第四章第05讲 难点探究专题：线段上的动点问题（4类热点题型讲练）-【帮课堂】2024-2025学年七年级数学上册同步学与练（北师大版2024）

第05讲 难点探究专题：线段上的动点问题(4类热点题型讲练) 目录 【考点一 线段上含动点求线段长问题】 1 【考点二 线段上含动点求定值问题】 7 【考点三 线段上含动点求时间问题】 16 【考点四 线段上含动点的新定义型问题】 19 【考点一 线段上含动点求线段长问题】 例题：（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 【变式训练】 1．（2023七年级上·全国·专题练习）（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 cm； ②若，则 cm； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ；    2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当点C为中点时，求的长． (2)若E为中点，当时，求的长． 3．（23-24七年级上·河北承德·期末）应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．    (1)若，求的长； (2)若为的中点，则与的数量关系是______； (3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变． 4．（2023七年级上·全国·专题练习）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 5．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）综合与实践 已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和9．    (1)观察发现： 直接写出线段__________． (2)情境探究： 情境①：当点P为线段的中点时，且M为的中点，N为的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段__________； 情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为的中点，N为的中点，试通过计算判断的长度是否发生变化？ (3)迁移类比： 当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为的中点，N为的中点，直接写出线段的长． 【考点二 线段上含动点求定值问题】 例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点． (1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________． (2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）如图，M是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，N是线段的中点，，设点M运动时间为t秒． (1)当时，①______，②此时线段的长度______； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若中点为C，则的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由． 2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________； (2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 4．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒． (1)若时， 求的长； (2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度． 5．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 【考点三 线段上含动点求时间问题】 例题：（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【考点四 线段上含动点的新定义型问题】 例题：（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知线段，点在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)点是线段上的动点，线段的中点为，设． ①请用含有的式子表示线段，的长； ②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·山东青岛·期末）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 2．（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第05讲 难点探究专题：线段上的动点问题(4类热点题型讲练) 目录 【考点一 线段上含动点求线段长问题】 1 【考点二 线段上含动点求定值问题】 7 【考点三 线段上含动点求时间问题】 16 【考点四 线段上含动点的新定义型问题】 19 【考点一 线段上含动点求线段长问题】 例题：（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）点C在线段上满足，点D和点E是线段上的两动点（点D在点E的左侧）满足，． (1)当点E是的中点时，求的长度； (2)当时，求的长度． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段的和差，线段的中点． （1）由，可得，，由点E是的中点，得到，从而，； （2）设，则，，根据即可得到方程，求解即可解答． 【详解】（1）∵，， ∴，， ∵点E是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）设，则， ， ∵， ∴， 解得， ∴． 【变式训练】 1．（2023七年级上·全国·专题练习）（1）如图，已知，点C为线段上的一个动点，D、E分别是、的中点； ①若点C恰为的中点，则 cm； ②若，则 cm； （2）如图，点C为线段上的一个动点，D、E分别是的中点；若，则 ；    【答案】 6 6 / 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，注意同一条直线上的两条线段的中点间的距离等于这两条线段和的一半．根据线段的中点性质，可得线段的中点分线段相等，根据线段的和差，可得答案． 【详解】解：（1）①∵，点C恰为的中点， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， ②∵，， ∴, ∵D、E分别是、的中点, ∴,, ∴， 故答案为：6，6； （2）DE的长度与点C的位置无关； 因为点D、E分别是、的中点， ∴， ∴． 故答案为：． 2．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）如图，已知线段，点C为线段上一动点，点D在线段上且满足． (1)当点C为中点时，求的长． (2)若E为中点，当时，求的长． 【答案】(1)2 (2)6 【知识点】线段的和与差、两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，解题的关键是正确的识别图形． （1）根据线段中点的性质计算即可； （2）根据线段中点的性质和给出的数据，结合图形计算． 【详解】（1）解：∵点C为中点， ∴， ∵ ∴； （2）解：如图， ∵E为中点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（23-24七年级上·河北承德·期末）应用题：如图，已知线段，点为线段上的一个动点，点、分别是和的中点．    (1)若，求的长； (2)若为的中点，则与的数量关系是______； (3)试着说明，不论点在线段上如何运动，只要不与点和重合，那么的长不变． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、线段之间的数量关系 【分析】此题考查了线段的和差计算，线段中点的计算，解题的关键是熟练掌握线段之间的数量关系． （1）首先根据线段的和差关系求出，然后根据线段中点的概念求出，，进而求和可解； （2）根据线段中点的概念求解即可； （3）根据线段中点的概念求解即可． 【详解】（1）， ， 点是的中点， ， 点是的中点， ， ()； （2）为的中点， ， 点是的中点， ； （3）点是的中点， ， 点是的中点， ， ()， 的长不变． 4．（2023七年级上·全国·专题练习）如图，是线段上一点，，，两动点分别从点，同时出发沿射线向左运动，到达点处即停止运动． (1)若点，的速度分别是，． ①若，当动点，运动了时，求的值； ②若点到达中点时，点也刚好到达的中点，求； (2)若动点，的速度分别是，，点，在运动时，总有，求的长度． 【答案】(1)；； (2)． 【知识点】与线段有关的动点问题、线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】（）先计算，再计算即可；利用中点的性质求解即可； （）设运动时间为，则，，得到，又由，得到，进而得到即可求解； 本题考查了线段上动点问题、求线段的长度，充分利用中点和线段的倍数关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得：，， ； ∵点到达中点时，点也刚好到达的中点，设运动时间为， 则：，， ； （2）解：设运动时间为，则，， ， ， ． 5．（23-24七年级上·河南周口·阶段练习）综合与实践 已知数轴上A、B两点所表示的数分别为和9．    (1)观察发现： 直接写出线段__________． (2)情境探究： 情境①：当点P为线段的中点时，且M为的中点，N为的中点，请你借助直尺在图1中画出相应的图形，并写出线段__________； 情境②：当点P为线段AB上的一个动点时，如图2，且M为的中点，N为的中点，试通过计算判断的长度是否发生变化？ (3)迁移类比： 当点P为数轴上点A左侧的一个动点时，如图3，且M为的中点，N为的中点，直接写出线段的长． 【答案】(1)12 (2)情境①：图见解析，6；情境②：的长度不变． (3)6 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，线段的中点，理解中点的定义是解答本题的关键． （1）根据两点间的距离求解即可； （2）情境①：先根据点P为线段的中点求出，再根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可； 情境②：根据M为的中点，N为的中点求出，，然后相加即可； （3）根据中点的定义得，，然后根据求解即可． 【详解】（1）． 故答案为：12； （2）情境①：如图，    ∵点P为线段的中点， ∴． ∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． 故答案为：6； 情境②：∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． ∴， ∴的长度不变； （3）∵M为的中点，N为的中点， ∴，， ∴． 【考点二 线段上含动点求定值问题】 例题：（23-24七年级上·河南许昌·期末）如图，数轴上点A，B表示的有理数分别为，3，点P是射线上的一个动点（不与点A，B重合），M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点． (1)若点P表示的有理数是0，那么的长为___________；若点P表示的有理数是6，那么的长为___________． (2)点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长是否发生改变？若不改变，请写出求的长的过程；若改变，请说明理由． 【答案】(1)； (2)不会，的长为定值 【知识点】数轴上两点之间的距离、线段的和与差 【分析】本题主要考查了两点间的距离，熟练掌握两点间的距离公式是解题的关键． （1）根据题意求出的长度，根据三等分点的定义求出的长度，即可得到答案； （2）分及两种情况分类讨论即可得到答案． 【详解】（1）解：若点P表示的有理数是0， 根据题意可知：， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 若点P表示的有理数是6， ， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 故答案为：；； （2）解：的长不会发生改变； 设点表示的有理数为（且）， 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 当时，，， M是线段靠近点A的三等分点，N是线段靠近点B的三等分点， ， ； 综上所述，点P在射线上运动（不与点A，B重合）的过程中，的长不会发生改变，长是定值． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·湖南湘西·期末）如图，M是线段上一动点，沿以的速度往返运动1次，N是线段的中点，，设点M运动时间为t秒． (1)当时，①______，②此时线段的长度______； (2)用含有t的代数式表示运动过程中的长； (3)在运动过程中，若中点为C，则的长度是否变化？若不变，求出的长；若变化，请说明理由． 【答案】(1)①2，②； (2)当时，，当时，； (3)的长度不变，为 【知识点】用代数式表示式、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的和差计算，线段中点的定义，列代数式： （1）①根据路程等于速度乘以时间进行求解即可；②根据线段的和差关系和线段中点的定义可得答案； （2）分当时，当时，两种情况讨论求解即可； （3）根据线段中点的定义得到，再由线段的和差关系可得． 【详解】（1）解；①由题意得，； ②∵，， ∴， ∵N是线段的中点， ∴； （2）解：当时，， 当时，； （3）解：∵点C和点N分别是的中点， ∴， ∴， ∴的长度不变，为． 2．（23-24七年级上·江苏南通·阶段练习）如图，是线段上一动点，沿的路线以的速度往返运动1次，是线段的中点，，设点的运动时间为． (1)当时，则线段________，线段________； (2)当为何值时，？ (3)点从点出发的同时，点也从点出发，以的速度向点运动，若当运动时间满足时，线段的长度始终是一个定值，求这个定值和的值． 【答案】(1)4；3 (2)或 (3)，定值为5 【知识点】整式加减中的无关型问题、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段动点问题，线段中点性质，线段和差关系 （1）根据可求出的长以及的长，再由是线段的中点，即可求得； （2）分情况讨论，当时，存在；当时，存在，考虑两种情况即可； （3）根据点和点的速度，可以大概画出示意图，从而表示出线段，即可求得． 【详解】（1）解：∵，点以的速度运动， ∴时，，， ∵是线段的中点， ∴ 故答案为： （2）解：∵是线段的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， 当点从时， 当点从时， ∵点沿的路线需要 故 综上所述，当为或时，． （3）解：如图， 由题意得：点的速度是，点速度为 ∵， ∴点在点右侧， 由题意可知 ∴ ∵是线段的中点 ∴ 即 ∵线段的长度始终是一个定值 ∴ 故解得，定值为5 3．（23-24七年级上·全国·单元测试）A，B 两点在数轴上的位置如图所示，其中点 A 对应的有理数为，且．动点 P 从点 A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴正方向运动，设运动时间为t秒（t）．    (1)当时，的长为 ，点 P 表示的有理数为 ； (2)当时，求t的值； (3)M为线段的中点，N 为线段 的中点．在点 P 运动的过程中，线段的长度是否发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出线段的长． 【答案】(1)2，； (2)或； (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算、数轴上两点之间的距离 【分析】本题主要是考查数轴上两点之间的距离，线段的和差运算和线段的中点的定义，只要能够画出图形就可以轻松解决，但是要注意考虑问题要全面． （1）根据点P的运动速度，即可求出； （2）当时，要分两种情况讨论，点P在点B的左侧或是右侧； （3）分两种情况结合中点的定义可以求出线段的长度不变． 【详解】（1）解：因为点 P 的运动速度每秒2个单位长度， 所以当时，的长为2， 因为点 A 对应的有理数为，， 所以点P表示的有理数为； （2）解：当，要分两种情况讨论， 点P在点B的左侧时，因为，所以，所以； 点P在点B的是右侧时，，所以； （3）解：MN长度不变且长为5． 理由如下：当在线段上时，如图，    ∵M为线段 的中点，N 为线段的中点， ∴，， ∴ ， ∵， ∴． 当在线段的延长线上时，如图，    同理可得：； 综上：． 4．（23-24七年级上·福建福州·期末）如图，线段，动点P 从A 出发，以每秒2个单位长度的速度沿射线运动，M 为的中点．点P的运动时间为x秒． (1)若时， 求的长； (2)当P在线段上运动时，是定值吗? 如果是，请求出该定值，如果不是，请说明理由； (3)当P在射线上运动时，N为的中点， 求的长度． 【答案】(1) (2)是定值，定值为 (3) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算，线段的和与差．明确线段之间的数量关系是解题的关键． （1）当时，，则，根据，计算求解即可； （2）由题意知，，，根据，求解作答即可； （3）由题意知，分当P在线段上运动时，如图1，根据，计算求解即可；当P在线段的延长线上运动时，如图2，根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵M 为的中点， ∴， ∴， ∴的长为． （2）解：当P在线段上运动时， 是定值； 由题意知，，， ∴， ∴是定值，定值为； （3）解：当P在线段上运动时，如图1，            图1 由题意知，， ∴； 当P在线段的延长线上运动时，如图2，                  图2 由题意知，， ； 综上所述，的长度为． 5．（23-24七年级上·河南南阳·期末）如图，已知线段，、是线段上的两个动点（点在点的左侧，且都不与端点、重合），，为的中点． (1)如图1，当时，求的长； (2)如图2，为的中点． ①点在线段上移动过程中，线段的长度是否会发生变化，若会，请说明理由；若不会，请仅以图为例求出的长； ②当时，请直接写出线段的长． 【答案】(1) (2)①不会发生变化，的长是；②或 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查两点间的距离， （1）先求出，再根据线段中点的定义得到，最后根据可得答案； （2）①根据可得结论；②分两种情况讨论即可； 熟练掌握线段中点的定义与线段的和差是解题关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴的长为； （2）①∵是的中点，是的中点，，， ∴，， ∴ ， ∴线段的长度不会发生变化，； ②当点在点的左侧时， ∵，， ∴， 由①知：， ∴； 当点在点的右侧时， ∵，CD=2， ∴， 由①知：， ∴， 综上所述，当时，线段的长为或． 【考点三 线段上含动点求时间问题】 例题：（22-23七年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图1，已知线段，点、、在线段上，且． (1)__________，__________； (2)已知动点从点出发，以的速度沿向点运动；同时动点从点出发，以的速度沿向点运动，当点到达点后立即以原速返回，直到点到达点，运动停止；设运动的时间为． ①求为何值，线段的长为； ②如图2，现将线段折成一个长方形（点、重合），请问：是否存在某一时刻，以点、、、为顶点的四边形面积与以点、、、为顶点的四边形面积相等，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)16，8 (2)①或或；②存在， 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段n等分点的有关计算、与线段有关的动点问题 【分析】本题主要考查了与线段有关的动点问题， 线段等分点的相关计算，列一元一次方程解决实际问题等知识，解决问题的关键是弄清运动的过程和画出图形． （1）根据比值列方程或直接列乘积式求得结果； （2）①分为相遇前，相遇后以及M点返回三种情形，通过线段图列方程求得；②分为相遇前（点M在上，N在上），此时即可列出方程求得，当M点返回时，点M在上，点N在上，此时，列出方程求得， 【详解】（1）解：，， 故答案是：16，8； （2）①当M、N第一次相遇时，， 当M到达E点时，， 如图1， 当时，， ∴， 如图2， 当时，， ∴， 如图3， 当时，， ∴， 综上所述：或或； ②如图4， 当时， 由得，， ∴， 如图5， 当时，， ∴，此时不构成四边形，舍去 综上所述：． 【变式训练】 1．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）定义：在同一直线上有三点，若点到两点的距离呈2倍关系，即或，则称点是线段的“倍距点”． (1)线段的中点 该线段的“倍距点”；（填“是”或者“不是”） (2)已知，点是线段的“倍距点”，直接写出 ． (3)如图1，在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点． ①现有一动点从原点O出发，以每秒2个单位的速度沿数轴向右匀速运动．设运动时间为秒，求当为何值时，点为的“倍距点”？ ②现有一长度为2的线段（如图2，点起始位置在原点），从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿数轴向右匀速运动．当点为的“倍距点”时，请直接写出的值． 【答案】(1)不是 (2)3或6或9或18 (3)或4或10；②或8或10或13 【知识点】数轴上两点之间的距离、数轴上的动点问题、线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查数轴上两点间的距离，线段的中点，线段的和差， （1）根据中点的意义可得，不满足“倍距点”定义，即可作答； （2）分情况讨论当点C在线段上时，当点C在线段延长线上时，当点C在线段延长线上时，再根据“倍距点”的定义求解即可； （3）①由题意得，，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，得出或，解绝对值方程求解即可；②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为，表示出，根据点为的“倍距点”，可得或，进而得出或，解绝对值方程求解即可； 熟练掌握知识点，准确理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）假设点P是线段的中点， ∴， ∴线段的中点不是该线段的“倍距点”， 故答案为：不是； （2）当点C在线段上时，， 若，则， 若，则； 当点C在线段延长线上时，，则，则 当点C在线段延长线上时，，则； 故答案为：3或6或9或18； （3）∵在数轴上，点表示的数为2，点表示的数为20，点为线段中点， ∴点C表示的数为11， ①由题意得，， ∴， 若点为的“倍距点”， 则或， 即，解得或10； 或，解得（负舍）； 综上，的值为或4或10； ②由题意得点M表示的数为t，点N表示的数为， ∴， ∵点为的“倍距点”， ∴则或， 即或， 解得或8或10或13． 【考点四 线段上含动点的新定义型问题】 例题：（23-24七年级上·福建龙岩·期末）已知线段，点在线段上，且． (1)求线段，的长； (2)点是线段上的动点，线段的中点为，设． ①请用含有的式子表示线段，的长； ②若三个点，，中恰有一点是其它两点所连线段的中点，则称，，三点为“和谐点”，求使得，，三点为“和谐点”的的值． 【答案】(1)， (2)①当点在线段上时，，；当点在线段上时，，；②的值为或 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查两点间的距离，熟练掌握线段中点的定义和线段的和差是解题关键． （1）由线段，点C在线段上，且，可得答案； （2）①分当点在线段上时和当点P在线段上两种情况分别计算即可；②分情况列方程可得的值． 【详解】（1）解：解：∵线段，点C在线段上，且， ∴，； （2）解：①当点在线段上时， ∵点是的中点， ∴， ，； 当点在线段上时， ∵点是的中点， ∴， ，； ②当点在线段上时，则， ∴， 解得：， 当点在线段上时， 则， ∴， 解得：， 综上：的值为或． 【变式训练】 1．（22-23七年级上·山东青岛·期末）如图1，点C在线段上，图中有三条线段，分别为线段和，若其中一条线段的长度是另外一条线段长度的2倍，则称点C是线段的“巧点”． (1)线段的中点______这条线段的“巧点”，线段的三等分点_______这条线段的“巧点”（填“是”或“不是”）； (2)若线段，点C为线段的“巧点”，则_______； (3)如图2，已知．，动点P从点A出发，以的速度沿向点B运动，点Q从点B出发，以的速度沿向点A运动，点P、Q同时出发，当其中一点到达终点时，运动停止，设运动的时间为t秒，当t为何值时，点P为线段的“巧点”？并说明理由． 【答案】(1)是；是 (2)或或 (3)或或，理由见解析 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，线段中点的有关计算，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． （1）根据线段“巧点”的定义进行判断即可； （2）根据点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”进行解答即可； （3）分三种情况：当时，当时，当时，分别列出方程求出结果即可． 【详解】（1）解：根据“巧点”定义可知，线段的中点是这条线段的“巧点”，线段的三等分点是这条线段的“巧点”； 故答案为：是；是． （2）解：∵当点C为线段的中点或三等分点时，点C是线段的“巧点”， ∴， 或， 或． 故答案为：或或． （3）解：由题意得：，，，t的范围应该在秒之间， ∵点P为的巧点， ∴点P应该在点Q的左边，t的范围应该在秒之间， 当时，P为的巧点， ∴ ， 解得：； 当时，P为的巧点， ∴， 解得：； 当时，P为的巧点， ∴ ， 解得：； 所以当t为或或时，点Р为线段的“巧点”． 2．（23-24七年级上·安徽·期末）（1）【新知理解】 如图1，点在线段上，图中有3条线段，分别是，，，若其中任意一条线段是另一条线段的两倍，则称点是线段的“妙点”．根据上述定义，线段的三等分点______这条线段的“妙点”．（填“是”或“不是”） （2）【新知应用】 如图2，，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为7，若点在线段上，且点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，点对应的数为______． （3）【拓展探究】   已知，为数轴上的两点，点对应的数为，点对应的数为，且，满足，动点，分别从，两点同时出发，相向而行，若点的运动速度为每秒2个单位长度，点的运动速度为每秒3个单位长度，当点，相遇时，运动停止．求当点恰好为线段的“妙点”时，点在数轴上对应的数． 【答案】（1）是；（2）；（3）或 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是正确的理解题意和分类讨论的思想的应用． （1）根据“妙点”的定义即可判断； （2）根据点为线段的“妙点”，且点在数轴的负半轴上，则，设为，建立方程求解即可； （3）设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，或，利用方程的思想解得，继而求得点在数轴上对应的数． 【详解】（1）如图1，∵C为线段的三等分点， ∴， ∴点为线段的“妙点” 故答案为：是 （2）如图2，∵点对应的数为，点对应的数为7， ∴， 又点为线段的“妙点”，当点在数轴的负半轴上时，设为， ∵， ∴， 解得：， 点对应的数为， 故答案为： （3）， ∴， ∴ 设当点恰好为线段的“妙点”时，的运动时间为，则， 依题意：或， 即或， 解得：或， 又当点，相遇时，，得， 即， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 当时，，故点在数轴上对应的数为， 故答案为：或 ( 2 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 $$