第二十六章 二次函数（题型清单）（十七类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第二十六章 二次函数（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一、二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 要点二、二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　①；②；③；④， 　　其中；⑤.（以上式子a≠0） 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 2.抛物线的三要素： 　　开口方向、对称轴、顶点. 　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3.抛物线中，的作用： 　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. 　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 4.用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 要点诠释： 求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 要点三、二次函数与一元二次方程的关系 　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 要点诠释： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 要点四、利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 03 题型归纳 题型一　二次函数的认识 例题：下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（    ） A．，2， B．，，1 C．3，2， D．3，2，1 2．若是关于x的二次函数，则 ． 3．已知函数是二次函数，则m的取值范围为 ． 题型二　二次函数的图象与性质 例题：对于的图象，下列叙述正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标为 C．当时随增大而减小 D．函数的最小值是2 巩固训练 1．若点，在抛物线的图象上，则、的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．二次函数的对称轴是直线 ． 3．如果抛物线有最低点，那么的取值范围是 ． 题型三　二次函数一般式化为顶点式 例题：把二次函数化成的形式是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．二次函数化成的形式，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 2．将二次函数写成的形式为 ． 3．用配方法将二次函数化为的形式为 ． 题型四　一次函数、反比例函数、二次函数 例题：在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．则关于x的方程的解为 ． 3． 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ． 题型五　二次函数的对称性 例题：抛物线上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 3 y … 6 2 0 2 … 从上表可知，时，y的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 巩固训练 1．在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中的值（　　） A．21 B．12 C．5 D． 2．已知二次函数 图象上有两个不同点 ， ，则 ． 3．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点为，则方程的解为 ． 题型六　二次函数的平移 例题：已知二次函数，如果将它的图象向左平移2个单位，那么所得图象的表达式是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ． 3．将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线，若抛物线经过坐标原点，则的值是 ． 题型七　二次函数与不等式的关系 例题：二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 巩固训练 1．抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．如图所示，二次函数的图象与x轴交于坐标原点和．      （1）不等式的解集为 ； （2）不等式的解集为 ． 3．如图，抛物线与x轴的正半轴交于点A，点在该抛物线上． （1）m的值为 ； （2）连接，P是直线上的动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q．若线段PQ与抛物线只有一个公共点，则点P的横坐标x的取值范围为 ． 题型八　二次函数图象与各项系数符号 例题：如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论： ①；②；③；④对任意的实数m，都有，其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 巩固训练 1．如图，这是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④点在二次函数图象上，若，则．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图所示是二次函数图象的一部分，图象过A点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②；③方程的根为，；④当时，y随着x的增大而增大．其中正确结论有 ． 3．抛物线（，、、为常数）的部分图象如图所示，对称轴是直线，且与轴的一个交点在点和之间．则下列结论： ①；②；③一元二次方程的两根为、，则；④对于任意实数，不等式恒成立．则上述说法正确的是 ．（填序号） 题型九 二次函数与坐标轴的交点 例题：抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．抛物线与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则点的坐标为 ． 3．已知抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点． (1)求点、、的坐标； (2)求此抛物线的顶点坐标． 题型十 二次函数的增减性最值 例题：已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．当时，函数的最小值为，则满足的条件为（   ） A．或或 B．或2或 C．或或 D．或2或 2．已知二次函数，当，且时，的最小值为，最大值为，则 ． 3．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是． (1)函数和中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； (2)如果函数（，）的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围； (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 题型十一 画二次函数的图象 例题：已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象（列表） … … … …    利用函数图象回答下列问题： (2)当______时，随的增大而增大； (3)当满足______时，； (4)当时，函数的取值范围为______； (5)若有两个不相等的实数根，的取值范围为______． 巩固训练 1．已知二次函数． (1)选取适当的数据填入下表，并在平面直角坐标系内画出该二次函数的图象； x … … y … … (2)根据图象回答下列问题： ①当时，x的取值范围是____________； ②当时，y的取值范围是____________． 2．已知如二次函数． (1)在如图所示的坐标系中，用描点法直接画出该二次函数的图象．（注：省略作图步骤）． (2)该函数图象的开口向______，顶点坐标为______，对称轴为直线______，函数图象与轴的交点坐标为______，与y轴的交点坐标为______． (3)由图可知，当时，二次函数的最小值是______，最大值是______． 3．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如表：其中，________； … … … … (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象，写出两条函数的性质； (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有________个交点，所以对应的方程有 个实数根； ②方程有________个实数根： ③关于的方程有4个实数根时，的取值范围是________． 题型十二 待定系数法求二次函数解析式 例题：已知抛物线 (1)该抛物线的顶点坐标是______ (2)若该抛物线经过点，求抛物线的解析式． (3)若抛物线在时，有最大值5，求a的值． 巩固训练 1．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为．且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取何值时，抛物线有最大值，并求出这个最大值； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 2．二次函数的图象经过点，，且最低点的纵坐标为． (1)求，和的值； (2)若直线经过点，求的值； (3)记（1）中的二次函数图象在点，之间的部分图象为（包含，，两点），若直线与有公共点，请结合图象探索实数的取值范围． 3．己知二次函数（a，b，c均为常数且）． (1)若该函数图象过点，点和点，求二次函数表达式： (2)若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，求出定点的坐标． 题型十三 二次函数的应用——喷水问题 例题：如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，求水管的长度是多少． 巩固训练 1．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 2．上饶市经开区市民广场音乐喷泉灯光秀（图1）在暑期晚间开放，喷泉加上灯光的陪衬，变幻莫测，吸引了众多游客前来观赏，音乐喷泉可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，若把音乐喷泉形状看做抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为． (1)若，且喷出的抛物线水线最大高度达，求此时、的值； (2)若=1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ (3)若，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求的取值范围． 3．如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似的看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点． (1)的值为___________； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； 题型十四 二次函数的应用——拱桥问题 例题：如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 巩固训练 1．如图，龙丽公路某隧道横截面为抛物线，其最大高度为9米，底部宽度为18米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． (1)直接写出点及抛物线顶点的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”，使、点在抛物线上，、点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 2．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连而建成．图所示是其中一座较小的抛物线形钢拱，已知该抛物线对应的函数关系式为．    (1)求该钢拱的跨度的长度； (2)为了保护钢拱的安全，在该钢拱平行于桥面处的，两点装有两盏警示灯，现已知这两盏警示灯的水平距离为米，求这两盏灯距桥面的高度是多少米？ 3．某河上有一座抛物线形拱桥，A、B为抛物线与水面的交点，现水面离拱顶，水面宽． (1)以拱顶O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的函数解析式； (2)受台风降雨影响，预计水面上升至离拱顶处，问：水面宽度缩小了多少？ (3)一艘宽、高的木船，载货后露出水面的部分为，当水面上升至离拱顶时，木船能否通过这座拱桥？ 题型十五 二次函数的应用——图形问题 例题：如图，篱笆总长为，现利用一面墙（）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长为，面积为． (1)求与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？求出最大面积． 巩固训练 1．已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 2．如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)与之间是 函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)求出与之间的函数关系式（写出自变量取值范围）； (3)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 3．植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． (1)按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②求矩形的面积的最大值． (2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 题型十六 二次函数的应用——销售问题 例题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元． (1)设每件涨价x元，每周卖出y件，求y与x的函数关系式． (2)若每周可获利w元，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？ 巩固训练 1．某水果店销售一种进价为每千克18元的葡萄，每天的销售量（单位：）与每千克售价（单位：元）的关系为． (1)设每天的销售利润为元，请写出关于的函数解析式； (2)该水果店想要使葡萄的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将售价定为多少？ 2．某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药品未来两年的销售进行预测，发现月销售量（吨）与（月）的函数关系式如下：． (1)根据图象求与的函数关系式； (2)预测月销量不低于15吨有______个月； (3)若该药品每吨的利润（万元）与（月）之间满足如下关系：预测药厂未来两年的月最大利润． 3．某水果店包装一个果篮需要甲、乙两种水果，已知甲种水果比乙种水果每千克便宜2元，用600元购进甲种水果和用800元购进乙种水果的质量一样多，包装一个果篮需要甲种水果4千克、乙种水果2千克，每个果篮还需包装费8元．设每个果篮的售价是元（是整数），该种果篮每月的销量（个）与售价（元）之间的关系式为． (1)求一个果篮的成本（成本=进价十包装费）． (2)若该水果店销售果篮每月的利润是元，求关于的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围），并求出最大利润． (3)若该水果店每销售一个果篮捐元（是整数）给希望工程，且当时，捐款后每月的利润随的增大而增大，求的最小值． 题型十七 二次函数的应用——面积问题 例题：如图，在平面直角坐标系中，已知点，点、在轴上，并且，动点在过、、三点的抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，求三角形的面积． 巩固训练 1．已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），顶点的坐标为． (1)的值为 (2)若为轴上方抛物线上一点，且，求点的坐标． (3)若为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图像于点，设点的横坐标为，当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 2．抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上点，使的面积是3，请求出点的坐标； (3)在（2）中x轴下方抛物线上点D，轴上有一点，连接，若，请求出点的坐标． 3．综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在轴上有一动点，连接，，若的周长最小，求点的坐标． (3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否将分成面积比为的两部分？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十六章 二次函数（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一、二次函数的定义 一般地，如果是常数，，那么叫做的二次函数. 要点诠释： 如果y=ax2+bx+c(a,b,c是常数，a≠0)，那么y叫做x的二次函数．这里，当a=0时就不是二次函数了，但b、c可分别为零，也可以同时都为零．a 的绝对值越大，抛物线的开口越小. 要点二、二次函数的图象与性质 1.二次函数由特殊到一般，可分为以下几种形式： 　　①；②；③；④， 　　其中；⑤.（以上式子a≠0） 　　几种特殊的二次函数的图象特征如下： 函数解析式 开口方向 对称轴 顶点坐标 当时 开口向上 当时 开口向下 (轴) (0，0) (轴) (0，) (，0) (，) () 2.抛物线的三要素： 　　开口方向、对称轴、顶点. 　　(1)的符号决定抛物线的开口方向：当时，开口向上；当时，开口向下；相等，抛物线的开口大小、形状相同. 　　(2)平行于轴(或重合)的直线记作.特别地，轴记作直线. 3.抛物线中，的作用： 　　(1)决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. 　　(2)和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线， 　 　　故：①时，对称轴为轴；②(即、同号)时，对称轴在轴左侧；③(即、异号)时，对称轴在轴右侧. 　　(3)的大小决定抛物线与轴交点的位置. 　 　　当时，，∴抛物线与轴有且只有一个交点(0，)： 　 　　①，抛物线经过原点； ②，与轴交于正半轴；③，与轴交于负半轴. 　　以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 . 4.用待定系数法求二次函数的解析式： 　　(1)一般式：（a≠0）.已知图象上三点或三对、的值，通常选择一般式. 　　(2)顶点式：（a≠0）.已知图象的顶点或对称轴，通常选择顶点式. 　　(可以看成的图象平移后所对应的函数.) 　　(3)“交点式”：已知图象与轴的交点坐标、，通常选用交点式： 　 　　（a≠0）.(由此得根与系数的关系：). 要点诠释： 求抛物线（a≠0）的对称轴和顶点坐标通常用三种方法：配方法、公式法、代入法，这三种方法都有各自的优缺点，应根据实际灵活选择和运用． 要点三、二次函数与一元二次方程的关系 　　函数，当时，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函数的图象与x轴交点的横坐标，因此二次函数图象与x轴的交点情况决定一元二次方程根的情况. 　　(1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 　　　 通过下面表格可以直观地观察到二次函数图象和一元二次方程的关系： 的图象 的解 方程有两个不等实数解 方程有两个相等实数解 方程没有实数解 要点诠释： 二次函数图象与x轴的交点的个数由的值来确定. 　 (1)当二次函数的图象与x轴有两个交点，这时，则方程有两个不相等实根； 　　(2)当二次函数的图象与x轴有且只有一个交点，这时，则方程有两个相等实根； 　　(3)当二次函数的图象与x轴没有交点，这时，则方程没有实根. 要点四、利用二次函数解决实际问题 利用二次函数解决实际问题，要建立数学模型，即把实际问题转化为二次函数问题，利用题中存在的公式、内含的规律等相等关系，建立函数关系式，再利用函数的图象及性质去研究问题.在研究实际问题时要注意自变量的取值范围应具有实际意义. 　　利用二次函数解决实际问题的一般步骤是： 　　(1)建立适当的平面直角坐标系； 　　(2)把实际问题中的一些数据与点的坐标联系起来； 　　(3)用待定系数法求出抛物线的关系式； 　　(4)利用二次函数的图象及其性质去分析问题、解决问题. 要点诠释： 常见的问题：求最大(小)值(如求最大利润、最大面积、最小周长等)、涵洞、桥梁、抛物体、抛物线的模型问题等.解决这些实际问题关键是找等量关系，把实际问题转化为函数问题，列出相关的函数关系式. 03 题型归纳 题型一　二次函数的认识 例题：下列函数中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的定义，利用二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义求解即可． 【详解】解：A、是一次函数，故A不符合题意； B、分母含有未知数，不是二次函数，故B不符合题意； C、，是二次函数，故C符合题意； D、，是一次函数，故D不符合题意； 故选：C． 巩固训练 1．在函数中，其二次项系数、一次项系数和常数项分别为（    ） A．，2， B．，，1 C．3，2， D．3，2，1 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的一般式，掌握二次函数中a，b，c分别是二次项系数、一次项系数和常数项是解题的关键． 【详解】解：函数的二次项系数、一次项系数和常数项分别为，2，， 故选：A． 2．若是关于x的二次函数，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的定义，形如的函数是二次函数．根据定义解答即可，熟记定义是解此题的关键． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴， 解得：， 故答案为：． 3．已知函数是二次函数，则m的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数定义．根据题意形如“”的形式叫做是的二次函数．继而得到，即得本题答案． 【详解】解：∵函数是二次函数， ∴，即， 故答案为：． 题型二　二次函数的图象与性质 例题：对于的图象，下列叙述正确的是（   ） A．开口向上 B．顶点坐标为 C．当时随增大而减小 D．函数的最小值是2 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在中，对称轴为，顶点坐标为．由抛物线解析式可求得其顶点坐标、对称轴、开口方向，进一步可求得其最值及增减性． 【详解】解：∵， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为，对称轴为，当时，函数有最大值2， ∴A、B 、D不正确， ∵对称轴为，且开口向下， ∴当时随的增大而减小，C正确， 故选：C． 巩固训练 1．若点，在抛物线的图象上，则、的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．分别计算自变量为、时的函数值，然后比较函数值的大小即可． 【详解】解：当时，； 当时，； ∵， ∴． 故选：． 2．二次函数的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质．二次函数的对称轴为直线． 根据二次函数顶点式的性质即可进行解答． 【详解】解：二次函数， 该函数的对称轴是直线， 故答案为：． 3．如果抛物线有最低点，那么的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，由于抛物线有最低点，这要求抛物线必须开口向上，由此可以确定a的范围． 【详解】解：∵抛物线有最低点， ∴， 解得． 故答案为：． 题型三　二次函数一般式化为顶点式 例题：把二次函数化成的形式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次函数的顶点式，掌握利用配方法将二次函数一般式转化为顶点式是解题的关键． 利用配方法加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，即可把一般式转化为顶点式． 【详解】． 故选：B． 巩固训练 1．二次函数化成的形式，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的顶点式，利用配方法即可求解，掌握配方法是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 2．将二次函数写成的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的三种形式，熟练掌握配方法是解题的关键． 利用配方法先提出二次项系数，在加上一次项系数的一半的平方来凑完全平方式，把一般式转化为顶点式． 【详解】解：． 故答案为：． 3．用配方法将二次函数化为的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，运用配方法把二次函数的一般形式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 题型四　一次函数、反比例函数、二次函数 例题：在同一平面直角坐标系中，函数和（m为常数，且）的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】主要考查了一次函数和二次函数的图象性质以及分析能力和读图能力，要掌握它们的性质才能灵活解题．关键是的正负的确定，对于二次函数，当时，开口向上；当时，开口向下．对称轴为，与轴的交点坐标为． 【详解】解：A．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，与图象不符，故A选项错误； B．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，称轴为，则对称轴应在轴左侧与图象不符，故B选项错误； C．由函数的图象可知，即函数开口方向朝下，故C选项错误； D．由函数的图象可知，即函数开口方向朝上，对称轴为，则对称轴应在轴左侧，与图象相符，故D选项正确． 故选：D． 巩固训练 1．已知二次函数 的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，根据二次函数图象确定出a、b、c的符号，再判断反比例函数与一次函数所在的位置即可． 【详解】解：根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，由与y轴交点在正半轴可得， ∴反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数经过第一、二、三象限， 符合条件的只有A选项， 故选：A． 2．如图，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，．则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数图象与方程的关系．方程的解就是两个函数交点的横坐标，据此即可求解． 【详解】解：∵方程的解就是一次函数（）与二次函数（）两个函数的图象交点的横坐标，一次函数（）与二次函数（）的图象分别交于点，． ∴的解为； 故答案为：． 3． 如图，已知抛物线（a，b均不为0）与双曲线的图象相交于，，三点．则不等式的解是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了反比例函数和二次函数的综合判断，将不等式 转化为不等式，再结合函数图像即可得出答案． 【详解】解：不等式 可以转化为不等式， 根据函数图像可知不等式的解集为：或， 故答案为：或． 题型五　二次函数的对称性 例题：抛物线上部分点的横坐标x、纵坐标y的对应值如表所示： x … 0 1 3 y … 6 2 0 2 … 从上表可知，时，y的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的对称性，先由时所对应的和，得出该抛物线的对称轴为，结合二次函数的对称性，则与关于直线对称轴对称，且时，y的值为，据此即可作答． 【详解】解：∵当时，所对应的和， ∴该抛物线的对称轴为， ∵与关于直线对称轴对称， ∴时，y的值为6， 故选：D． 巩固训练 1．在二次函数中，函数与自变量的部分对应值如下表 …… …… …… …… 其中的值（　　） A．21 B．12 C．5 D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的对称性求出对称轴是解题关键．由表格可知，二次函数对称轴为直线，进而得到与的值相同，即可求出的值． 【详解】解：由表格可知，二次函数对称轴为直线， 与是关于对称轴的对称点，值相同， ， 故选：C． 2．已知二次函数 图象上有两个不同点 ， ，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，根据解析式可得对称轴为y轴，再由P、Q两点的纵坐标相同可得 ， 关于对称轴对称，据此可得答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数对称轴为y轴， ∵二次函数 图象上有两个不同点 ， ， ∴ ， 关于对称轴对称， ∴， 故答案为：． 3．二次函数的部分图象如图所示，对称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的交点为，则方程的解为 ． 【答案】， 【分析】本题考查二次函数图象的对称性，二次函数与相关一元二次方程的关系．掌握二次函数图象关于其对称轴对称，二次函数图象与x轴交点的横坐标即为其相关一元二次方程的解是解题关键．根据二次函数图象的对称性可求出另一交点坐标为，即得出其相关一元二次方程的的解为，． 【详解】解：∵该二次函数对称轴为直线，与轴的一个交点为， ∴该二次函数与轴的另一个交点为， ∴方程的解为，． 故答案为：，． 题型六　二次函数的平移 例题：已知二次函数，如果将它的图象向左平移2个单位，那么所得图象的表达式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：二次函数，如果将它的图象向左平移2个单位，那么所得图象的表达式是， 故选：D． 巩固训练 1．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度所得抛物线对应的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查二次函数图象与几何变换，正解掌握平移规律是解题的关键． 直接利用二次函数的平移规律，左加右减，上加下减，进而得出答案． 【详解】解：将二次函数的图象向左平移2个单位长度，得到：， 再向上平移1个单位长度得到：． 故选：D． 2．将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减，上加下减”即可求解，掌握二次函数图象的平移规律是解题的关键． 【详解】解：将抛物线向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度后，得到的抛物线的解析式为， 故答案为：． 3．将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线，若抛物线经过坐标原点，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查的是二次函数图象平移的法则和根据二次函数关系式求参数．根据“左加右减”的法则，求出抛物线的解析式，然后将点代入进行解答即可． 【详解】解：， 将抛物线向左平移3个单位长度得到抛物线， 则的抛物线解析式为， ∵抛物线经过坐标原点， ∴， 解得：， 故答案是：1． 题型七　二次函数与不等式的关系 例题：二次函数与一次函数的图像如图所示，则满足的的取值范围为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与不等式，根据函数图像可得中x的取值范围就是二次函数图像在一次函数图像下方部分的x的取值范围即可． 【详解】解：若，则， 有图像可知，当或时，二次函数的图像在一次函数图像的下方，即， ∴当或时，， 则当或时，， 故选：B． 巩固训练 1．抛物线的部分图象如图所示，其与x轴时的一个交点为，对称轴为直线，将抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线，则当时，的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质，二次函数的平移，关键是得到抛物线与x轴的另一个交点． 首先根据二次函数的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点为，然后根据平移的性质得到抛物线与x轴的两个交点坐标为和，再根据抛物线的开口方向即可求得当时的x的取值范围． 【详解】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， ∵抛物线沿着x轴的正方向平移2个单位长度得到新的抛物线， ∴抛物线与x轴的两个交点坐标为和 ∴当时，x的取值范围是． 故选：C． 2．如图所示，二次函数的图象与x轴交于坐标原点和．      （1）不等式的解集为 ； （2）不等式的解集为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了利用二次函数图象解不等式，数形结合是解答本题的关键． （1）根据函数图象写出答案即可； （2）根据函数图象写出答案即可． 【详解】解：（1）不等式的解集为． 故答案为：； （2）不等式的解集为或． 故答案为：或． 3．如图，抛物线与x轴的正半轴交于点A，点在该抛物线上． （1）m的值为 ； （2）连接，P是直线上的动点，将点P向左平移5个单位长度得到点Q．若线段PQ与抛物线只有一个公共点，则点P的横坐标x的取值范围为 ． 【答案】 2 或 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，函数图象与轴的交点，数形结合思想是解题的关键． （1）把点代入求出即可； （2）根据（1）可得抛物线解析式，先求出点坐标，再用待定系数法求出直线的解析式，再根据是直线上的动点，将点向左平移5个单位长度得到点，然后作出和抛物线的位置关系的图象，结合图象分类讨论即可． 【详解】解：（1）把点代入得： ， 解得， 故答案为：2； （2）由（1）知，抛物线解析式为， 令，则， 解得，， ， 设直线的解析式为， 把，坐标代入解析式得： ， 解得， 直线的解析式为； 是直线上的动点，将点向左平移5个单位长度得到点， 当和抛物线的位置关系如图所示： ①由图象可知：当点在点的下方时，线段与抛物线无交点； ②当点在线段（包含不包含上时，线段与抛物线只有一个交点， 此时； ③当点与点重合时，线段与抛物线有两个交点； ④当线段经过抛物线的顶点时，线段与抛物线只有一个交点， ， 抛物线的顶点为， 当时，， 解得， 点的坐标为， ； ⑤当点在上方时，线段与抛物线无交点． 综上，线段与抛物线只有一个公共点，点的横坐标的取值范围为或． 故答案为：或． 题型八　二次函数图象与各项系数符号 例题：如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，且与x轴的一个交点在点和之间，则下列结论： ①；②；③；④对任意的实数m，都有，其中正确的结论个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，由图象可得，，结合顶点坐标得出抛物线的对称轴为直线，即，从而得出，即可判断①；由图象可得，当时，，即可判断②；由顶点坐标为，得出方程有两个相等的实数根，再结合根的判别式即可判断③；由二次函数的性质结合图象即可判断④；熟练掌握二次函数的性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得：抛物线开口向下，与轴交于正半轴， ∴，， ∵顶点坐标为， ∴ 抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故①错误； 由图象可得，当时，， ∵， ∴，故②正确； ∵顶点坐标为， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴，故③正确； 对任意的实数m，都有，即，故④正确； 综上所述，正确的有②③④，共个， 故选：C． 巩固训练 1．如图，这是二次函数图象的一部分，对称轴为直线，下列结论：①；②；③；④点在二次函数图象上，若，则．其中正确结论的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号．熟练掌握二次函数的图象与性质，根据二次函数的图象判断式子符号是解题的关键． 由图象开口向上，可得，由对称轴是直线，可得，则，可判断②的正误；当时，，则，可判断①的正误；当时，，由，可得，，则，可判断③的正误；若，由于两点与对称轴的位置关系不确定，则不一定成立，可判断④的正误． 【详解】解：由图象开口向上，可得， 又对称轴是直线， ∴，，故②错误； 当时，， ∴，故①正确； 当时，， 又∵， ∴ ， ∴， ∴， ∴，故③正确； 由题意，对称轴是直线， 当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大， 若，由于两点与对称轴的位置关系不确定， 不一定成立，故④错误． 故选：B． 2．如图所示是二次函数图象的一部分，图象过A点，二次函数图象对称轴为直线，给出五个结论：①；②；③方程的根为，；④当时，y随着x的增大而增大．其中正确结论有 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了二次函数图像与二次函数系数之间的关系， 根据抛物线的开口方向得，对称轴在y轴右侧，得，抛物线与y轴的正半轴相交，得，故①正确；当时，，故②错误；根据对称轴为，与x轴交于点可得与x轴的另一个交点，故③正确；由抛物线的对称性，得④正确． 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴右侧， ∴， ∵抛物线与y轴的正半轴相交， ∴， ∴，故①正确； 当时，，故②错误； ∵对称轴为，与x轴交于点， ∴与x轴的另一个交点，故③正确； 由图像得时，y随着x的增大而增大，故④正确； 故答案为：①③④． 3．抛物线（，、、为常数）的部分图象如图所示，对称轴是直线，且与轴的一个交点在点和之间．则下列结论： ①；②；③一元二次方程的两根为、，则；④对于任意实数，不等式恒成立．则上述说法正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】利用抛物线的对称性，结合图像即可判断①；根据对称轴为直线即可判断②；根据题意得出，，即可判断③；根据时，函数有最大值即可判断④． 【详解】解：①∵抛物线与轴的一个交点在点和之间，而抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线与轴的另一个交点在点和之间． ∴当时，， 即，故说法①正确； ②∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， 由①知：， ∴即，故说法②正确； ③∵一元二次方程的两根为、， ∴抛物线与直线的交点的横坐标为、， ∵经过点，，抛物线经过点且与轴的一个交点在点和之间， ∴，或，， ∴，故说法③正确； ④∵， ∴当时，函数有最大值， ∴对于任意实数，， ∴，故说法④错误； ∴上述说法正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，二次函数图像与系数的关系：决定抛物线的开口方向和大小；和共同决定对称轴的位置；决定抛物线与轴交点位置；抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点，反过来也成立．掌握二次函数的图像与性质是解题的关键． 题型九 二次函数与坐标轴的交点 例题：抛物线与x轴交于A，B两点，若点A的坐标为，则点B的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查抛物线与x轴的交点问题，求抛物线与x轴的交点只需令解方程即可． 将点A的坐标为代入得：，然后代入解析式，求出时x的值即可得． 【详解】解：将点A的坐标为代入得： ∴， 令，则有：，即 解得，，， ∴点B的坐标是， 故选：D． 巩固训练 1．抛物线与轴交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，求出当时的的值即可得解． 【详解】解：在中，当时，， ∴抛物线与轴交点的坐标是， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的图像与坐标轴的交点问题，根据轴上点代入求解即可得到答案； 【详解】解：当时， ， ∴， 故答案为：． 3．已知抛物线与轴交于、两点点在点的左侧，与轴交于点． (1)求点、、的坐标； (2)求此抛物线的顶点坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查二次函数与坐标轴的交点和配方求顶点，掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法是解题的关键． （1）当时，解方程即可得到、的坐标，将代入即可得到点的坐标； （2）把二次函数的解析式配方成顶点式，然后写出顶点坐标． 【详解】（1）解：当时，， ，， ，， 将代入得：， ； （2）解： ， 顶点坐标是：． 题型十 二次函数的增减性最值 例题：已知函数，当时，有最大值5，最小值1，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的对称性和增减性，以及求二次函数的最值的方法． 先将该函数的表达式化为顶点式，得出当时，有最小值1，再把代入，求出的值，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴当时，有最小值1， 把代入得：， 解得：， ∵当时，有最大值5，最小值1， ， 故选：C． 巩固训练 1．当时，函数的最小值为，则满足的条件为（   ） A．或或 B．或2或 C．或或 D．或2或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值．数形结合是解题的关键． 当时，；当时，，作二次函数图象；结合图象求解作答即可． 【详解】解：由题意知，当时，； 图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，；当时，； 当时，， 图象开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为， 当时，；当时，； 二次函数图象如下； 由图象可知，当时，，函数的最小值为； 当时，，函数的最小值为； 当时，在中，此时函数的最小值为； 综上所述，满足的条件为或2或， 故选：B． 2．已知二次函数，当，且时，的最小值为，最大值为，则 ． 【答案】0 【分析】本题考查二次函数的图像与性质，最值，一定要考虑二次函数的顶点坐标是否在自变量的取值范围内，数形结合是解题的关键． 结合二次函数图象的开口方向、对称轴以及增减性进行分类讨论解答即可． 【详解】解：二次函数的对称轴为直线，开口向上，大致图象如下： 且， ， 分两种情况讨论： 第种情况：当时，此时， ∴当时，y随x增大而减小， 当时，y取最小值，即， 当时，最大值为，， 解得：或（舍） ∴， 当时，此时， 根据图象可得：当时，函数取得最小值，解得（舍） 故答案为：0． 3．对某一个函数给出如下定义：如果存在实数，对于任意的函数值，都满足，那么称这个函数是有上界函数．在所有满足条件的中，其最小值称为这个函数的上确界．例如，图中的函数是有上界函数，其上确界是． (1)函数和中是有上界函数的为______（只填序号即可），其上确界为______； (2)如果函数（，）的上确界是，且这个函数的最小值不超过，求的取值范围； (3)如果函数是以为上确界的有上界函数，求实数的值． 【答案】(1)； (2) (3)的值为0或 【分析】（1）分别求出两个函数的最大值即可求解； （2）由题意可知：，再由，，，即可求的取值范围； （3）分当时，则，当时，则，当时，则，三种情况，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：①， ①无上确界； ②， ， ②有上确界，且上确界为1； （2）解：，随值的增大而减小， 当时，， 上确界是， ， 函数的最小值不超过， ， ， ， ， ， 的取值范围为：； （3）解：的对称轴为直线，开口向上， 当时，则， 的最大值为， ，为上确界， ， 解得：或（舍去）； 当时，则， 的最大值为， ，为上确界， ， 解得：或（舍去）； 当时，则， 同理，或， 解得：（舍去）或（舍去）或（舍去）或（舍去）； 综上所述：的值为0或． 【点睛】本题是二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象及性质，二次函数与一元二次方程，根据所给范围分类讨论求二次函数的最大值是解题的关键． 题型十一 画二次函数的图象 例题：已知二次函数． (1)在平面直角坐标系中，利用五点法画出该函数图象（列表） … … … …    利用函数图象回答下列问题： (2)当______时，随的增大而增大； (3)当满足______时，； (4)当时，函数的取值范围为______； (5)若有两个不相等的实数根，的取值范围为______． 【答案】(1)画图见解析； (2)； (3)； (4)； (5)． 【分析】（）根据画函数图象的步骤即可； （）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）根据函数图象即可求解； 本题考查了二次函数的图象与性质，画二次函数图象，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）列表： 描点： 连线： 如图：    （2）根据图象可知：当时，随的增大而增大， 故答案为：； （3）根据图象可知：当满足时，， 故答案为：； （4）当时，根据图象可知当时，有最小值， ∴函数的取值范围为， 故答案为：； （5）如图，    由有两个不相等的实数根， 即由图象与有两个不同交点， ∴， 故答案为：． 巩固训练 1．已知二次函数． (1)选取适当的数据填入下表，并在平面直角坐标系内画出该二次函数的图象； x … … y … … (2)根据图象回答下列问题： ①当时，x的取值范围是____________； ②当时，y的取值范围是____________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】此题考查了二次函数的图象及其性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象及其性质的应用； （1）根据五点作图法，先填表，再描点，最后用光滑的曲线画图即可； （2）①根据图象可知，当时，应取x轴下方的图象对应的x的范围即可； ②根据x的范围，求出y的最大值和最小值，再根据图象求解即可． 【详解】（1）解：列表如下： x … 0 1 … y … 0 0 … 画图象如下： （2）①根据图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：； ②当时，， 当时，， 根据图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：． 2．已知如二次函数． (1)在如图所示的坐标系中，用描点法直接画出该二次函数的图象．（注：省略作图步骤）． (2)该函数图象的开口向______，顶点坐标为______，对称轴为直线______，函数图象与轴的交点坐标为______，与y轴的交点坐标为______． (3)由图可知，当时，二次函数的最小值是______，最大值是______． 【答案】(1)见解析 (2)下，，，或， (3)0，4． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握的对称轴为，顶点坐标为；时，函数开口向上， 时，函数开口向下． （1）先列表，再描点，最后用光滑的曲线连接即可； （2）根据顶点式的性质，即可解答； （3）根据函数图象，即可解答． 【详解】（1）解：根据题意列出表格如下： …… 0 1 2 …… …… 0 3 4 3 0 …… 画出图象如下： （2）解：∵， ∴该函数图象的开口向下，顶点坐标为，对称轴为直线，函数图象与轴的交点坐标为或，与y轴的交点坐标为． 故答案为：下，，，或，； （3）解：由图象可知，当时，二次函数的最小值是0，最大值是4， 故答案为：0，4． 3．某班“数学兴趣小组”对函数的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整． (1)自变量的取值范围是全体实数，与的几组对应值列表如表：其中，________； … … … … (2)根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分； (3)观察函数图象，写出两条函数的性质； (4)进一步探究函数图象发现： ①函数图象与轴有________个交点，所以对应的方程有 个实数根； ②方程有________个实数根： ③关于的方程有4个实数根时，的取值范围是________． 【答案】(1)0； (2)见解析； (3)①函数的图象关于轴对称；②当时，随的增大而增大； (4)①3，3；②2；③． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键． （1）把代入函数解析式即可得的值； （2）描点、连线即可得到函数的图象； （3）根据函数图象得到函数的图象关于轴对称；当时，随的增大而增大； （4）①根据函数图象与轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据的图象与直线的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到的取值范围是． 【详解】（1）解：把代入得， 即， 故答案为：0； （2）解：描点、连线，补全图形如图所示； （3）解：由函数图象知：①函数的图象关于轴对称； ②当时，随的增大而增大； （4）解：①由函数图象知：函数图象与轴有3个交点，所以对应的方程有3个不相等的实数根； ②如图，的图象与直线有两个交点， 有2个不相等的实数根； ③由函数图象知：关于的方程有4个不相等的实数根， 的取值范围是， 故答案为：3，3，2，． 题型十二 待定系数法求二次函数解析式 例题：已知抛物线 (1)该抛物线的顶点坐标是______ (2)若该抛物线经过点，求抛物线的解析式． (3)若抛物线在时，有最大值5，求a的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握运用二次函数的性质是解答本题的关键． （1）根据顶点式解析式可确定抛物线的顶点坐标； （2）将代入求出的值即可； （3）分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴该抛物线的顶点坐标为， 故答案为：； （2）解：将代入得： ， 解得，， ∴抛物线的解析式为：； （3）解：当时，抛物线开口向上， ∴当时，有最大值， ∴， 解得，； 当时，抛物线开口向下， 当时，有最大值， ∴， 解得，（舍去）， 综上所述，． 巩固训练 1．如图，直线交轴于点，交轴于点，抛物线的顶点为．且经过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)当取何值时，抛物线有最大值，并求出这个最大值； (3)根据图象直接写出不等式的解集． 【答案】(1) (2)时，抛物线有最大值0 (3) 或 【分析】本题考查了求二次函数解析，根据图象的交点坐标求不等式的解集，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的性质，是解题的关键． （1）先利用一次函数解析式确定A、B点的坐标，然后设顶点式，利用待定系数法求抛物线解析式； （2）根据抛物线的顶点坐标，得出时，抛物线有最大值0； （3）观察函数图象，写出一次函数图象在二次函数图象上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）解：当 时，， 解得，则， 当时，， 则， 设抛物线解析式为 ， 把代入得 ， 解得：， ∴抛物线解析式为 ． （2）解：∵抛物线的顶点坐标为，， ∴当时，抛物线有最大值0； （3）解：根据函数图象可知： 或时，一次函数图象在二次函数图象上方， ∴不等式的解集是 或． 2．二次函数的图象经过点，，且最低点的纵坐标为． (1)求，和的值； (2)若直线经过点，求的值； (3)记（1）中的二次函数图象在点，之间的部分图象为（包含，，两点），若直线与有公共点，请结合图象探索实数的取值范围． 【答案】(1)，，； (2)； (3)当或时，直线与有公共点． 【分析】考查待定系数法求二次函数解析式，一次函数图象与系数的关系，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键． （1）根据和的纵坐标相同，则一定是对称点，则可以求得对称轴，则抛物线的顶点坐标即可求得，然后利用待定系数法求得抛物线的解析式即可求出，和的值； （2）先求出点，进而代入一次函数即可得解； （3）当直线与有公共点时，可以分别计算直线经过点和时的的值，根据图象可得结论． 【详解】（1）解：∵ 抛物线过点，， ∴抛物线的对称轴． ∵抛物线最低点的纵坐标为， ∴抛物线的顶点是． ∴抛物线的表达式是，即． ∴，， 把代入抛物线表达式， 求得； （2）解：由（）得， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得； （3）解：如图， 当经过点时，得，， 当经过点时，−，， 综上所述，当或时，直线与有公共点． 3．己知二次函数（a，b，c均为常数且）． (1)若该函数图象过点，点和点，求二次函数表达式： (2)若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，求出定点的坐标． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了二次函数．解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，无关型问题． （1）根据二次函数图象过点和点，设二次函数在解析式为，把代入求解即可； （2）将二次函数转化为，根据定点与a的值无关，得到，，求出x值，代入解析式，求出对应的y值，即可得到点的坐标． 【详解】（1）∵二次函数图象过点和点， ∴设二次函数在解析式为， 把代入， 得， ∴， ∴ （2）若，， 则， ∴当时，，当时，， ∴若，，且无论a取任何实数，该函数的图象恒过定点，， 题型十三 二次函数的应用——喷水问题 例题：如图，要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端点安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心距离为，求水管的长度是多少． 【答案】 【分析】设抛物线的解析式为，把点代入解析式，求抛物线与y轴的交点坐标，纵坐标的绝对值就是的长度． 本题考查了抛物线的应用之喷泉问题，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】解：设抛物线的解析式为，把点代入解析式， 得， 解得， 故抛物线解析式为 当时，. ∴水管的长度为． 巩固训练 1．为有效地应对高楼火灾，某消防中队进行消防技能比赛．如图，在一个废弃高楼距地面的点和的点处，各设置了一个火源，消防员来到火源正前方，水枪喷出的水流看作抛物线的一部分．第一次灭火时站在水平地面的点处，水流从点射出恰好到达点处，且水流的最大高度为，水流的最高点到高楼的水平距离为，建立如图所示的平面直角坐标系，水流的高度与出水点到高楼的水平距离之间满足二次函数关系． (1)求出消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式； (2)待处火熄灭后，消防员前进到点（水流从点射出）处进行第二次灭火，若两次灭火时水流所在抛物线的形状完全相同，判断水流是否到达点处，并说明理由； (3)若消防员从点前进米到点（水流从点射出）处，水流未达到最高点且恰好到达点处，直接写出的值， ．（水流所在抛物线形状与第一次完全相同） 【答案】(1)； (2)能达点处，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据函数项点坐标且过，可设抛物线解析式为，再用待定系数法解答即可求解； （）利用平移求出消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式，再令，求出的值即可判断求解； （）利用平移求出消防员到点处时水流所在抛物线的解析式，再结合水流未达到最高点且恰好到达点，即可求解； 本题考查了二次函数的应用，二次函数的平移，待定系数法求解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意可得消防员第一次灭火时水流所在抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线解析式为，将点代入得， ， 解得， ∴消防员第一次灭火时水流所在抛物线的解析式为； （2）解：能达点处，理由如下： 由题意知，消防员第二次灭火时水流所在抛物线是第一次抛物线向左平移个单位得到 ， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线的解析式， 令，可得， ∴消防员第二次灭火时水流所在抛物线经过， ∴水流能到达点处； （3）解：由题意得，消防员从点前进到点(水流从点射出)处，可以看成把第一次抛物线向左平移个单位得到， ∴消防员到点处时水流所在抛物线的解析式为， ∵水流未达到最高点且恰好到达点处， ∴过点，且对称轴， ∴， 将点代入得，， 解得或（不合，舍去）， ∴， 故答案为：． 2．上饶市经开区市民广场音乐喷泉灯光秀（图1）在暑期晚间开放，喷泉加上灯光的陪衬，变幻莫测，吸引了众多游客前来观赏，音乐喷泉可以使喷水造型随音乐的节奏起伏变化而变化，若把音乐喷泉形状看做抛物线，设其出水口为原点，出水口离岸边，音乐变化时，抛物线的顶点在直线上变动，从而产生一组不同的抛物线（图2），这组抛物线的统一形式为． (1)若，且喷出的抛物线水线最大高度达，求此时、的值； (2)若=1，喷出的水恰好达到岸边，则此时喷出的抛物线水线最大高度是多少米？ (3)若，且要求喷出的抛物线水线不能到岸边，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)9米 (3) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，根据题目给出的信息列出相应的关系式，找出所求问题需要的条件． （1）根据抛物线的顶点在直线上，抛物线为，且喷出的抛物线水线最大高度达，可以求得a，b的值； （2）根据，喷出的水恰好达到岸边，抛物线的顶点在直线上，可以求得抛物线的对称轴x的值，从而可以得到此时喷出的抛物线水线最大高度； （3）抛物线的顶点在直线上可得b的值，根据喷出的抛物线水线不能到岸边，而出水口离岸边可知其对称轴，可得a的范围． 【详解】（1）解：的顶点为，抛物线的顶点在直线上，，抛物线水线最大高度达， ∴，， 解得，，， 即，且喷出的抛物线水线最大高度达，此时a、b的值分别是，2； （2）解：，喷出的水恰好达到岸边，出水口离岸边，抛物线的顶点在直线上， ∴此时抛物线的对称轴为直线， 当时，， 即此时喷出的抛物线水线最大高度是9米； （3）解：的顶点为，抛物线的顶点在直线上， ∴， 解得：， ∵喷出的抛物线水线不能到岸边，出水口离岸边， ，即：， 解得：． 3．如图①，有一移动灌溉装置喷出水柱的路径可近似的看作一条抛物线，该灌溉装置的喷水头到水平地面的距离为1米，喷出的抛物线形水柱对称轴为直线．用该灌溉装管灌溉一坡地草坪，其水柱的高度y（单位：米）与水柱落地处距离喷水头的距离x（单位：米）之间的函数关系式为，其图像如图②所示．已知坡地所在直线经过点． (1)的值为___________； (2)若，求水柱与坡面之间的最大铅直高度； 【答案】(1)1 (2)米 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用 （1）把点代入即可； （2）先求出抛物线与直线的解析式，再设抛物线上一点，过点作轴交于点，则，求出的长度，再用函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：把点代入得，， 故答案为：1； （2）解：设抛物线的解析式为， 将点代入，得， 抛物线的解析式为， 即， 坡地经过点， 的解析式为， 如解图， 设抛物线上一点，过点作轴交于点， 则，的长为， ， 函数图象开口向下，有最大值，最大值为， 水柱与坡面之间的最大铅直高度为米． 题型十四 二次函数的应用——拱桥问题 例题：如图为某新建住宅小区修建的一个横断面为抛物线的拱形大门，点为顶点，其高为米，宽为米．以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． (1)求出该抛物线的函数表达式； (2)拱形大门下的道路设双向行车道供车辆出入（正中间是宽米的值班室），其中的一条行车道能否行驶宽米、高米的消防车辆？请通过计算说明． 【答案】(1)； (2)不能，理由见解析； 【分析】本题考查了二次函数的性质在实际生活中的应用． （1）根据所建坐标系知顶点和与轴交点的坐标，可设解析式为顶点式形式求解，x的取值范围是； （2）根据对称性当车宽米时，或，求此时对应的纵坐标的值，与车高米进行比较得出结论． 【详解】（1）解：∵，． ∴设这条抛物线的函数解析式为， ∵抛物线过， ∴，解得， ∴这条抛物线的函数解析式为， 即. （2）当时，， 故不能行驶宽2.5米、高米的消防车辆． 巩固训练 1．如图，龙丽公路某隧道横截面为抛物线，其最大高度为9米，底部宽度为18米．现以点为原点，所在直线为轴建立直角坐标系． (1)直接写出点及抛物线顶点的坐标； (2)求这条抛物线的解析式； (3)若要搭建一个矩形“支撑架”，使、点在抛物线上，、点在地面上，则这个“支撑架”总长的最大值是多少？ 【答案】(1)点的坐标为，抛物线顶点的坐标为； (2)； (3)22.5米． 【分析】此题考查了二次函数的实际应用． （1）根据最大高度为9米，底部宽度为18米，即可得到答案； （2）设出顶点式把点O的坐标代入即可求出答案； （3）设，则，得到，根据二次函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解∵最大高度为9米，底部宽度为18米． ∴点的坐标为，抛物线顶点的坐标为； （2）设抛物线解析式为：， ∵抛物线经过点， ∴，即， ∴抛物线解析式为：，即； （3）设，则， 则“支撑架”总长为 ， ∵此二次函数的图象开口向下， ∴当米时，有最大值为22.5米． 2．北中环桥是省城太原的一座跨汾河大桥（如图），它由五个高度不同，跨径也不同的抛物线型钢拱通过吊桥，拉锁与主梁相连而建成．图所示是其中一座较小的抛物线形钢拱，已知该抛物线对应的函数关系式为．    (1)求该钢拱的跨度的长度； (2)为了保护钢拱的安全，在该钢拱平行于桥面处的，两点装有两盏警示灯，现已知这两盏警示灯的水平距离为米，求这两盏灯距桥面的高度是多少米？ 【答案】(1)米； (2)米． 【分析】（）当时，求出坐标即可求出的长度； （）由题意得：关于轴对称，由米，则的横坐标为，然后代入即可求解； 本题考查了二次函数的应用和两点间的距离，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，即， 解得：，， ∴，， ∴， ∴该钢拱的跨度的长度为米； （2）解：由题意得：关于轴对称， ∵米， ∴的横坐标为， ∴当时，即， ∴这两盏灯距桥面的高度是米． 3．某河上有一座抛物线形拱桥，A、B为抛物线与水面的交点，现水面离拱顶，水面宽． (1)以拱顶O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，求此抛物线的函数解析式； (2)受台风降雨影响，预计水面上升至离拱顶处，问：水面宽度缩小了多少？ (3)一艘宽、高的木船，载货后露出水面的部分为，当水面上升至离拱顶时，木船能否通过这座拱桥？ 【答案】(1) (2)3.2米 (3)不能 【分析】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是： （1）先求出A的坐标，然后设抛物线解析式为，代入求解即可； （2）把代入，求出x的值，可求此时水面宽度，即可求解； （3）把代入函数解析式求出y，然后比较即可得出结论． 【详解】（1）解：设抛物线解析式为， 根据题意，得， 代入，得， ∴， ∴抛物线的函数解析式； （2）解：当时，， 解得，， ∴此时水面宽度为米， ∴水面宽度缩小了米； （3）解：当时，， 则， ∴水面上升至离拱顶时，木船不能通过这座拱桥． 题型十五 二次函数的应用——图形问题 例题：如图，篱笆总长为，现利用一面墙（）围成中间隔有一道篱笆的矩形花圃，设花圃的一边长为，面积为． (1)求与的函数关系式及自变量的取值范围； (2)当的长是多少米时，围成的花圃面积最大？求出最大面积． 【答案】(1) (2)当时，围成的花圃面积最大，最大面积为 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像与性质是解题关键． （1）根据题意，花圃的宽为，则花圃的长为，结合矩形面积公式即可获得与的函数关系式；根据题意，墙的最大可用长度为，即可求得值的取值范围； （2）由函数解析式，可知该函数图像开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，然后结合值的取值范围，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，花圃的宽为，则花圃的长为， 可得， ∵， ∴， ∴与的函数关系式为； （2）∵， ∵ ∴该函数图像开口向下，对称轴为， ∴当时，随的增大而减小， 又∵， ∴当时，即时，围成的花圃面积最大， 最大面积为． 巩固训练 1．已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． (1)求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： (2)当直道为________米时，足球场的面积最大． 【答案】(1)；定义域为 (2)当直道为100米时，足球场的面积最大 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可得足球场的宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解； （2）根据（1）中的函数关系式可进行求解． 【详解】（1）解：由题意得： ； ∵， ∴； ∴S关于的函数关系式为；定义域为； （2）解：由（1）可知： ， ∵， ∴当直道为100米时，足球场的面积最大． 2．如图，为了改善小区环境，某小区决定在一块一边靠墙（墙长）的空地上修建一个矩形小花园，小花园一边靠墙，另三边用总长的栅栏围住，如图所示．若设矩形小花园边的长为，面积为． (1)与之间是 函数关系（填“一次”或“二次”）； (2)求出与之间的函数关系式（写出自变量取值范围）； (3)当为何值时，小花园的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)二次 (2) (3)当时，小花园的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用．关键是根据题意列出二次函数解析式，并根据函数的性质求最值． （1）根据矩形的面积公式即可进行列式写出函数解析，即可得； （2）由（1）可得解析式，再利用墙长得到自变量取值范围； （3）根据函数的增减性求最值即可． 【详解】（1）解：矩形小花园边的长为，则边的长为， ， 与之间是二次函数关系， 故答案为：二次； （2）解：由（1）知，， ， ， 与之间的函数关系式为； （3）解：由（1）知，， ，， 当时，有最大值，最大值为， 答：当时，小花园的面积最大，最大面积是． 3．植物园有一块足够大的空地，其中有一堵长为的墙，现准备用的篱笆围成矩形花圃，小俊设计了甲、乙两种方案(如图所示)：方案甲中的长不超过墙长；方案乙中的长大于墙长． (1)按图甲的方案，设的长为，矩形的面积为． ①求与之间的函数关系式； ②求矩形的面积的最大值． (2)甲、乙哪种方案能使围成的矩形花圃的面积最大？最大是多少？请说明理由． 【答案】(1)①；②矩形的面积最大为 (2)乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，面积最大是，见解析 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的应用是解题的关键； （1）①根据题意可直接进行求解；②由①根据二次函数的性质可进行求解； （2）分别计算甲、乙两种方案的面积，进而问题可求解． 【详解】（1）解：①∵的长为， 的长为， ； ②∵甲中的长不超过墙长， ， 由可知： ， 时，随的增大而增大， 当时，矩形的面积最大，最大为； （2）解：乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，理由如下： 乙方案中，设的长为，矩形的面积为， 则， 方案乙中的长大于墙长， ， ， ， ， 当时，矩形的面积最大，最大为， ， 乙方案能使围成的矩形花圃的面积最大，最大是． 题型十六 二次函数的应用——销售问题 例题：某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件，已知商品的进价为每件40元． (1)设每件涨价x元，每周卖出y件，求y与x的函数关系式． (2)若每周可获利w元，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)； (2)每件定价为65元时利润最大，最大利润为6250元． 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，最值问题一般的解决方法是转化为函数问题，根据函数的性质求解． （1）每件涨价元，所售件数是件，即可得到结论； （2）每件的利润是元，根据利润每件的利润所售的件数，即可列出函数解析式；再根据函数的性质即可求得如何定价才能使利润最大． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：根据题意得： ； ∵， ∴当时，有最大值，最大值为：6250． 此时售价为：元． 答：每件定价为65元时利润最大，最大利润为6250元． 巩固训练 1．某水果店销售一种进价为每千克18元的葡萄，每天的销售量（单位：）与每千克售价（单位：元）的关系为． (1)设每天的销售利润为元，请写出关于的函数解析式； (2)该水果店想要使葡萄的销售利润平均每天达到480元，且尽可能地减少库存压力，应将售价定为多少？ 【答案】(1) (2)24元 【分析】此题考查了二次函数和一元二次方程的实际应用． （1）根据销售利润等于销售量乘以每千克的利润即可得到函数解析式； （2）根据函数解析式得到方程，解方程并取较小值即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， ， （2）由题意可得，， 解得，， ∴为尽可能地减少库存压力，应将售价定为元． 2．某药厂销售部门根据市场调研结果，对该厂生产的一种新型药品未来两年的销售进行预测，发现月销售量（吨）与（月）的函数关系式如下：． (1)根据图象求与的函数关系式； (2)预测月销量不低于15吨有______个月； (3)若该药品每吨的利润（万元）与（月）之间满足如下关系：预测药厂未来两年的月最大利润． 【答案】(1) (2)12 (3)在21个月的时候，月利润最大，为529万元． 【分析】本题主要考查二次函数的应用，掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出分段函数的解析式是解题的前提，利用二次函数的性质求得所对应的的取值是解题的关键． （1）设时，，将、代入求解可得； （2）将将分别代入，进行求解即可； 分、和三种情况，根据月毛利润月销量每吨的毛利润可得函数解析式，当时，的值始终是240当时，，当时，当时，当时，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】（1）解：当时，， 将代入，得： ，得：， ； 当时，， 将、代入，得： ，得：， ； ； （2）将代入得：，解得：， 将代入得：，解得：， 预测月销量不低于15吨有（个月）， 故答案为：12； （3）设月利润为万元， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，的值始终是240， 当时，， 时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为448， 当时，， 当时，取得最大值529， 综上，在21个月的时候，毛利润最大，为529万元． 3．某水果店包装一个果篮需要甲、乙两种水果，已知甲种水果比乙种水果每千克便宜2元，用600元购进甲种水果和用800元购进乙种水果的质量一样多，包装一个果篮需要甲种水果4千克、乙种水果2千克，每个果篮还需包装费8元．设每个果篮的售价是元（是整数），该种果篮每月的销量（个）与售价（元）之间的关系式为． (1)求一个果篮的成本（成本=进价十包装费）． (2)若该水果店销售果篮每月的利润是元，求关于的函数表达式（不需要写出自变量的取值范围），并求出最大利润． (3)若该水果店每销售一个果篮捐元（是整数）给希望工程，且当时，捐款后每月的利润随的增大而增大，求的最小值． 【答案】(1)48元 (2)，12960元 (3)8 【分析】此题考查了分式方程的应用，二次函数的应用． （1）设甲种水果的单价为元，则乙种水果的单价为元，根据用600元购进甲种水果和用800元购进乙种水果的质量一样多列分式方程解答； （2）根据利润每盒果篮的利润销量得到函数解析式； （3）当时，捐款后每月的利润随的增大而增大，此据列关于m的不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲种水果的单价为元，则乙种水果的单价为元， 由题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， ∴， ∴一个果篮的成本为（元）， （2）解：由题意，得， ∵，抛物线的顶点坐标为， ∴当时，函数有最大值，， ∴每月的最大利润为12960元； （3）解：由题意可知，每月的利润， ∴其图像的对称轴为直线， ∵，且当时，每月的利润随的增大而增大， ∴，解得， ∴整数的最小值为8． 题型十七 二次函数的应用——面积问题 例题：如图，在平面直角坐标系中，已知点，点、在轴上，并且，动点在过、、三点的抛物线上． (1)求抛物线的函数表达式； (2)连接，求三角形的面积． 【答案】(1) (2)10 【分析】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图形上点的坐标特征、二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质是解题的关键． （1）先确定，再设交点式，然后把点坐标代入求出即可； （2）根据三角形面积公式得到，即可解决问题； 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ， 设抛物线解析式为， 把代入得，解得， ∴抛物线解析式为， 即． （2）解：∵，， ． 巩固训练 1．已知抛物线与轴交于，两点（点在点的左边），顶点的坐标为． (1)的值为 (2)若为轴上方抛物线上一点，且，求点的坐标． (3)若为抛物线上一动点，作轴，交一次函数的图像于点，设点的横坐标为，当时，的长随的增大而增大，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2)或 (3)或 【分析】本题考查了二次函数综合，熟知二次函数的性质，对题目进行分类讨论是解题的关键． （1）把代入，即可求得的值； （2）设点的横坐标为，当时，点的纵坐标为4，把代入抛物线解析式即可解答； （3）分类讨论，即分为，和，三种情况即可． 【详解】（1）解：把把代入， 可得， 解得， 故答案为：； （2）解：设点的横坐标为，当时，点的纵坐标为4， 则，解得， ∴点的坐标为或； （3）解：如图1，若，则当时，抛物线在一次函数的图像的上方， 则， ∵当时，的长随的增大而增大， ∴，解得； 如图2，若，则当时，的长不满足随的增大而增大； 如图3，若，则当时，抛物线在一次函数的图像的下方， 则， ∵当时，的长随的增大而增大， ∴，解得， 综上所述，的取值范围是或． 2．抛物线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求抛物线的表达式； (2)在抛物线上点，使的面积是3，请求出点的坐标； (3)在（2）中x轴下方抛物线上点D，轴上有一点，连接，若，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出直线的解析式为，过点D作，交直线于点H， 设，则，根据，列出方程得出方程的解即可； （3）根据题意得点D的坐标为，分为点E在上方和下方，两种情况讨论，当点E在上方时，过点D作交直线与点Q，过点Q作y轴的平行线，过点E点D作x轴的平行线，交过点Q作y轴的平行线于点M，N，易证，设，则，，求出，证明，得到，即可求出x的值，同理，当点E在下方时，求出x的值即可． 【详解】（1）解：抛物线与轴相交于点，与轴相交于点， ， ， 解得：， 抛物线的表达式为：； （2）解：设直线的解析式为， ， 解得：， 直线的解析式为， 过点D作轴，交直线于点H， 如图，当点D在y轴左侧时， 设，则， ， ， ， ，即， 解得：或（舍）， 点的坐标为； 如图，当点D在y轴右侧时， 同理得：，即， 解得：（舍）或， 点的坐标为； 综上，点D的坐标为或； （3）解：根据题意得点D的坐标为， 当点E在上方时， 过点D作交直线与点Q，过点Q作y轴的平行线，交x轴于点H，过点E点D作x轴的平行线，交过点Q作y轴的平行线于点M，N， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， 设，则，， ， ， ， ，即， 解得：， ， 此时，； 当点E在下方时， 同理可得：， ， 综上，点E的坐标为或． 【点睛】本题考查二次函数的综合，主要利用了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，一次函数解析式）；抛物线上点的存在性问题，设点D的坐标并根据图形的面积列出方程，并根据方程解的情况确定点D的情况；利用三角形相似，确定出点的位置是解题的关键． 3．综合与探究 如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点，抛物线的顶点为． (1)求抛物线的函数解析式． (2)在轴上有一动点，连接，，若的周长最小，求点的坐标． (3)是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点作轴于点，交直线于点，连接，直线能否将分成面积比为的两部分？若能，求出点的坐标；若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)能， 【分析】本题考查了二次函数综合问题，面积问题，线段最值问题，待定系数法求解析式． （1）待定系数法求解析式即可求解； （2）作关于轴的对称点，连接交轴于点，则的周长最小，进而得出直线的解析式为，求得点的坐标； （3）先求得直线的解析式为，设，分别求得的长，根据题意可得或，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点，，代入得 ， 解得：， ∴抛物线解析式为：； （2）解：作关于轴的对称点， 则， ∴，的周长为， 当在上时的周长最小， 连接交轴于点， ∵， ∴， 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴； （3）解：能，的坐标为：，理由如下： 设直线的解析式为，代入，， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 设， ∵轴于点，交直线于点， ∴，，， ∴， ∵直线将分成面积比为的两部分， ∴或， ∴①或②， 解方程①得（舍去）或（舍去），解方程②得或（舍去）， 当时，， ∴的坐标为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$