第14章 全等三角形知识归纳与题型突破（单元复习 10类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（沪科版）

第十四章 全等三角形知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1、 全等三角形 1.全等三角形的相关概念: (1)全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. (2)全等三角形的对应元素: ①对应顶点:全等三角形中，能够重合的顶点. ②对应边:全等三角形中，能够重合的边 ③对应角:全等三角形中，能够重合的角. 2.全等三角形的表示方法: 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 3.常见三角形的全等变换: 4、对应元素的确定方法: (1)图形特征法: ①最长边对最长边，最短边对最短边.②最大角对最大角，最小角对最小角.③相等的边(角)为对应边(角). (2)位置关系法: 全等三 ①公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边. ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边.③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3)字母顺序法: 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. 5、全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线显得更，对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应周长氙灯，对应面积相等. 6、全等三角形的判定 SAS ASA SSS AAS HL 2、 三角形的稳定性 1、三角形的稳定性 (1)如果三角形的三边长确定了，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性. (2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性，在生活中也有广泛的应用 2、三角形稳定性的应用: (1)稳定性是三角形特有的，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定性的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等 (2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形.四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用,如活动挂架、伸缩门等. 03 题型归纳 题型一　全等三角形的概念 例1. （24-25九年级上·辽宁辽阳·开学考试）下列命题的逆命题正确的是（    ） A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的对应角相等 C．如果，那么 D．直角三角形的两个锐角互余 【答案】D 【分析】写出命题的逆命题，后根据所学知识判断真假即可． 本题考查了命题，逆命题，真假命题，能准确得出命题的题设和结论是解本题的关键． 【详解】A. 周长相等的三角形是全等三角形，假命题，不符合题意； B. 对应角相等三角形是全等三角形，假命题，不符合题意； C. 如果，那么，假命题，不符合题意； D. 两个锐角互余的三角形是直角三角形，真命题，符合题意； 故选D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．一个三角形中最多有一个钝角 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心 【答案】A 【分析】本题考查三角形的相关概念，全等三角形的概念和性质，根据相关知识点，逐一进行判断即可． 【详解】解：A．一个三角形中最多有一个钝角，原说法正确，符合题意； B．两个全等三角形的面积一定相等，原说法错误，不符合题意； C．两个形状，大小都相同的图形称为全等图形，原说法错误，不符合题意； D．三角形三条中线的交点叫做三角形的重心，原说法错误，不符合题意； 故选：A． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的概念，熟练寻找全等三角形的对应边和对应角是解题的关键．根据全等三角形中的对应边、对应角的定义依次判定即可． 【详解】解：由得： ①与是对应边，故①不符合题意； ②与是对应边，故②符合题意； ③与是对应角，故③符合题意； ④与是对应角，与是对应角，故④不符合题意； 故正确的有②③， 故选：B． 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了全等图形的判定与性质，利用全等图形的判定与性质即可确定正确的选项． 【详解】解：（1）形状相同的两个三角形不一定是全等形，故错误； （2）全等图形的周长都相等，故正确； （3）面积相等的两个等腰三角形不一定是全等形，故错误； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等，故正确； 故选：B 题型二　全等三角形的性质 例2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图所示的两个三角形全等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理等知识，解答本题的关键是明确题意，利用全等三角形的性质和数形结合的思想解答．根据题意和图形，可知是边的对角，由第一个三角形可以得到的度数，本题得以解决． 【详解】解∶∵图中的两个三角形全等， ∴， 故选∶C． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，点A和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题和要考查了全等三角形．解题的关键是熟练掌握全等三角形性质，等边对等角，三角形内角和，平行线的性质．根据全等三角形的性质得到，从而得到，求出，根据平行线的性质得到，从而得到关于α和β的关系，化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，，，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边，对应角相等是解题的关键．根据全等三角形的对应边，对应角相等即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴A、B正确，不符合题意， ∵， ∴， ∴C正确，不符合题意， 而不一定等于， ∴D错误，符合题意， 故选：D． 3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的性质，若两个三角形全等，则对应边相等，从而得到答案，熟记三角形全等的性质是解决问题的关键． 【详解】解：， ，即的对应边是， 故选：C． 题型三　证明三角形全等 例3. （21-22七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，请你添加一个条件，使得，并说明理由． 【答案】添加条件或（任选一个即可），理由见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定，可添加条件或，利用全等三角形的判定方法或即可求证，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加条件． 理由如下：∵， ∴， 即， 在与中， ∵， ∴ 添加条件． ∵， ∴， 即， 在与中， ∵， ∴． 巩固训练 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 【答案】证明见解答过程 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法即可证明结论． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，，，求证． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，由得出，再利用证明即可，熟练掌握全等三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和， ， ∴． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，，，垂足分别为D，E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)0.8 【分析】本题考查了垂直的性质的运用，直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）根据条件可以得出，进而得出； （2）利用（1）中结论，根据全等三角形的性质即可解决问题； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ，， ，， ∴， ∴． 题型四　倍长中线模型 例4. （23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，涉及中点性质、三角形三边关系等知识，熟练掌握三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． （1）延长至点，使，连接，如图所示，根据题意，由三角形全等的判定得到，从而根据全等三角形性质即可得证； （2）延长至点，使，连接，如图所示，由三角形全等的判定与性质得到，设，在中，由三边关系即可得到答案； （3）延长至点，使，连接，如图所示，得到，再由三角形全等的判定与性质得到，进而可确定，再由全等性质即可得证． 【详解】（1）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：延长至点，使，连接，如图所示： ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， 在中，由三边关系可得，即， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接，如图所示： ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知是的中线，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了倍长中线证全等，三角形的三边关系；延长至点E，使，连接，证明，得出，进而根据三角形的三边关系，即可得证． 【详解】证明：如图，延长至点E，使，连接， 在中， ∴， ∴． 在中，， ∴， 即． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2），见解析；（3），见解析 【分析】（1）由已知得出，即为的一半，即可得出答案； （2）延长至点M，使，连接，可得，得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系得出即可得出结论； （3）延长交于点G，根据平行和角平分线可证，也可证得，从而可得，即可得到结论． 【详解】解：（1）如图①，延长到点E，使，连接， ∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2），理由如下： 延长至点M，使，连接，如图②所示． 同（1）得：， ∴， ∵， ∴， 在中，由三角形的三边关系得： ， ∴； （3），理由如下： 如图③，延长交于点G， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ ． 【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了三角形的三边关系，作辅助线—倍长中线法、全等三角形的判定与性质，角的关系等知识点，所以本题的综合性比较强，有一定的难度，通过作辅助线证明三角形全等是解题的关键． 3．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系． （1）由作图可得，根据“”证得，得到，在中，根据三角形的三边关系有，代入即可求解； （2）延长到M，使得，连接，则，由（1）同理可证，得到，，从而，又，因此，进而得证，故； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、，证得得到，证得得到． 延长交于F，由三角形的三边关系得到，即． 【详解】（1）∵， ∴ ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，， 即， ∴． 故答案为： （2）， 理由：如图，延长到M，使得，连接， ∴， ∵是的中线， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）取的中点为M，连接并延长至N，使，连接、， ∵点M是的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴ ∵， ∴，即， 在和中， ∴， ∴， 延长交于F， 则，且， ∴， ∴， 即． 题型五　旋转模型 例5. （23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），证明见解析（2），证明见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质．本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形． （1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 巩固训练 1．（22-23七年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 【答案】(1)①见详解②见详解 (2)，证明见详解 (3) 【分析】（1）①由，得，而于D，于E，则，根据等角的余角相等得到，易得；②因为，所以，，即可得到； （2）根据等角的余角相等得到，易得，得到，，所以； （3）、、具有的等量关系为：；证明的方法与（2）相同． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， 因为于D，于E， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ②由①知， ∴，， ∴； （2）解：， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （3）解：结论：． 与（2）同法可得， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角．也考查了直角三角形全等的判定与性质． 2．（21-22八年级上·陕西延安·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 【答案】（1）见解析；（2）结论不成立，应当是理由见解析 【分析】（1）延长到点，使，连接，由全等三角形的判定和性质得出，，，继续利用全等三角形的判定得出，结合图形及题意即可证明； （2）在上截取，使，连接，结合图形利用全等三角形的判定得出，再次使用全等三角形的判定得出，利用全等三角形的性质即可证明． 【详解】（1）证明：如图①，延长到点，使，连接. 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：结论不成立，应当是， 理由：如图②，在上截取，使，连接， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 3．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 【答案】（1）见详解；（2）BD=CE，BD⊥CE；（3） 【分析】（1）根据三角形全等的证明方法SAS证明两三角形全等即可； （2）由（1）△AEC≌△ADB可知CE=BD且CE⊥BD；利用角度的等量代换证明即可； （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD，易知AF平分∠DFC，进而可知∠CFA 【详解】（1）∵∠CAB=∠EAD ∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE， ∴ ∠CAE=∠BAD， ∵AB=AC，AE=AD 在△AEC和△ADB中 ∴ △AEC≌△ADB（SAS） （2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下： 将直线CE与AB的交点记为点O， 由（1）可知△AEC≌△ADB， ∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD， ∵∠BOF=∠AOC，∠ =90°， ∴ ∠BFO=∠CAB=∠ =90°， ∴ CE⊥BD． （3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD 由（1）知△AEC≌△ADB， ∴两个三角形面积相等 故AM·CE=AN·BD ∴AM=AN ∴AF平分∠DFC 由（2）可知∠BFC=∠BAC= ∴∠DFC=180°- ∴∠CFA=∠DFC= 【点睛】本题考查了全等三角形的证明，以及全等三角形性质的应用，正确掌握全等三角形的性质是解题的关键； 题型六　垂线模型 例6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．    【答案】点的坐标是． 【分析】通过一次函数解析式能求出、两点的坐标，也就是，的长，由等腰直角可以得出，作垂直于轴，构造，从而求出、的长，得到点的坐标，本题考查了一次函数求交点坐标，全等三角形的判定和性质，解题的关键是作辅助线构造全等三角形． 【详解】解：当时，，解得，即点坐标为， 当时，，则点坐标为， 作垂直于轴，    ∴， ∵是等腰直角三角形， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ，， ， ， ∴点的坐标是． 巩固训练 1．1．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 【答案】(1)， (2)见解析 【分析】本题考查一线三直角全等问题， （1）由，得，则，而，即可证明，得，，于是得到问题的答案； （2）作于点，因为于点，于点，所以，由（1）得，因为，所以，则，而，即可证明，得，所以，再证明，则． 【详解】（1））解：于点，于点， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 故答案为：，． （2）证明：如图2，作于点， ∵于点，于点E， ∴， 由， 同理（1）得， ∴， 在和中， ∴， ∴． 2．（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 【答案】(1)，证明见解析； (2)，，． 【分析】（1）利用条件证明， 再结合线段的和差可得出结论； （2）根据图，可得、、存在3种不同的数量关系； 【详解】（1）证明：如图2， ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴（AAS）， ∴， ∵， ∴． （2）直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在3种不同的数量关系：，，． 如图1时，， 如图2时，， 如图3时，，（证明同理） 【点睛】本题主要考查三角形全等，注意证三角形全等的方法及三角形全等后的性质． 3．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析 【分析】（1）利用已知得出∠CAE=∠ABD，进而利用AAS得出则△ABD≌△CAE，即可得出DE=BD+CE； （2）根据∠BDA=∠AEC=∠BAC，得出∠CAE=∠ABD，在△ADB和△CEA中，根据AAS证出△ADB≌△CEA，从而得出AE=BD，AD=CE，即可证出DE=BD+CE； 【详解】（1）DE=BD+CE．理由如下： ∵BD⊥，CE⊥， ∴∠BDA=∠AEC=90° 又∵∠BAC=90°， ∴∠BAD+∠CAE=90°，∠BAD+∠ABD=90°， ∴∠CAE=∠ABD 在△ABD和△CAE中， ， ∴△ABD≌△CAE（AAS） ∴BD=AE，AD=CE， ∵DE=AD+AE， ∴DE=CE+BD； （2），理由如下： ∵∠BDA=∠AEC=∠BAC， ∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE， ∴∠CAE=∠ABD， 在△ADB和△CEA中， ， ∴△ADB≌△CEA（AAS）， ∴AE=BD，AD=CE， ∴BD+CE=AE+AD=DE； 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质综合中的“一线三等角”模型：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质． 题型七　利用全等三角形的判定和性质求角度 例7. （23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)详见解析 【分析】本题考查全等三角形的知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定和性质，三角形内角和，即可． （1）根据三角形内角和为，，求出的角度，再根据三角形的内角和，求出，根据全等三角形的判定，则，则，最后根据是三角形的外角和，即可； （2）由（1）得，根据全等三角形的判定，即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵． （2）由（1）得，， 在和中， ， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东泰安·期中）（1）【模型建立】如图1，在与中，，，，求证：； （2）【模型应用】如图2，在与中，，，，三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的度数； ②，求的面积； 【答案】（1）见解析；（2）①；② 【分析】此题考查了全等三角形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的性质和判定． （1）首先得到，然后证明出即可； （2）首先由得到，然后证明出，得到，进而求解即可； 【详解】解：（1）， ， 在和中， ， ； （2）① ， ， 在和中， ， ， ， ； ②作于点，如图所示： ， ， ∵若点为中点， ∴， 在和中， ， ， ， ， 又点为中点， ； 2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．    (1)求证：． (2)若，则： ①的度数为 　　． ②的度数为 　　． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】（1）由，，，可根据直角三角形全等的判定定理“”证明； （2）①由，，得，由，，得，则，所以，于是得到问题的答案； ②由，，得，则，于是得到问题的答案． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ∴． （2）解：①，， ， ，， ， ， ， ， 故答案为：． ②，， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题重点考查等腰直角三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、全等三角形的判定与性质等知识，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． 3．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图．在中，．，分别平分，． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查角平分线的定义、三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义、三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质． （1）先由得，然后根据三角形内角和得到，所以； （2）在上截取，连接，先证明，得；再证明，得，所以． 【详解】（1）解：， ， ，分别平分，， ，， ， ， 的度数是； （2）在上截取，连接， 在和中， ， ， ； ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 题型八　利用全等三角形的判定和性质证角的关系 例8. （23-24八年级上·湖北黄石·期末）如图，，点D、E分别在、上，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，根据题干的条件，证明，即可解题． 【详解】证明：由题知，在与中， ， ， ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知和，C为上一点，，，O为与的交点． (1)请补充条件，并用“”证明； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，求证：． 【答案】(1)，证明见解析； (2)； (3)证明见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）补充：，即可用“”证明； （2）根据，可得，继而可求出，即可求解； （3）根据，可得，根据，可证明． 【详解】（1）解：补充：， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； （3）证明：∵， ∴， ∵， ∴． 2．（23-24八年级上·贵州黔西·阶段练习）如图①，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作． (1)求证： (2)若与交于点G，试证明平分； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并准确识图是解题的关键． （1）求出，然后利用“”证明和全等； （2）利用“角角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得证． 【详解】（1）证明：， ， 即， ，， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 在和中， ， ， ， 平分． 3．（22-23八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明,可得出结论,则他的结论应是________． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 【答案】（1）；（2）上述结论仍然成立，理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定： （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ，， ， 在和中， ， ， 故答案为：； （2）上述结论仍然成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ， ； （3）如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， 即， 题型九　利用全等三角形的判定和性质探究线段之间的数量关系 例9. （24-25八年级上·重庆·开学考试）如图1， 在等腰 中， ，，， (1)求证 ； (2)如图2， 过点A作于点G， 交于点F， 过F作 交于点P， 交于点H． ①猜想 与 的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)① ，见解析； ② ，见解析 【分析】本题考查了全等三角形性质和判定，等腰直角三角形的性质，垂直定义，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定方法并找出全等的条件是解题的关键． （1）根据题干条件即可直接证得，从而证得； （2）①由（1）可知，从而可得，结合，，可知，从而可得； ②过点作交的延长线于点，延长交于点，先证，可得，，从而可证，可得，，从而可得，，即可推出． 【详解】（1）证明：由题可得： 在与中， ， ， ； （2）解：① ， 证明：， ， 由（1）可知：， ， ，， ， ； ②， 证明：如图，过点作交的延长线于点，延长交于点， ， ， ， ， ， 即， ，， ， ，， ，，， ， ，， ， ， ． 巩固训练 1. （23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）在中，，，直线 经过点 C ，且 于 D ，于 E ． (1)当直线绕点 C 旋转到图（1）的位置时，求证： ①： ②： (2)当直线 绕点 C 旋转到图（2）的位置时，求证： ； (3)当直线 绕点 C 旋转到图（3）的位置时，请直接写出 ，， 之间的等量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握全等三角形性质和判定． （1）①利用三角形内角和定理和等量代换得到，再利用“”证明三角形全等，即可解题； ②利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （2）由（1）①同理可证，利用全等三角形性质得到，，再结合等量代换即可证明： （3）解题方法与（2）类似． 【详解】（1）证明①在中，， ， 于 D ，于 E， ， ， ， ， ； ②， ，， ； （2）证明：由（1）①同理可证， ，， ； （3）解：， 理由如下： 由（1）①同理可证， ，， ． 2．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析． 【分析】本题考查角平分线定义，全等三角形判定及性质，尺规作图等． （1）当时，可以证明出，即以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，可以作出图形； （2）在上截取，证明，继而再证明，即可得到本题答案． 【详解】解：（1）当时， ∵是的平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴以点为圆心，以长为半径画弧交于一点，则此点为所要求的点，如下图所示： （2），理由如下： 在上截取， 在和中， ， ， ， ，、分别是和的角平分线，与相交于点， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 3. （23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境： 数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点． 独立思考： （1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究： （2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3）（1）中结论不成立．线段与之间的数量关系为 【分析】题目主要考查全等三角形的判定和性质，三角形外角的定义，理解题意，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． （1）根据三角形外角的性质及等量代换得出，再由全等三角形的判定和性质得出，，结合图形即可求解； （2）同（1）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可； （3）同（2）中方法类似，利用全等三角形判定和性质求解即可． 【详解】解：（1），理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）结论不成立，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）结论不成立，，理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型十　利用全等三角形的判定和性质证明线段间的位置关系 例10. （23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，点A，E，F，B在直线l上，， ，且，求证： (1)； (2) ． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质及全等三角形判定与性质， （1）先证明及，即可证明从而证明结论； （2）根据全等三角形性质得出即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵ ， ∴   ， ∴ ， ∵ ，   ∴， 在与中  ， ∴ ， ∴ ； （2）证明：∵≌ ∴ ∴． 巩固训练 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图，，于点M，于点N，，连接，． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（1）本题考查全等三角形的判定，根据题意推出，结合题干的条件和，即可证明； （2）本题考查全等三角形性质和判定，平行线的判定，根据，得到，证明，得到，即可解题． 【详解】（1）证明：， ，即， 于点M，于点N， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ， 在和中， ， ， ， ． 2．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）【问题背景】 在中，边上的高交于点． 【问题探究】 （1）如图1，求证：； （2）如图1，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，已知，为上一点，连接，有，请判断与是否平行，并说明理由． 【答案】[问题探究]（1）证明过程见详解；（2）证明过程见详解； [拓展延伸]（3），理由见详解 【分析】[问题探究]（1）根据垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角的性质即可求证； （2）根据（1）的结论，运用“角角边”证明即可求证； [拓展延伸]（3）根据题意，运用“边角边”可证，可得，根据可得，则，结合“同位角相等，两直线平行”即可求证． 【详解】[问题探究] （1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即； （2）证明：由（1）可得， 在中， ， ∴， ∴； [拓展延伸] （3），理由如下， ∵， ∴， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查垂直的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质等知识的综合，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，、分别是的边、上的高，且，．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． （1）首先证明，再加上条件可以证明进而得到； （2）根据可得，再证明可得，进而得到 ，即可证出． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：∵， ， 又， ， ， ， 即， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1、 全等三角形 1.全等三角形的相关概念: (1)全等三角形的概念:能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形. (2)全等三角形的对应元素: ①对应顶点:全等三角形中，能够重合的顶点. ②对应边:全等三角形中，能够重合的边 ③对应角:全等三角形中，能够重合的角. 2.全等三角形的表示方法: 全等用符号“≌”表示，读作“全等于”，记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 3.常见三角形的全等变换: 4、对应元素的确定方法: (1)图形特征法: ①最长边对最长边，最短边对最短边.②最大角对最大角，最小角对最小角.③相等的边(角)为对应边(角). (2)位置关系法: 全等三 ①公共角(对顶角)为对应角，公共边为对应边. ②对应角的对边为对应边，两个对应角所夹的边是对应边.③对应边的对角为对应角，两条对应边所夹的角是对应角. (3)字母顺序法: 根据书写规范按照对应顶点确定对应边或对应角. 5、全等三角形的性质 对应角相等，对应边相等，对应边上的中线显得更，对应边上的高相等，对应角的平分线相等，对应周长氙灯，对应面积相等. 6、全等三角形的判定 SAS ASA SSS AAS HL 2、 三角形的稳定性 1、三角形的稳定性 (1)如果三角形的三边长确定了，这个三角形的形状、大小就确定了，这就是三角形的稳定性. (2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性，在生活中也有广泛的应用 2、三角形稳定性的应用: (1)稳定性是三角形特有的，在生产和生活中具有广泛的应用，有很多需要保持稳定性的物体都被制成三角形的形状，如起重机、钢架桥等 (2)四边形及四边以上的图形不具有稳定性，为保证其稳定性，常在图形中构造三角形.四边形的不稳定性在生活中也有广泛的应用,如活动挂架、伸缩门等. 03 题型归纳 题型一　全等三角形的概念 例1. （24-25九年级上·辽宁辽阳·开学考试）下列命题的逆命题正确的是（    ） A．全等三角形的周长相等 B．全等三角形的对应角相等 C．如果，那么 D．直角三角形的两个锐角互余 巩固训练 1．（24-25八年级上·新疆阿克苏·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．一个三角形中最多有一个钝角 B．两个全等三角形的面积不一定相等 C．两个形状相同的图形称为全等图形 D．三角形三条角平分线的交点叫做三角形的重心 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，，下列结论：①与是对应边；②与是对应边；③与是对应角；④与是对应角．其中正确的有（    ） A．①③ B．②③ C．①④ D．②④ 3．（23-24七年级下·陕西西安·期中）下列判断正确的个数是（    ） （1）形状相同的两个三角形是全等形； （2）全等图形的周长都相等； （3）面积相等的两个等腰三角形是全等形； （4）全等三角形对应边上的高、中线及对应角平分线分别相等． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 题型二　全等三角形的性质 例2．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图所示的两个三角形全等，则的度数为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，点A和点是对应顶点，，记，当时，与之间的数量关系为（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，，，则下列结论错误的是（　　）    A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·河北邢台·阶段练习）如图，若，则的对应边是（    ） A． B． C． D． 题型三　证明三角形全等 例3. （21-22七年级下·陕西咸阳·阶段练习）如图，点在同一条直线上，，请你添加一个条件，使得，并说明理由． 巩固训练 1．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，点B、C、E、F共线，，，．求证：． 2．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）已知，，，求证． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，，，，垂足分别为D，E，且． (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型四　倍长中线模型 例4. （23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期末）某校八年级（1）班数学兴趣小组在一次活动中进行了试验探究活动，请你和他们一起活动吧． 【探究与发现】 （1）如图1，是的中线，延长至点，使，连接，求证：． 【理解与运用】 （2）如图2，是的中线，若，求的取值范围； （3）如图3，是的中线，，点在的延长线上，，求证：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，已知是的中线，且．求证：． 2．（23-24八年级上·安徽安庆·期末）（1）如图①，在中，若，，为边上的中线，求的取值范围； （2）如图②，在中，点D是的中点，，交于点E，交于点F，连接，判断与的大小关系并证明； （3）如图③，在四边形中，，与的延长线交于点F，点E是的中点，若是的角平分线．试探究线段，，之间的数量关系，并加以证明． 3．（23-24八年级上·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接．请根据小明的方法思考： (1)由已知和作图能得到，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是 ． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系． (2)如图2，是的中线，，，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，D，E在边上，且．求证：． 题型五　旋转模型 例5. （23-24八年级上·山东临沂·期中）【基本模型】 （1）如图1，是正方形，，当在边上，在边上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 【模型运用】 （2）如图2，是正方形，，当在的延长线上，在的延长线上时，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论． 巩固训练 1．（22-23七年级上·山东淄博·阶段练习）在中，，，直线经过点C，且于点D，于点E．    (1)当直线绕点C旋转到图1的位置时，求证：①；②； (2)当直线绕点C旋转到图2的位置时，试问、、具有怎样的等量关系，并加以证明； (3)当直线绕点C旋转到图3的位置时，试问、、具有怎样的等量关系？（请直接写出这个等量关系，不需要证明）． 2．（21-22八年级上·陕西延安·期末）【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD上的点，且.求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在四边形中，，，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立?若成立，请说明理由；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并说明理由. 3．（20-21八年级上·湖北武汉·期末）如图，，，． （1）求证：； （2）若，试判断与的数量及位置关系并证明； （3）若，求的度数． 题型六　垂线模型 例6．（23-24八年级上·安徽亳州·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数与坐标轴交于、两点，若是等腰直角三角形，求点的坐标．    巩固训练 1．1．（23-24八年级上·辽宁大连·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，点A在直线l上，，过点B作于点C，过点D作交于点E．得．又，可以推理得到．进而得到结论：_____，_____．我们把这个数学模型称为“K字”模型或“一线三直角”模型； (2)如图2，∠于点C，于点E，与直线交于点，求证：． 2．（22-23八年级上·广东江门·阶段练习）已知，中，，，直线m过点A，且于D，于E，当直线m绕点A旋转至图1位置时，我们可以发现． (1)当直线m绕点A旋转至图2位置时，问：与、的关系如何？请予证明； (2)直线m在绕点A旋转一周的过程中，、、存在哪几种不同的数量关系？（直接写出，不必证明） 3．（21-22八年级上·贵州铜仁·阶段练习）（1）如图1，已知中，90°，，直线经过点直线，直线，垂足分别为点．求证：． （2）如图2，将（1）中的条件改为：在中，三点都在直线上，并且有．请写出三条线段的数量关系，并说明理由． 题型七　利用全等三角形的判定和性质求角度 例7. （23-24八年级上·安徽六安·阶段练习）已知：如图，，，．    (1)当，时，求的度数； (2)求证：． 巩固训练 1．（23-24七年级上·山东泰安·期中）（1）【模型建立】如图1，在与中，，，，求证：； （2）【模型应用】如图2，在与中，，，，三点在一条直线上，与交于点，若点为中点， ①求的度数； ②，求的面积； 2．（23-24八年级上·吉林·期中）如图，中，，，为延长线上一点，点在上，且．    (1)求证：． (2)若，则： ①的度数为 　　． ②的度数为 　　． 3．（23-24八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段练习）如图．在中，．，分别平分，． (1)求的度数； (2)求证：． 题型八　利用全等三角形的判定和性质证角的关系 例8. （23-24八年级上·湖北黄石·期末）如图，，点D、E分别在、上，，求证：． 巩固训练 1．（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知和，C为上一点，，，O为与的交点． (1)请补充条件，并用“”证明； (2)在（1）的条件下，若，求的度数； (3)在（1）的条件下，求证：． 2．（23-24八年级上·贵州黔西·阶段练习）如图①，点A，E，F，C在同一直线上，，过点E，F分别作． (1)求证： (2)若与交于点G，试证明平分； 3．（22-23八年级上·湖南邵阳·期中）【初步探索】 （1）如图1，在四边形中，，E，F分别是上的点，且，探究图中之间的数量关系． 小明同学探究此问题的方法是：延长到点G，使．连接，先证明，再证明,可得出结论,则他的结论应是________． 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，分别是上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，若点E在的延长线上，点F在的延长线上，且仍然满足，请直接写出与的数量关系． 题型九　利用全等三角形的判定和性质探究线段之间的数量关系 例9. （24-25八年级上·重庆·开学考试）如图1， 在等腰 中， ，，， (1)求证 ； (2)如图2， 过点A作于点G， 交于点F， 过F作 交于点P， 交于点H． ①猜想 与 的数量关系，并证明； ②探究线段，，之间的数量关系，并证明． 巩固训练 1. （23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）在中，，，直线 经过点 C ，且 于 D ，于 E ． (1)当直线绕点 C 旋转到图（1）的位置时，求证： ①： ②： (2)当直线 绕点 C 旋转到图（2）的位置时，求证： ； (3)当直线 绕点 C 旋转到图（3）的位置时，请直接写出 ，， 之间的等量关系． 2．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）如图1，是的平分线，点是上一点，点是上一点，在上求作一点，使得，请保留清晰的作图痕迹． （2）如图2，在中，，，、分别是和的角平分线，与相交于点，请探究线段、、之间的关系，请证明你的结论． 3. （23-24七年级下·山西运城·期末）综合与实践 问题情境： 数学课上，同学们以等腰三角形为背景展开探究．在中，，直线过点，点是直线上两点． 独立思考： （1）如图1，当直线在的外部，满足时，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由； 拓展探究： （2）如图2，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请写出线段，与之间的数量关系，并说明理由； （3）如图3，当直线经过的内部，交于点，且，满足时，（1）中结论是否仍然成立？若不成立，请直接写出线段与之间的数量关系． 题型十　利用全等三角形的判定和性质证明线段间的位置关系 例10. （23-24八年级上·江西赣州·期末）如图，点A，E，F，B在直线l上，， ，且，求证： (1)； (2) ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·安徽蚌埠·开学考试）如图，，于点M，于点N，，连接，． 求证： (1)； (2)． 2．（24-25八年级上·陕西延安·阶段练习）【问题背景】 在中，边上的高交于点． 【问题探究】 （1）如图1，求证：； （2）如图1，求证：； 【拓展延伸】 （3）如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，连接，已知，为上一点，连接，有，请判断与是否平行，并说明理由． 3．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，、分别是的边、上的高，且，．求证： (1)； (2)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$