高一数学期中考试模拟卷（范围：集合与常用逻辑用语+不等式+函数）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（人教A版2019必修第一册）

2024-2025学年高一数学期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 范围：第一章集合与常用逻辑用语+第二章一元二次函数、方程和不等式+第三章函数的概念与性质 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知命题p：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】根据全称命题的否定形式判断即可得出答案. 【详解】由命题p：，，可得为，. 故选：A. 2．函数是幂函数，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【解析】由幂函数的定义知， 即，解得或．故选：C 3．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】化简集合，根据交集运算得解. 【详解】由，可得，解得， ，又， 所以， 故选：D． 4．下列各组函数是同一个函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据题意，利用同一函数的定义与判定方法，结合函数的定义域与对应关系，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以A不符合题意； 对于B，函数，，所以两个函数的对应关系不同，所以不是同一个函数，所以B不符合题意； 对于C，函数的定义域为，的定义域为，两个函数的定义域不同，所以不是同一个函数，所以C不符合题意； 对于D，由函数与的定义域与对应关系都相同，所以是同一个函数，所以D符合题意. 故选：D 5．关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合韦达定理即可求解. 【详解】根据题意可知；， 由韦达定理可得，解得， 故选：B 6．函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】画出函数的图象，由此判断出正确答案. 【详解】， 由此画出函数的图象如下图所示， 由图可知，函数的一个单调递减区间为. 故选：A    7．已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】在等式的两边同乘以，结合基本不等式可得出关于的二次不等式，即可解得的最小值. 【详解】因为正实数满足， 等式两边同乘以可得， 所以， 因为，解得，当且仅当 时，等号成立. 因此，的最小值为. 故选：A. 8．已知奇函数的定义域为，在区间上单调递增，，且为偶函数.若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由为上的奇函数，则关于点对称，则， 又为偶函数，则，故关于对称，则， 则，是周期为4的周期函数， 又在区间上单调递增，因此在区间上单调递减， 又，则，因此， 又关于的不等式对恒成立，则， 因此，可得，， 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知命题，，则命题P成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】考虑和的两种情况，得到，命题P成立的一个充分不必要条件是的真子集，对比选项得到答案. 【详解】恒成立， 当时，，成立； 当时，，解得； 综上所述：， 命题P成立的一个充分不必要条件是的真子集，CD满足. 故选：CD. 10．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡儿积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法不正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 【答案】ABC 【分析】根据直积的定义可判断AD的正误，根据反例可判断BC的正误. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，设，，则，的元素个数为，不是3，故B错误； 对于C，结合B的实例，，而，两者不相同，故C错误； 对于D，任意，则存在， 使得，因为且，故且， 故，故 任意，则存在，使得， 故，故，故， 故，故D正确. 故选：ABC 【点睛】关键点睛：证明两个集合相等，关键是证明它们彼此包含，后者依据定义证明. 11. 已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C．的增区间为 D． 【答案】ABC 【知识点】函数周期性的应用、函数奇偶性的定义与判断、定义法判断或证明函数的单调性、分段函数的性质及应用 【分析】对于A，根据函数表达式直接求值即可；对于B，当时，，利用基本不等式求出最大值进而得到答案；对于C，先研究函数在上的奇偶性，再在利用定义法求解单调性，结合函数周期性进而得到增区间；对于D，举反例直接说明即可. 【详解】对于A，当时，，此时函数周期为， 故，故A正确； 对于B，当时， ，当且仅当，即时等号成立， 所以，又因为当时，，函数周期为，所以的最大值为2，故B正确； 对于C，当时，，此时，所以在上为偶函数， 任取，且， 则 ， 因为，且， 所以，， 所以，所以， 所以在单调递增， 根据周期性可知，的增区间为，故C正确； 对于D，取，则， 此时，故D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数的定义域，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据题意，得出不等式组，解不等式组即可求得函数的定义域. 【详解】由函数的定义域得要使函数有意义，则满足， 解得或，即函数的定义域为. 故答案为：. 13．已知，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用不等式的性质可求的取值范围. 【详解】设， 则，故， 因为，则， 故即， 故答案为：. 14．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的最大值为 ． 【答案】/4.5 【知识点】函数图象的应用、求二次函数的值域或最值、函数不等式恒成立问题 【分析】根据函数，且时，，作出函数的图象，利用数形结合法求解. 【详解】解：因为函数，且时，， 所以， 当时，， 则， ， 当时，， ， ， 作出函数的图象如图所示： 由图象知：当时，，此时， 所以令，解得或， 所以对任意，都有时，的最大值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知全集，集合，，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求得集合，由题意，得到，分和，两种情况讨论，结合集合的包含关系，列出不等式，即可求解； （2）先求得集合，结合，分类讨论求得实数的范围，进而求得时，实数的取值范围，得到答案. 【详解】（1）由集合，， 因为，可得， 当时，即，解得，此时满足； 当时，要使得，则满足，解得， 综上可得，实数的取值范围为. （2）由集合，， 当时，即，解得，此时； 当时，要使得，则满足或， 解得或， 综上可得，若时，实数的取值范围为， 所以，若时，可得实数的取值范围为. 16．（15分）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 【答案】(1)， (2)当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 【分析】（1）由题意，把，代入，可求的值. （2）利用基本不等式“1”的妙用，可求的最小值及对应的的值. 【详解】（1）由题意，， 因为时，，所以， 所以，. （2）因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取“”， 所以当时，臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小，为. 17．（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)用定义法判定的单调性； (3)求使成立的实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上是增函数. (3). 【分析】（1）由函数在处有定义得，联立待定系数，再利用定义证明函数的奇偶性即可； （2）按“区间取值——作差变形——符号判断”的步骤利用定义法判定即可得； （3）结合函数的奇偶性与单调性解抽象不等式的方法求解，注意函数的定义域. 【详解】（1）因为函数是定义在上的奇函数， 所以，得，解得， 验证：当时，. 由题意，的定义域关于原点对称. 且任意，都有， 所以是奇函数，满足题意. 故. （2）在上是增函数. 由（1）知，，. 证明：设，且， 则， ，，， ，， 在上是增函数. （3）， 因为是定义在上的奇函数， 所以， 则， 由（2）知在上是增函数， 所以，即，解得. 故实数的取值范围是. 18．（17分）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）将不等式化为；当时易知满足题意；当时，根据一元二次不等式恒成立问题的求法可求得结果； （2）分别在、和三种情况下，解一元二次不等式求得结果； （3）由基本不等式可求解得，根据题意，将题中条件转化为有两个不同正根，由二次函数根的分布列不等式组，由求解的取值范围. 【详解】（1）由得恒成立，恒成立， 当时，恒成立，符合题意； 当时，则，解得； 综上所述：实数的取值范围为. （2）当时，； 令，解得：，； 当，即时，恒成立，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 当，即时，不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. （3）当时，令， 当且仅当时取等号， 依题意可得关于的方程有四个不等实根， 令，则转化为存在使得关于的方程， 即有两个不同正根， 则 ，由第二个与第三个不等式可得， 由知，存在使不等式成立， 把看成主元代入，故，即， 解得或，综合可得， 故实数的取值范围是. 【点睛】方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④韦达定理；⑤端点函数值符号四个方面分析． 19．（17分）已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且． (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性，求在区间上的最大值； (3)是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)奇函数； (2)为上的减函数；在上的最大值为6； (3)存在，实数a的取值范围为． 【分析】（1）赋值法得到，，得到函数的奇偶性； （2）先由时，利用赋值法得到函数单调递减，再用赋值法和奇偶性得到，从而得到在区间上的最大值； （3）先根据单调性得到，问题转化为，恒成立，令，为一次函数，得到不等式组，求出实数a的取值范围. 【详解】（1）取，则， ∴， 取，，则， ∴对任意恒成立， ∴为奇函数； （2）任取且， 则， 因为，故， 令，则有， 即， ∵时，， 故时，， ∴， ∴． 故为上的减函数． ∴，， ∵，， 令，则，故， 因为 令，则，即， 由（1）知：为奇函数，故， 故，解得：， 故， 故在上的最大值为6； （3）∵在上是减函数， ∴， ∵，对所有，恒成立． ∴，恒成立； 即，恒成立， 令，则，即， 解得：或． ∴实数a的取值范围为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年高一数学期中模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 范围：第一章集合与常用逻辑用语+第二章一元二次函数、方程和不等式+第三章函数的概念与性质 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．已知命题p：，，则为（   ） A．， B．， C．， D．， 2．函数是幂函数，则实数的值是（    ） A． B． C．或 D．且 3．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 4．下列各组函数是同一个函数的是（ ） A．与 B．与 C．与 D．与 5．关于的一元二次方程有两个不相等的正实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 6．函数的一个单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 7．已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 8．已知奇函数的定义域为，在区间上单调递增，，且为偶函数.若关于的不等式对恒成立，则实数取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知命题，，则命题P成立的一个充分不必要条件可以是（    ） A． B． C． D． 10．两个集合和，用中元素为第一元素，中元素为第二元素构成有序对，所有这样的有序对组成的集合叫作和的笛卡儿积，又称直积，记为，即．关于非空集合，下列说法不正确的是（    ） A．若，，则 B．若集合的元素个数分别为，则的元素个数为 C． D． 11. 已知，则下列结论正确的是（    ） A． B．的最大值为2 C．的增区间为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数的定义域，则函数的定义域为 . 13．已知，则的取值范围是 . 14．设函数的定义域为，满足，且当时，．若对任意，都有，则的最大值为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知全集，集合，，. (1)若，求的取值范围； (2)若，求的取值范围. 16．（15分）某保健厂研制了一种足浴气血生机的足疗盆，具体原理是：在足浴盆右侧离中心厘米处安装臭氧发生孔，产生的臭氧对双脚起保健作用.根据检测发现，该臭氧发生孔工作时会对泡脚的舒适程度起到干扰作用，已知臭氧发生孔工作时，对左脚的干扰度与成反比，比例系数为2；对右脚的干扰度与成反比，比例系数为k，且当时，对左脚和右脚的干扰度之和为0.06. (1)求臭氧发生孔工作时对左脚和右脚的干扰度之和y关于x的表达式； (2)求臭氧发生孔对左脚和右脚的干扰度之和的最小值，并求此时x的值. 17．（15分）已知函数是定义在上的奇函数，且 (1)求的值； (2)用定义法判定的单调性； (3)求使成立的实数的取值范围. 18．（17分）已知函数，． (1)恒成立，求实数的取值范围； (2)当时，求不等式的解集； (3)若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值． 19．（17分）已知函数对任意实数m、n都满足等式，当时，，且． (1)判断的奇偶性； (2)判断的单调性，求在区间上的最大值； (3)是否存在实数a，对于任意的，，使得不等式恒成立．若存在，求出a的取值范围；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$