第24章 圆（单元重点综合测试）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记•巧练（沪科版）

第二十四章 圆单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，共40分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，即一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，则这个图形是轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形；根据轴对称图形和中心对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，本选项不符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，本选项符合题意； 故选：D． 2．如图，在中，为的直径，B为上一点．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；因此此题可根据圆周角定理进行求解 【详解】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角，， ∴． 故选：A． 3．如图，、、、为一个正多边形的顶点，若，该正多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了正多边形与圆，圆周角定理，正确的理解题意是解题的关键．根据圆周角定理可得正多边形的边所对的圆心角，再根据正多边形的一条边所对的圆心角的度数与边数之间的关系可得答案． 【详解】解：设点O为该正多边形的中心，连接，， 、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心， 点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上， ， ， 这个正多边形的边数， 故选：A 4．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切于点C，若，则图中圆环的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理以及圆面积的计算公式．连接、，构造出，求出的值，再乘以即为环形的面积． 【详解】解：连接、， 因为大圆的弦与小圆相切于点C， 则， 在中，， ∴环形的面积为， 故选：C． 5．如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（    ） A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 【答案】D 【分析】AB固定，∠AEB固定，定弦定角即可；作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°，此时E在圆O′上运动，由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD结论变化，即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化．进而可以解决问题． 【详解】解：因为AB固定， 所以∠AEB固定，定弦定角， 故x不随C、D运动而变化； ∵CD为定长1，∠DEC为定角60°， ∴作以O′为圆心，CD为圆O′一条弦，使∠DO′C=120°， 此时E在圆O′上运动，如图， 由图可知：点E在圆O′上运动时，E到弦CD距离变化， 即△DEC中，以CD为底时，高在变化，即y在变化． 故选：D． 【点睛】本题考查动点问题，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握三角形外接圆与外心． 6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理的应用，熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键．连接、，交于点，由垂径定理得（米，再由勾股定理得（米，然后求出的长即可． 【详解】解：如图，连接、，交于点， 由题意得：米，， （米，， （米， 米， 故选：B 7．若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的半径为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点和圆的位置关系，分点在圆外和圆内两种情况解答即可求解，运用分类讨论解答是解题的关键． 【详解】解：设的半径为， 当点在圆外时，； 当点在圆内时，； ∴的半径为或， 故选：． 8．如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与 y 轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查切线的判定和性质，坐标与图形，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及勾股定理，作轴于 E，轴于 H，连接 ，根据切线的性质即得出．根据平行线的性质可求出，由切线长定理可知．即易证，得出，．设，则．在中，利用勾股定理可求出x的值，即得出、的长，再根据等积法可求出的长，再次利用勾股定理可求出的长，即得出C点坐标，正确的作出辅助线构造全等三角形是关键． 【详解】解：如图，作 轴于 E， 轴于 H，连接， ∵，， ∴，， 轴， ∴为的切线， ∵直线与切于点C， ∴，， 在 和 中 ， ∴， ∴，， 设 ，则，， 在 中，，即， 解得， ∴，， ∵ ∴， ∴=， 在 中，， ∴C点坐标为，． 故选：C． 9．图，过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为，圆的半径为，则图中阴影部分面积之和为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，记与交于点，与交于点，作于，于，连接，记与交点为，由正六边形，可知，，，，，由正六边形内切圆的半径为，可得，设，则，由勾股定理得，，可求，则正六边形的边长为2，证明，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，记与交于点，与交于点，作于，于，连接，记与交点为， ∵正六边形， ∴，，，，， ∵正六边形内切圆的半径为， ∴， 设，则， 由勾股定理得，， 解得，， ∴正六边形的边长为2， ∵过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为， ∴， ∴，即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正多边形的内角和，含的直角三角形，勾股定理，扇形面积等知识．明确阴影部分的面积是解题的关键． 10．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 【答案】D 【分析】首先连接，，证明在以为圆心，2为半径的圆弧上，过作于，当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值，再进一步解答即可． 【详解】解：连接，， ∵矩形， ∴，， ∵，为的中点， ∴， ∴在以为圆心，2为半径的圆弧上， 过作于， 当G在上时，面积取最小值，此时四边形面积取最小值， 四边形面积=三角形面积+三角形面积， 即四边形面积=三角形面积+24． 设圆弧交于，此时四边形面积取最小值， 由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 即四边形面积的最小值=． 故选：D． 【点睛】本题考查了勾股定理及矩形中的与动点相关的最值问题，圆的确定，解题的关键是利用直角三角形斜边的直线等于斜边的一半确定出点的运动轨迹． 二、填空题（本大题共4个小题，共20分，答案写在答题卡上） 11．如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为 ． 【答案】或 【分析】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、含度的直角三角形的性质，构造出直角三角形是解答本题的关键． 分两种情况：当点在的延长线上时，当点在的延长线上时，分别画出图形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：，是等边三角形， ，， 是等边三角形，， ， 当点在的延长线上时，如图，过点作于，则， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中，根据勾股定理得，； 当点在的延长线上时，如图，过点作于，则， 在中，，， ， 根据勾股定理得，， ， 在中，根据勾股定理得，， 综上所述，或， 故答案为：或． 12．如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了切线的性质，切线长定理，根据切线长定理得到平分，根据切线的性质得到，则利用角平分线的定义得到，然后利用互余计算出的度数． 【详解】解：，是的切线，，为切点， 平分，， ，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 【答案】 【分析】连接、、、，作于，于，于，于，由圆周角定理得出，由勾股定理得出，由等面积法得出，由勾股定理得出，由角平分线的性质定理得出，结合，求出，由题意得出，证明四边形为矩形，得出，推出，再由得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、、、，作于，于，于，于， ， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分，平分， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质定理、三角形内心、矩形的判定与性质、等面积法等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 14．如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿 所在直线把翻折到的位置，交于点，连接． （1）的最小值是 ； （2）若为直角三角形，则的长为 ． 【答案】 1或 【分析】（1）找到点的运动轨迹，用三角形三边关系确定的最小值即可； （2）分两种情形画出图形，构造直角三角形用勾股定理解决问题． 【详解】解：（1）由题意可得，， 在以为圆心为半径的圆上，如图一所示： 在点运动过程中，在中，由三边关系得， ， 在变化过程中，和保持不变， 故的最小值为，即如图二所示： 在中，，， ，， ， 在中，，， ， 故的最小值为． （2）为直角三角形，分两种情况： ①， 在中，，， ， 设，， 在中，，，， ， 解得， 即． ②，过点作交的延长线与点，如图四所示： 由折叠的性质可知，， ， ， ， 设， 在中，，， 在和中 ， 在中，，，， ， 解得：． 综上，的长是1或． 【点睛】本题考查翻折变换，勾股定理解直角三角形，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是看出运动点的轨迹，学会分类讨论的思想解决问题． 三、解答题（本大题共9个小题，15~18小题各8分，19~20小题各10分，21~小题12分，23小题14分，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，为的弦，点P在弦上，若的半径为5，，，求的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点C，连接，则，，根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点C，连接，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 16．如图，两个同心圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于、两点，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查垂径定理的应用，能够根据需要作出辅助线，并运用垂径定理是解决本题的关键． 【详解】过点O作，垂足为点E， 在小中，， 在大中，， ∴， ， ∴    17．如图是以的边为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作交于点D，已知，，求的长． 【答案】． 【分析】本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，解直角三角形，勾股定理，由是直径，可得，由，可得，则，，求，然后由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， 解得， 由勾股定理得，， ∴的长为． 18．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了三角形内切圆与内心、切线的性质、三角形的性质、勾股定理等知识点，灵活运用这些性质是解题的关键． （1）由切线的性质可得，由四边形内角和定理和直角三角形的性质可求解； （2）由三角形面积的和差关系列出等式计算即可解答． 【详解】（1）解：，是的切线， ， 又， ， ， ， 故答案为：； （2）解：如图，连接，，，， ，，是的切线， ，，， ，，， ， ， ， ． ， 的半径为1． 19．龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长． 【答案】米 【分析】本题考查了弧长的计算，根据弧长公式求出弧的长度，即可求出整条龙的长度． 【详解】解：∵弧长为（米）， ∴整条龙的长是（米）． 20．如图，中，，为圆的弦，，分别交圆于，两点，，连接． (1)求的度数； (2)若，，求圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（）连接，根据等腰三角形的性质得，最后由圆周角定理即可求解； （2）连接，，由勾股定理求出，再由圆周角定理求出，最后由勾股定理即可求解； 本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）如图，连接， ∵，， ∴， ∴， （2）如图，连接，， ∵，，， ∴由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴． 21．如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆的切线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，圆周角等知识，掌握圆的相关性质是解题关键． （1）连接，根据圆的切线的性质，得到，根据角平分线的定义以及等边对等角的性质，得到，进而得出，推出，得到，即可证明结论； （2）根据同弧所对的圆周角相等，得到，进而得出，再根据直径所对的圆周角是直角，得出，，由30度角所对的直角边等于斜边一半，得到，再结合勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接． 为圆O的切线， ． 平分， ． ， ， ，， ． 在和中， ， ， ． 是的切线．    （2）解：， ， ， ． ． 是直径， ， ， ． 在中，，， ． ． 22．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)如果，于．求证：． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 【分析】本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，全等三角形的判定和性质，熟练掌握圆周角定理是解此题的关键． （1）根据圆周角定理和角平分线的定义得到，然后根据等角对等边即可得到结论； （2）先求得，证明，然后证明，再根据全等三角形的对应边相等得到结论． 【详解】（1）连接， ∵点是的内心， ． ． ． （2）连接交于，连接． 同（1）得 点在线段的垂直平分线上． 又点在的垂直平分线上 垂直平分，即：，且． ． ． 23．四边形ABCD内接于，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2．连接交于点E． ①求证：； ②若，，，求的长． 【答案】(1) (2)①见详解② 【分析】（1）根据等腰三角形的性质及圆的内接四边形的性质即可； （2）①先证明，得，再根据即可得出结论；②设，则，先证明，再根据勾股定理求出的长，由①知，求出的长，再根据勾股定理即可． 【详解】（1）解： ，若． 四边形ABCD内接于， ； （2）证明①， ， ， ， ， ， ， ； ②设，则， ， 在中， ， ， ， ， ， 由①知，， 【点睛】本题考查了圆的有关性质定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是本题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十四章 圆单元重点综合测试 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：150分 一、选择题（本大题共10个小题，共40分.每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．下列数学符号中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在中，为的直径，B为上一点．若，则（   ） A． B． C． D． 3．如图，、、、为一个正多边形的顶点，若，该正多边形的边数为（　　） A．12 B．11 C．10 D．9 4．如图，在两个同心圆中，大圆的弦与小圆相切于点C，若，则图中圆环的面积为（   ） A． B． C． D． 5．如图，半圆O的直径AB＝2，若点C，D在半圆上运动，且保持弦CD＝1，延长AD、BC相交于点E．记∠E的度数为x°，△EDC的面积为y．则以下结论正确的是（    ） A．x随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 B．x不随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 C．x随C，D运动而变化，y不随C，D运动而变化 D．x不随C，D运动而变化，y随C，D运动而变化 6．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理，如图1．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心O为圆心的圆，如图2．已知圆心O在水面上方，且被水面截得的弦长为8米，半径长为5米．若点C为运行轨道的最低点，则点C到弦所在直线的距离是（    ） A．1米 B．2米 C．3米 D．4米 7．若所在平面内有一点，点到上点的最大距离为，最小距离为，则的半径为（    ） A． B． C．或 D．无法确定 8．如图，在直角坐标系中，以点O为圆心，半径为4的圆与 y 轴交于点B，点是圆外一点，直线与切于点C，与x轴交于点D，则点C的坐标为（    ） A．， B．， C．， D．， 9．图，过正六边形内切圆圆心的两条直线夹角为，圆的半径为，则图中阴影部分面积之和为（    ） A． B． C． D． 10．如图，在矩形中，，，点、分别是边、上的动点，且，点是的中点，、，则四边形面积的最小值为（  ） A．30 B．32 C．35 D．38 二、填空题（本大题共4个小题，共20分，答案写在答题卡上） 11．如图，与都是等边三角形，连接，，，，若将绕点顺时针旋转，当点、、在同一条直线上时，线段的长为 ． 12．如图，，是的切线，A，B是切点，若，则 ． 13．如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 14．如图，在中，，，，点是的中点，点是边上一动点，沿 所在直线把翻折到的位置，交于点，连接． （1）的最小值是 ； （2）若为直角三角形，则的长为 ． 三、解答题（本大题共9个小题，15~18小题各8分，19~20小题各10分，21~小题12分，23小题14分，共90分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．如图，为的弦，点P在弦上，若的半径为5，，，求的长度． 16．如图，两个同心圆都以点为圆心，大圆的弦交小圆于、两点，求证：． 17．如图是以的边为直径的半圆O，点C恰好在半圆上，过C作交于点D，已知，，求的长． 18．如图，在中，，是它的内切圆，与，，分别切于点，，． (1)若，则　　； (2)若，，求的半径． 19．龙舞腾盛世，某学校为传承中华传统龙狮文化，开办了龙狮特色基地．如图，在训练中，龙的尾部由四名同学摆成了一个弧形，这弧形的弧长部分占龙总长的二分之一，已知弧形的半径为2米，圆心角为，求整条龙的长． 20．如图，中，，为圆的弦，，分别交圆于，两点，，连接． (1)求的度数； (2)若，，求圆的半径． 21．如图，在四边形中，平分．点O在上，以点O为圆心，为半径，作与相切于点B，延长线交于点E，交于点F，连接，．    (1)求证：是的切线； (2)若，求的长． 22．如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点． (1)求证：； (2)如果，于．求证：． 23．四边形ABCD内接于，． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2．连接交于点E． ①求证：； ②若，，，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$