第14章 全等三角形易错训练与压轴训练（单元复习 3类易错+3类压轴）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记•巧练（沪科版）

第十四章 全等三角形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　不能准确确定全等三角形的对应关系 1 易错题型二　全等三角形计数时考虑不全 4 易错题型三　用“斜边、直角边”证明不指出直角三角形 7 压轴题型一　全等三角形的性质与判定 13 压轴题型二　构造全等三角形解决问题 15 压轴题型三　动态中的全等三角形 17 02 易错题型 易错题型一　不能准确确定全等三角形的对应关系 例1． （2023九年级·全国·专题练习）如图所示，两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，，若，，则等于（　　） A． B．4 C． D．5 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点，在上，且．若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 易错题型二　全等三角形计数时考虑不全 例2．（2024八年级下·全国·专题练习）平行四边形中，对角线、交于点（如图），则图中全等三角形的对数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 巩固训练 1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）已知中，，高，交于点，连接，则图中全等三角形的对数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，点E在AB上，点F在AC上．，CE与BF相交点D，连接AD，则图中全等三角形的对数共有（　　） A．1对 B．2对 C．3 D．4对 3．（20-21七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，是的中点，的垂直平分线分别交，，于点，，，则图中全等三角形的对数是（    ） A．对 B．对 C．对 D．对 易错题型三　用“斜边、直角边”证明不指出直角三角形 例3. （23-24八年级上·全国·单元测试）已知，如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 巩固训练 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，且，点E是线段上一点，连接，且．求证：． 2．（23-24八年级下·吉林·开学考试）如图，点、、、在同一条直线上，于点，于点，，．求证：． 3．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，，垂足分别是E，F，求证： (1)； (2)． 03 压轴题型 压轴题型一　全等三角形的性质与判定 例1. （2024八年级上·贵州·专题练习）如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 巩固训练 1．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，中，D为边上一点，于F，．求证：D为的中点． 2．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图甲，已知在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)说明． (2)说明． (3)已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙的位置时，若、，则_____． 3．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景： 如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点且，探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点，使，连接，先证，再证明可得出结论，他的结论应是______； （2）请按照小王同学的思路写出推理过程，也可尝用其他的方法； （3）探索延伸：如图2，若在四边形中，，，、别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 压轴题型二　构造全等三角形解决问题 例2. （24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，中，是中线，求证：． 巩固训练 1．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上， ______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 2．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC与y轴交于D点，点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3），求点D的坐标． 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 压轴题型三　动态中的全等三角形 例3. （24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，与相交于点C，，点P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）． (1)当时，线段的长度_______，线段的长度_______； (2)求证：； (3)连接，当线段经过点C时，直接写出t的值； (4)连接，当的面积等于面积的一半时，直接写出所有满足条件的t值． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，点D为的中点， ，，． (1)若点P 在线段上以的速度从点B 向终点C 运动，同时点Q 在线段上从点 C 向终点 A运动． ①若点 Q 的速度与点 P 的速度相等，经 1 s 后， 请说明 ； ②若点Q的速度与点P 的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使； (2)若点P以的速度从点B 向点C运动，同时点Q以的速度从点C向点A 运动，它们都依次沿的三边运动，则经过多长时间，点 Q 第一次在 的哪条边上追上点P？ 2．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且?若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 3．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图①，于于，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？与是否垂直？请分别说明理由 (2)如图②，将图①中的“于于”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十四章 全等三角形易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　不能准确确定全等三角形的对应关系 1 易错题型二　全等三角形计数时考虑不全 4 易错题型三　用“斜边、直角边”证明不指出直角三角形 7 压轴题型一　全等三角形的性质与判定 13 压轴题型二　构造全等三角形解决问题 15 压轴题型三　动态中的全等三角形 17 02 易错题型 易错题型一　不能准确确定全等三角形的对应关系 例1． （2023九年级·全国·专题练习）如图所示，两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，能熟记全等三角形的性质是解此题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等．根据图形得出根据全等三角形的性质得出，即可得出选项． 【详解】解：如图， ∵ 又∵和全等， 故选：D． 巩固训练 1．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，点，，，在同一条直线上，，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角性质，解题的关键是掌握相关知识．根据全等三角形的性质可得，最后根据三角形的外角性质，即可求解． 【详解】解：， ， ，点，，，在同一条直线上， ， 故选：A． 2．（24-25八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，，若，，则等于（　　） A． B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，根据全等三角形对应边相等得到，据此根据线段的和差关系可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25八年级上·河北廊坊·阶段练习）如图，点，在上，且．若，，则的长为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质．根据全等三角形的性质得到，推出，从而可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：C． 易错题型二　全等三角形计数时考虑不全 例2．（2024八年级下·全国·专题练习）平行四边形中，对角线、交于点（如图），则图中全等三角形的对数为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．先根据平行四边形的性质可得，，，，再根据全等三角形的判定即可得． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ，，，， 在和中， ， ； 在和中， ， ； 在和中， ， ； 在和中， ， ； 所以图中全等三角形的对数共有4对， 故选：C． 巩固训练 1．（23-24八年级上·山东临沂·阶段练习）已知中，，高，交于点，连接，则图中全等三角形的对数为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质和判定，等腰三角形的性质，根据三角形全等的判定确定三角形全等，最后统计即可． 【详解】∵， ∴， ∵，是高， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， 在和中 ， ∴， 综上，图中全等的三角形共有5对． 故选：C 2．（22-23八年级上·广东广州·期中）如图，点E在AB上，点F在AC上．，CE与BF相交点D，连接AD，则图中全等三角形的对数共有（　　） A．1对 B．2对 C．3 D．4对 【答案】D 【分析】根据题目给的条件与相交于点，可以知道“两条线相交，对顶角相等”，得出．由于，，推出．根据全等三角形的性质，由于，得出，，，推出，，由于，推出．根据全等三角形的性质，，，由于，可得，推出．最后根据，得出，由于，，（公共边相等），推出，根据全等三角形的判定推出即可． 【详解】，， 又与相交于 ，， ， ，， ， 即有四对全等三角形， 故选： 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质的应用，主要考查学生的推理能力． 3．（20-21七年级下·陕西西安·期末）如图，中，，是的中点，的垂直平分线分别交，，于点，，，则图中全等三角形的对数是（    ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】根据，是的中点，可得 ， ， ，从而，，，再根据 垂直平分线，可得，即可求解． 【详解】解：∵，是的中点， ∴ ， ， ， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴ ， ∵， ， ∴ ， ∵ 垂直平分线， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴图中全等三角形的对数是4对． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题的关键． 易错题型三　用“斜边、直角边”证明不指出直角三角形 例3. （23-24八年级上·全国·单元测试）已知，如图，，，垂足分别为，，且，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即、、、和）是解题的关键．根据即可证明结论成立． 【详解】证明：∵，， ∴． 在和中 ∴． 巩固训练 1．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，且，点E是线段上一点，连接，且．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，直接利用证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 2．（23-24八年级下·吉林·开学考试）如图，点、、、在同一条直线上，于点，于点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． 由题意易得，，，进而问题可求证． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴． 3．（22-23八年级下·山东济南·期中）如图，，垂足分别是E，F，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，灵活运用“”和“ ”证明三角形全等成为解题的关键． （1）根据垂直的定义可得，然后结合已知条件运用即可证明结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再证明，最后根据全等三角形的性质即可证明结论． 【详解】（1）证明：，， ， 在和中， ， ∴． （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 03 压轴题型 压轴题型一　全等三角形的性质与判定 例1. （2024八年级上·贵州·专题练习）如图，中，是边上的中线，，为直线上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，试求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； （1）利用中点性质可得，由平行线性质可得，再由对顶角相等可得，即可证得结论； （2）由题意可得，再由全等三角形性质可得，即可求得答案． 【详解】（1）证明：是边上的中线， ， ， ， 在和中， ， ∴； （2）解：，， ， ∵， ， ， ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·辽宁铁岭·阶段练习）如图，中，D为边上一点，于F，．求证：D为的中点． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，掌握全等三角形的判定方法是解决问题的关键．证明，得到，即可证明． 【详解】证明：∵的延长线于E，于F， ∴， 在和中，， ∴ ∴． ∴D为的中点． 2．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图甲，已知在中，，，直线经过点C，且于D，于E． (1)说明． (2)说明． (3)已知条件不变，将直线绕点C旋转到图乙的位置时，若、，则_____． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂线的定义，直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由垂线的定义得出，再由同角的余角相等得出，最后利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，即可得证； （3）由垂线的定义得出，再由同角的余角相等得出，最后利用证明，得出，，即可得解． 【详解】（1）证明：∵于D，于E． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∴； （3）证明：∵于D，于E． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：2． 3．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）（1）问题背景： 如图1：在四边形中，，，，、分别是，上的点且，探究图中线段、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是，延长到点，使，连接，先证，再证明可得出结论，他的结论应是______； （2）请按照小王同学的思路写出推理过程，也可尝用其他的方法； （3）探索延伸：如图2，若在四边形中，，，、别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由推出，结合，，即可的得到结论 （2）根据题意易证，推出，，然后利用，，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论； （3）延长到点，使，连接，根据，推出，易证，推出，，然后利用，以及角的和差关系得到，从而证明，推出，结合，即可得到结论． 【详解】解：（1） 又 故答案为：． （2）在和中 ， 又， 在和中 （3）结论仍然成立， 理由：如图所示，延长到点，使，连接 ， 在和中 ， 在和中 压轴题型二　构造全等三角形解决问题 例2. （24-25八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图1，中，是中线，求证：． 【答案】证明过程见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，三角形三边数量关系，根据题意，延长至点，使得，连接，可证，可得，再根据三角形的三边数量关系即可求解． 【详解】证明：如图所示，延长至点，使得，连接， ∵点是的中点， ∴，且， ∴， ∴， 在中，， ∴． 巩固训练 1．（22-23八年级上·湖北孝感·期中）已知：，，． (1)如图1当点在上， ______． (2)如图2猜想与的面积有何关系？请说明理由．（温馨提示：两三角形可以看成是等底的） 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由全等可知，所以当点在上时，为等腰三角形，依据已知计算即可． （2）因为两个三角形中有一边相等，只要找到这两个底对应高之间的关系即可． 【详解】（1）解：， ， 又，， ， 在中，， 故答案为：． （2）解：如下图所示：过点作的边上的高，过点作的边上的高，由作图及知： ，，， （同角的余角相等），   在与中有： （）， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形性质和判定，关键是使用分析法找到:两个三角形面积相等时，底相等则高相等，从而构造全等证明对应高相等． 2．（22-23八年级上·山东临沂·期中）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，BC与y轴交于D点，点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3），求点D的坐标． 【答案】（0，） 【分析】过A和B分别作AF⊥x轴于F，BE⊥x轴于E，可证得△AFC≌△CEB，从而得到FC＝BE，AF＝CE，再由点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3），可得OC＝2，AF＝CE＝3，OF＝6，从而得到B点的坐标是（1，4），再求出直线BC的解析式，即可求解． 【详解】解：过A和B分别作AF⊥x轴于F，BE⊥x轴于E， ∵∠ACB＝90°， ∴∠ACF＋∠BCE＝90°， ∵AF⊥x轴，BE⊥x轴， ∴， ∴∠ACF＋∠CAF＝90°， ∴∠CAF＝∠BCE， 在△AFC和△CEB中， ， ∴△AFC≌△CEB（AAS）， ∴FC＝BE，AF＝CE， ∵点C的坐标为（-2，0），点A的坐标为（-6，3）， ∴OC＝2，AF＝CE＝3，OF＝6， ∴CF＝OF-OC＝4，OE＝CE-OC＝2-1＝1， ∴BE＝4， ∴则B点的坐标是（1，4）， 设直线BC的解析式为：y＝kx＋b， ，解得：  ， ∴直线BC的解析式为：y＝x＋ ， 令 ，则 ， ∴ D（0，）． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，全等三角形的判定和性质，根据题意得到△AFC≌△CEB是解题的关键． 3．（23-24七年级下·四川成都·期中）在的高、交于点，． (1)如图1，求证：； (2)如图1，求的度数； (3)如图2，延长到点，过点作的垂线交的延长线于点，当时，探究线段、、的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据直角三角形的两个锐角互余及等角的余角相等即可得出结论； （2）证和全等得，从而得为等腰直角三角形，进而可得的度数； （3）在上截取，连接，先证和全等得，，再证，进而可依据“”判定和全等，从而得，由此可得线段、、的数量关系． 此题主要考查了三角形的高，全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质，理解三角形的高，熟练掌握全等三角形的判定，等腰直角三角形的判定和性质是解决问题的关键，难点是正确地作出辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）证明：的高、交于点，如图1所示： ，， ，， ， （2）解：在和中， ， ， ， 为等腰直角三角形， ； （3）解：、、的数量关系是：，证明如下： 在上截取，连接，如图2所示： 是的高，， ，， 在和中， ， ， ，， 由（2）可知：，即， ， ， 即， 在和中， ， ， ， ． 压轴题型三　动态中的全等三角形 例3. （24-25八年级上·吉林长春·阶段练习）如图，与相交于点C，，点P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿D→E方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动，设点P的运动时间为t（s）． (1)当时，线段的长度_______，线段的长度_______； (2)求证：； (3)连接，当线段经过点C时，直接写出t的值； (4)连接，当的面积等于面积的一半时，直接写出所有满足条件的t值． 【答案】(1)3，2 (2)见详解 (3)或 (4)或 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，平行线的判定，一元一次方程的应用，解题的关键是注意不同时间段内点P的运动方向不同，需要分情况讨论． （1）根据点P、Q的运动速度、运动时间、运动方向即可； （2）先根据证明，得出，根据内错角相等、两直线平行，即可证明； （3）根据全等三角形的性质得出，，当线段经过点C时，根据可证，推出，用含t的代数式表示，分情况列出等式，即可求解； （4）由题意得，点为的中点，分类讨论，建立一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：当时．， ∵，P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度运动 ∴P从点A出发，到达点时，用时，然后从点返回向点运动，则路程为， ∴ 故答案为：3，2； （2）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（2）得， ∴，， 当线段经过点C时，如下所示： 在和中， ， ∴， ∴， ∵，点P从点A出发，沿A→B→A方向以的速度匀速运动， ∴时，点P到达点B，时，点P返回点A， ∵， ∴当时，， 解得； 当时，， 解得； 综上所述，t的值为或． （4）解：∵，时， ∴， 则当点从点向运动时，， ∴； 当点从点向运动时，， ∴， 综上所述，或3． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，在中，点D为的中点， ，，． (1)若点P 在线段上以的速度从点B 向终点C 运动，同时点Q 在线段上从点 C 向终点 A运动． ①若点 Q 的速度与点 P 的速度相等，经 1 s 后， 请说明 ； ②若点Q的速度与点P 的速度不相等，当点Q的速度为多少时，能够使； (2)若点P以的速度从点B 向点C运动，同时点Q以的速度从点C向点A 运动，它们都依次沿的三边运动，则经过多长时间，点 Q 第一次在 的哪条边上追上点P？ 【答案】(1)① 见解析；② (2)经过10s，点 Q第一次在 边上追上点 P 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练运用路程=速度时间公式，能够分析出追及相遇的问题中得路程关系． （1）①根据时间和速度分别求得两个三角形中的边长，根据判定两个三角形全等即可； ②根据全等三角形应满足的条件探求边之间的关系，再根据路程=速度时间公式，先求得点运动的时间，再求得点的运动速度即可； （2）根据题意结合图形分析发现：由于点的速度快，且在点的前边，所以要想第一次相遇，则应该比点多走等腰三角形的两个腰长即可． 【详解】（1）① ∵，， ∴ ． ∵点 D 为 的中点， ∴ ∵， ∴． 在和 中， ， ∴． ② 设点 Q 的运动时间为t ，运动速度为 ． ∵， ∴，． ∴ ∴ （2）设经过x 后，点Q第一次追上点P． 由题意，得． 解得． ∴点 P 运动的路程为． ∵， ∴此时点 P 在边上， ∴经过10 ，点 Q第一次在边上追上点 P． 2．（24-25八年级上·吉林·阶段练习）如图，在长方形中，厘米，厘米．动点P从点A出发，以2厘米/秒的速度沿运动；同时点Q从点C出发，以4厘米/秒的速度沿运动，当一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设点P运动的时间为秒． (1)用含的代数式表示线段的长； (2)求为何值时，与的面积相等； (3)求为何值时，与全等； (4)是否存在值，使，且?若存在，直接写出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，；当时，； (2) (3) (4) 【分析】本题考查了动点问题，涉及了全等三角形的判定与性质，掌握分类讨论的数学思想是解题关键． （1）分类讨论当和两种情况即可； （2）由题意得，可得，类讨论当和两种情况即可； （3）由题意得是直角三角形，故点在上运动时，有，由此得，即可求解； （4）分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况，可推出得，即可求解； 【详解】（1）解：由题意得：厘米， 当时，； 当时，； （2）解：由题意得：， ∴， 当时，， 此时，解得：； 当时，， 此时，解得：（舍）； 综上所述：当时，与的面积相等 （3）解：由题意得：是直角三角形， ∴当，即点在上运动时，有与全等 此时， ∴ ∵，； ∴， 解得：； （4）解：分析可知：当点在上运动时，存在，且的情况， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴， 解得：； 3．（23-24八年级上·江苏徐州·阶段练习）如图①，于于，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在线段上由点向点运动，它们运动的时间为． (1)若点的运动速度与点的运动速度相等，当时，与是否全等？与是否垂直？请分别说明理由 (2)如图②，将图①中的“于于”改为“”，其他条件不变．设点的运动速度为，是否存在实数，使得与全等？若存在，求出相应的的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)与全等，与垂直，理由见解析 (2)存在或，使得与全等 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）当时，，，利用即可证明，由全等三角形的性质得出，由，得出，即可得解； （2）由题意得：，，，，再分两种情况：若，则，；若，则，；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：与全等，与垂直，理由如下： 当时，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即与垂直； （2）解：存在， 由题意得：，，，， 若，则，， ∴， 解得：； 若，则，， ∴， 解得：； 综上所述，存在或，使得与全等． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$