第3章 一次方程与方程组知识归纳与题型突破（7类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记•巧练（沪科版2024）

第三章 一次方程与方程组知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、方程及方程组的定义 1、整式方程的定义：方程的两边都是整式，这样的方程称为整式方程. 2、一元一次方程的定义：只含有一个未知数(元),未知数的次数是1,且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程. 一元一次方程具有如下特点: (1)只含有一个未知数; (2)所含未知数的项的最高次数为1; (3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 3、二元一次方组：有两个一次方程组成，且含两个未知数的方程叫做二元一次方程，使二元一次方程中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 二、解一元一次方程 1、去括号； 2、移项； 3、合并同类项； 4、未知数解一元一次方程 1、去分母（等式的基本性质2） 2、去括号； 3、移项； 4、合并同类项； 5、未知数系数化为1； 三、解二元一次方程组 1、代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式,再把它“代入”另一个方程,进行求解，这种方法叫作代入消元法. 2、加减消元法:把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法,叫作加减消元法.(3)当某一未知数的系数较简单时(如±1),可选择代入消元法求解;当同一未知数的系数互为相反数或相等时，采用加减消元法更简单些. 四、列方程(组)解应用题的一般步骤 1、审:审清题意,找出已知量、未知量及等量关系; 2、设:直接或间接设出未知数; 3、列:根据等量关系列方程(组); 4、解:解这个方程(组),求出未知数的值; 5、检:检验所求的未知数的值是否符合实际问题; 6、答:写出答案(包括单位名称). 03 题型归纳 题型一　方程的解 例1. （22-23九年级上·全国·单元测试）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程解的定义，将所给的数代入方程，看是否能使方程的左右两边相等． 根据方程解的定义，将分别代入各选项的方程，看是否能使方程的左右两边相等． 【详解】A、把代入，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解，故本选项错误； B、把代入，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解，故本选项错误； C、把代入，左边，右边，左边右边，即是该方程的解，故本选项正确； D、把代入，左边，右边，左边≠右边，即不是该方程的解，故本选项错误， 故选C． 巩固训练 1．（22-23七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知是关于的方程的解，则常数的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解，解一元一次方程，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解． 把代入即可求出a的值． 【详解】解：把代入得， 解得：， 故选：C． 2．（23-24七年级上·云南昭通·期末）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查方程的解，解题的关键是理解题意，根据方程的解的定义把代入方程可得关于m的方程，解方程即可解决问题． 【详解】解：把代入方程，得： ， 解得：， 故选：A． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，牢记方程的解的定义“使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是方程的解”是解题的关键． 分别将依次代入每个方程，若等式左右两边相等，则为方程的解． 【详解】解：分别将依次代入每个方程， A. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； B. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； C. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； D. 左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 故选：． 题型二　解一元一次方程 例2．（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键. （1）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可； （2）原方程利用分数的基本性质变形后，按照去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解方程即可. 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 原方程可化为： 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化为1得，． 巩固训练 1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）解方程 (1) (2) 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了解一元一次方程，比例的基本性质，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据比例的基本性质可得，即可求解； （2）先去分母，合并同类项，然后系数化为1即可． 【详解】（1）解：， ∴， ∴， 解得：； （2）解：， ∴， ∴， ∴， 解得：． 2．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． 方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】解： 去分母，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 3．（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1． （1）方程去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解：， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，； （2）解：， 去分母得，， 去括号得，， 移项，合并同类项得，， 系数化为1得，． 题型三　一元一次方程的应用 例3. （23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）某厂的两个车间10月份共生产1339个零件，第一车间10月份比9月份增产，第二车间10月份比9月份减产，若9月份第一车间的产量是第二车间产量的3倍，那么9月份两个车间各生产了多少个零件？ 【答案】9月份第一车间975个零件，第二车间生产了个零件． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设9月份第二车间的产量为个，则9月份第一车间的产量为个，根据“两个车间10月份共生产1339个零件，第一车间10月份比9月份增产，第二车间10月份比9月份减产”列方程求解即可． 【详解】解：设9月份第二车间的产量为个，则9月份第一车间的产量为个， 由题意得：， 解得：， （个）， 答：9月份第一车间975个零件，第二车间生产了个零件． 巩固训练 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）甲乙丙三队要完成 A 、B 两项工程，B 工程的工作量比 A 工程的工作量多四分之一，甲 乙丙三队单独完成A 工程所需时间分别是 20 天，24 天，30 天．为了同时完成这两项工程， 先派甲队做 A 工程，乙，丙两队共同做 B 工程，经过几天后，又调丙队与甲队共同完成 A 工程．那么丙队与甲队合做了多少天？ 【答案】3天 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示甲、乙、丙队各自完成的工作量是解题的关键． 将工程的工作量看作“1”，则工程的工作量为，设甲乙丙三队完成、两项工程用了天，则，求得，设丙队与甲队合做了天，则，解方程求出的值即可． 【详解】解：设甲乙丙三队完成、两项工程用了天， 根据题意得， 解得， 设丙队与甲队合做了天， 根据题意得， 解得， 答：丙队与甲队合做了3天． 2．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）一群驴友排成一列在野外旅游，队长在队伍中，数了一下他前后的人数，发现前面的人数是后面的两倍，他往前超了7位驴友，发现前面的人数和后面的人数一样． (1)这群驴友一共有多少人？ (2)这群驴友要过一座320米长的独木桥，为安全起见，相邻两个驴友间保持固定的距离，行走速度为5米/分，从第一位驴友刚上桥到全体通过独木桥用了106分钟时间，请问相邻两位驴友间的距离是多少米？ 【答案】(1)43人 (2)5米 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得出正确的等量关系是解题关键． （1）根据题意假设队长前面有人，则后面有人，利用他往前超了7位驴友，发现前面的人数和后面的人数一样得出等式求出即可； （2）设相邻两个驴友间的距离是米，根据题意，表示出这群驴友行走的总距离进而得出等式求出即可． 【详解】（1）解：设队长前面有人，则后面有人，由题意，得： ， 解得：， ∴（人）； 答：这群驴友一共有43人； （2）设相邻两个驴友间的距离是米，由题意，得： ， 解得：； 答：相邻两位驴友间的距离是5米． 3．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 【答案】(1)小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； (2)，； (3)千瓦时 【分析】本题考查的是列代数式、一元一次方程的应用、有理数的混合运算，解题的关键是明确用电量是属于哪一个范围的．（1）小虎家三月份用电千瓦时，在千瓦时以内，用元乘以用电的千瓦时即可得应交电费；丽丽家三月份用电千瓦时，在0千瓦时之间，200千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费； （2）聪聪家五月份用电量为千瓦时，若x在之间时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时的用电量乘以元，两者相加即可得应交电费；若时，千瓦时的用电量乘元，超出千瓦时不超过千瓦时的用电量乘以元，超过千瓦时的用电量乘元，三者相加即可得应交电费； （3）通过计算先判断出该超市的用电量超过了千瓦时，再代入（2）中相应的代数式计算即可． 【详解】（1）解：小虎家三月份应交电费 元)， 丽丽家三月份，应电费；元)， 答：小虎家三月份用电千瓦时，应交电费元，丽丽家三月份用电千瓦时，应交元电费； （2）解：聪聪家五月份用电量为x千瓦时， 若在之间时，应交电费元， 若时，应交电费元， 故答案为：，； （3）当用电量为200千瓦时，应交电费元)， 当用电量为千瓦时，应交电费元)， ， 所以该超市的用电量超过千瓦时， 令，解得：， 答：该超市三月份用电千瓦时． 题型四　二元一次方程（组）的解 例4. （23-24七年级下·全国·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，先分别解两个方程组得到，，再根据两个方程组的解相同得到，解方程组求出m、n的值即可得到答案． 【详解】解：解方程组得， 解方程组得， ∵关于x，y的二元一次方程组和的解相同， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组的方法，掌握代入消元法和加减消元法的应用是关键．首先应用加减消元法，求出关于，的方程组的解；然后根据即可求解． 【详解】解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得，， ， ， 整理得：， 解得：． 2．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据题意可得方程组，解方程组求出x、y的值，进而得到关于k的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：13． 3．（23-24七年级下·广东广州·期末）已知x，y满足方程组，则代数式的值为 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法把方程组中两个方程组相加即可得到答案． 【详解】解： 得：， ∴， 故答案为：1． 题型五　二元一次方程的解法 例5. （23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）解二元一次方程组： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组： （1）按照的方法消元解方程组即可； （2）先整理原方程组得到，再利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为； （2）解： 整理得：， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 巩固训练 1（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法． （1）方程组利用加减消元法求出解即可； （2）方程组整理后，利用加减消元法求出解即可． 【详解】（1）解：， 由得：，解得：， 把代入②得，解得：， 则原方程组的解为：； （2）解：原方程整理得：， 由得，，解得：， 把代入②得，解得：， 则原方程组的解为：． 2．（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组． （1）利用加减消元法进行计算即可； （2）先将方程组整理成一般式，再利用加减消元法求解可得． 【详解】（1）解：， ，， 解得， 把代入①，， 解得， ∴原方程组的解是； （2）解：， 化简方程组可得，， 得，， 解得， 将代入②，得， ∴方程组的解为． 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组以及化简绝对值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先去分母，整理得，运用加减消元法进行解方程，即可作答． （2）先由得再结合绝对值的非负性进行分类讨论，即可作答． 【详解】（1）解：整理原方程组得 得， ∴， 将代入， 则， 得， ∴该方程组得解为：； （2）解：由得 ∵， ∴， ∴， 将①代入得， 解得 将代入 得， ∴或， 方程无解， 解得 ∴原方程组得解为． 题型六　建立二元一次方程组的模型解决问题 例6．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是 ． 【答案】801 【分析】本题考查了实数与整式的新定义，以及二元一次方程组的应用，解题的关键是读懂题意掌握新定义，利用新定义解决问题． 利用定义和已知列方程，分情况讨论得出m的所有的值，即可确定最值． 【详解】解：设“七巧数”m的百位、十位、个位上的数分别为a、b、c， 根据题意得：，（n为正整数）且 ①＋②得：， ∴当时，，， ∴，或，或，或，， 当，3，4……得不到符合题意的m， ∴m的值为801或711或621或531． ∴的最大值是801， 故答案为：801． 巩固训练 1．（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是 ． 【答案】32分 【分析】此题主要考查了二元一次方程组的应用．设大圈内，小圈内得分分别为，分，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可，根据小方、小军一次各得分数乘以各自的次数，计算出总分即可． 【详解】解：设大圈内，小圈内得分分别为，分， 依题意得：， 解这个方程组得：， 答：小方、小军一次各得5分、9分， 则小红的得分是（分）． 故答案为：32分． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·开学考试）甲数 与乙数 的和是23，甲数 与乙数 的和是22，甲乙两数和是 【答案】54 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用．设甲数为x，乙数为y，根据“甲数 与乙数 的和是23，甲数 与乙数 的和是22，”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设甲数为x，乙数为y，根据题意得： ， 由，得：， ∴， 即甲乙两数和是54． 故答案为：54 3．（22-23九年级下·湖南常德·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，由题意得每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，表示出最中间的数和最右下角的数，列出二元一次方程组，解方程组即可，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：∵每一横行、每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等， ∴最左下角的数为：， 则最中间的数为： 或， 最右下角的数为：或， ∴， 解得：， ∴与的积为， 故答案为：． 题型七　二元一次方组的应用 例7. （21-22七年级下·湖南株洲·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息﹐解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次﹐请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 【答案】(1)辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； (2)有种租车方案：方案一：型车辆，型车辆；方案二：型车辆，型车辆；方案三：型车辆，型车辆； (3)租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组及二元一次方程是解题的关键． （）设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨，根据题意，列出二元一次方程组即可求解； （）根据题意，列出二元一次方程，再根据都是正整数解答即可求解； （）分别求出每一种方案的费用即可求解； 【详解】（1）解：设每辆型车、型车都载满货物一次可以分别运货吨、吨， 依题意得，， 解得， 答：辆型车载满货物一次可运吨，辆型车载满货物一次可运吨； （2）解：由（）得，， ∴， ∵都是正整数， ∴或或， ∴有种租车方案： 方案一：型车辆，型车辆； 方案二：型车辆，型车辆； 方案三：型车辆，型车辆； （3）解：∵型车每辆需租金元/次，型车每辆需租金元/次， ∴方案一需租金：元； 方案二需租金：元； 方案三需租金：元； ∵， ∴最省钱的租车方案是方案三， 答：租型车辆，型车辆，最少租车费为元． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·开学考试）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 【答案】(1)这个两位数是36 (2)风速为每分钟50里． 【分析】本题考查了二元一次方程组在实际问题中运用，需要设两个未知数，再寻找建立方程组的两个等量关系． （1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y，根据题意列二元一次方程组求解即可； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】（1）设这个两位数十位上的数字是x，个位上的数字是y， 根据题意，得 解得 答：这个两位数是36； （2）设悟空的速度为每分钟m里，风速为每分钟n里， 根据题意得， 解得 ∴风速为每分钟50里． 2．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）近期，成都商品住宅市场房屋销售出现销售量和销售价齐涨态势，数据显示，2024年2月，甲、乙房地产公司的销售面积一共18000平方米，乙房地产公司的单价是甲房地产公司单价的倍．甲房地产公司单价为每平方米1.6万元，两家销售的总金额为30520万元． (1)求2024年2月，甲、乙房地产公司各销售了多少平方米？ (2)根据市场需求，甲、乙房地产公司决定调整2024年3月份的房价，甲房地产公司每平方米的售价上涨，销售量预计比2024年2月减少200平方米；乙房地产公司决定以降价促销的方式应对当前的形势，每平方米的售价下调，销售面积预计将比2024年2月增加900平方米，预计2024年3月份两家的总销售额恰好为32437万元，求a的值． 【答案】(1)甲房地产公司销售了9400平方米，乙房地产公司销售了8600平方米 (2)a的值为10 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用． （1）设2024年2月，甲房地产公司销售了x平方米，乙房地产公司销售了y平方米，根据2024年2月，甲、乙房地产公司的销售面积一共18000平方米，两家销售的总金额为30520万元．列出二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）利用总销售额销售单价销售数量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设2024年2月，甲房地产公司销售了x平方米，乙房地产公司销售了y平方米， 依题意得：， 解得：， 答：2024年2月，甲房地产公司销售了9400平方米，乙房地产公司销售了8600平方米； （2）解：依题意得：， 解得： 答：a的值为10． 3．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 【答案】(1)7；3 (2)可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）观察图形，找出加工1个竖式铁容器与横式铁容器所需长方形及正方形铁皮张数，将其相加即可得出结论； （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个，根据加工这两种铁容器正好将两种铁皮用完，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）（张，（张． 故答案为：7；3． （2）设可加工的竖式容器个，横式容器个， 依题意，得：， 解得：． 答：可加工的竖式容器100个，横式容器539个． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第三章 一次方程与方程组知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、方程及方程组的定义 1、整式方程的定义：方程的两边都是整式，这样的方程称为整式方程. 2、一元一次方程的定义：只含有一个未知数(元),未知数的次数是1,且等式两边都是整式的方程叫作一元一次方程. 一元一次方程具有如下特点: (1)只含有一个未知数; (2)所含未知数的项的最高次数为1; (3)是由整式组成的，即方程中分母不含未知数. 3、二元一次方组：有两个一次方程组成，且含两个未知数的方程叫做二元一次方程，使二元一次方程中每个方程都成立的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解. 二、解一元一次方程 1、去括号； 2、移项； 3、合并同类项； 4、未知数解一元一次方程 1、去分母（等式的基本性质2） 2、去括号； 3、移项； 4、合并同类项； 5、未知数系数化为1； 三、解二元一次方程组 1、代入消元法:从一个方程中求出某一个未知数的表达式,再把它“代入”另一个方程,进行求解，这种方法叫作代入消元法. 2、加减消元法:把两个方程的两边分别相加或相减消去一个未知数的方法,叫作加减消元法.(3)当某一未知数的系数较简单时(如±1),可选择代入消元法求解;当同一未知数的系数互为相反数或相等时，采用加减消元法更简单些. 四、列方程(组)解应用题的一般步骤 1、审:审清题意,找出已知量、未知量及等量关系; 2、设:直接或间接设出未知数; 3、列:根据等量关系列方程(组); 4、解:解这个方程(组),求出未知数的值; 5、检:检验所求的未知数的值是否符合实际问题; 6、答:写出答案(包括单位名称). 03 题型归纳 题型一　方程的解 例1. （22-23九年级上·全国·单元测试）下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（22-23七年级下·河南驻马店·阶段练习）已知是关于的方程的解，则常数的值为（    ） A．2 B． C．4 D． 2．（23-24七年级上·云南昭通·期末）若是关于的方程的解，则的值是（    ） A． B．0 C．1 D． 3．（23-24七年级上·江苏苏州·期末）下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 题型二　解一元一次方程 例2．（24-25七年级上·全国·课后作业）解下列方程： (1) (2) 巩固训练 1．（24-25七年级上·重庆·阶段练习）解方程 (1) (2) 2．（22-23七年级上·四川绵阳·期末）解方程：． 3．（24-25七年级上·全国·期末）解下列方程： (1)； (2)． 题型三　一元一次方程的应用 例3. （23-24七年级下·四川资阳·阶段练习）某厂的两个车间10月份共生产1339个零件，第一车间10月份比9月份增产，第二车间10月份比9月份减产，若9月份第一车间的产量是第二车间产量的3倍，那么9月份两个车间各生产了多少个零件？ 巩固训练 1．（24-25七年级上·四川成都·开学考试）甲乙丙三队要完成 A 、B 两项工程，B 工程的工作量比 A 工程的工作量多四分之一，甲 乙丙三队单独完成A 工程所需时间分别是 20 天，24 天，30 天．为了同时完成这两项工程， 先派甲队做 A 工程，乙，丙两队共同做 B 工程，经过几天后，又调丙队与甲队共同完成 A 工程．那么丙队与甲队合做了多少天？ 2．（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）一群驴友排成一列在野外旅游，队长在队伍中，数了一下他前后的人数，发现前面的人数是后面的两倍，他往前超了7位驴友，发现前面的人数和后面的人数一样． (1)这群驴友一共有多少人？ (2)这群驴友要过一座320米长的独木桥，为安全起见，相邻两个驴友间保持固定的距离，行走速度为5米/分，从第一位驴友刚上桥到全体通过独木桥用了106分钟时间，请问相邻两位驴友间的距离是多少米？ 3．（24-25七年级上·江苏淮安·开学考试）我市电费实行阶梯式收费，标准如下： 用电量/(千瓦时/户) 价格/(元/千瓦时) 200千瓦时以内 0.55 千瓦时 0.6 400千瓦时以上 0.8 (1)小虎家三月份用电140千瓦时，应交电费多少元？丽丽家三月份用电260千瓦时，应交电费多少元？ (2)聪聪家五月份用电量为千瓦时，若在200-400之间时，应交电费______元(用含有的式子表示)；若时，则聪聪家应交电费______元(用含有的式子表示) (3)某超市三月份交电费390元，该超市三月份用电多少千瓦时？ 题型四　二元一次方程（组）的解 例4. （23-24七年级下·全国·期末）已知关于x，y的二元一次方程组和的解相同，则 ． 巩固训练 1．（23-24七年级下·江苏无锡·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解也是方程的解，则 ． 2．（23-24七年级下·云南昆明·期末）已知关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为 ． 3．（23-24七年级下·广东广州·期末）已知x，y满足方程组，则代数式的值为 ． 题型五　二元一次方程的解法 例5. （23-24八年级上·内蒙古·阶段练习）解二元一次方程组： (1) (2)． 巩固训练 1（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）解方程组： (1)； (2)． 2．（2024·广东·模拟预测）解方程组： (1) (2) 3．（23-24七年级下·全国·单元测试）解下列方程组： (1) (2) 题型六　建立二元一次方程组的模型解决问题 例6．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期末）对于一个三位正整数，如果满足：它的百位数字、十位数字之和与个位数字的差等于7，那称这个数为“七巧数”．例如：，，是“七巧数”；，，不是“七巧数”．若“七巧数”满足：所有数位的数字之和是9的倍数，且它的百位数字大于十位数字，则的最大值是 ． 巩固训练 1．（22-23七年级下·辽宁铁岭·期末）小方、小红和小军三人玩飞镖游戏，各投四支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小红的得分是 ． 2．（23-24七年级上·江苏徐州·开学考试）甲数 与乙数 的和是23，甲数 与乙数 的和是22，甲乙两数和是 3．（22-23九年级下·湖南常德·期中）幻方是古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方——九宫格．将个数填入幻方的空格中，要求每一横行，每一竖列以及两条对角线上的个数之和相等，例如图（）就是一个幻方，图（）是一个未完成的幻方，则与的积是 ． 题型七　二元一次方组的应用 例7. （21-22七年级下·湖南株洲·期中）已知用2辆A型车和1辆B型车载满货物一次可运货10吨；用1辆A型车和2辆B型车载满货物一次可运货11吨．某物流公司现有31吨货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆，一次运完，且恰好每辆车都载满货物，根据以上信息﹐解答下列问题： (1)1辆A型车和1辆B型车都载满货物一次可分别运货多少吨？ (2)请你帮该物流公司设计租车方案． (3)若A型车每辆需租金100元/次，B型车每辆需租金120元/次﹐请选出最省钱的租车方案，并求出最少租车费． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·开学考试）在我国民间流传着许多诗歌形式的数学算题，这些题目叙述生动、活泼，它们大都是关于方程或方程组的应用题．由于诗歌的语言通俗易懂、雅俗共赏，因而一扫纯数学的枯燥无味之感，令人耳目一新，回味无穷．请根据下列诗意列方程组解应用题． (1)周瑜寿属：而立之年督东吴，早逝英年两位数；十比个位正小三，个位六倍与寿符；哪位同学算得快，多少年寿属周瑜？诗的意思是：周瑜病逝时的年龄是一个大于30的两位数，其十位数上的数字比个位上的数字小3，个位上的数字的6倍正好等于这个两位数，求这个两位数． (2)悟空顺风探妖踪，千里只用四分钟，归时四分行六百，风速多少请算清． 2．（23-24七年级下·四川成都·阶段练习）近期，成都商品住宅市场房屋销售出现销售量和销售价齐涨态势，数据显示，2024年2月，甲、乙房地产公司的销售面积一共18000平方米，乙房地产公司的单价是甲房地产公司单价的倍．甲房地产公司单价为每平方米1.6万元，两家销售的总金额为30520万元． (1)求2024年2月，甲、乙房地产公司各销售了多少平方米？ (2)根据市场需求，甲、乙房地产公司决定调整2024年3月份的房价，甲房地产公司每平方米的售价上涨，销售量预计比2024年2月减少200平方米；乙房地产公司决定以降价促销的方式应对当前的形势，每平方米的售价下调，销售面积预计将比2024年2月增加900平方米，预计2024年3月份两家的总销售额恰好为32437万元，求a的值． 3．（23-24七年级下·浙江金华·开学考试）某铁件加工厂用如图1所示的长方形和正方形铁片（长方形的宽与正方形的边长相等），加工成如图2所示的竖式与横式两种无盖的长方体容器（加工时接缝材料不计）． (1)如果加工竖式容器与横式容器各1个，那么共需要长方形铁片　　　　张，正方形铁片　　　　张． (2)现有长方形铁片2017张，正方形铁片1178张，如果加工成这两种容器，刚好用完全部铁片，那么加工的竖式容器、横式容器各有多少个？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$