专题01 有理数（易错题30题7个考点）-2024-2025学年七年级数学上学期期中期末考点归纳满分攻略讲练（人教版2024）

专题01有理数（易错题30题7个考点） 一．正数和负数（共8小题） 1．某速冻水饺的储藏温度是﹣18±2℃，下列四个冷藏室的温度中不适合储藏此种水饺的是（　　） A．﹣24℃ B．﹣18℃ C．﹣17℃ D．﹣16℃ 2．某零食包装袋上标有如下文字：净含量（215±5）g，以下容量中不符合标注的是（　　） A．220g B．209g C．210g D．217g 3．在一次数学测验中，小明所在班级的平均分为86分，把高出平均分的部分记为正数，小明考了98分记作+12分，若小强成绩记作﹣4分，则他的考试分数为（　　） A．90分 B．88分 C．84分 D．82分 4．北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间14：00，同一时刻的柏林时间是7：00，小丽和小红分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间8：00～17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（　　） A．9：30 B．11：30 C．13：30 D．15：30 5．某粮店出售的两种品牌的面粉袋上分别标有质量为（25±0.1）kg，（25±0.2）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 　 　kg． 6．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据这种表示方法，图①表示的是+1和﹣2，图②表示的是 　 　和 　 　． 7．某自行车厂7天计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因，无法按计划生产，如表是这7天的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 +4 ﹣2 ﹣4 +10 ﹣8 ﹣12 +6 （1）根据记录可知前2天共生产自行车 　 　辆； （2）自行车产量最多的一天比产量最少的一天多生产 　 　辆； （3）该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车，厂方付给工人工资50元，超额完成计划任务的，每超产一辆奖励20元，没有完成计划任务的，每减产一辆扣25元，则该厂工人这7天的工资总额是多少？ 8．春节临近，糕点销量大幅度增加，某食品加工厂为了满足市场需求，计划每天生产2000份糕点，由于各种原因，每天实际上的产量与原计划相比有出人，如表所示是某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +150 ﹣100 +300 ﹣100 +200 ﹣150 +100 （1）根据记录可知，前三天共生产了 　 　份； （2）一周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 　 　份； （3）该工厂实行计件工资制，工人每生产一份糕点可获得0.5元工资报酬，本周该食品加工厂应支付工人的工资总额． 二．有理数（共2小题） 9．下列说法正确的是（　　） A．所有的整数都是正数 B．整数和分数统称有理数 C．0是最小的有理数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数 10．下列互为相反数的是（　　） A．﹣（+2）与+（﹣2） B．与﹣0.33 C．﹣|﹣5|与5 D．﹣（﹣4）与4 三．数轴（共12小题） 11．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣2 B．ab＞0 C．﹣a＜b D．|a|＞|b| 12．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a+b|的结果为（　　） A．2a B．﹣2a C．2b D．﹣2b 13．如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 14．在数轴上点A表示的数是﹣5，点M从点A出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……依次操作4054次后，此时点M表示的数是（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 15．如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2020的点与圆周上重合的点对应的字母是（　　） A．m B．n C．p D．q 16．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是﹣10，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则点C表示的数是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．0 17．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m和n，其中m表示的数为10，n表示的数为﹣2．有一个玩具火车AB放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B与点M重合，当点B移动到点A时，点A与点N重合．则玩具火车的长为 　 　个单位长度；将此玩具火车沿数轴左右水平移动，当NA：BM＝3：1时，点A所表示的数为 　 　． 18．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣6，b，3，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度2cm，点C对齐刻度6cm．则数轴上点B所对应的数b为 　 　． 19．已知在纸面上有一数轴（如图所示）． （1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数　 　的点重合； （2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数　 　的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值． 20．先阅读，后探究相关的问题 【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作 |5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点B向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　 　和 　 　，B，C两点间的距离是 　 　； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 　 　；如果|AB|＝3，那么x为 　 　； （3）若点A表示的整数为x，则当x为 　 　时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （4）要使|x+5|+|x﹣2|的值最小，求此时x的整数值． 21．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C，满足AB＝BC，点B是A、C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． （1）A，B，C三点中，点 　 　是点M，N的“倍分点”； （2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 　 　个，分别是 　 　； （3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，此时点P表示的数为多少． 22．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣12，点C在数轴上表示的数是14． （1）若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 　 　； （2）若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 　 　个单位长度； （3）若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段AB＝2上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由． 四．绝对值（共5小题） 23．2024的绝对值是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 24．若|x|＝2，|y|＝3．则|x+y|的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．5或1 D．以上都不对 25．若3a+b＝0（a≠0），则﹣2的值为（　　） A．0或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．﹣2 26．已知a、b都不为0，则++的值为 　 　． 27．已知|m|＝1，|n|＝4． （1）当m、n异号时，求m+n的值； （2）求m﹣n的最大值． 五．有理数大小比较（共1小题） 28．若a＜0，b＞0，则b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是（　　） A．b B．b+a C．b﹣a D．ab 六．有理数的乘方（共1小题） 29．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2 七．有理数的混合运算（共1小题） 30．小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9． 问题： （1）请归纳⊗运算的运算法则： 两数进行⊗运算时，　 　；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，　 　． （2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]； （3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01有理数（易错题30题7个考点） 一．正数和负数（共8小题） 1．某速冻水饺的储藏温度是﹣18±2℃，下列四个冷藏室的温度中不适合储藏此种水饺的是（　　） A．﹣24℃ B．﹣18℃ C．﹣17℃ D．﹣16℃ 【答案】A 【分析】根据题意可以求得速冻水饺的储藏温度的范围，本题得以解决． 【解答】解：∵速冻水饺的储藏温度是﹣18±2℃， ∴速冻水饺的储藏温度是﹣20～﹣16℃， 故选项A符合题意，选项B，C，D不符合题意， 故选：A． 2．某零食包装袋上标有如下文字：净含量（215±5）g，以下容量中不符合标注的是（　　） A．220g B．209g C．210g D．217g 【答案】B 【分析】根据标注的容量可知符合标注的容量为210～220，分析判断即可． 【解答】解：∵零食包装袋上标注的容量为（215±5）g， ∴符合标注的容量为：210～220． ∴容量中不符合标注的是209g． 故选：B． 3．在一次数学测验中，小明所在班级的平均分为86分，把高出平均分的部分记为正数，小明考了98分记作+12分，若小强成绩记作﹣4分，则他的考试分数为（　　） A．90分 B．88分 C．84分 D．82分 【答案】D 【分析】根据高出平均分的部分记作正数，得到低于平均分的部分记作负数，即可得到结果． 【解答】解：根据题意得：小明98分，应记为+12分；小强成绩记作﹣4分，则他的考试分数为82分． 故选：D． 4．北京与柏林的时差为7小时，例如，北京时间14：00，同一时刻的柏林时间是7：00，小丽和小红分别在北京和柏林，她们相约在各自当地时间8：00～17：00之间选择一个时刻开始通话，这个时刻可以是北京时间（　　） A．9：30 B．11：30 C．13：30 D．15：30 【答案】D 【分析】根据北京时间比柏林时间迟7小时解答即可． 【解答】解：根据题意列得：8+7＝15（时）， 故这个时刻可以是北京时间15：30． 故选：D． 5．某粮店出售的两种品牌的面粉袋上分别标有质量为（25±0.1）kg，（25±0.2）kg的字样，从中任意拿出两袋，它们的质量最多相差 　0.4　kg． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题中给出面粉的波动范围，求出其中两袋相差最大的数． 【解答】解：依题可得，面粉最重的为（25+0.2）kg，面粉最轻的为（25﹣0.2）kg， ∴质量最多相差：0.2﹣（﹣0.2）＝0.4（kg）， 故答案为：0.4． 6．中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的计数工具）正放表示正数，斜放表示负数，如图，根据这种表示方法，图①表示的是+1和﹣2，图②表示的是 　+3　和 　﹣5　． 【答案】+3；﹣5． 【分析】利用图①的表示方法，即可解答． 【解答】解：图②表示的是+3和﹣5， 故答案为：+3，﹣5． 7．某自行车厂7天计划生产700辆自行车，平均每天生产100辆，由于各种原因，无法按计划生产，如表是这7天的生产情况（超产为正，减产为负，单位：辆）： 第1天 第2天 第3天 第4天 第5天 第6天 第7天 +4 ﹣2 ﹣4 +10 ﹣8 ﹣12 +6 （1）根据记录可知前2天共生产自行车 　202　辆； （2）自行车产量最多的一天比产量最少的一天多生产 　22　辆； （3）该厂实行日计件工资制，每生产一辆自行车，厂方付给工人工资50元，超额完成计划任务的，每超产一辆奖励20元，没有完成计划任务的，每减产一辆扣25元，则该厂工人这7天的工资总额是多少？ 【答案】（1）202；（2）22；（3）34450元． 【分析】（1）计算出这一周前2天超产或减产量，得到答案； （2）计算产量最多的一天与产量最少的一天的差即可； （3）根据题意求和，再进行计算即可． 【解答】解：（1）4+（﹣2）＝2（辆），100×2+2＝202（辆）， ∴前2天共生产自行车202辆； 故答案为：202； （2 ）10﹣（﹣12）＝10+12＝22（辆）， ∴产量最多的一天比产量最少的一天多生产22辆自行车； 故答案为：22； （3）依题意得： 这7天的自行车产量与计划产量的差为：4﹣2﹣4+10﹣8﹣12+6＝﹣6， ∴该厂工人这7天的自行车产量为：100×7+（﹣6）＝694（辆） 694×50+（4+10+6）×20﹣（2+4+8+12）×25 ＝34700+400﹣650 ＝34450（元）， 答：该厂工人这7天的工资总额是34450元． 8．春节临近，糕点销量大幅度增加，某食品加工厂为了满足市场需求，计划每天生产2000份糕点，由于各种原因，每天实际上的产量与原计划相比有出人，如表所示是某一周的生产情况（超产为正，减产为负，单位：个） 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减 +150 ﹣100 +300 ﹣100 +200 ﹣150 +100 （1）根据记录可知，前三天共生产了 　6350　份； （2）一周生产量最多的一天比生产量最少的一天多生产了 　450　份； （3）该工厂实行计件工资制，工人每生产一份糕点可获得0.5元工资报酬，本周该食品加工厂应支付工人的工资总额． 【答案】（1）6350； （2）450； （3）本周该食品加工厂应支付工人的工资总额为7200元． 【分析】（1）将前三天的标准质量、记录结果分别求和并相加即可； （2）用一周中记录结果的最大值减去最小值即可； （3）用工人每生产一份糕点可获得的工资报酬0.5元乘以这周生产的总份数． 【解答】解：（1）2000×3+（150﹣100+300） ＝6000+350 ＝6350（份）， 故答案为：6350； （2）∵﹣150＜﹣100＜100＜150＜200＜300， ∴300﹣（﹣150）＝450（份）， 故答案为：450； （3）0.5×[2000×7+（150﹣100+300﹣100+200﹣150+100）] ＝0.5×（14000+400） ＝0.5×14400 ＝7200（元）， 答：本周该食品加工厂应支付工人的工资总额为7200元． 二．有理数（共2小题） 9．下列说法正确的是（　　） A．所有的整数都是正数 B．整数和分数统称有理数 C．0是最小的有理数 D．零既可以是正整数，也可以是负整数 【答案】B 【分析】根据有理数的分类，绝对值的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、所有的整数不都是正整数，还有负整数和0，故A不符合题意； B、整数和分数统称有理数，故B符合题意； C、0是绝对值最小的有理数，故C不符合题意； D、零既不是正整数，也不是负整数，故D不符合题意； 故选：B． 10．下列互为相反数的是（　　） A．﹣（+2）与+（﹣2） B．与﹣0.33 C．﹣|﹣5|与5 D．﹣（﹣4）与4 【答案】C 【分析】根据相反数，绝对值的意义，逐一判断即可解答． 【解答】解：A、∵﹣（+2）＝﹣2，+（﹣2）＝﹣2， ∴﹣（+2）＝+（﹣2）， 故A不符合题意； B、∵＝0.333...． ∴和﹣0.33不是互为相反数的， 故B不符合题意； C、∵﹣|﹣5|＝﹣5， ∴﹣|﹣5|和5是互为相反数， 故C符合题意； D、﹣（﹣4）＝4， 故D不符合题意； 故选：C． 三．数轴（共12小题） 11．有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（　　） A．a＞﹣2 B．ab＞0 C．﹣a＜b D．|a|＞|b| 【答案】D 【分析】根据有理数a、b在数轴上对应点的位置进行判断即可． 【解答】解：由数轴可知，﹣3＜a＜﹣2，1＜b＜2， ∴ab＜0，﹣a＞b，|a|＞|b|， ∴选项ABC是错误的，只有选项D是正确的． 故选：D． 12．有理数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简|a﹣b|﹣|a+b|的结果为（　　） A．2a B．﹣2a C．2b D．﹣2b 【答案】B 【分析】根据有理数a、b在数轴上的位置可得a＜0＜b，|b|＞|a|，再化简绝对值即可． 【解答】解：根据有理数a、b在数轴上的位置可得a＜0＜b，|b|＞|a|， ∴a﹣b＜0，a+b＞0， ∴|a﹣b|﹣|a+b|＝﹣（a﹣b）﹣（a+b）＝﹣a+b﹣a﹣b＝﹣2a， 故选：B． 13．如图所示的数轴被墨迹盖住一部分，被盖住的整数点有（　　） A．7个 B．8个 C．9个 D．10个 【答案】C 【分析】根据数轴上的点是连续的特点，写出被墨水盖住的整数即可． 【解答】解：根据数轴的特点，﹣6.3到﹣1之间的整数有﹣6、﹣5、﹣4、﹣3、﹣2共5个， 0到4.1之间的整数有1、2、3、4共4个， 所以被墨迹盖住的整数有5+4＝9个． 故选：C． 14．在数轴上点A表示的数是﹣5，点M从点A出发，先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，再向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，……依次操作4054次后，此时点M表示的数是（　　） A．2019 B．2020 C．2021 D．2022 【答案】D 【分析】先根据点M的移动规律，每移动两次是：向右移动了1个单位，所以操作4054次后相当于向右移动了2027个单位，列式计算可得结论． 【解答】解：将点M先向左移动1个单位长度，再向右移动2个单位长度，看作移动一次，是向右移动一次；向左移动3个单位长度，再向右移动4个单位长度，看作移动一次，也是向右移动一次； ∴4054÷2＝2027， ∴﹣5+2027＝2022， 即此时点M表示的数是2022． 故选：D． 15．如图1，圆的周长为4个单位，在该圆的4等分点处分别标上字母m、n、p、q，如图2，先让圆周上表示m的点与数轴原点重合，再将数轴按逆时针方向环绕在该圆上，则数轴上表示﹣2020的点与圆周上重合的点对应的字母是（　　） A．m B．n C．p D．q 【答案】A 【分析】根据题意可以得到字母q、p、n、m为一个循环，从而可以得到数轴上表示﹣2020的点与圆周上重合的点对应的字母． 【解答】解：由题意可得， ﹣1与q对应，﹣2与p对应，﹣3与n对应，﹣4与m对应， ﹣2020÷4＝﹣505， ∴数轴上表示﹣2020的点与圆周上重合的点对应的字母是m， 故选：A． 16．在一条可以折叠的数轴上，点A，B表示的数分别是﹣10，3，如图，以点C为折点，将此数轴向右对折，若点A在点B的右边，且AB＝1，则点C表示的数是（　　） A．﹣4 B．﹣3 C．﹣1 D．0 【答案】B 【分析】根据图1算出AB的长度13，图2中的AB＝1，用（13﹣1）÷2＝6就是BC的长度，用两点之间的距离公式得出点C表示的数． 【解答】解：图1：AB＝|﹣10﹣3|＝13， 图2：AB＝1， BC＝（13﹣1）＝6， 点C表示的数是：3﹣6＝﹣3， 故选：B． 17．已知M，N两点在数轴上所表示的数分别为m和n，其中m表示的数为10，n表示的数为﹣2．有一个玩具火车AB放置在数轴上，将火车沿数轴左右水平移动，当点A移动到点B时，点B与点M重合，当点B移动到点A时，点A与点N重合．则玩具火车的长为 　4　个单位长度；将此玩具火车沿数轴左右水平移动，当NA：BM＝3：1时，点A所表示的数为 　4或10　． 【答案】4，4或10． 【分析】根据题意可知，MN的长度正好等于3个玩具火车的长度，从而可求出玩具火车的长度；设点A所表示的数为a，则点B表示的数为（a+4），分别将NA和BM的长度用含a的代数式的绝对值表示出来，根据NA和BM的数量关系列绝对值方程并求解即可． 【解答】解：由题意可知，MN＝3AB． ∵MN＝m﹣n＝10﹣（﹣2）＝12， ∴AB＝MN＝4． 故答案为：4． 设点A所表示的数为a，则点B表示的数为（a+4）， ∴NA＝|a﹣（﹣2）|＝|a+2|，BM＝|a+4﹣10|＝|a﹣6|， ∴|a+2|：|a﹣6|＝3：1，即|a+2|＝3|a﹣6|． 当a＜﹣2时，﹣（a+2）＝﹣3（a﹣6），解得a＝10（不符合题意，舍去）； 当﹣2≤a＜6时，a+2＝﹣3（a﹣6），解得a＝4； 当a≥6时，a+2＝3（a﹣6），解得a＝10． 综上，点A所表示的数为4或10． 故答案为：4或10． 18．如图1，点A，B，C是数轴上从左到右排列的三个点，分别对应的数为﹣6，b，3，某同学将刻度尺如图放置，使刻度尺上的数字0对齐数轴上的点A，发现点B对应刻度2cm，点C对齐刻度6cm．则数轴上点B所对应的数b为 　﹣3　． 【答案】﹣3． 【分析】分析：由AC长度是6厘米求出数轴的单位长度是厘米，再由AB的长度是2cm，即可求解． 【解答】解：由题意可知：AC＝6cm，AB＝2cm， ∵6÷[3﹣（﹣6）]＝（cm）， ∴数轴的单位长度是cm， ∵2÷＝3， ∴在数轴上A，B的距离是3个单位长度， ∴点B所对应的数b为﹣6+3＝﹣3， 故答案为：﹣3． 19．已知在纸面上有一数轴（如图所示）． （1）操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数　﹣4　的点重合； （2）操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题： ①表示数9的点与表示数　﹣5　的点重合； ②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？ ③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值． 【答案】（1）﹣4； （2）①﹣5； ②A点表示的数是﹣3，B点表示的数是7； ③x的值为﹣4或8． 【分析】（1）求出表示两个数的点的中点所对应的数为原点，由此可得结论； （2）先根据中点坐标公式得折叠点对应的数为2； ①设9表示的点所对应点表示的数为y，根据中点坐标公式列方程可得y的值，可得结论； ②根据折叠的性质可得结论； ③根据PA+PB＝12列出方程，求解方程可得出x的值． 【解答】解：（1）折叠纸面，使表示的点1与﹣1重合，折叠点对应的数为＝0， 则表示4的点与表示﹣4的点重合； 故答案为：﹣4； （2）折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，折叠点对应的数为＝2， ①设表示9的点与表示y的点重合，于是有＝2，解得y＝﹣5， 即表示9的点与表示﹣5的点重合； 故答案为：﹣5； ②点A表示的数为2﹣＝﹣3， 点B表示的数为2+＝7， 答：A点表示的数是﹣3，B点表示的数是7； ③∵PA+PB＝12， ∴|x+3|+|x﹣7|＝12， 当﹣3≤x≤7时，x+3﹣x+7＝10≠12，不符合题意； 当x＜﹣3时，﹣x﹣3﹣x+7＝12， 解得x＝﹣4； 当x＞4时，x+3+x﹣7＝12， 解得x＝8， 综上所述，x的值为﹣4或8． 20．先阅读，后探究相关的问题 【阅读】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作 |5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）先在数轴上画出表示点2.5的相反数的点B，再把点B向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　﹣2.5　和 　﹣4　，B，C两点间的距离是 　1.5　； （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为 　|x+1|　；如果|AB|＝3，那么x为 　2或﹣4　； （3）若点A表示的整数为x，则当x为 　﹣1　时，|x+4|与|x﹣2|的值相等； （4）要使|x+5|+|x﹣2|的值最小，求此时x的整数值． 【答案】（1）﹣2.5，﹣4，1.5； （2）|x+1|，2或﹣4； （3）﹣1； （4）﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2． 【分析】（1）描出点B、C，再利用绝对值计算B，C两点间的距离； （2）用绝对值表示数轴上两点间的距离即可； （3）根据“表示数为x的点在﹣4与2之间”计算即可； （4）根据“|x+5|+|x﹣2|表示数为x的点到数为﹣5的点的距离与到数为2的点的距离之和，当数为x的点在数为﹣5与2表示的点之间时|x+5|+|x﹣2|的值最小”作答即可． 【解答】解：（1）点B和C在数轴上的位置如图所示： ∵点B表示的数是﹣2.5， ∴点C表示的数是﹣2.5﹣1.5＝﹣4， ∴B，C两点间的距离是|﹣2.5﹣（﹣4）|＝1.5． 故答案为：﹣2.5，﹣4，1.5． （2）数轴上表示x和﹣1的两点A和B之间的距离表示为|x﹣（﹣1）|＝|x+1|， 当|x+1|＝3时，x＝2或﹣4． 故答案为：|x+1|，2或﹣4． （3）∵|x+4|与|x﹣2|分别表示数为x的点到数为﹣4的点的距离、到数为2的点的距离，且两者相等， ∴表示数为x的点在﹣4与2之间， ∴x﹣（﹣4）＝2﹣x， ∴x＝﹣1． 故答案为：﹣1． （4）∵|x+5|+|x﹣2|表示数为x的点到数为﹣5的点的距离与到数为2的点的距离之和， ∴当数为x的点在数为﹣5与2表示的点之间时|x+5|+|x﹣2|的值最小， ∴x的整数值为﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2． 21．定义：数轴上的三点，如果其中一个点与近点距离是它与远点距离的，则称该点是其他两个点的“倍分点”．例如数轴上点A，B，C，满足AB＝BC，点B是A、C的“倍分点”．已知点A，B，C，M，N在数轴上所表示的数如图所示． （1）A，B，C三点中，点 　B　是点M，N的“倍分点”； （2）若数轴上点M是点D，A的“倍分点”，则点D对应的数有 　4　个，分别是 　﹣2，﹣4，1，﹣7　； （3）若数轴上点N是点P，M的“倍分点”，且点P在点N的右侧，此时点P表示的数为多少． 【答案】（1）B； （2）4；﹣2，﹣4，1，﹣7； （3）点P表示的数为或24． 【分析】（1）利用“倍分点”的定义即可求得答案； （2）设D点坐标为x，利用“倍分点”的定义，分两种情况讨论即可求出答案； （3）利用“倍分点”的定义，结合点P在点N的右侧，分两种情况讨论即可求出答案． 【解答】解：（1）∵BM＝0﹣（﹣3）＝3，BN＝6﹣0＝6， ∴BM＝BN， ∴点B是点M，N的“倍分点”； 故答案为：B． （2）AM＝﹣1﹣（﹣3）＝2，设D点坐标为x， ①当DM＝AM时，DM＝1， ∴|x﹣（﹣3）|＝1， 解得：x＝﹣2或﹣4， ②当AM＝DM时，DM＝2AM＝4， ∴|x﹣（﹣3）|＝4， 解得：x＝1或﹣7， 综上所述，则点D对应的数有4个，分别是﹣2，﹣4，1，﹣7， 故答案为：4；﹣2，﹣4，1，﹣7； （3）MN＝6﹣（﹣3）＝9， 当PN＝MN时，PN＝×9＝， ∵点P在点N的右侧， ∴此时点P表示的数为， 当MN＝PN时，PN＝2MN＝2×9＝18， ∵点P在点N的右侧， ∴此时点P表示的数为24， 综上所述，点P表示的数为或24． 22．如图，数轴上线段AB＝2（单位长度），CD＝4（单位长度），点A在数轴上表示的数是﹣12，点C在数轴上表示的数是14． （1）若点P是数轴上一动点，当动点P到点A的距离与到点D的距离之和等于34时，则点P对应的数是 　﹣14或20　； （2）若点M从点A出发向右运动，速度为2个单位长度/秒，点N从点D出发向左运动，速度为4个单位长度/秒，点P从原点出发，速度为3个单位长度/秒．点M，N和P三点同时运动，点P先向右运动，遇到点N立即掉头向左运动，遇到点M再立即掉头向右运动，如此往返，当M，N两点相距12个单位长度时，点P立即停止运动，此时点P移动的路程为 　9　个单位长度； （3）若线段AB以3个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段CD以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动．点P是线段AB＝2上一点，当B点运动到线段CD上时，是否存在关系式，若存在，求线段PD的长；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）﹣14或20； （2）9； （3）6或． 【分析】（1）根据点P的位置进行分类讨论即可． （2）设运动时间为t，根据M，N两点间的距离为12个单位长度即可解决问题． （3）根据题意建立方程，并进行分类讨论即可解决问题． 【解答】解：（1）设点P对应的数为x， 当P在A、D两点之间时，PA+PD＝30，不存在满足条件的P点， 当点P在点A的左侧时，﹣12﹣x+（18﹣x）＝34，解得x＝﹣14； 当点P在点A的右侧时，x﹣（﹣12）+（x﹣18）＝34，解得x＝20． 故答案为：﹣14或20． （2）设运动t秒时，M，N两点相距12个单位长度， 此时点M所对应的数为：﹣12+2t， 点N所对应的数为：18﹣4t． 当点M和点N相遇前， 则18﹣4t﹣（﹣12+2t）＝12， 解得t＝3， 又因为点P的速度为3单位每秒， 所以点P移动的路程为：3×3＝9个单位长度． 当点M和点N相遇后， 因为点N速度比点P速度快， 所以此种情况不存在． 故答案为：9． （3）设运动的时间为a秒， 因为点B运动到线段CD上， 则3a+a＝14﹣（﹣10）， 解得a＝6， 3a+a＝18﹣（﹣10）， 解得a＝7， 所以6≤a≤7． 设点P所对应的数为m， 由点P是线段AB上一点得， ﹣12≤m≤﹣10． 则BD＝18﹣（﹣10）﹣3a﹣a＝28﹣4a， AP＝m﹣（﹣12）＝m+12， PC＝14﹣a﹣（m+3a）＝﹣m﹣4a+14或m+3a﹣（14﹣a）＝m+4a﹣14． 当PC＝﹣m﹣4a+14时， ， 整理得m+4a＝12， 又因为PD＝18﹣a﹣（m+3a）＝18﹣（m+4a）， 所以PD＝18﹣12＝6． 当PC＝m+4a﹣14时， 同理可求得m+4a＝， 又因为PD＝18﹣（m+4a）， 所以PD＝18﹣＝． 故线段PD的长为：6或． 四．绝对值（共5小题） 23．2024的绝对值是（　　） A．﹣2024 B．2024 C． D． 【答案】B 【分析】依据题意，根据绝对值的意义进行计算可以得解． 【解答】解：由题意得，|2024|＝2024． 故选：B． 24．若|x|＝2，|y|＝3．则|x+y|的值为（　　） A．5 B．﹣5 C．5或1 D．以上都不对 【答案】C 【分析】由绝对值的性质，先求得x、y的值，再代入|x+y|求值即可． 【解答】解：∵|x|＝2，|y|＝3， ∴x＝±2，y＝±3． ∴当x＝2，y＝3时，|x+y|＝5； 当x＝2，y＝﹣3时，|x+y|＝1； 当x＝﹣2，y＝3时，|x+y|＝1； 当x＝﹣2，y＝﹣3时，|x+y|＝5． 综上所述，|x+y|＝5或1， 故选：C． 25．若3a+b＝0（a≠0），则﹣2的值为（　　） A．0或1 B．﹣1或0 C．﹣1 D．﹣2 【答案】D 【分析】根据已知易得：a＝﹣b，然后分两种情况：当a＞0时，则b＜0；当a＜0时，则b＞0；分别进行计算即可解答． 【解答】解：∵3a+b＝0（a≠0）， ∴3a＝﹣b， ∴a＝﹣b， 分两种情况： 当a＞0时，则b＜0， ∴﹣2＝+﹣2 ＝+（﹣）﹣2 ＝﹣2； 当a＜0时，则b＞0， ∴﹣2＝+﹣2 ＝﹣+﹣2 ＝﹣2； 综上所述：﹣2的值为﹣2， 故选：D． 26．已知a、b都不为0，则++的值为 　3和﹣1　． 【答案】见试题解答内容 【分析】根据题意分四种情况讨论，再根据两数相除，同号得正，异号得负，并把两数的绝对值相除，即可得出答案． 【解答】解：当a＞0，b＞0时， ++＝1+1+1＝3； 当a＞0，b＜0时， ++＝1﹣1﹣1＝﹣1； 当a＜0，b＞0时， ++＝﹣1+1﹣1＝﹣1； 当a＜0，b＜0时， ++＝﹣1﹣1+1＝﹣1， 综上所述，++的值为3和﹣1． 故答案为：3和﹣1． 27．已知|m|＝1，|n|＝4． （1）当m、n异号时，求m+n的值； （2）求m﹣n的最大值． 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）根据绝对值的性质得m＝±1，n＝±4，再根据m、n异号，分两种情况求出m+n的值； （2）在（1）的基础上分四种情况求m﹣n的值，比较后确定最大值． 【解答】解：（1）∵|m|＝1，|n|＝4， ∴m＝±1，n＝±4， ∵m、n异号， ①m＝1，n＝﹣4，m+n＝﹣3， ②m＝﹣1，n＝4，m+n＝3， ∴m+n的值﹣3或3； （2）①m＝1，n＝﹣4，m﹣n＝5， ②m＝﹣1，n＝4，m﹣n＝﹣5， ③m＝1，n＝4，m﹣n＝﹣3， ④m＝﹣1，n＝﹣4，m﹣n＝3， ∵5＞3＞﹣3＞﹣5， ∴m﹣n的最大值为5． 五．有理数大小比较（共1小题） 28．若a＜0，b＞0，则b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是（　　） A．b B．b+a C．b﹣a D．ab 【答案】C 【分析】根据有理数的概念与运算法则进行比较、辨别． 【解答】解：∵a＜0＜b， ∴b+a＜b，b﹣a＞b＞0，ab＜0， ∴b、b+a、b﹣a、ab中最大的一个数是b﹣a， 故选：C． 六．有理数的乘方（共1小题） 29．下列各组数中，相等的一组是（　　） A．﹣（﹣1）与﹣|﹣1| B．﹣32与（﹣3）2 C．（﹣4）3与﹣43 D．与（）2 【答案】C 【分析】根据有理数的乘方的定义，绝对值的性质对各选项分别计算，然后利用排除法求解． 【解答】解：A、﹣|﹣1|＝﹣1，﹣（﹣1）＝1，﹣（﹣1）≠﹣|﹣1|，故本选项错误； B、（﹣3）2＝9，﹣32＝﹣9，9≠﹣9，故本选项错误； C、（﹣4）3＝﹣64，﹣43＝﹣64，（﹣4）3＝﹣43，故本选项正确； D、＝，＝，≠，故本选项错误． 故选：C． 七．有理数的混合运算（共1小题） 30．小明定义了一种新的运算，取名为⊗运算，按这种运算进行运算的算式举例如下：①（+4）⊗（+2）＝+6；②（﹣4）⊗（﹣3）＝+7；③（﹣5）⊗（+3）＝﹣8；④（+6）⊗（﹣4）＝﹣10；⑤（+8）⊗0＝8；⑥0⊗（﹣9）＝9． 问题： （1）请归纳⊗运算的运算法则： 两数进行⊗运算时，　同号得正，异号得负，并把绝对值相加　；特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，　都得这个数的绝对值　． （2）计算：[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]； （3）我们都知道乘法有结合律，这种运算律在有理数的⊗运算中还适用吗？请判断是否适用，并举例验证． 【答案】（1）同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值； （2）﹣17； （3）结合律不适用． 【分析】（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加．特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值； （2））根据（1）运算规律进行计算即可； （3）举例进行验证即可． 【解答】解：（1）根据示例得出，两数进行⊗运算时，同号得正，异号得负，并把绝对值相加； 特别地，0和任何数进行⊗运算，或任何数和0进行⊗运算，都得这个数的绝对值． 故答案为：同号得正，异号得负，并把绝对值相加；都得这个数的绝对值； （2）[（﹣2）⊗（+3）]⊗[（﹣12）⊗0]＝（﹣5）⊗（+12）＝﹣17； （3）结合律不适用． 例如[（﹣3）⊗（﹣4）]⊗0＝7， （﹣3）⊗[（﹣4）⊗0]＝﹣7， ∴[（﹣3）⊗（﹣4）]⊗0≠（﹣3）⊗[（﹣4）⊗0]， 故结合律不适用． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$