在“2倍值区间”，则， 所以，解得. 所以函数不存在“2倍值区间”，故C错误； 对于D：为增函数， 若存在“2倍值区间”，则， 结合及的图象知，方程无解， 故不存在“2倍值区间”，D错误； 故选：B 22．（2024高二下·湖北恩施·期中）已知函数，其中是自然对数的底数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意求得，得到为奇函数，把不等式化为，再求得，得到为单调递增函数，把不等式转化为，即可求解. 【详解】由函数的定义域为， 且， 所以函数为奇函数， 所以不等式，可化为， 又由， 因为，所以，为单调递增函数， 由，可得，即，解得， 所以实数的取值范为. 故选：B. 23．（2024高二下·天津·期中）已知是定义在R上的偶函数，当时，，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用导数研究函数单调性，由奇偶性和单调性解不等式. 【详解】当时，，， 因为，，所以恒成立， 所以在单调递增， 又因为是定义在R上的偶函数，所以在单调递减， 所以， 所以由，可得，解得. 故选：A 24．（2024高三上·河南·阶段练习）已知函数在区间上不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】把在区间上不是单调函数，转化为在区间上有零点，用分离参数法得到，规定函数，求出值域即可得到实数的取值范围. 【详解】因为在区间上不是单调函数， 所以在区间上有解，即在区间上有解． 令，则． 当时，；当时，． 故在上单调递减，在上单调递增．又因为， 且当时， 所以在区间上单调递增，所以，解得. 故选：A 25．（2024高二下·湖北·阶段练习）若函数在其定义域的一个子区间内不是单调函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出函数的定义域，则有，对函数求导后，令求出极值点，使极值点在内，从而可求出实数的取值范围. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，即， ， 令，得或（舍去）， 因为在定义域的一个子区间内不是单调函数， 所以，得， 综上，， 故选：A 26．（2024高二上·陕西西安·期末）函数的图象如图，则导函数的图象可能是下图中的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据函数的奇偶性及单调性，判断导函数的奇偶性及函数值的正负即可求解. 【详解】由函数图象知为偶函数，则，因为的导数存在， 两边取导数可得，由复合函数的求导公式可得，故， 即为奇函数，排除CD， 由原函数图象可知当时，先递增再递减，故在时，函数值先正后负，故排除B， 故选：A 27．（2024高二下·湖南湘潭·期末）已知函数在上不单调，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得，根据在区间上不单调列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】， 当时，在区间上单调递减，不符合题意. 当，时，， 在区间上单调递减，不符合题意. 当时，令，解得， 要使在区间上不单调，则， 即，解得, 此时在区间上递减； 在区间上递增. 故选：B 28．（2024高三上·福建三明·期中）已知函数，则在上不单调的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导，令，根据在上不单调，由在上有变号零点求解. 【详解】， 令， 因为在上不单调， 在上有变号零点，即在上有变号零点， 当 时， ，不成立； 当 时，只需 ，即 ， 解得 或 ， 所以 在上不单调的充要条件是或 ， 所以在上不单调的一个充分不必要条件是， 故选：B 29．（2024高二下·广西南宁·期末）已知函数在区间上单调递增，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据在上恒成立，再根据分参求最值即可求出． 【详解】依题可知，在上恒成立， 显然，所以， 设，所以，所以在上单调递增， ，故，即，即a的最小值为． 故选：D． 二、多选题 30．（2024高二上·广东梅州·期末）设，都是单调函数，其导函数分别为，，，下列命题中，正确的是（    ） A．若，，则单调递增； B．若，，则单调递增； C．，，则单调递减； D．若，，则单调递减； 【答案】BC 【解析】举出特例，排除选项AD，根据两个增函数的和为增函数，两个减函数的和为减函数判断BC.即可求解. 【详解】，函数为增函数，时，函数为减函数，同理时，函数为增函数，时，函数为减函数， 不妨取，，则满足，， ，显然是减函数，排除A选项； 取，，满足，， 则，故是增函数，排除选项D； 当，时，函数为增函数，为减函数，则为增函数， 所以为增函数，故B正确； 当，时，为减函数，为增函数，为减函数， 所以为减函数，故C正确. 故选：BC 31．（2024高二下·山西运城·阶段练习）设是函数的导函数，将和的图象画在同一直角坐标系中，可能正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据原函数与导函数的图象关系依次判断选项即可. 【详解】对选项A，若图中的直线为的图象，曲线为的图象， 因为的图象先负后正，的图象先减后增，故A可能正确. 对选项B，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象， 因为的图象在处先负后正，的图象在处先减后增， 故B可能正确. 对选项C，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象， 因为恒成立，的图象为增函数，故C可能正确. 对选项D，若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象， 因为的图象先负后正，的图象为增函数，不符合， 若图中上面的曲线为的图象，下面曲线为的图象， 因为恒成立，的图象为增函数，不符合，故D错误. 故选：ABC 32．（2024高二下·福建漳州·期末）已知函数的导函数图象如图，那么的图象可能是（    ）    A．     B．   C．   D．   【答案】BD 【分析】根据导函数的函数值反映的是原函数的切线斜率大小可得答案． 【详解】从导函数的图象可知两个函数在处切线斜率相同，可以排除C， 再由导函数的函数值反映的是原函数的切线斜率大小，可明显看出的导函数的值在减小， ∴原函数切线斜率应该慢慢变小，排除A， 选项BD中的图象，都符合题意. 故选:BD． 33．（2024高二下·吉林长春·期中）函数的一个单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由导数求得函数的单调增区间后判断各选项. 【详解】由题意，，，因此的增区间是， 因此ABD正确，C错误． 故选：ABD． 34．（2024高二下·全国·单元测试）函数的单调减区间可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】求出函数的导数，解不等式，即可求得答案. 【详解】由题意得， 令，解得或， 结合选项可知函数的单调减区间可以为,, 故选:AC. 35．（2024高二下·湖北黄冈·阶段练习）已知定义在上的函数满足，在下列不等关系中，一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】 构建，求导，结合题意可知在上单调递减，利用单调性分析判断. 【详解】令，则， 因为，则， 且，可得恒成立，所以在上单调递减， 可得，即， 整理得，，故A、D正确，B、C错误. 故选：AD. 三、填空题 36．（2024高三·全国·专题练习）已知函数在区间上不单调，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】求导，利用导函数在内有解即可，结合二次函数的性质求解即得. 【详解】 ∵函数在区间上不单调， ∴在区间内有解， 则在内有解， 易知函数在上是减函数， ∴的值域为， 因此实数a的取值范围为. 故答案为： 37．（2024高三上·江苏淮安·阶段练习）已知函数，若在区间上单调递增，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由导数求解函数的单调递增区间，即可列不等式求解. 【详解】由得， 由于函数的定义域为，故令,解得，故的单调递增区间为， 若在区间上单调递增，则，解得， 故答案为： 38．（2024·辽宁鞍山·二模）若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，得到在恒成立，结合正弦函数的性质，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为函数在上单调递减，则在上恒成立，即在恒成立， 因为，所以，即实数的取值范围为. 故答案为：. 39．（2024高三上·江苏苏州·阶段练习）已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用导数恒为非负，即可利用最值求解. 【详解】由得， 由于函数在上单调递增，故在上恒成立， 因此在对任意的恒成立，所以， 故答案为： 40．（2024高二下·湖北武汉·期末）函数的单调减区间为 . 【答案】 【分析】求导后，令导数小于0，求解即可. 【详解】的定义域为， ， 令，可得，可得， 又，则或， 所以的单调递减区间是. 故答案为： 41．（2024高三上·贵州贵阳·阶段练习）已知函数存在单调递减区间，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用函数单调性与导数的关系，列出不等式即可求解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 依题意，不等式在上有解，等价于在上有解， 而，当且仅当时取等号，则， 所以实数a的取值范围是. 故答案为：． 42．（2024高三上·新疆·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】 利用导函数研究函数单调性再结合指数函数的值域计算即可. 【详解】 因为在区间上单调递增， 所以当时，恒成立， 即在恒成立， 又，所以. 故答案为：. 43．（2024高三上·山东日照·阶段练习）若对任意的，且当时，都有，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】将问题化为在且上递增，进而利用导数在区间上的符号列不等式求参数范围. 【详解】由题设，即， 令，则函数在且上递增，而， 所以，即在上恒成立，故. 故答案为： 44．（2024高二下·福建泉州·期中）已知函数满足，则实数a的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题意，求得且，得到在区间上为单调递增函数，结合不等式，得出不等式组，即可求解. 【详解】由函数，可得函数的定义域为， 且， 所以函数在区间上为单调递增函数， 又由不等式，可得，即， 解得或，即实数的取值范围是. 故答案为：. 45．（2024高二下·福建漳州·阶段练习）若函数在区间(1，4)上不单调，则实数a的取值范围是 . 【答案】(4，5) 【分析】由已知得在上存在变号零点，参变分离后利用导数讨论新函数的单调性后可得实数的取值范围. 【详解】解：函数，， 若函数在区间上不单调，则在上存在变号零点， 由得， 令，，， 在递减，在递增，而，，， 所以. 故答案为：. 46．（2024高二下·广西·期中）若函数在存在单调递减区间，则a的取值范围为 ． 【答案】 【分析】将题意转化为：在有解，利用参变量分离得到，转化为，结合导数求解即可． 【详解】，等价于在有解，即在有解， 即在有解，所以， 令， 则，即在上是增函数， ∴，所以. 故答案为：. 47．（2024高二上·浙江宁波·期中）若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据题意转化为在上有解，分离参数后求函数最值即可得解. 【详解】，由题意在上有解， 即在上有解， 根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值， 故，故实数的取值范围是. 故答案为： 48．（2024·海南省直辖县级单位·模拟预测）若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】对函数求导，根据函数区间单调性有在上恒成立，令，进而化为在上恒成立，即可求参数范围. 【详解】由题设在上恒成立． 设，即在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，即实数的取值范围为． 故答案为： 49．（2024·海南·模拟预测）设且，若函数在上单调递增，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】通过对函数进行求导后，对和，分两种情况讨论即可. 【详解】由题意知：， 当时，，，所以，所以在上单调递减； 当时，，，要使，则，整理得， 所以，解得． 故答案为： 50．（2024高三上·广西·阶段练习）若函数是上的减函数，则实数的最大值为 ． 【答案】/ 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，设，利用导数求得函数的单调性与最大值，进而求得的取值范围，即可求解. 【详解】由函数是上的减函数， 则在上恒成立， 即在上恒成立， 设，则， 当时，，函数单调递减 当时，，函数单调递增， 可得，所以，即实数的最大值为． 故答案为：. 四、解答题 51．（2024高三上·湖北·期中）已知函数. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求出这条切线的方程； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，根据导函数几何意义和平行关系得到方程，求出，从而得到，求出切线方程； （2）求定义域，求导，对导函数因式分解，分，和三种情况，讨论得到函数的单调性. 【详解】（1）， 由已知， ∴得 又 ∴曲线在点处的切线方程为 化简得： （2）定义域为R， ，令得或 ①当即时， 令得或，令得， 故在单调递减，在，上单调递增； ②当即时，恒成立， 故在R上单调递增； ③当即时， 令得或，令得， 在上单调递减，在，上单调递增； 综上，当时，在单调递减，在，上单调递增； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递减，在，上单调递增； 52．（2024高二下·重庆璧山·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】(1)代入，求出即可求得切线方程； (2)函数求导 ，对分类讨论，进而求得单调性. 【详解】（1）当时，， ，所以，曲线在处的切线方程为. （2）， ①当时，，所以函数在上单调递增； ②当时，令，则(舍)或， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. ③当时，令，则或(舍)， ，当时，函数单调递减； ，当时，函数单调递增. 综上所述：当时，函数在(0,+∞)上单调递增； 当时，当时，函数单调递减            当时，函数单调递增； 当时，当时，函数单调递减；            当时，函数单调递增 53．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求出函数的定义域与导函数,分，两种情况讨论的正负得出函数的单调性． 【详解】由题意，得函数的定义域为R，则， 当时，对任意恒成立，∴函数在R上单调递减； 当时，令，得，令，得， ∴函数在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，在R上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增． 54．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求得，分，和，三种情况讨论，结合的符号，即可求解. 【详解】由函数的定义域为，且， 令，解得， 若，当时，；当时，， 所以函数在单调递增，在单调递减. 若，当时，；当时，， 所以函数在单调递减，在单调递增. 若，此时函数为常数函数，无单调性. 55．（2024高三·全国·专题练习）已知函数．求函数的单调区间． 【答案】增区间为，减区间为． 【分析】求导后，根据导数的符号可得单调区间. 【详解】的定义域为，， 令，解得． 令，得，令，得， ∴的单调递增区间为，单调递减区间为． 56．（2024高二·全国·专题练习）已知函数.讨论函数的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】 求导后，分别在和的情况下，根据正负得到单调性. 【详解】 方法一：由题意得：定义域为，， 由得：，即； ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当时，， 令，解得：， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 方法二：由题意得：定义域为，； ①当时，恒成立，在上单调递增； ②当时，由得：；由得：， 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 57．（2024高二下·山东淄博·阶段练习）（1）已知函数，.在区间内是减函数，求的取值范围； （2）已知函数.讨论的单调性. 【答案】（1）； （2）当时，函数单调递减，当时，函数在上单调递减，在 上单调递增. 【分析】（1）求导后利用分离参数法即可求出的取值范围； （2）对函数求导，分类讨论不同情况时的导函数情况，即可得出的单调性. 【详解】（1）由题意，， 在中，， 函数在区间 内是减函数, ∴当 时, 恒成立, 即当 时, 恒 成立, 故当 时, 恒成立， 设， 根据对勾函数的单调性知，在上单调递减， 在上单调递增，且，，则， ∴当 时, ，解得：. ∴的取值范围是. （2）由题意， 在中， 当时, 则 , 在 上单调递减. 当时, 由，解得 . 当 时, ； 当 时, . ∴ 在 上单调递减, 在 上单调递增， 综上，当时，函数单调递减， 当时，函数在上单调递减，在 上单调递增. 58．（2024高三上·北京·阶段练习）已知函数 其中． (1)若，求函数的单调区间和极值; (2)当时，讨论函数的单调区间． 【答案】(1)的单调减区间为， 单调增区间为；极小值 (2)分类讨论，答案见解析. 【分析】（1）根据题意，求导得，即可得到结果； （2）根据题意，求导得，然后分，以及讨论，即可得到结果. 【详解】（1）函数的定义域为． 则， 令，可得， 当变化时，和的变化情况如下： 单调递减 单调递减 单调递增 故函数的单调减区间为; 单调增区间为． 当时，函数有极小值. （2）因为 ，所以， 所以函数的定义域为， 求导可得 令，可得， 当时，， 因为(当且仅当时，) 所以函数在单调递增． 当时，， 当变化时， 和的变化情况如下： 单调递增 单调递减 单调递增 故函数的单调减区间为单调增区间为 当 时，， 当变化时，和的变化情况如下： 单调递增 单调递减 单调递增 故函数的单调减区间为单调增区间为， 综上，当时，函数在单调递增；当时，函数的单调减区间为单调增区间为；当 时，函数的单调减区间为单调增区间为， 59．（2024高三上·河北保定·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求导，再根据导数的几何意义即可得解； （2）求导，再根据分类讨论，即可得出答案. 【详解】（1）函数的定义域为， 当时，，则， 则， 所以曲线在处的切线方程为， 即； （2）， 当时，因为，所以， 所以函数在上单调递增， 当时，令，则， 当或时，， 当时，， 所以函数在和上单调递增， 在上单调递减， 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增， 在上单调递减. 60．（2024高二·全国·专题练习）已知函数．讨论当时，单调性． 【答案】答案见解析 【分析】求出的定义域和导数，分和两种情况讨论在相应区间上的符号从而可求出的单调性. 【详解】由题意可知 对于二次函数． 当时，恒成立，在上单调递减； 当时，二次函数有2个大于零的零点，分别是， 当时，在单调递增； 当时，在和单调递减 综上：当时在（0，＋∞）单调递减 当时在单调递增；在和上单调递减． 61．（2024高二下·全国·专题练习）已知函数，讨论的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】求定义域，求导，令，根据二次函数根的分布情况，结合韦达定理讨论的正负，即可得出的单调性. 【详解】定义域为，， 令， ①当时，恒成立，，在是增函数； ②时，， 当，即时，由得，， 因为，所以， 由或，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为，， 当，即时，恒成立，在是增函数， 综上可知： 时，在是增函数； 时，的单调递减区间为，单调递增区间为，. 62．（2024高二·全国·专题练习）已知函数.讨论的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】 求导后，分别在和的情况下，根据的正负可确定单调性. 【详解】 由题意知，定义域为，； 令，则. ①当，即时，（当且仅当，时取等号）， 在上单调递减； ②当，即时，令，解得，， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 63．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的单调递减区间. 【答案】答案见解析 【分析】求得的定义域和导函数，对进行分类讨论，由此求得的单调性. 【详解】易得的定义域为， ， 令得或. 当时，因为，所以，令得，所以的单调递减区间为. 当时， ①若，即，当时，,当时，， 当时，， 所以的单调递减区间为； ②若，即，当时，恒成立，没有单调递减区间； ③若，即，当时，，当时，， 当时，所以的单调递减区间为. 综上所述，当时，的单调递减区间为；当时，的单调递减区间为； 当时，无单调递减区间；当时，的单调递减区间为. 64．（2024高三上·北京顺义·阶段练习）已知函数. (1)当时，求函数的最小值； (2)当时，讨论的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）直接代入，求出导数，令导函数为0 求出最小值； （2）分，和讨论即可. 【详解】（1）当时：，令解得， 又因为当，，此时函数单调递减； 当，，此时函数单调递增. 所以的最小值为. （2）， 当时，由，得或. ①若，则，故在上单调递增； ②若，则.故当时，或； 当时，. 所以在，上单调递增，在上单调递减. ③若，则.故当时，或； 当时，. 所以在，上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 65．（2024高三上·河南南阳·阶段练习）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，讨论函数的单调性； 【答案】(1) (2)在区间上单调递增，在区间上单调递减 【分析】（1）根据导数的几何意义求出切线的斜率，再根据点斜式求出切线方程； （2）对函数求导，再利用导数与函数单调性间的关系，即可得函数的单调区间. 【详解】（1）当时，，则， 所以，当时，，又， 所以，由导数的几何意义知曲线在点处的切线方程为． （2）因为，易知，， 则， 又，当时，,当时，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减． 66．（2024高三上·甘肃庆阳·阶段练习）已知函数 (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，求函数的单调递增区间. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解； （2）先对函数求导，令，得或，分，和三种情况讨论，结合导数即可求得的单调区间 【详解】（1）当时，，则， 所以切线的斜率，又， 所以在处的切线方程为，即． （2）因为，所以， 令，得或，又， 当时，恒成立，所以在上单调递增． 当时，， 令，得或， 所以的单调递增区间为，； 当时，， 由，得或， 所以的单调递增区间为，； 综上所述，当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，； 当时，的单调递增区间为，. 67．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，其中.求函数的单调区间； 【答案】答案见解析 【分析】求出，分、、讨论可得答案； 【详解】， 令得， 当时，，则函数在上单调递增， 当时， 或时，， 时，，所以函数在，上单调递增，在上单调递减， 当时， 或时，，时，， 所以函数在，上单调递增，在上单调递减. 综上所述，当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，函数的单调递增区间为，，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为在，，单调递减区间为. 68．（2024高二·全国·专题练习）讨论函数 的单调性； 【答案】答案见解析 【分析】 利用导数结合分类讨论的取值范围判断导函数的符号来判定单调性即可. 【详解】由已知得， 则①当时， ， 所以在单调递增； ②当时，， 所以在单调递减； ③当时， 则， 当时，，当时，， 所以 在 上单调递减， 在上单调递增. 综上：当时，在单调递增； 当时，在单调递减； 当时， 在 上单调递减， 在上单调递增. 69．（2024高二·全国·专题练习）已知函数．求函数的单调区间； 【答案】答案见解析 【分析】 求出导函数，分，，三种情况讨论，判断导函数的符号，可得函数的单调区间 【详解】依题意，的定义域为R，     求导得，令，得或， 若，，，递增； ，，递减；，，递增， 若，则，在R上单调递增， 若，，，递增； ，，递减；，，递增， 综上，当时，函数的递增区间是，递减区间是； 当时，函数在R上单调递增； 当时，函数的递增区间是，递减区间是. 70．（2024高二·全国·专题练习）已知函数，讨论函数的单调性． 【答案】答案见解析 【分析】 令可求得两根，分别讨论、和的情况，根据正负确定函数单调性. 【详解】 由题意知：定义域为，， 令，解得：，； ①当，即时，若，；若，； 在上单调递增，在上单调递减； ②当，即时，且不恒等于， 在上单调递增； ③当，即时，若，；若，； 在上单调递增，在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$