第4章 几何图形初步知识归纳与题型突破（10类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记•巧练（沪科版2024）

第四章 几何图形初步知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、点、线、面、体的关系 二、常见的几何体 三、直线、射线、线段的区别与联系 四、线段的基本事实和两点之间的距离 1、线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短； 2、两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离. 五、角的表示方法 1、角的表示方法 2、角的分类 六、角的单位换算 1周角=3600 1平角=1800 七、角的和、差 八、角平分线、补角和余角 1、角的平分线 在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 2、补角 如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补. 3、余角 如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余. 4、余角、补角的性质 （1）同角（或等角）的余角相等； （2）同角（或等角）的补角相等. 03 题型归纳 题型一　认识几何体 例1. （24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．有六条侧棱的棱柱的底面一定是三角形 B．棱锥的侧面是三角形 C．长方体和正方体不是棱柱 D．柱体的上、下两底面可以大小不一样 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法不正确的是（　　） A．篮球的表面、水桶的侧面都是曲面 B．正方体有八个顶点，经过每个顶点有两条面与面的交线 C．晴朗的夜空中一颗流星划过，给我们留下一条美丽的亮线，这说明点动成线 D．在中国地图上，锦州可被看作一个点 2．（23-24六年级上·山东泰安·期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）下列说法的是（    ） A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过一道流星”能说明“点动成线” D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的 题型二　多面体与旋转体 例2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示的花瓶中，其表面可以看作由如图的平面图形绕虚线旋转一周形成的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，第一行的图形绕虚线旋转一周，能形成第二行的某个几何体，用线连起来． 3．（24-25七年级上·浙江·开学考试）如图所示，将下面组合图形分别绕轴L、轴P旋转一周形成两个不同的立体图．请问这两个立体图形体积的比是多少？ 题型三　立体图形的特征 例3. （24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）小文同学在延时课上制作了如下几何体，底面边长都是，侧棱长． (1)该几何体的名称为______； (2)该几何体有______个面，______个顶点，______条棱； (3)求它的所有侧面的面积之和． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图①所示的几何体叫三棱柱，它有6个顶点、9条棱、5个面，如图②和图③所示的几何体分别是四棱柱和五棱柱． (1)四棱柱有________个顶点，________条棱，________个面． (2)五棱柱有________个顶点，________条棱，________个面． (3)你能由此猜想六棱柱、七棱柱各有几个顶点、几条棱、几个面吗？棱柱呢？ 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果一个棱柱（棱锥）有n条侧棱，那么就称其为n棱柱（棱锥）． (1)图①所示的几何体是一个三棱柱，它有 个顶点， 条棱， 个面； (2)图②所示的几何体是 ，它有 个顶点， 条侧棱， 个侧面， 个底面； (3)如果一个棱锥由7个面围成，那么这个棱锥是几棱锥，它共有几条棱？ 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察如图所示的八个几何体． (1)依次写出这八个几何体的名称： ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ； (2)若几何体按是否包含曲面分类：（填序号即可） 不含曲面的有 ；含曲面的有 ． 题型四　线段、射线、直线及其表示 例4. （22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，下列说法正确的是（    ） A．射线和射线表示同一条射线 B．射线和射线表示同一条射线 C．射线和射线表示同一条射线 D．以点为端点的射线有4条 巩固训练 1（22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．点在线段上 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．射线是直线的一半，因此射线的长度等于直线长度的一半； B．射线只有一个端点，因此可以直接用这个端点表示这条射线； C．线段有两个端点，必须且只能用这两个端点的字母来表示这条线段； D．直线上可以截出无数条线段，射线上也可以截出无数条线段； 3．（20-21七年级上·浙江宁波·期末）下列各图中表示射线，线段的是（     ） A． B． C． D． 题型五　线段的计算 例5. （23-24七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知C是线段上的一点，P、Q分别是线段的中点，M、N分别是线段的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）如图，已知是线段中点，延长线段至，使，则下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥，正确的有（　　） A．①②④⑥ B．①②⑤⑥ C．①②③④ D．②③⑤⑥ 2（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）若线段，在直线上有一点C，且，点是线段的中点，则为（       ） A． B． C．或 D．无法确定 3．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）如图，已知线段，延长至点，使．为线段 的中点，若，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 题型六　角及其表示方法 例6．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 巩固训练 1．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）如图，下列表示角的方法正确的是（　　）    A． B． C． D． 2．（22-23七年级上·河南商丘·期末）下列表示图中角的方法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（21-22六年级下·全国·单元测试）如图，下列关于各图形的说法正确的有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型七　角的度量 例7. （23-24七年级上·甘肃天水·期末）（1） 分，（2） 度，（3） 度 分． 巩固训练 1（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习） ． 2．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）计算： ． 3．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图所示，可以用量角器度量的度数，那么的余角的度数为 ． 题型八　余角和补角 例8. （23-24七年级上·江苏常州·期末）有一个角的补角为，则这个角的余角是 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·四川绵阳·开学考试）与互为余角，，则 ． 2．（23-24六年级下·全国·单元测试）如果的补角是，那么 度． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）与互余，与互补，，那么 ． 题型九　角的计算 例9. （22-23七年级上·云南昆明·期末）如图，为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由． 巩固训练 1．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，是的平分线． (1)请用一个直角三角尺作出的平分线； (2)在（1）作图的基础上，说明平分的理由． 理由：因为是的平分线， 所以． 因为_________， 所以________， _______°． 因为， 所以____________（理由：__________）． 所以是的平分线． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，与互为补角，OD平分，．试说明：． 3．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型十　尺规作图 例10. （22-23七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，已知，求作：．（要求保留作图痕迹，不写作法） 巩固训练 1．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）尺规作图：已知：、，求作：，使． 2．（22-23七年级上·山东青岛·期末）用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：线段； 求作：线段． 3．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图，已知线段，，画一条线段，使． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 几何图形初步知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、点、线、面、体的关系 二、常见的几何体 三、直线、射线、线段的区别与联系 四、线段的基本事实和两点之间的距离 1、线段的基本事实：两点之间的所有连线中，线段最短； 2、两点之间的距离：两点之间线段的长度，叫做这两点间的距离. 五、角的表示方法 1、角的表示方法 2、角的分类 六、角的单位换算 1周角=3600 1平角=1800 七、角的和、差 八、角平分线、补角和余角 1、角的平分线 在角的内部，以角的顶点为端点的一条射线把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线. 2、补角 如果两个角的和等于一个平角，那么我们就称这两个角互为补角，简称互补. 3、余角 如果两个角的和等于一个直角，那么我们就称这两个角互为余角，简称互余. 4、余角、补角的性质 （1）同角（或等角）的余角相等； （2）同角（或等角）的补角相等. 03 题型归纳 题型一　认识几何体 例1. （24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．有六条侧棱的棱柱的底面一定是三角形 B．棱锥的侧面是三角形 C．长方体和正方体不是棱柱 D．柱体的上、下两底面可以大小不一样 【答案】B 【分析】此题主要考查了立体图形中的各面形状，熟练掌握棱柱和棱锥的特点是关键． 根据棱柱和棱锥的侧面和底面特点，进行判断即可． 【详解】解：A、有六条侧棱的棱柱的底面不可以是三角形，是六边形，故此选项错误； B、棱锥的侧面都是三角形，故此选项正确； C、长方体和正方体是棱柱，故此选项错误； D、柱体的上、下两底面大小一样，故此选项错误； 故选B． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列说法不正确的是（　　） A．篮球的表面、水桶的侧面都是曲面 B．正方体有八个顶点，经过每个顶点有两条面与面的交线 C．晴朗的夜空中一颗流星划过，给我们留下一条美丽的亮线，这说明点动成线 D．在中国地图上，锦州可被看作一个点 【答案】B 【分析】本题考查生活中的立体图形，掌握点、线、面的概念是解题关键． 首先根据面有平面和曲面之分，由篮球的表面、水桶的侧面都不在同一平面，判断A；由正方体的特点，面与面相交形成线，判断B；然后根据点动成线，判断C；在地图上，用点表示位置，判断D． 【详解】解：A．篮球的表面、水桶的侧面都是曲面，故不符合题意； B．正方体有八个顶点，经过每个顶点有3条面与面的交线，故符合题意； C．晴朗的夜空中一颗流星划过，给我们留下一条美丽的亮线，这说明点动成线，故不符合题意； D．在中国地图上，锦州可被看作一个点，故不符合题意． 故选：B． 2．（23-24六年级上·山东泰安·期末）下面的几何体中，属于棱柱的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了认识立体图形，几何体的分类，棱柱的定义。有两个面平行，其余各面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱． 根据棱柱的定义判定即可． 【详解】解：从左到右依次是长方体，圆柱，四棱柱，棱锥，圆锥，三棱柱． 所以属于棱柱有长方体，四棱柱，三棱柱，共3个． 故选：C． 3．（23-24七年级上·河南平顶山·期中）下列说法的是（    ） A．五棱柱有10个顶点 B．棱柱侧面的形状可能是一个三角形 C．“天空划过一道流星”能说明“点动成线” D．圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的 【答案】B 【分析】本题考查了棱柱、点动成线、圆锥等知识．对知识的熟练掌握是解题的关键． 根据棱柱、点动成线、圆锥等知识分别进行判断即可． 【详解】解：五棱柱有10个顶点，A正确，故不符合要求； 棱柱侧面的形状是平行四边形，不可能是一个三角形，B错误，故符合要求； “天空划过一道流星”能说明“点动成线”， C正确，故不符合要求； 圆锥由两个面围成，这两个面中，一个面是平的，一个面是曲的，D正确，故不符合要求； 故选：B． 题型二　多面体与旋转体 例2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如图所示的花瓶中，其表面可以看作由如图的平面图形绕虚线旋转一周形成的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了面动成体，通过面的特征推断体的形状熟练掌握即可解题． 【详解】解：由面动成体．由题目中的图示可知：此图形旋转可成脖子长有口的瓶子． B是可由所给图形旋转而成的瓶型，故B正确； 故选：B． 巩固训练 1．（2024·陕西·中考真题）如图，将半圆绕直径所在的虚线旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点、线、面、体问题．根据旋转体的特征判断即可． 【详解】解：将一个半圆绕它的直径所在的直线旋转一周得到的几何体是球， 故选：C． 2．（24-25七年级上·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，第一行的图形绕虚线旋转一周，能形成第二行的某个几何体，用线连起来． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了面动成体，根据旋转的特点和各几何图形的特性判断即可． 【详解】解：图（1）绕虚线旋转一周得到的几何体上部分是圆柱，下部分是圆锥； 图（2）绕虚线旋转一周得到的几何体是球体； 图（3）绕虚线旋转一周得到的几何体是上下两个圆锥； 图（4）绕虚线旋转一周得到的几何体是圆柱的下部分凹进去一个圆锥． 连线如图所示． 3．（24-25七年级上·浙江·开学考试）如图所示，将下面组合图形分别绕轴L、轴P旋转一周形成两个不同的立体图．请问这两个立体图形体积的比是多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查立体图形的体积，熟练掌握体积计算公式是解题的关键．分别求出两个图形形成的立体图形的体积即可得到答案． 【详解】解：第一个图形形成的立体图形的体积： ； 第二个图形形成的立体图形的体积： ． 两个立体图形体积的比是． 题型三　立体图形的特征 例3. （24-25七年级上·河南郑州·阶段练习）小文同学在延时课上制作了如下几何体，底面边长都是，侧棱长． (1)该几何体的名称为______； (2)该几何体有______个面，______个顶点，______条棱； (3)求它的所有侧面的面积之和． 【答案】(1)五棱柱 (2)7，10，15 (3)它的所有侧面的面积之和是． 【分析】本题考查几何体及几何体的表面积． （1）根据图形知几何体的名称为五棱柱； （2）五棱柱的概念作答即可； （3）根据长方形的面积作答即可． 【详解】（1）解：根据图形知几何体的名称为五棱柱； 故答案为：五棱柱； （2）解：该几何体有7个面，10个顶点，15条棱； 故答案为：7，10，15； （3）解：侧面积之和：． 答：它的所有侧面的面积之和是． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图①所示的几何体叫三棱柱，它有6个顶点、9条棱、5个面，如图②和图③所示的几何体分别是四棱柱和五棱柱． (1)四棱柱有________个顶点，________条棱，________个面． (2)五棱柱有________个顶点，________条棱，________个面． (3)你能由此猜想六棱柱、七棱柱各有几个顶点、几条棱、几个面吗？棱柱呢？ 【答案】(1)8，12，6 (2)10，15，7 (3)六棱柱有12个顶点、18条棱、8个面；七棱柱有14个顶点、21条棱、9个面；n棱柱有个顶点、条棱、个面 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索，几何体中点、面、棱的个数问题： （1）根据图形求出对应几何体的点、面、棱的个数即可； （2）根据图形求出对应几何体的点、面、棱的个数即可； （3）根据三棱柱，四棱柱，五棱柱中点，面，棱的个数可得规律n棱柱有个顶点，条棱，个面，据此规律求解即可． 【详解】（1）解：四棱柱有8个顶点，12条棱，6个面， 故答案为：8，12，6； （2）解：五棱柱有10个顶点，15条棱，7个面， 故答案为：10，15，7； （3）解：三棱柱有个顶点，条棱，个面， 四棱柱有个顶点，条棱，个面， 五棱柱有个顶点，条棱，个面， ……， 以此类推可知n棱柱有个顶点，条棱，个面， ∴六棱柱有12个顶点、18条棱、8个面；七棱柱有14个顶点、21条棱、9个面． 2．（24-25七年级上·全国·随堂练习）如果一个棱柱（棱锥）有n条侧棱，那么就称其为n棱柱（棱锥）． (1)图①所示的几何体是一个三棱柱，它有 个顶点， 条棱， 个面； (2)图②所示的几何体是 ，它有 个顶点， 条侧棱， 个侧面， 个底面； (3)如果一个棱锥由7个面围成，那么这个棱锥是几棱锥，它共有几条棱？ 【答案】(1)6；9；5 (2)六棱柱；12；6；6；2 (3)12 【分析】本题主要考查的是认识立体图形，明确n棱柱有n个侧面，2个底面，条棱，个顶点，n棱锥有n个侧面，一个1底面，有条棱，有个顶点是解题的关键． （1）根据三棱柱有6个顶点，9条棱，5个面，进行解答即可； （2）根据几何体的特点进行解答即可； （3）根据n棱柱有个面组成，进行解答即可． 【详解】（1）解：图①所示的几何体是一个三棱柱，它有6个顶点，9条棱、5个面； 故答案为：6；9；5； （2）解：图②所示的几何体是六棱柱，它有12个顶点，6条侧棱、6个侧面、2个底面； 故答案为：六棱柱，12，6，6，2； （3）解：如果一个棱锥由7个面围成，那么这个棱锥是 六棱锥，它共有12条棱． 3．（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察如图所示的八个几何体． (1)依次写出这八个几何体的名称： ① ；② ；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ；⑧ ； (2)若几何体按是否包含曲面分类：（填序号即可） 不含曲面的有 ；含曲面的有 ． 【答案】(1)圆柱；圆锥；长方体；正方体；四棱柱、五棱柱、球体；三棱柱 (2)③④⑤⑥⑧；①②⑦ 【分析】本题主要考查的是认识立体图形，掌握常见几何体的特点是解题的关键． （1）根据几何体的特点回答即可； （2）根据平面和曲面的区别回答即可． 【详解】（1）解：①圆柱；②圆锥；③长方体；④正方体；⑤四棱柱、⑥五棱柱、⑦球体；⑧三棱柱； 故答案为：圆柱；圆锥；长方体；正方体；四棱柱、五棱柱、球体；三棱柱． （2）不含曲面的有：③④⑤⑥⑧；含曲面的有：①②⑦； 故答案为：③④⑤⑥⑧；①②⑦． 题型四　线段、射线、直线及其表示 例4. （22-23七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，下列说法正确的是（    ） A．射线和射线表示同一条射线 B．射线和射线表示同一条射线 C．射线和射线表示同一条射线 D．以点为端点的射线有4条 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，掌握射线的表示方法是解题的关键. 根据射线的表示方法逐项判定即可． 【详解】解：A、射线和射线的端点不同，不是表示同一条射线，故此选项不符合题意； B、射线和射线的端点相同，方向相同，是表示同一条射线，故此选项符合题意； C、射线和射线的端点不相同，方向也不相同，不是表示同一条射线，故此选项不符合题意； D、以点为端点的射线有2条，故此选项不符合题意； 故选：B． 巩固训练 1（22-23六年级下·山东泰安·期中）如图，下列说法正确的是（    ） A．直线和直线不是同一条直线 B．点是直线的一个端点 C．射线和射线不是同一条射线 D．点在线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线，射线，线段的定义．根据直线，射线，线段的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A．直线和直线是同一条直线，故本选项错误，不符合题意； B．直线没有端点，故本选项错误，不符合题意； C．射线和射线是同一条射线，故本选项错误，不符合题意； D．点在线段上，故本选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法正确的是（   ） A．射线是直线的一半，因此射线的长度等于直线长度的一半； B．射线只有一个端点，因此可以直接用这个端点表示这条射线； C．线段有两个端点，必须且只能用这两个端点的字母来表示这条线段； D．直线上可以截出无数条线段，射线上也可以截出无数条线段； 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段，射线，直线的性质．根据线段，射线，直线的性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、射线与直线的长度不可度量，故本选项不符合题意； B、射线需要用2个字母表示射线，故本选项不符合题意； C、线段也可以用1个小写字母表示，故本选项不符合题意； D、直线上可以截出无数条线段，射线上也可以截出无数条线段，故本选项符合题意； 故选：D 3．（20-21七年级上·浙江宁波·期末）下列各图中表示射线，线段的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段、射线和直线的区别；线段有两个端点且可以被度量；射线只有一个端点向一个方向无限延伸不可以被度量；直线没有端点向两个方向无限延伸不可以被度量．根据线段和射线的特征判定即可． 【详解】解：A选项表示直线和射线；不符合题意； B选项表示射线和线段；符合题意； C选项表示线段和射线；不符合题意； D选项表示线段和射线；不符合题意． 故选：B． 题型五　线段的计算 例5. （23-24七年级下·重庆沙坪坝·开学考试）如图，已知C是线段上的一点，P、Q分别是线段的中点，M、N分别是线段的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查两点间的距离，关键是由线段中点定义得到，即可求出的值为． 由线段中点定义得到，由，即可得到，由线段中点定义得到，因此，即可求出的值为． 【详解】解：∵分别是线段的中点， ， ， ， ， ∵分别是线段的中点， ， ， ， ， 的值为， 故选：B． 巩固训练 1．（23-24六年级下·山东济南·开学考试）如图，已知是线段中点，延长线段至，使，则下列结论中①；②；③；④；⑤；⑥，正确的有（　　） A．①②④⑥ B．①②⑤⑥ C．①②③④ D．②③⑤⑥ 【答案】B 【分析】本题考查了两点间的距离，线段线段中点的定义．根据线段中点的定义以及线段的和差逐一判断即可得到结论． 【详解】解：是线段中点， ，故①正确； ， ，故②正确； ，，故③④错误； 是线段中点， ， ， ，故⑤正确； ，， ，故⑥正确； 故选：B． 2（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）若线段，在直线上有一点C，且，点是线段的中点，则为（       ） A． B． C．或 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．考虑到、、三点之间的位置关系的多种可能，即点在点与之间或点在点的右侧两种情况进行分类讨论． 【详解】解：①如图1所示，当点在点与之间时， 线段，， ． 是线段的中点， ， ②当点在点的右侧时， ， 是线段的中点， ． 综上所述，线段的长为或． 故选：C． 3．（23-24七年级上·山东枣庄·期末）如图，已知线段，延长至点，使．为线段 的中点，若，则的值为（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间的距离，线段中点以及线段的和差的计算，根据求出，进而求出的长，根据D为线段的中点求出的长，再根据即可求出a的值． 【详解】解：，， ， 为线段 的中点， ， 解得：， 故选：C． 题型六　角及其表示方法 例6．（24-25七年级上·全国·单元测试）下列说法错误的是（　　） A．角是由两条有公共端点的射线组成的图形 B．周角的一半叫平角 C．可转化为 D．直线是平角 【答案】D 【分析】本题考查了角的相关概念及度分秒的换算，熟练掌握角的相关概念及度分秒的换算是解题的关键．根据角的相关概念及度分秒的换算逐项分析判断，即可判断答案． 【详解】A、角是由有公共端点的两条射线组成的图形，此说法正确，不符合题意； B、周角的一半是平角，此说法正确，不符合题意； C、，所以此说法正确，不符合题意； D、直线不是平角，此说法不正确，符合题意． 故选D． 巩固训练 1．（22-23七年级上·广东惠州·阶段练习）如图，下列表示角的方法正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据角的定义进行判断即可得． 【详解】解：根据图得，表示角的方法正确的是， 故选：C． 【点睛】本题考查了角，解题的关键是掌握角的定义． 2．（22-23七年级上·河南商丘·期末）下列表示图中角的方法不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据角的表示的方法，即可得到答案． 【详解】解：根据题意可得： 表示图中角的方法不正确的是：， 故选：A． 【点睛】 本题主要考查了角的表示方法，①三个大写英文字母表示法：用角的两边上的两个大写字母和顶点的字母表示角，②顶点字母表示法：当角的顶点处只有一个角时，也可以只用顶点的字母表示角，③阿拉伯数字表示法：在角的顶点处加上弧线标上数字，就可以用这个数字来表示角，④希腊字母表示法：在角的顶点处加上弧线标上小写希腊字母(等)，就可以用这个小写希腊字母来表示角，熟练掌握表示方法是解题的关键． 3．（21-22六年级下·全国·单元测试）如图，下列关于各图形的说法正确的有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据角的表示方法，射线的定义即可判断． 【详解】解：①表示，原说法错误； ②表示和和，原说法错误； ③不能表示一个平角，原说法错误； ④说法正确； ⑤说法正确； 综上，正确的说法的有2个， 故选：C． 【点睛】本题考查了对角的表示方法的应用，主要考查学生对角的表示方法的理解和掌握． 题型七　角的度量 例7. （23-24七年级上·甘肃天水·期末）（1） 分，（2） 度，（3） 度 分． 【答案】 【分析】本题主要考查角度的互化运算，掌握是解题的关键． （1）度化成分，乘以进率即可求解； （2）分化成度，除以进率即可求解； （3）根据进行转换即可求解． 【详解】解：（1）分， （2）∵， ∴度， （3）度分． 故答案为：． 巩固训练 1（23-24七年级上·陕西西安·阶段练习） ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的运算，熟练掌握角度单位制和运算法则是解题关键．根据角度单位制和运算法则计算即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·海南省直辖县级单位·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度的计算．把同单位的数值相加，如果满60，向上级单位进1，据此计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 3．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图所示，可以用量角器度量的度数，那么的余角的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查了角的度量、求一个角的余角，量角器的使用方法，正确使用量角器是解题的关键． 先由量角器的使用方法观察得出角度，从而根据余角的定义可得答案． 【详解】解：看量角器内圈的数字可读出的度数为 的余角的度数为； 故答案为： 题型八　余角和补角 例8. （23-24七年级上·江苏常州·期末）有一个角的补角为，则这个角的余角是 ． 【答案】 【分析】本题考查了余角和补角，解一元一次方程，设这个角是，则它的补角是，它的余角是，求出即可求解，熟练掌握余角和补角的定义是解题的关键． 【详解】设这个角是，则它的补角是，它的余角是， 根据题意有： ， 解得 ， 它的余角， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·四川绵阳·开学考试）与互为余角，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查余角，掌握余角的定义是解题的关键. 若两个角的和为，则这两个角互余，其中一角叫另一角的余角．根据一个角的余角等于减去这个角的度数进行计算． 【详解】解：与互为余角，且， ． 故答案为． 2．（23-24六年级下·全国·单元测试）如果的补角是，那么 度． 【答案】60 【分析】本题考查了补角的知识，属于基础题，注意掌握互补的两角之和为． 根据互补的两个角之和为，即可得出答案． 【详解】解：∵的补角是， ∴， 故答案为：60． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）与互余，与互补，，那么 ． 【答案】/153度 【分析】本题考查了余角与补角的定义．熟练掌握互为余角的和等于90°，互为补角的和等于180°是解题的关键． 根据互为余角的和等于90°先求出∠2的度数，再根据互为补角的和等于180°即可求出∠3的度数． 【详解】∵与互余， ， ∴， ∵与互补， ∴． 故答案为：． 题型九　角的计算 例9. （22-23七年级上·云南昆明·期末）如图，为直线上一点，平分，． (1)若，求的度数； (2)试判断和有怎样的数量关系，说说你的理由． 【答案】(1)； (2)，证明见解析 【分析】本题考查了角的计算，利用角的和差是解题关键． （1）根据角平分线的定义，邻补角的定义，可得答案； （2）利用等角的余角相等证明． 【详解】（1）解：由角平分线的定义，得， ． 由邻补角的定义，得， ； （2）解：，理由如下： 平分， ， ， ，， ． 巩固训练 1．（22-23七年级上·浙江台州·期末）如图，点A，O，B在同一直线上，是的平分线． (1)请用一个直角三角尺作出的平分线； (2)在（1）作图的基础上，说明平分的理由． 理由：因为是的平分线， 所以． 因为_________， 所以________， _______°． 因为， 所以____________（理由：__________）． 所以是的平分线． 【答案】(1)见详解 (2)；；90；；；等角的余角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及等角的余角相等，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等是解题的关键． （1）利用三角尺作，即可； （2）先推出，，然后根据等角的余角相等逐步推理证明，即可求证是的平分线． 【详解】（1）解：作，如图： （2）解：因为是的平分线， 所以． 因为， 所以，． 因为， 所以（理由：等角的余角相等）． 所以是的平分线． 2．（23-24七年级下·全国·假期作业）如图，与互为补角，OD平分，．试说明：． 【答案】见解析 【详解】解：因为与互为补角， 所以， 即． 又因为， 所以，即与互余，与互余． 因为平分， 所以， 所以， 即． 3．（23-24七年级下·河北廊坊·期中）如图，直线，相交于点O，平分，． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角、邻补角，利用邻补角的定义、余角的定义是解题关键． （1）根据补角，余角的关系，可得，根据角平分线的定义，可得答案； （2）根据邻补角，可得关于x的方程，根据解方程，可得，再根据余角的定义，可得答案． 【详解】（1）解：∵与是邻补角， ∴． ∵与互为余角， ∴． ∵与是邻补角， ∴． ∵平分， ∴； （2）解：， 设，． ∵与是邻补角， ∴， 即， 解得． ∵与互为余角， ∴． 题型十　尺规作图 例10. （22-23七年级下·广东茂名·阶段练习）如图，已知，求作：．（要求保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图—作与已知角相等的角，根据作与已知角相等的角的尺规作图方法作图即可． 【详解】解：如图所示，即为所求． 巩固训练 1．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）尺规作图：已知：、，求作：，使． 【答案】见解析 【分析】本题考查了尺规作图，作一个角等于已知两个角的和，正确掌握作图的基本要领即可． 【详解】根据题意，图如下： 则图示角即为所求． 2．（22-23七年级上·山东青岛·期末）用尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹 已知：线段； 求作：线段． 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图—复杂作图，熟练掌握基本作图方法是解题关键．以A为端点画一条射线，以A为圆心，线段的长度为半径画圆交射线于点C，再以C为圆心，线段为半径画圆交射线于点D，再以D为圆心，线段为半径画圆交射线于点E，然后以E为圆心，线段为半径画圆交线段于点B，则线段即为所求． 【详解】解：线段即为所求． 3．（24-25七年级上·山东·随堂练习）如图，已知线段，，画一条线段，使． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查线段和差的计算，掌握线段的表示及和差的计算方法是解题的关键． 先在射线上依次截取，再在上截取，则线段满足条件． 【详解】解：如图，为所作． 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