精品解析：安徽省六安市裕安区六安市第九中学2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024年秋学期第一次综合素质评价九年级数学试题卷 分值：150分 时间：120分钟 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 2. 在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 3. 小敏在一次投掷实心球的训练中，掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致满足二次函数，则小敏此次成绩为（ ） A. B. C. D. 4. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 5. 方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 6. 下列关于二次函数的说法错误的是（ ）． A. 抛物线，在的范围内，随的增大而减小 B. 抛物线的图象与坐标轴有3个交点，则的取值范围是 C. 二次函数与轴交点坐标为 D. 函数的图象向上平移2个单位得到函数图象 7. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 8. 双曲线：和：如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的—个交点，直线与抛物线交于A，两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤其中为任意实数；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③⑤ 10. 记实数，，，中的最大数为，例如，则当函数时，x的取值范围为（    ） A. 01 B. 0或 C. 0或 D. 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.125米调整到0.4米，则近视眼镜的度数减少了______度． 12. 已知二次函数，其中满足和，则该二次函数图象的对称轴是直线_____． 13. 某市新建一座景观桥．桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为 ______米． 14. 已知二次函数（为常数，）是该函数图象上一点． （1）当时，抛物线的对称轴是______． （2）当时，，则的取值范围是______． 三．解答题（共9小题，15、16、17、18每小题8分，19、20题每小题10分，21、22每小题12分，23题14分，共90分） 15. 二次函数的图象过点，，并可由的图象经过平移得到，求二次函数的解析式． 16. 已知，与成反比例，与x成正比例，且当，，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当时的函数值． 17. 新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点(﹣1，0)，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． （1）试判断二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象是否为“定点抛物线”； （2）若“定点抛物线”y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，求k的值． 18. 如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． （1）求的值和反比例函数解析式； （2）求出点的坐标； （3）当时，直接写出的取值范围． 19. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； （2）问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？ 20. 某商品进货价为每件40元，将该商品每件的售价定为50元时，每星期可销售250件．现在计划提高该商品的售价增加利润，市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上每上涨1元，其每星期的销售量减少10件．设该商品每件的售价上涨x元（x为整数且）时，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？ 21. 一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？ 22. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； 23. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024年秋学期第一次综合素质评价九年级数学试题卷 分值：150分 时间：120分钟 一．选择题（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 下列函数中，当时，y随x的增大而减小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数，反比例函数，以及二次函数的增减性，即可进行解答． 【详解】解：A、，∵，∴y随x的增大而增大，不符合题意； B、，，在每一象限内，y随x的增大而增大，不符合题意； C、，，在每一象限内，y随x的增大而减小，符合题意； D、，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小；不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数，反比例函数和二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握各个函数的增减性，会根据解析式判断其增减性． 2. 在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，分类讨论是关键．根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴，或，， ①若，，则直线经过一、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限， ②若，，则直线经过一、二、四象限，反比例函数图象位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． 3. 小敏在一次投掷实心球的训练中，掷出的实心球的飞行高度与水平距离之间的关系大致满足二次函数，则小敏此次成绩为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，根据题意可知实心球落地时，即求的解即可，根据题意取函数或自变量的特殊值列方程求解是解题关键． 【详解】解：当时，， 整理得． 解得：（舍），． 则小敏此次成绩时8米． 故选：C． 4. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则代数式的值为（ ） A. 2023 B. 2024 C. 2025 D. 2026 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数与轴的交点坐标的含义，求解代数式的值，熟练掌握抛物线与轴的交点特征是解决问题的关键．把点代入抛物线的解析式可得，再整体代入代数式求值即可． 【详解】解∶抛物线与x轴的一个交点为， ， 故选C． 5. 方程的近似根可以看作是下列哪两个函数图象交点的横坐标（　　） A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 【答案】B 【解析】 【分析】逐项分析即可． 【详解】A、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； B、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故正确； C、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； D、由得：，则方程可看作函数和的图象的交点，故错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程与二次函数的关系，正确变形是关键． 6. 下列关于二次函数的说法错误的是（ ）． A. 抛物线，在的范围内，随的增大而减小 B. 抛物线的图象与坐标轴有3个交点，则的取值范围是 C. 二次函数与轴交点坐标为 D. 函数的图象向上平移2个单位得到函数图象 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、抛物线与坐标轴的交点、二次函数的平移等知识点，掌握二次函数的性质成为解题的关键． 根据抛物线的性质可判定A；根据抛物线与与坐标轴的交点可判定B、C选项；根据二次函数图像的平移可判定D． 【详解】解：A．由，则抛物线的开口向下，对称轴为，则时随的增大而减小，即在的范围内，随的增大而减小；故A选项正确，不符合题意； B．由抛物线的图象与坐标轴有3个交点，则抛物线与x轴有两个交点且，即且且，故B该选项错误，符合题意； C．当时，，即抛物线与轴交点坐标为，故C选项正确，不符合题意； D．函数的图象向上平移2个单位得到函数的图像，故D选项正确，不符合题意． 故选B． 7. 已知二次函数，当时，的最小值为，则的值为（ ） A. 或4 B. 或 C. 或4 D. 或4 【答案】D 【解析】 【分析】分两种情况讨论，并且利用二次函数的性质即可解答． 【详解】解：二次函数的对称轴为：直线， （1）当时，当时，随的增大而减小，当，随的增大而增大， 当时，取得最小值， ， ； （2）当时，当时，随的增大而增大，当，随的增大而减小， 当时，取得最小值， ， ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质以及分类讨论思想是解题的关键． 8. 双曲线：和：如图所示，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，则四边形的面积为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比函数比例系数k的几何意义．根据反比函数比例系数k的几何意义得到，，然后利用矩形面积分别减去两个三角形的面积即可得到四边形的面积． 【详解】解：∵轴，轴， ∴，， ∴四边形的面积． 故选：B． 9. 如图是抛物线图象的一部分，抛物线的顶点坐标，与轴的—个交点，直线与抛物线交于A，两点，下列结论：①；②；③方程有两个相等的实数根；④抛物线与轴的另一个交点是；⑤其中为任意实数；其中正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ②④⑤ D. ①③⑤ 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像、一次函数图像、二次函数的图象与系数的关系等知识点，掌握二次函数的相关知识成为解题的关键． 根据拋物线的开口方向以及对称轴为，即可得出a、b之间的关系以及的正负，由此得出①正确；根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴上，可知c为正，结合即可得出②错误；由函数图像可知：抛物线与直线只有一个交点，从而判定③正确；根据拋物线的对称性结合抛物线的对称轴为以及点B的坐标，即可得出抛物线与x轴的另一交点坐标，④错误；当时，有最大值，，即可判断⑤正确． 【详解】解：由抛物线对称轴为直线，从而，则，故①正确； 抛物线开口向下，与y轴相交于正半轴，则，而，因而，故②错误； 方程从函数角度可以看做是与直线求交点，从图象可以知道，抛物线顶点为，则抛物线与直线有且只有一个交点，故方程有两个相等的实数根，故③正确； 由二次函数的对称性以及抛物线与x轴的一个交点，可知另一个交点坐标为，故④错误； 因为时，有最大值，所以，即（t为任意实数），故⑤正确． 综上，正确的有①③⑤． 故选：D． 10. 记实数，，，中的最大数为，例如，则当函数时，x的取值范围为（    ） A. 01 B. 0或 C. 0或 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式，根据题意列出不等式、再画出对应函数的图像成为解题的关键． 根据题意可得，则x的取值范围为函数的图像为x轴上方部分对应自变量的取值范围；再求得函数的图像与x轴的交点的横坐标为0、1，最后画出函数图像即可解答． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴x的取值范围为函数的图像为x轴上方部分对应自变量的取值范围， ∵， ∴函数的图像与x轴的交点的横坐标为0，1， 画出函数图像如下： ∴不等式的x取值范围为：0或． 故选B． 二．填空题（共4小题，每小题5分，共20分） 11. 验光师通过检测发现近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例，y关于x的函数图象如图所示．经过一段时间的矫正治疗后，小雪的镜片焦距由0.125米调整到0.4米，则近视眼镜的度数减少了______度． 【答案】550 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，以及反比例函数的实际应用，理解题意，掌握待定系数法是解决问题的关键．由已知设，则由图象知点满足解析式，代入求，则解析式为：，令时，分别求的值后作差即可得解. 【详解】解：设， 在图象上， ， 函数解析式为：， 当时，， 当时，， 度数减少了(度)， 故答案为：550． 12. 已知二次函数，其中满足和，则该二次函数图象的对称轴是直线_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，将两个方程相减整理得出，再根据二次函数对称轴公式即可得出答案． 【详解】解：方程减去方程可得， ∴， 根据对称轴公式整理可得：对称轴为直线， 故答案为：． 13. 某市新建一座景观桥．桥的拱肋可视为抛物线的一部分，桥面可视为水平线段，桥面与拱肋用垂直于桥面的杆状景观灯连接，拱肋的跨度为40米，桥拱的最大高度为16米（不考虑灯杆和拱肋的粗细），则与的距离为5米的景观灯杆的高度为 ______米． 【答案】15 【解析】 【详解】以所在直线为x轴、所在直线为y轴建立坐标系，可设该抛物线的解析式为，将点B坐标代入求得抛物线解析式，再求当时y的值即可． 【解答】解：建立如图所示平面直角坐标系， 设抛物线表达式为， 由题意可知，B的坐标为 ∴ ∴ ∴， ∴当时，． 答：与距离为5米的景观灯杆的高度为15米， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，涉及了待定系数法求抛物线解析式的知识，建立合适的平面直角坐标系是解题的关键． 14. 已知二次函数（为常数，）是该函数图象上一点． （1）当时，抛物线的对称轴是______． （2）当时，，则的取值范围是______． 【答案】 ①. ## ②. 或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）把代入解析式，利用公式计算即可； （2）根据抛物线解析式得出对称轴为直线，分，两种情况讨论，根据当时，，得出的范围即可求解． 【详解】解：（1）当时，二次函数为， ， 故答案为：； （2）二次函数对称轴为直线， 当时，， 抛物线与轴的交点为， 当时，， 当时，， 解得：， ， 当时，抛物线开口向下， 当时，抛物线随的增大而减小，， 当时，，则恒成立， 综上所述，或， 故答案为：或． 三．解答题（共9小题，15、16、17、18每小题8分，19、20题每小题10分，21、22每小题12分，23题14分，共90分） 15. 二次函数的图象过点，，并可由的图象经过平移得到，求二次函数的解析式． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的平移性质、待定系数法求二次函数解析式等知识点，根据已知得出a的值不变是解题的关键． 根据二次函数的平移性质得出a不发生变化，再将，代入求解即可． 【详解】解：∵由的图象经过平移得到， ∴该二次函数解析式为， 将，代入可得： ，解得：． ∴． 16. 已知，与成反比例，与x成正比例，且当，，． （1）求y关于x的函数解析式； （2）求当时的函数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设，，把，和，分别代入求解即可得； （2）把代入解析式计算可得答案． 【小问1详解】 解：设，， ∴， 把，和，分别代入，，得 ， 解得， ∴y关于x的函数解析式为； 【小问2详解】 解：当时，． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义、正比例函数的定义，掌握其概念是解决此题关键． 17. 新定义：如果二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点(﹣1，0)，那么称此二次函数图象为“定点抛物线”． （1）试判断二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象是否为“定点抛物线”； （2）若“定点抛物线”y＝x2﹣mx+2﹣k与x轴只有一个公共点，求k的值． 【答案】（1）二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象是“定点抛物线”；（2）1 【解析】 【分析】（1）把代入y＝x2﹣4x﹣5求解即可判断； （2）把代入可得与的关系，根据抛物线与轴只有一个交点可得顶点落在轴上，从而可得抛物线对称轴为直线，进而求解． 【详解】解：（1）把代入y＝x2﹣4x﹣5得：， 二次函数y＝x2﹣4x﹣5的图象经过点，是“定点抛物线”． （2）把代入得：， 整理得：， ， ∵抛物线与轴只有一个交点时， ∴为抛物线顶点， 抛物线对称轴为直线， 解得：， ∴k的值为1． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解决本题的关键，属于中考常考题型． 18. 如图所示，一次函数与反比例函数相交于点和点． （1）求的值和反比例函数解析式； （2）求出点的坐标； （3）当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，确定函数表达式是解题的关键． （1）将点的坐标分别代入两个函数表达式，即可求解； （2）联立两个函数表达式即可求解； （3）观察函数图象即可求解． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入两个函数表达式得： ，解得：， 则一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为：； 【小问2详解】 联立两个函数表达式得：， 解得：或， 即点； 【小问3详解】 观察函数图象知，当时，的取值范围为：或． 19. 某药品研究所开发一种抗菌新药，经多年动物实验，首次用于临床人体试验，测得成人服药后血液中药物浓度y（微克/毫升）与服药时间x小时之间函数关系如图所示． （1）根据图象分别求出血液中药物浓度上升和下降阶段y与x之间的函数关系式； （2）问血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间多少小时？ 【答案】（1）血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为，下降阶段的函数关系式为． （2）15小时 【解析】 【分析】（1）设出解析式，利用待定系数法求解析式，并写出自变量的取值范围即可； （2）根据题意得出在两个函数中的自变量的值，即可找出取值范围． 【小问1详解】 解：当时，设直线解析式为：， 将代入得：，解得：， 故直线解析式为：； 当时，设反比例函数解析式为： ， 将代入得： ，解得：a=32， 故反比例函数解析式为： ； 所以血液中药物浓度上升阶段的函数关系式为， 下降阶段的函数关系式为． 【小问2详解】 解：如图：由题意：，解得：；，， ∴ ∴血液中药物浓度不低于2微克/毫升的持续时间为15小时． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用、一次函数的应用等知识点，根据题意得出函数解析式是解题关键． 20. 某商品进货价为每件40元，将该商品每件的售价定为50元时，每星期可销售250件．现在计划提高该商品的售价增加利润，市场调查反映：若该商品每件的售价在50元基础上每上涨1元，其每星期的销售量减少10件．设该商品每件的售价上涨x元（x为整数且）时，每星期的销售量为y件． （1）求y与x之间的函数解析式； （2）当该商品每件的售价定为多少元时，销售该商品每星期获得的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1） （2）当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元 【解析】 【分析】（1）直接根据利润（售价进价）数量列解析式即可； （2）将利润最大值转化成二次函数的函数最大值直接求解即可． 【小问1详解】 依题意可得：； 【小问2详解】 设当该商品每件的售价上涨x元时，销售该商品每星期获得的利润为W元． （且x为整数）， 又∵，且； ∴当或8时，；或58． 答：当该商品每件的售价为57或58元时，每星期获得的利润最大，最大利润为3060元． 【点睛】此题考查二次函数的销售利润问题，解题关键是明确利润公式，求利润最大值相当于数形结合，直接转化成求函数最大值． 21. 一次足球训练中，小明从球门正前方的处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为时，球达到最高点，此时球离地面．已知球门高为，现以为原点建立如图所示直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）． （2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点正上方处？ 【答案】（1），球能射进球门 （2）向正后方移动米 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、待定系数法求函数解析式、二次函数图象的平移等知识点，灵活运用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）根据建立的平面直角三角坐标系设抛物线解析式为顶点式，代入A点坐标求出a的值即可得到函数表达式，再把代入函数解析式，求出函数值，与球门高度比较即可得到结论； （2）根据二次函数平移的规律，设出平移后的解析式，然后将点代入即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得：抛物线的顶点坐标为， 设抛物线解析式为， 把点代入，得，解得， ∴抛物线的函数表达式为， 当时，， ∴球不能射进球门． 【小问2详解】 解：设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为， 把点代入得，解得，（舍去）， ∴当时他应该带球向正后方移动米射门． 22. 如图，直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线经过，两点． （1）求抛物线的解析式； （2）是直线上方抛物线上的一动点，当点到直线的距离最大时，求点的坐标； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，待定系数法求解析式，面积问题； （1）由一次函数的解析式可求出点和点坐标．再代入抛物线解析式中即可求出和的值，即得出抛物线解析式； （2）如图，连接，，，设，求解，，，，当时，的面积最大，此时点到直线的距离最大，从而可得答案． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时， ， 解得：， ， 把和代入抛物线中得： ， 解得：， 抛物线的解析式为： ； 【小问2详解】 解：如图，连接，，， 设， ∴，，， ∴， 当时，的面积最大， ∴到的距离最大， ∴． 23. 二次函数的图象与x轴交于点，且． （1）当，且时， ①求，的值 ②当时，二次函数的最大值与最小值的差为4，求t的值； （2）若，求证：． 【答案】（1）①，；② （2） 证明：∵，，    ∴，    ∴， 由题意得：，， ∴， ∴，        ∴， ∵，　 ∴，即， ∴把，代入， 得； ∴． 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质； （1）①依题意，，解方程组即可求解； ②根据①得出解析式，对称轴为直线，进而分，，两种情况求得最小值，根据题意建立方程，解方程即可求解； （2）由题意得：，，将代入，得出 ，得出，代入得，进而，即可得证． 【小问1详解】 解：①依题意，， 解得，； ②， 对称轴为直线，，抛物线开口向上， 当时，随的增大而减小， 当时，， 当时，， 依题意，， 方程无解； 当时， 最小值为， 最大值为， ∴， 解得：或（舍去）， 综上所述，； 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $