第4章 几何图形初步易错训练与压轴训练（6类易错+3类压轴）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记•巧练（沪科版2024）

第四章 几何图形初步易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　面动成体时，考虑不全面 1 易错题型二　混淆线段、射线、直线的概念 4 易错题型三　没有给出图形时，考虑不全面 7 易错题型四　角的表示方法有误 7 易错题型五　误认为角的单位换算是10进制 7 易错题型六　解角有关问题未分类讨论 7 压轴题型一　线段的计算 13 压轴题型二　角度的计算 15 压轴题型三　尺规作图 17 02 易错题型 易错题型一　面动成体时，考虑不全面 例1． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，左边的图形绕虚线旋转一周，形成的几何体是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24六年级上·全国·单元测试）如图是将三角形绕直线旋转一周得到的立体图形，则旋转的三角形是下列选项中的（    ） A． B． C． D． 2（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）在下面图形中，以直线为轴旋转，可以得到圆柱的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的（   ） A． B． C． D． 易错题型二　混淆线段、射线、直线的概念 例2．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．过一点P只能作一条直线 B．直线和直线表示同一条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线a比直线b短 巩固训练 1．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，有下列结论：①以点A为端点的射线共有5条；②以点D为端点的线段共有4条；③射线和射线是同一条射线；④直线和直线是同一条直线．以上结论正确的是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 2．（2024·河北石家庄·二模）关于如图中的点和线，下列说法错误的是（    ） A．点在直线上 B．点在线段上 C．点在射线上 D．点在线段上 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）图中直线的表示方法，不正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错题型三　没有给出图形时，考虑不全面 例3. （24-25七年级上·全国·单元测试）平面上有A，B，C三点，已知，，则的长是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南洛阳·开学考试）如果线段，， 那么A， C 两点之间的线段是（    ） A． B． C． D．最大是 ， 最小是 2．（22-23七年级上·河北沧州·单元测试）A，B，C三点在同一直线上，线段，，那么A，C两点的距离是（　　） A． B． C．或 D．以上答案都不对 3．（24-25七年级上·全国·课堂例题）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 易错题型四　角的表示方法有误 例4. （22-23七年级上·山西吕梁·期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．也可用表示 D．图中共有三个角，， 巩固训练 1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列图中的也可以用表示的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东聊城·期中）如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 易错题型五　误认为角的单位换算是10进制 例5. （23-24七年级上·新疆阿克苏·期末） ° ′． 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖北恩施·单元测试） ． 2．（23-24七年级下·吉林·开学考试）计算： 3．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）计算： ． 易错题型六　解角有关问题未分类讨论 例6. （23-24七年级下·吉林·开学考试）如图①是一副三角尺拼成的图案（所涉及角度均小于或等于度）    (1)如图①，的度数为______度； (2)将图①中的三角尺绕点旋转度，能否使？若能，求出的值；若不能，说明理由． 巩固训练 1．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）已知平分． (1)如图1，若，则________°，_______°； (2)如图2，若，求的度数． 3．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知，，分别是的平分线，求的度数． 03 压轴题型 压轴题型一　线段的计算 例1. （23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，C是线段上一点，且，D是的中点，E是的中点，． (1)求线段的长； (2)求． 2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，，两点把线段分成三部分，，分别是，的中点，且，求的长． 3．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，为线段上一点，分别为的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 压轴题型二　角度的计算 例2. （22-23七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 巩固训练 1. （22-23七年级上·新疆和田·期末）如图，点O是直线上一点，射线分别是、的平分线．    (1)若，求的度数； (2)与互为余角吗？请说明理由． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)将直角三角尺的一边放在射线上，如图1，则的度数为___________，其补角的度数为___________． (2)将直角三角尺绕点O逆时针方向转动到如图2的位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图3，将直角三角尺绕点O转动如果始终在的内部，请直接写出和的数量关系． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）已知：，、、、是内的射线．    (1)如图1，平分，平分．当绕点O在内旋转时，求的大小； (2)如图2，若，平分，平分．当绕点O在内旋转时求的大小； (3)在（2）的条件下，若，当在内绕着点O以秒的速度逆时针旋转t秒时，，求t的值． 压轴题型三　尺规作图 例3. （24-25七年级上·全国·单元测试）已知平面内，，，四点的位置如图所示，请完成下列问题： (1)作射线交直线于点； (2)连接，用圆规在线段的延长线上截取； (3)在线段上确定点，使点到点，的距离之和最小． 巩固训练 1（22-23七年级下·山东济宁·期中）如图，已知长度为m、n（）的两条线段． (1)尺规作图：作线段，其中（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若点D是线段的中点，当时，求线段的长度． 2．（23-24七年级上·甘肃天水·期末）已知和（），利用直尺和圆规作一个角使它等于．（不写画法，只保留作图痕迹） 3．（22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．    求作：，使． 要求：保留画图痕迹，不写画法． 画图： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 几何图形初步易错训练与压轴训练 01 思维导图 目录 易错题型一　面动成体时，考虑不全面 1 易错题型二　混淆线段、射线、直线的概念 4 易错题型三　没有给出图形时，考虑不全面 7 易错题型四　角的表示方法有误 7 易错题型五　误认为角的单位换算是10进制 7 易错题型六　解角有关问题未分类讨论 7 压轴题型一　线段的计算 13 压轴题型二　角度的计算 15 压轴题型三　尺规作图 17 02 易错题型 易错题型一　面动成体时，考虑不全面 例1． 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，左边的图形绕虚线旋转一周，形成的几何体是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了图形的旋转，熟练掌握图形的旋转是解题关键．根据面动成体的原理即可解答． 【详解】解：图中的图形绕虚线旋转一周，形成的几何体是两个底面相等的圆锥， 观察四个选项可知，选项C符合题意， 故选：C． 巩固训练 1．（23-24六年级上·全国·单元测试）如图是将三角形绕直线旋转一周得到的立体图形，则旋转的三角形是下列选项中的（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面图形旋转后所得的立体图形，熟练掌握平面图形旋转后所得的立体图形是解题的关键． 通过观察即可直接判断． 【详解】解：通过观察发现： 将平面图形绕着直线旋转一周即可得到如图所示的立体图形， 故选：． 2（24-25七年级上·山东临沂·开学考试）在下面图形中，以直线为轴旋转，可以得到圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了圆柱的认识及特点，灵活掌握圆柱的特点是解题的关键．根据一个长方形以一边为轴旋转一周得到的图形是圆柱，据此即可解答． 【详解】解：一个长方形以一边为轴旋转一周得到的图形是圆柱． 故选：A． 3．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）如图所示的立体图形是由下列哪一个平面图形绕虚线旋转一周得到的（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面图形旋转后所得的立体图形，解题的关键是观察平面图形的特征． 【详解】解：A、此选项的图形旋转一周所得的图形即为题干所示立体图形，符合题意； B、此选项的图形旋转一周所得的图形为球，不符合题意； C、此选项的图形旋转一周所得的图形与题干图形不符合，不符合题意； D、此选项的图形旋转一周所得的图形为圆柱，不符合题意； 故选：A 易错题型二　混淆线段、射线、直线的概念 例2．（23-24七年级上·广东深圳·阶段练习）下列说法正确的是（    ） A．过一点P只能作一条直线 B．直线和直线表示同一条直线 C．射线和射线表示同一条射线 D．射线a比直线b短 【答案】B 【分析】本题考查线段、射线、直线，理解线段、射线、直线的定义及表示方法是正确解答的前提．根据线段、射线、直线的定义及表示方法逐项进行判断即可． 【详解】解：A．过一点可以作无数条直线，因此选项A不符合题意； B．直线和直线表示同一条直线，因此选项B符合题意； C．射线和射线，他们的端点不同，不是同一条射线，因此选项C不符合题意； D．射线、直线无限长，因此不能比较射线与直线的长短，所以选项D不符合题意． 故选：B． 巩固训练 1．（23-24六年级下·山东威海·期末）如图，有下列结论：①以点A为端点的射线共有5条；②以点D为端点的线段共有4条；③射线和射线是同一条射线；④直线和直线是同一条直线．以上结论正确的是（    ） A．①② B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查了直线、射线、线段，根据直线、射线、线段的定义，对结论分析判断即可得解．熟记概念以及表示方法是解题的关键． 【详解】解：①以点A为端点的射线共有5条，故该结论正确，符合题意； ②以点D为端点的线段共有5条，故该结论错误，不符合题意； ③射线和射线不是是同一条射线，故该结论错误，不符合题意； ④直线和直线是同一条直线，故该结论正确，符合题意． 综上所述，其中正确的结论是：①④． 故选：B． 2．（2024·河北石家庄·二模）关于如图中的点和线，下列说法错误的是（    ） A．点在直线上 B．点在线段上 C．点在射线上 D．点在线段上 【答案】D 【分析】本题主要考查了线段、射线、直线等知识，熟练掌握相关定义是解题关键．根据线段、射线和直线的定义，逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 点在直线上，该说法正确，不符合题意； B. 点在线段上，该说法正确，不符合题意； C. 点在射线上，该说法正确，不符合题意； D. 点在线段延长线上，故原说法错误，符合题意． 故选：D． 3．（23-24六年级下·全国·假期作业）图中直线的表示方法，不正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了直线的表示方法，一条直线可以用两个大写字母或一个小写字母表示，根据直线的表示方法进行判断即可． 【详解】解：图中直线、、、A表述错误，直线表示正确，因此图中直线的表示方法，不正确的有4个． 故选：D． 易错题型三　没有给出图形时，考虑不全面 例3. （24-25七年级上·全国·单元测试）平面上有A，B，C三点，已知，，则的长是（   ） A． B． C．或 D．不能确定 【答案】D 【分析】此题考查两点之间的距离，两点之间线段最短，根据三点在一条直线上时得到最大值和最小值，再由两点之间线段最短可进一步得出答案选择即可． 【详解】三点在一条直线上时， 或； 三点不在一条直线上时，根据两点之间线段最短可知，在3和13之间， 综合以上可知只有答案D符合要求． 故选：D． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河南洛阳·开学考试）如果线段，， 那么A， C 两点之间的线段是（    ） A． B． C． D．最大是 ， 最小是 【答案】D 【分析】本题考查了线段的和差计算，注意共线的前提条件是解题的关键．根据题意，当点，，三点共线时，分两种情况：点C不在线段上时，A， C 两点之间的线段长度最大，点C在线段上时，A， C 两点之间的线段长度最小，据此即可求解． 【详解】解：当点，，三点共线，且点C不在线段上时，如图所示： 此时A， C 两点之间的线段长度最大，且最大值为； 当点，，三点共线，且点C在线段上时，如图所示： 此时A， C 两点之间的线段长度最小，且最小值为； 综上分析可知：A， C 两点之间的线段最大是 ， 最小是． 故选：D． 2．（22-23七年级上·河北沧州·单元测试）A，B，C三点在同一直线上，线段，，那么A，C两点的距离是（　　） A． B． C．或 D．以上答案都不对 【答案】C 【分析】本题考查了两点间的距离，渗透了分类讨论的思想，体现了思维的严密性，在今后解决类似的问题时，要防止漏解．分点C在的延长线上和点C在线段的延长线上两种情况，根据线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：①如图，当点C在的延长线上时， ∵，， ∴； ②如图，当点C在线段的延长线上时， ∵，， ∴； 综上所述：的长为或， 故选：C． 3．（24-25七年级上·全国·课堂例题）已知点是线段的中点，点是线段的三等分点．若线段，则线段的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查线段的和差，根据题意作图，分情况讨论，由线段之间的关系求解即可得到答案； 【详解】解：如图， ∵点C是线段的中点，， ∴， ①当时，， ∴； ②当时，， ∴； 故选：C． 易错题型四　角的表示方法有误 例4. （22-23七年级上·山西吕梁·期末）如图所示，下列表示角的方法错误的是（    ） A．与表示同一个角 B．表示的是 C．也可用表示 D．图中共有三个角，， 【答案】C 【分析】本题考查角的表示方法，根据角的表示，数形结合即可得到答案，熟记角的表示方法是解决问题的关键． 【详解】解：A、与表示同一个角，正确，不符合题意； B、表示的是，正确，不符合题意； C、也可用表示，错误，符合题意； D、图中共有三个角，，，正确，符合题意； 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列四个图形中，能用，，三种方法表示同一个角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的表示方法的应用，根据角的表示方法和图形逐个判断即可，解题的关键正确理解角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示，其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角． 【详解】解：、因为顶点处有四个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处只有一个角，所以这个角能用，，表示，故本选项正确； 、因为顶点处有三个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 、因为顶点处有两个角，所以这个角不能用，，表示，故本选项错误； 故选：． 2．（23-24七年级下·山东淄博·期末）下列图中的也可以用表示的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角的表示方法； 角可以用一个大写字母表示，也可以用三个大写字母表示．其中顶点字母要写在中间，唯有在顶点处只有一个角的情况，才可用顶点处的一个字母来记这个角，否则分不清这个字母究竟表示哪个角．角还可以用一个希腊字母（如，，、…）表示，或用阿拉伯数字（，…）表示，据此进行分析即可． 【详解】解：A.可以用表示，符合题意； B.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； C.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； D.可以用表示，但不能用表示，不符合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级下·山东聊城·期中）如图所示，能用，，三种方法表示同一个角的图形是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角的概念．解题的关键是掌握角的表示方法的运用．根据角的表示方法和图形逐个判断即可． 【详解】解：A、不能用，，三种方法表示同一个角，故A选项错误； B、能用，，三种方法表示同一个角，故B选项正确； C、不能用，，三种方法表示同一个角，故C选项错误； D、不能用，，三种方法表示同一个角，故D选项错误； 故选：B． 易错题型五　误认为角的单位换算是10进制 例5. （23-24七年级上·新疆阿克苏·期末） ° ′． 【答案】 66 44 【分析】本题主要考查度分秒的换算，利用度分秒的进制进行计算即可解答． 【详解】解： ； 故答案为：66；44． 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖北恩施·单元测试） ． 【答案】 【分析】本题考查了角度的运算．根据两个度数相减，度与度，分与分对应相减，分的结果若满60，则转化为度，注意以60为进制即可得出结果． 【详解】解： 故答案为：． 2．（23-24七年级下·吉林·开学考试）计算： 【答案】 【分析】本题考查了角度的运算，把转化为，再根据角度的除法运算法则计算即可求解，掌握角度的单位换算是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查角度的运算．根据，，进行角度的加法运算即可求解． 【详解】解： ， 故答案为：． 易错题型六　解角有关问题未分类讨论 例6. （23-24七年级下·吉林·开学考试）如图①是一副三角尺拼成的图案（所涉及角度均小于或等于度）    (1)如图①，的度数为______度； (2)将图①中的三角尺绕点旋转度，能否使？若能，求出的值；若不能，说明理由． 【答案】(1)； (2)逆时针旋转或顺时针旋转，能使． 【分析】（）根据图形计算即可求解； （）分逆时针旋转和顺时针旋转两种情况，分别画出图形，根据角的和差关系列出方程即可求解； 本题考查了三角板中的角度计算问题，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，， 故答案为：； （2）解：能． ①逆时针旋转，如图，    由题意得，， 解得； ②顺时针旋转，如图，    当时， 由题意得，， 解得，不符题意，舍去； 当时， 由题意得，， 解得； 综上所述，逆时针旋转或顺时针旋转，能使． 巩固训练 1．（23-24七年级上·安徽合肥·单元测试）如图，，，平分，平分． (1)求的度数； (2)将绕着点顺时针旋转，仍然分别作，的平分线，，能否求出的度数？若能，请求出其值；若不能，请说明理由； (3)若（），，仍然分别作（）中操作，能否求出的度数？若能，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)能，或； (3)能或． 【分析】本题考查了角的和差定义、角平分线的定义，利用分类讨论思想是解题的关键． （1）根据题意可知，，由平分，平分；推出，，由图形可知，，即； （2）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可； （3）根据（）的求解思路，分在直线的右侧、的下方，在直线的右侧、的上方，在直线的左侧、的上方，当在直线的左侧、的下方，类讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； （2）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， 设， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或； （3）解：能．当在直线的右侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的右侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的上方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 当在直线的左侧、的下方时，如图， ∵，， ∴， ∵、分别平分，， ∴， ∴， ∴； 综上可得的度数为或． 2．（23-24七年级下·黑龙江大庆·阶段练习）已知平分． (1)如图1，若，则________°，_______°； (2)如图2，若，求的度数． 【答案】(1)； (2)或者 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的运算，合理分类讨论是解题的关键． （1）根据角的数量关系直接运算即可得到的度数，利用角平分线的定义求解即可． （2）分类讨论与与直线的位置关系求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴； ∵平分， ∴， ∴； （2）如图2所示： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 当①当与在直线两侧时 ∴ ②当与在直线同侧时 ∴ 综上所述，的度数为或者． 3．（23-24七年级下·山东聊城·阶段练习）已知，，分别是的平分线，求的度数． 【答案】或 【分析】本题考查角平分线的性质．根据题意，需要分两种情况进行讨论，即在内部及在外部． 【详解】解：①当在内部时，如图 分别是的平分线,， , ； ②当在外部时，如图 分别是的平分线,， , ． 综上，的度数为或． 03 压轴题型 压轴题型一　线段的计算 例1. （23-24六年级下·山东东营·期末）如图，点M在线段上，线段与的长度之比为，点N为线段的中点． (1)若，求的长． (2)在线段上作出一点E，满足，若，请直接写出的长（用含t的代数式表示）． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了两点间的距离、列代数式，熟练掌握线段中点的定义，线段之间的数量转化是解题关键． （1）根据，设，，根据线段和的关系列方程求出，再根据线段中点定义求出，进而得到的长； （2）根据，推得，再根据已知条件，等量代换后得出，进而得出用含t的代数式表示的长． 【详解】（1）解：由题知：，设，， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴，.   ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，C是线段上一点，且，D是的中点，E是的中点，． (1)求线段的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义和等量代换，熟练掌握线段的代换是解答本题的关键． （1）设，则，根据D是的中点，E是的中点，可得，然后根据列方程求解即可； （2）先求出，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴设，则， 因为D是的中点，E是的中点， 所以， 所以， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，，，， ∴， ∴． 2．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，，两点把线段分成三部分，，分别是，的中点，且，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了关于线段的中点的计算，线段的和差的计算，由题意求出，，则，再根据中点和线段和差即可求解，读懂题意熟练运用线段的和差倍分是解题的关键． 【详解】∵，两点把线段分成三部分，， ∴，， ∴ ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴． 3．（23-24七年级上·安徽·单元测试）如图，为线段上一点，分别为的中点． (1)若，求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题主要考查线段中点，线段和差的计算， （1）根据题意，，由此即可求解； （2）由（1）可得，，由此可得，，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：∵点分别是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）可得，，， ∵， ∴， ∴． 压轴题型二　角度的计算 例2. （22-23七年级上·贵州铜仁·期末）如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了互余的定义，角平分线的定义，角的和差； （1）由角平分线的定义得，由互余的定义得，由角的和差，即可求解； （2）由互余的定义得，再由角平分线的定义即可求解； 理解互余的定义，角平分线的定义，会用角的和差表示出所求的解是解题的关键． 【详解】（1）解：平分， ， 与互余， ， ， ； （2）解：与互余， ， ， 平分， ， ． 巩固训练 1. （22-23七年级上·新疆和田·期末）如图，点O是直线上一点，射线分别是、的平分线．    (1)若，求的度数； (2)与互为余角吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)与互为余角，详见解析 【分析】（1）根据邻补角的定义即可解答； （2）先根据角平分线的定义表示出、，再根据邻补角的定义整理即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴． （2）解：与互为余角，理由如下： ∵射线分别是、的平分线， ∴，， ∴， ∴与互为余角． 【点睛】本题主要考查了邻补角的性质、余角的性质、角的平分线定义的应用等知识点，弄清楚各角之间的关系是解答本题的关键． 2．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，以直线上一点为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点处．（） (1)将直角三角尺的一边放在射线上，如图1，则的度数为___________，其补角的度数为___________． (2)将直角三角尺绕点O逆时针方向转动到如图2的位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图3，将直角三角尺绕点O转动如果始终在的内部，请直接写出和的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了角的计算、角平分线的定义，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． （1）根据图形得出，代入求出即可； （2）由角平分线的定义可得，再由进行计算即可； （3）由图形可得，，相减即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ∴的补角为； （2）解：平分，， ， ， ； （3）解：， 理由如下： ，， ， ， ． 3．（23-24七年级上·山东菏泽·阶段练习）已知：，、、、是内的射线．    (1)如图1，平分，平分．当绕点O在内旋转时，求的大小； (2)如图2，若，平分，平分．当绕点O在内旋转时求的大小； (3)在（2）的条件下，若，当在内绕着点O以秒的速度逆时针旋转t秒时，，求t的值． 【答案】(1)； (2)； (3)； 【分析】（1）本题考查有关角平分线的角度计算，根据平分，平分得到， ，结合即可得到答案； （2）本题考查有关角平分线的角度计算，根据平分，平分得到， ，结合，即可得到答案； （3）本题考查动角问题，先根据旋转表示出，，再分别表示出，根据比例列式求解即可得到答案； 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴； （2）解：∵平分，平分， ∴， ， ∵，， ∴ ； （3）解：由题意可得， ∵，，在内绕着点O以秒的速度逆时针旋转t秒， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴， 解得：． 压轴题型三　尺规作图 例3. （24-25七年级上·全国·单元测试）已知平面内，，，四点的位置如图所示，请完成下列问题： (1)作射线交直线于点； (2)连接，用圆规在线段的延长线上截取； (3)在线段上确定点，使点到点，的距离之和最小． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)见解析． 【分析】（）根据根据射线定义即可画射线，直线定义即可画直线，交直线于点； （）根据线段定义连接，用圆规在线段的延长线上截取即可； （）根据两点之间线段最短即可在图中确定点，使点到点，的距离之和最小； 本题考查了作图﹣复杂作图，直线、射线、线段，两点之间线段最短，解题的关键是掌握直线、射线、线段定义． 【详解】（1）如图， （2）如图， （3）如图，连接，与交于点 根据两点之间线段最短可知，点即为所求． 巩固训练 1（22-23七年级下·山东济宁·期中）如图，已知长度为m、n（）的两条线段． (1)尺规作图：作线段，其中（保留作图痕迹，不写作法）． (2)在（1）的条件下，若点D是线段的中点，当时，求线段的长度． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查的是作线段的差，线段中点的含义，线段的和差运算，掌握线段的和差关系是解本题的关键． （1）作射线，在上截取，再在线段上截取，则， （2）先求解，结合为的中点，可得，再利用线段的和差关系可得答案． 【详解】（1）解：如图所示线段即为所求； （2）解：如图， 由题意得，， ， 为的中点， ， ． 2．（23-24七年级上·甘肃天水·期末）已知和（），利用直尺和圆规作一个角使它等于．（不写画法，只保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-复杂作图，先作和，则满足条件．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 【详解】解：如图， 为所作． 3．（22-23六年级下·山东淄博·期末）已知：，．    求作：，使． 要求：保留画图痕迹，不写画法． 画图： 【答案】见解析 【分析】先作，在这个角的外部分别作，然后作，则． 【详解】如图所示，即为所求．    【点睛】此题考查的是基本作图，掌握利用尺规作图作一个角等于已知角是解决此题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$