第二十七章 圆（题型清单）（二十二类题型清单）-2024-2025学年九年级数学下册单元速记·巧练（华东师大版）

第二十七章 圆（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1.圆的定义 （1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.圆的性质 （1）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 　 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. （2）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. （3）垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3.两圆的性质 （1）两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. （2）相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4.与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. （2）圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点二、与圆有关的位置关系 1.判定一个点P是否在⊙O上 设⊙O的半径为，OP=，则有 点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 2.判定几个点在同一个圆上的方法 当时，在⊙O 上. 3.直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. （1）直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. （2）直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. （3）直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4．切线的判定、性质 （1）切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. （2）切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. （3）切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. （4）切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1.三角形的内心、外心、重心、垂心 （1）三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. （2）三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. （3）三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. （4）垂心：是三角形三边高线的交点. 要点诠释： （1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； （2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). （3） 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 2.圆内接四边形和外切四边形 （1）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. （2）各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 要点四、圆中有关计算 1.圆中有关计算 　 圆的面积公式：，周长. 　 圆心角为、半径为R的弧长. 　 圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 　 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 　 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为. 　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为r，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 03 题型归纳 题型一　圆的基本概念 例题：下列说法，正确的是（   ） A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角 巩固训练 1．下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤平面上任意三点能确定一个圆．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，则 ．                     3．如图，的弦与直径的延长线相交于点，则 ． 题型二　利用垂径定理求解 例题：如图，将圆沿折叠后，圆弧恰好经过圆心，则等于（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 2．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 3．如图，是的两条弦，，且，则的半径等于 ． 题型三　利用弦、弧、圆心角求解 例题：如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 2．是的直径，点在上，点，是的三等分点，，的度数是 ． 3．如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．    题型四　圆心角和圆周角 例题：下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   巩固训练 1．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 2．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是 ． 3．如图，是的外接圆，，，则的直径为 ． 题型五　点、直线与圆的位置关系 例题：的半径为5，点到圆心的距离为5，点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 巩固训练 1．已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 2．已知的半径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是 ． 3．直角坐标平面内，点，点B的坐标为，的半径为4．若点B在内，则a的范围是 ． 题型六　三角形外接圆的概念 例题：下列命题中：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤弦的垂直平分线经过圆心；⑥相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的是个数有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 巩固训练 1．下列说法：①三点确定一个圆，②圆的直径是圆的对称轴，③长度相等的两条弧是等弧，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．已知点O是三角形的外心，，的度数为 ． 3．如图，在中，，于D，若的外心O在线段上．，则 ．    题型七　确定圆的条件 例题：已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 2．平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 3．平面直角坐标系内的三个点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 题型八　求扇形半径与圆心角 例题：为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，折线段将面积为的分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为，若，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为（    ） A． B． C． D． 2．(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是 ； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为 ． 3．已知扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 题型九　求弧长与扇形面积 例题：如图，在的内接四边形中，，．若的半径为5，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，是半径为2的外的一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形内接于为的直径，平分，若，，则的长为 ． 3．如图，正方形的边长为2，以A为圆心，为半径画弧．连接，以A为圆心，为半径画弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 ． 题型十　三角形内心的概念 例题：如图，在中，，，，为的内切圆，过O作分别交、于D、E，则的长为（    ） A． B．4 C．5 D． 巩固训练 1．如图，将三块完全相同的等腰直角三角板的一个锐角顶点都放在点处，再使其各有一条直角边恰好在的边上，此时点是（    ）    A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的垂心 2．如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 3．如图，点O是的内心，，则 ． 题型十一　正多边形的中心角 例题：苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 2．对角线条数和自身边数相同的正多边形的中心角度数为 ． 3．如果一个正多边形的中心角等于60°，那么这个正多边形的边数是 ． 题型十二　圆中的平行弦 例题：在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 巩固训练 1．已知⊙O的半径为5，两条平行弦AB、CD的长分别为6和8，求这两条平行弦AB与CD之间的距离（　　） A．3 B．4 C．1或7 D．10 2．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 3．如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 题型十三　垂径定理的实际应用 例题：在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，截面圆的直径为，若油面的宽，则油槽中油的最大深度为（　　） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图所示是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，该拱门的半径为（    ） A． B． C． D． 2．赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，则赵州桥主桥拱的半径约为 m（结果保留整数）． 3．【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高． 素材2 国庆节，拟在图1所示的桥拱上悬挂“庆祝国庆”四个大字的长方形牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾长宽，下沿与水面平行，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于． 【解决问题】 (1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，建立如图3的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？请说明理由； (3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，素材 2中的牌匾长度缩短为，宽仍然为，其他悬挂条件不变，请你通过计算判断方案是否可行． 题型十四　圆周角定理 例题：如图，在中，为的直径，B为上一点．若，则（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（   ）    A． B． C． D． 2．如图，点A、B、C、D、E在上，的度数为，则为 °． 3．如图，是直径，弦于点E，过点C作的垂线，交的延长线于点G，垂足为点F，连结． (1)求证：； (2)若，求的半径． 题型十五　直径所对的圆周角是直角 例题：如图，是的内接三角形，是直径，，则（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，是的内接三角形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在半径为5的中，是直径，是弦，D是中点，与交于点P，若P是中点，则的长是 ． 3．如图，已知，以为直径的分别交于点D，E，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 题型十六　圆内接四边形 例题：如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 2．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数为 ． 3．如图，等腰内接于，，点E是上的点（不与点A，C重合），连接并延长至点G，连接并延长至点F，与交于点D． (1)求证：； (2)若的半径为5，，点D是的中点，求的长． 题型十七　切线长定理 例题：如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且，则的周长为（    ）．    A．7 B．14 C．10 D．4 巩固训练 1．如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 2．如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 3．已知点是外一点，分别与相切于点． (1)如图①，若，则______； (2)如图②，连接，若，则______°； (3)如图③，点是优弧上一点，连接，若，则______°． 题型十八　三角形周长、面积与内切圆半径关系 例题：正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 2．如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ． 3．如图，已知． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则__________．（如需画草图，请使用图2） 题型十九　三角形的外接圆与内切圆 例题：如图，是的外心，，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 巩固训练 1．如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 2．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，则的内心与外心之间的距离是 ． 3．（1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________．    题型二十　圆的切线定理 例题：如图，是的直径，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E． (1)连接，求的度数； (2)求证：与相切； (3)点F在弧上，，交于点N．若，求的长． 巩固训练 1．综合探究 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 2．如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，当，时，求的长． 3．如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作，交于点E，连接． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 题型二十一　正多边形——尺规作图 例题：如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 巩固训练 1．请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 2．已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD． 3．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，以AB为边作等边三角形； （2）在图②中，作一个含30°的直角三角形． 题型二十二　求不规则图形面积 例题：（1）课本再现：如图，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由， （2）知识应用：如图，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 巩固训练 1．如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求出阴影部分面积． 2．如图，是的直径，是的一条弦，直线为的切线，，交的延长线于点E (1)求证：； (2)连接，延长交于点F，延长交于点G．当F为的中点时，求证：； (3)若的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 3．如图，在中，，是中点，以为圆心，为半径作，分别交及其延长线、于，，点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，求阴影部分的面积． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十七章 圆（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 要点一、圆的定义、性质及与圆有关的角 1.圆的定义 （1）线段OA绕着它的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的封闭曲线，叫做圆. （2）圆是到定点的距离等于定长的点的集合. 2.圆的性质 （1）旋转不变性：圆是旋转对称图形，绕圆心旋转任一角度都和原来图形重合；圆是中心对称图形，对称中心是圆心. 　 在同圆或等圆中，两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，这四组量中的任意一组相等，那么它所对应的其他各组分别相等. （2）轴对称：圆是轴对称图形，经过圆心的任一直线都是它的对称轴. （3）垂径定理及推论： ①垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧. ②平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. ③弦的垂直平分线过圆心，且平分弦对的两条弧. ④平分一条弦所对的两条弧的直线过圆心，且垂直平分此弦. ⑤平行弦夹的弧相等. 要点诠释： 在垂经定理及其推论中：过圆心、垂直于弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧，在这五个条件中，知道任意两个，就能推出其他三个结论.（注意：“过圆心、平分弦”作为题设时，平分的弦不能是直径） 3.两圆的性质 （1）两个圆是一个轴对称图形，对称轴是两圆连心线. （2）相交两圆的连心线垂直平分公共弦，相切两圆的连心线经过切点. 4.与圆有关的角 （1）圆心角：顶点在圆心的角叫圆心角. 圆心角的性质：圆心角的度数等于它所对的弧的度数. （2）圆周角：顶点在圆上，两边都和圆相交的角叫做圆周角. 圆周角的性质： ①圆周角等于它所对的弧所对的圆心角的一半. ②同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. ③90°的圆周角所对的弦为直径；半圆或直径所对的圆周角为直角. ④如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形. ⑤圆内接四边形的对角互补；外角等于它的内对角. 要点二、与圆有关的位置关系 1.判定一个点P是否在⊙O上 设⊙O的半径为，OP=，则有 点P在⊙O 外；　点P在⊙O 上；点P在⊙O 内. 2.判定几个点在同一个圆上的方法 当时，在⊙O 上. 3.直线和圆的位置关系 设⊙O 半径为R，点O到直线的距离为. （1）直线和⊙O没有公共点直线和圆相离. （2）直线和⊙O有唯一公共点直线和⊙O相切. （3）直线和⊙O有两个公共点直线和⊙O相交. 4．切线的判定、性质 （1）切线的判定： ①经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线. ②到圆心的距离等于圆的半径的直线是圆的切线. （2）切线的性质： ①圆的切线垂直于过切点的半径. ②经过圆心作圆的切线的垂线经过切点. ③经过切点作切线的垂线经过圆心. （3）切线长：从圆外一点作圆的切线，这一点和切点之间的线段的长度叫做切线长. （4）切线长定理：从圆外一点作圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角. 要点三、三角形的外接圆与内切圆、圆内接四边形与外切四边形 1.三角形的内心、外心、重心、垂心 （1）三角形的内心：是三角形三条角平分线的交点，它是三角形内切圆的圆心，在三角形内部，它到三角形三边的距离相等，通常用“I”表示. （2）三角形的外心：是三角形三边中垂线的交点，它是三角形外接圆的圆心，锐角三角形外心在三角形内部，直角三角形的外心是斜边中点，钝角三角形外心在三角形外部，三角形外心到三角形三个顶点的距离相等，通常用O表示. （3）三角形重心：是三角形三边中线的交点，在三角形内部；它到顶点的距离是到对边中点距离的2倍，通常用G表示. （4）垂心：是三角形三边高线的交点. 要点诠释： （1）任何一个三角形都有且只有一个内切圆，但任意一个圆都有无数个外切三角形； （2）解决三角形内心的有关问题时，面积法是常用的，即三角形的面积等于周长与内切圆半径乘积的一半，即(S为三角形的面积，P为三角形的周长，r为内切圆的半径). （3） 三角形的外心与内心的区别： 名称 确定方法 图形 性质 外心(三角形外接圆的圆心) 三角形三边中垂线的交点 (1)OA=OB=OC；(2)外心不一定在三角形内部 内心(三角形内切圆的圆心) 三角形三条角平分线的交点 (1)到三角形三边距离相等；(2)OA、OB、OC分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB； (3)内心在三角形内部. 2.圆内接四边形和外切四边形 （1）四个点都在圆上的四边形叫圆的内接四边形，圆内接四边形对角互补，外角等于内对角. （2）各边都和圆相切的四边形叫圆外切四边形，圆外切四边形对边之和相等. 要点四、圆中有关计算 1.圆中有关计算 　 圆的面积公式：，周长. 　 圆心角为、半径为R的弧长. 　 圆心角为，半径为R，弧长为的扇形的面积. 　 弓形的面积要转化为扇形和三角形的面积和、差来计算. 　 圆柱的侧面图是一个矩形，底面半径为R，母线长为的圆柱的体积为，侧面积为，全面积为. 　　圆锥的侧面展开图为扇形，底面半径为r，母线长为，高为的圆锥的侧面积为，全面积为，母线长、圆锥高、底面圆的半径之间有. 03 题型归纳 题型一　圆的基本概念 例题：下列说法，正确的是（   ） A．优弧大于劣弧 B．平分弦的直径垂直于弦 C．相等的圆心角所对的弧相等 D．直径所对圆周角是直角 【答案】D 【分析】此题主要考查了圆的有关概念，熟练掌握相关概念是解决此题的关键. 根据圆的有关概念进行逐项辨析即可得解. 【详解】A、同圆或等圆中，优弧一定大于劣弧，故该选项错误； B、平分弦的直径，当被平分的弦是直径时，直径不垂直于弦，故该选项错误； C、同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，故该选项错误； D、直径所对圆周角是直角，故该选项正确； 故选：D． 巩固训练 1．下列说法：①直径是弦；②半圆是弧；③半径相等的两个圆是等圆；④长度相等的两条弧是等弧；⑤平面上任意三点能确定一个圆．其中正确的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是圆的认识，根据等圆、等弧和半圆的定义以及确定圆的条件，分别进行判断． 【详解】解：直径是弦，故①正确， 半圆是弧，故②正确， 半径相等的圆是等圆，故③正确， 同圆或等圆中，长度相等的弧是等弧，故④错误， 平面上不共线的三点能确定一个圆，故⑤错误， 正确的各数为3， 故选：C． 2．如图，的直径与弦的延长线交于点E，若，则 ．                     【答案】 【分析】本题考查了圆，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等知识．熟练掌握圆，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质是解题的关键． 如图，连接，则，由，可得，则，，由，可得，由，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 3．如图，的弦与直径的延长线相交于点，则 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查圆的基本性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．利用数形结合的思想是解题关键．由同圆半径相等，三角形外角的性质结合题意可求出，再根据三角形内角和定理可求出，从而可求出，最后再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 故答案为：． 题型二　利用垂径定理求解 例题：如图，将圆沿折叠后，圆弧恰好经过圆心，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆的基本性质，垂径定理，锐角三角函数，轴对称图形的性质．正确作出辅助线是解题关键．作并延长交于点C，根据垂径定理可知．根据折叠的性质可知，即得出，从而得出，即可求出． 【详解】解：作并延长交于点C， ∴． ∵将圆沿折叠后，圆弧恰好经过圆心， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选C． 巩固训练 1．如图，是的直径，点B是弧的中点．下列结论错误的是（　　） A．点A是弧的中点 B． C．平分 D．平分 【答案】D 【分析】本题主要查了垂径定理．利用垂径定理一一判断即可． 【详解】解：∵B是弧的中点， ∴， ∵是直径， ∴， ∴平分，点A是弧的中点， 故A，B，C正确，D错误， 故选：D． 2．已知：如图，是的直径，弦交于E点，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和垂径定理，直角三角形的性质，过O作于F，连接，根据垂直定义得出，即可求出，求出，根据勾股定理求出，再根据勾股定理求出，根据垂径定理得出，即可求出答案， 能熟记垂径定理是解此题的关键． 【详解】解：如图所示，过O作于F，连接， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得，， ∵，过圆心O， ∴， ∴； 故答案为：． 3．如图，是的两条弦，，且，则的半径等于 ． 【答案】5 【分析】本题主要查了垂径定理．作于点M、N．连接，则四边形是矩形，利用垂径定理求得和的长，然后在直角中，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：作于点M、N．连接．则，四边形是矩形． ∴， 在直角中，． 故答案为：5． 题型三　利用弦、弧、圆心角求解 例题：如图，在中，点是弧的中点，，则弧的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦之间的关系，等腰三角形的性质的应用，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出，根据弧中点得出，代入求出即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵点是弧的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的度数为， 故选：A． 巩固训练 1．如图，是半圆O的直径，点B、C在半圆上，且，点P在上，若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理，等边三角形的判定和性质．连接，，证明和都是等边三角形，求得，利用三角形内角和定理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接，， ∵是半圆O的直径，， ∴， ∴和都是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．是的直径，点在上，点，是的三等分点，，的度数是 ． 【答案】/78度 【分析】本题考查弧，弦，角直角的关系，根据点，是的三等分点，推出，再根据平角的定义，求出的度数即可． 【详解】解：∵点在上，点，是的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 3．如图，的直径，半径，点在弧上，，，垂足分别为、，若点为的中点，弧的度数为 ．    【答案】/度 【分析】本题考查了矩形的性质，弧与圆心角的关系，等边三角形的性质与判定；连接，交于点，进而得出四边形是矩形，结合已知条件证明是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接，交于点，      ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴，即弧的度数为 故答案为：． 题型四　圆心角和圆周角 例题：下列图形中的角是圆心角的是（　　） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了圆心角的定义，能熟记圆心角的定义（顶点在圆心上，并且两边与圆相交的角，叫圆心角）是解此题的关键．根据圆心角的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．顶点在圆心上，是圆心角，故本选项符合题意； B．顶点在圆上，是圆周角，故本选项不符合题意； C．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； D．顶点不在圆心上，不是圆心角，故本选项不符合题意； 故选：A． 巩固训练 1．如图，在半圆O中，为直径，下列四个选项中所对的圆周角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是圆周角的定义，根据圆周角的定义解答即可，熟知顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角是解题的关键． 【详解】解：所对的圆周角是与， 故选：D． 2．如图所示，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，∠A=30°，OH=1，则⊙O的半径是 ． 【答案】2 【分析】连接OC，利用半径相等以及三角形的外角性质结合已知的垂直条件求得∠COH=60°，∠OCH=30°，利用30度角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：连接OC， ∵OA=OC，∠A=30°， ∴∠COH=2∠A=60°， ∵弦CD⊥AB于H， ∴∠OHC=90°， ∴∠OCH=30°， ∵OH=1， ∴OC=2OH=2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了三角形的外角性质和含30°角的直角三角形的性质．熟练掌握半径相等是解题的关键． 3．如图，是的外接圆，，，则的直径为 ． 【答案】 【分析】连接，，依据是等腰直角三角形，即可得到，进而得出的直径为． 【详解】如图，连接 ， ， 是等腰直角三角形， 又， ∴， ∴的直径为， 故答案为： ． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理和勾股定理，熟知同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角的度数是圆心角度数的一半是解题的关键． 题型五　点、直线与圆的位置关系 例题：的半径为5，点到圆心的距离为5，点与的位置关系是（   ） A．点在内 B．点在外 C．点在上 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有3种．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离，则有：点P在圆外⇔；点P在圆上⇔；点P在圆内⇔． 直接根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断． 【详解】解：∵的半径为5，点P到圆心O的距离为5， ∴点P到圆心O的距离等于圆的半径， ∴点P在上． 故选：C． 巩固训练 1．已知的半径为3，圆心到直线的距离为2，则与直线的位置关系是（    ） A．相切 B．相交 C．相离 D．相交或相离 【答案】B 【分析】此题考查的是圆与直线的位置关系．判断直线和圆的位置关系：设的半径为，圆心到直线的距离为．①直线和相交，②直线和相切，③直线和相离．圆心到直线的距离大于圆心距，直线与圆相离；小于圆心距，直线与圆相交；等于圆心距，直线与圆相切． 【详解】解：圆心到直线的距离圆的半径3， 直线与圆的位置关系为相交． 故选：B 2．已知的半径为，点到直线的距离为，则与的位置关系是 ． 【答案】相离 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系，根据圆心到直线的距离，直线与圆相离即可求解，掌握直线和圆的位置与和之间的关系是解题的关键． 【详解】解：∵的半径为，点到直线的距离为， ∴， ∴与的位置关系是相离， 故答案为：相离． 3．直角坐标平面内，点，点B的坐标为，的半径为4．若点B在内，则a的范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了点与圆的位置关系．熟练掌握点在圆内，点到圆心的距离小于圆的半径是解题的关键． 由题意知，，由点B在内，可得，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点B在内， ∴，即， 解得，， 故答案为：． 题型六　三角形外接圆的概念 例题：下列命题中：①直径是弦；②经过三个点一定可以作圆；③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；④平分弦的直径垂直于这条弦；⑤弦的垂直平分线经过圆心；⑥相等的圆周角所对的弧相等．其中正确的是个数有（   ）个． A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】利用弦的定义，构成圆的条件，三角形外心性质以及垂径定理逆定理判断即可． 【详解】解：①直径是弦，说法正确； ②经过不在同一直线上的三个点一定可以作圆，说法错误； ③三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等，说法正确； ④平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦，说法错误； ⑤弦的垂直平分线经过圆心，说法正确； ⑥在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等，说法错误； 综上所述，正确的有①③⑤，共3个， 故选：A． 【点睛】本题考查了弦的定义，构成圆的条件，三角形外心性质以及垂径定理逆定理等，熟练掌握性质及定义是解本题的关键． 巩固训练 1．下列说法：①三点确定一个圆，②圆的直径是圆的对称轴，③长度相等的两条弧是等弧，④三角形的外心到三个顶点的距离相等，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查三角形的外心，圆的性质，确定圆的条件；①根据确定一个圆的条件即可判断．②根据对称轴为直线即可判断；③根据等弧的定义即可判断；④根据三角形外心的性质即可判断 【详解】解：①不共线三点确定一个圆，故该选项不正确，不符合题意； ②圆的直径所在直线是圆的对称轴，故该选项不正确，不符合题意； ③同圆或等圆中长度相等的两条弧是等弧，故该选项不正确，不符合题意； ④三角形的外心到三个顶点的距离相等，故该选项正确，符合题意； 正确的有④，共1个， 故选：A． 2．已知点O是三角形的外心，，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形外接圆与外心，圆周角定理以及圆内接四边形的性质，掌握相关的定理、灵活运用分类讨论思想是解题关键．利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质得出的度数即可． 【详解】解∶如图，    （1）当点O在内部时， ∵点O是三角形的外心， ∴， 又， ∴； （2）当点O在外部时， 由（1）知， 又， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为∶ 或． 3．如图，在中，，于D，若的外心O在线段上．，则 ．    【答案】 【分析】由三角形外心的性质结合可得出，再根据圆周角定理可得出，从而可求出，结合含30度角的直角三角形的性质可求出，最后根据勾股定理求解即可． 【详解】解：∵点O为的外心， ∴． ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形外心的性质，圆周角定理，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理．利用数形结合的思想是解题关键． 题型七　确定圆的条件 例题：已知，，三点可以确定一个圆，则以下点坐标不满足要求的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】考查了确定圆的条件及一次函数图象与点的关系，解题的关键是了解“不在同一直线上的三点确定一个圆”，难度不大．利用待定系数法求出直线的解析式，再把每点代入函数解析式，根据不在同一直线上的三点能确定一个圆，由于在直线上，可知答案． 【详解】解：设直线的解析式为， ， 解得， ， A、当，，故不在直线上，根据不在同一直线三点确定一个圆得与，可以确定一个圆，故本选项不符合题意； B、当，，同理，故本选项不符合题意； C、当，，故在直线上，故不能确定一个圆，故本选项符合题意； D、，，同理，故本选项不符合题意． 故选：C． 巩固训练 1．如图，点A，B，C，D均在直线l上，点P在直线l外，从这五个点中随机选择三个点，则经过这三个点能够画出圆的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用列举法求概率以及圆确定的条件，根据题意可得出所有等可能的结果以及经过这三个点能够画出圆的结果，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：从这五个点中随机选择三个点，所有等可能的结果有：，，，，，，，，，共10种， 其中经过这三个点能够画出圆的结果有： ，，，，，， 共6种， ∴经过这三个点能够画出圆的概率为． 故选：D 2．平面直角坐标系内的三个点，，， 确定一个圆，（填“能”或“不能”）． 【答案】不能 【分析】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，，在这条直线上，， ∴三个点，，不能确定一个圆． 故答案为：不能． 3．平面直角坐标系内的三个点，， 确定一个圆（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【分析】判断三个点在不在一条直线上即可． 【详解】解：∵，，， ∴点A、B、C不共线， ∴三个点，，能确定一个圆． 故答案为：能． 【点睛】本题考查确定圆的条件，解题的关键是掌握：不在同一直线上的三个点确定一个圆． 题型八　求扇形半径与圆心角 例题：为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 巩固训练 1．如图，折线段将面积为的分成两个扇形，大扇形、小扇形的面积分别为，若，则称分成的小扇形为“黄金扇形”，生活中的折扇大致是“黄金扇形”，则“黄金扇形”的圆心角约为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查圆心角的计算，利用圆的周角等于，根据“黄金扇形”的定义列算式求解即可． 【详解】解：“黄金扇形”的圆心角约为， 故选C． 2．(1)已知扇形的圆心角为，弧长等于，则该扇形的半径是 ； (2)如果一个扇形的半径是1，弧长是，那么此扇形的圆心角的大小为 ． 【答案】 2 /60度 【分析】此题主要考查了弧长公式的应用，熟练掌握弧长公式是解题关键．直接利用扇形弧长公式代入求解即可． 【详解】解：（1）设扇形的半径为R， 则根据题意，得， 解得. 故该扇形的半径是2． （2）根据弧长公式得， 解得， 故扇形圆心角的大小为． 故答案为：2；． 3．已知扇形的弧长为，面积为，则此扇形的圆心角为 度． 【答案】60 【分析】本题考查求扇形的圆心角，根据扇形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：设扇形的半径为，圆心角的度数为， 由题意，得：， ∴， ∴， ∴； 故答案为：60． 题型九　求弧长与扇形面积 例题：如图，在的内接四边形中，，．若的半径为5，则弧的长为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆周角定理，弧长公式，连接，根据圆周角定理可知，即可求出，再根据得出答案． 【详解】连接，    ∵， ∴， ∴， ∴弧的长为． 故选：C． 巩固训练 1．如图，是半径为2的外的一点，，切于点，弦，连接，则图中阴影部分的面积等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线的性质，再利用特殊角的三角函数值可求出，则，接着利用平行线的性质得到，利用三角形面积公式可得到，然后根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积进行计算． 【详解】解：∵切于点， ∴， ∴， 在中，∵，， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，图中阴影部分的面积， ∴图中阴影部分的面积． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质和扇形的面积计算公式，特殊角的三角函数，平行线的性质等知识，根据面积相等进行转化是解题的关键． 2．如图，四边形内接于为的直径，平分，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】根据圆周角定理结合角平分线性质可推出是等腰直角三角形，先根据勾股定理求出的长，再根据弧长公式即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于为的直径， ， 平分， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ， ∴， 则的长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形性质和判定，弧长公式等知识点，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 3．如图，正方形的边长为2，以A为圆心，为半径画弧．连接，以A为圆心，为半径画弧交的延长线于点E，则图中阴影部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，扇形的面积的计算，图中阴影部分的面积扇形的面积的面积正方形的面积扇形的面积，据此计算即可． 根据正方形的性质和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：正方形的边长为2， ，，， ， 图中阴影部分的面积， 故答案为：． 题型十　三角形内心的概念 例题：如图，在中，，，，为的内切圆，过O作分别交、于D、E，则的长为（    ） A． B．4 C．5 D． 【答案】B 【分析】如图，为的内切圆，切点分别为，连接，，，过作于，利用内切圆的性质求解，，再利用相似三角形的性质解得即可． 【详解】解：如图，为的内切圆，切点分别为，连接，，，过作于， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选:B 【点睛】本题考查的是三角形的内切圆的性质，三角形的面积，相似三角形的判定与性质，切线的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 巩固训练 1．如图，将三块完全相同的等腰直角三角板的一个锐角顶点都放在点处，再使其各有一条直角边恰好在的边上，此时点是（    ）    A．的外心 B．的内心 C．的重心 D．的垂心 【答案】B 【分析】本题考查三角形内接圆，三角形内心的性质：三角形的内心到三角形三边的距离相等，由点M到的距离相等，从而确定点M是的内心． 【详解】解：根据题意可得：点M到的距离相等，都为等腰直角三角形的腰长， 点M是的内心． 故选：B． 2．如图，点在上，直径，，垂足为，点是的内心，，点在其上，，则 ． 【答案】 【分析】连接、、、，作于，于，于，于，由圆周角定理得出，由勾股定理得出，由等面积法得出，由勾股定理得出，由角平分线的性质定理得出，结合，求出，由题意得出，证明四边形为矩形，得出，推出，再由得出，再由勾股定理计算即可得解． 【详解】解：如图，连接、、、，作于，于，于，于， ， ∵为直径， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵点是的内心， ∴平分，平分，平分， ∵，， ∴， 同理可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、勾股定理、角平分线的性质定理、三角形内心、矩形的判定与性质、等面积法等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 3．如图，点O是的内心，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形内切圆与内心，角平分线的性质，掌握角平分线的定义是解题的关键； 先根据三角形的内心的定义得到平分，平分，根据角平线的性质得，根据三角形内角和定理计算即可； 【详解】解：， ， 点O是的内心，， 平分，平分， ， ， 故答案为：． 题型十一　正多边形的中心角 例题：苯（分子式为）的环状结构是由德国化学家凯库勒提出的．随着研究的不断深入，发现苯分子中的6个碳原子组成了一个完美的正六边形（如图1），图2是其平面示意图，点O为正六边形的中心，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点O为正六边形的中心，得到，，继而得到，，解答即可． 本题考查了正多边形的性质，中心角的计算，等腰三角形的三线合一性质，熟练掌握多边形的性质和中心角的计算是解题的关键． 【详解】∵点O为正六边形的中心， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 巩固训练 1．如图，是内接正六边形的一边，点在弧上，且是内接正八边形的一边．此时是内接正边形的一边，则的值是（    ） A．12 B．16 C．20 D．24 【答案】D 【分析】本题考查正多边形和圆的计算．根据中心角的度数边数，列式计算分别求出的度数，则，则边数中心角，据此求解即可． 【详解】解：连接， ∵是内接正六边形的一边， ∴ ∵是内接正八边形的一边， ∴ ∴ ∴ 故选：D． 2．对角线条数和自身边数相同的正多边形的中心角度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了正多边形的对角线条数公式，正多边形的中心角．根据题意判断出对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形，进而即可解答． 【详解】解：设正多边形的边数为，则对角线条数为， 根据题意得，， 解得，或（舍去） ∴对角线条数和边数相同的正多边形是正五边形， 正五边形的中心角为． 故答案为： 3．如果一个正多边形的中心角等于60°，那么这个正多边形的边数是 ． 【答案】6 【分析】根据正n边形的中心角的度数为进行计算即可得到答案． 【详解】根据正n边形的中心角的度数为， 则，故这个正多边形的边数为6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查的是正多边形内角和中心角的知识，掌握中心角的计算公式是解题的关键． 题型十二　圆中的平行弦 例题：在圆柱形油槽内装有一些油，截面如图所示，已知截面⊙O半径为5cm，油面宽AB为6cm，如果再注入一些油后，油面宽变为8cm，则油面AB上升了（ ）cm A．1 B．3 C．3或4 D．1或7 【答案】D 【分析】分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为，可知，，，在中，由勾股定理得，解得的值，在中，由勾股定理得，解得的值，计算即可；②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接，由题意知，，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，计算即可． 【详解】解：分两种情况求解：①如图1，宽度为8cm的油面，作与的交点为 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ②如图2，宽度为8cm的油面，作与的交点为，连接 由题意知，， 在中，由勾股定理得 在中，由勾股定理得 ∴ ∴油面AB上升到CD，上升了1cm，油面AB上升到EF，上升了7cm； 故选D． 【点睛】本题考查了圆的垂径定理，勾股定理．解题的关键在于对两种情况全面考虑． 巩固训练 1．已知⊙O的半径为5，两条平行弦AB、CD的长分别为6和8，求这两条平行弦AB与CD之间的距离（　　） A．3 B．4 C．1或7 D．10 【答案】C 【分析】先根据题意画出符合条件的两种情况，过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC，再根据垂径定理和勾股定理即可求出OE、OF，然后结合图形求出EF即可． 【详解】解：分为两种情况：①当AB和CD在O的同旁时，如图1， 过O作OE⊥AB于E，交CD于F，连接OA、OC， ∵AB∥CD，∴OF⊥CD， 则由垂径定理得：AE=AB=3，CF=CD=4， 在Rt△OAE中，由勾股定理得：OE=， 同理可求出OF=3， ∴EF=4－3=1； ②当AB和CD在O的两侧时，如图2，同法求出OE=4，OF=3， 则EF=4+3=7； 即AB与CD的距离是1或7. 故选C. 【点睛】本题考查了勾股定理和垂径定理的应用，关键是能正确求出符合条件的两种情况、熟练掌握垂径定理. 2．已知的直径为， ，是的两条弦，，，，则与之间的距离为 cm． 【答案】2或14 【分析】作于E，延长交于F，连接、，如图，利用平行线的性质，根据垂径定理得到，，则利用勾股定理可计算出，，讨论：当点O在与之间时，；当点O不在与之间时，． 【详解】解：作于E，延长交于F，连接、，如图       ∵，， ∴， ∴， ， 在中，， 在中，， 当点O在与之间时，如图1，， 当点O不在与之间时，如图2，， 故答案为：2或14． 【点睛】本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．注意分类讨论． 3．如图，在中，是直径，弦． (1)在图1中，请仅用不带刻度的直尺画出劣弧的中点P；(保留作图痕迹，不写作法) (2)如图2，在（1）的条件下连接、，若交弦于点Q ，的面积6，且，求的半径； 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）由圆的对称性，连接、交于点，连接并延长交于点即可； （2）连接，如图，根据垂径定理得到，，再利用三角形面积公式计算出，设的半径，则，，利用勾股定理得到，解方程即可． 【详解】（1）解：连接、，它们相交于点，连接并延长交于点，如图1， 点为所作； （2）连接，如图2， 点为劣弧的中点， ，， 的面积为6， ， 解得， 设的半径，则，， 在中，， 解得， 即的半径为10． 【点睛】本题考查了作图复杂作图，涉及垂径定理和勾股定理，解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 题型十三　垂径定理的实际应用 例题：在圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，截面圆的直径为，若油面的宽，则油槽中油的最大深度为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，根据垂径定理、勾股定理求出即可 【详解】解：如图，过点O作，垂足为D，的延长线交于点C，连接，则， 在中， ∴ ∴, 故选：A． 巩固训练 1．如图所示是一圆弧形拱门，其中路面，拱高，该拱门的半径为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了拱高的定义，垂径定理，勾股定理；圆心为，连接，由垂径定理得，由勾股定理得，即可求解；理解拱高的定义，能结合垂径定理熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：圆心为，连接， 设， ， ， ， 在中， ， ， 解得：； ； 故选：B． 2．赵州桥（如图）是我国隋代建造的石拱桥，距今约有年的历史，是我国古代人民勤劳与智慧的结晶．它的主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦的长）为，拱高（弧的中点到弦的距离）为，则赵州桥主桥拱的半径约为 m（结果保留整数）． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理．熟练掌握垂径定理，勾股定理是解题的关键． 如图，由题意可知，，，点是的中点，由垂径定理可知，，且，设半径为，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，点是的中点， 由垂径定理可知，，且， 设半径为，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， 答：桥拱的半径约为． 故答案为：． 3．【提出问题】 某数学小组想在拱桥上悬挂牌匾，如何设计拱桥悬挂牌匾的方案？ 拱桥悬挂牌匾的相关素材与资料 素材1 图1是一座拱桥，图2是桥拱的示意图，某时测得水面宽，拱顶离水面．每年夏季，该河段水位在此基础上会再涨达到最高． 素材2 国庆节，拟在图1所示的桥拱上悬挂“庆祝国庆”四个大字的长方形牌匾，悬挂点在桥拱上，牌匾长宽，下沿与水面平行，为了安全，牌匾底部距离水面应不小于． 【解决问题】 (1)若桥拱所构成的曲线是抛物线，建立如图3的平面直角坐标系，求抛物线的解析式； (2)请你设计方案：在（1）的基础上，牌匾悬挂能否成功？请说明理由； (3)若素材1中的桥拱形状是圆弧，其他条件不变，素材 2中的牌匾长度缩短为，宽仍然为，其他悬挂条件不变，请你通过计算判断方案是否可行． 【答案】(1) (2)能成功，见解析 (3)方案可行，理由见解析 【分析】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，垂径定理，勾股定理，待定系数法求解析式，理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法及二次函数的性质是解题的关键． （1）过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，以的水面所在直线为x轴，交于点O，以点O为原点，建立平面直角坐标系，设出抛物线的顶点式，再将A、B、C坐标代入即可得出解析式； （2）根据题意，得出危险高度，安全最低高度，计算出安全的宽度，与方案牌匾长比较，计算判断即可． （3）设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N，根据垂径定理，得，，设出圆的半径，本别表示出、、利用垂径定理，勾股定理解答即可． 【详解】（1）解：过水面宽度的中点作水面宽度的垂线，以的水面所在直线为x轴，交于点O，以点O为原点，建立平面直角坐标系，； 水面宽，拱顶离水面， 顶点的坐标为，且抛物线经过点， 设该抛物线的函数解析式为d代入得 ， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）解：根据题意，得 危险高度，安全最低高度为， ∵， 当时，， 解得，； ∴匾额的最大长度为， ， 牌匾悬挂能成功挂上； （3）解：设圆弧所在圆的圆心为点O，水面宽度为，过点O作于点C，交圆弧于点N， ， ∵，设圆的半径为，则，， 根据勾股定理，得， 解得， 在上截取，过点G作，交圆于点E，F两点， 连接，则，， ∴， ∴， 方案的设计宽度为长度缩短为，宽仍然为， 故牌匾悬挂能成功． 题型十四　圆周角定理 例题：如图，在中，为的直径，B为上一点．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查圆周角定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键；因此此题可根据圆周角定理进行求解 【详解】解：与是同弧所对的圆心角与圆周角，， ∴． 故选：A． 巩固训练 1．如图，四边形为的内接四边形，，则 的大小是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，由根据圆内接四边形的性质得，求出，然后由圆周角定理即可求解，解题的关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 【详解】∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 2．如图，点A、B、C、D、E在上，的度数为，则为 °． 【答案】159 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．连接，根据圆心角、弧、弦的关系定理求出，根据圆内接四边形的性质计算即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵的度数为， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：159． 3．如图，是直径，弦于点E，过点C作的垂线，交的延长线于点G，垂足为点F，连结． (1)求证：； (2)若，求的半径． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】（1）根据垂直定义、三角形内角和定理、圆周角定理等知识得到，由等角对等边即可得到结论； （2）连接，设的半径为r，则，得到，，得到，在中， 由勾股定理得到，解得即可． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，连接， 设的半径为r，则， ，，， ，， ， 在中，， 即，解得， 的半径为5． 【点睛】此题考查了勾股定理、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的判定和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握垂径定理、圆周角定理是解题的关键． 题型十五　直径所对的圆周角是直角 例题：如图，是的内接三角形，是直径，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆，圆周角定理．此题难度不大，注意辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用．首先连接，由是的直径，根据直径所对的圆周角是直角，即可求得的度数，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得的度数，继而求得的度数． 【详解】解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 巩固训练 1．如图，是的内接三角形，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理．作直径，连接，由圆周角定理求得，再求得，再根据圆周角定理即可求解． 【详解】解：作直径，连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．如图，在半径为5的中，是直径，是弦，D是中点，与交于点P，若P是中点，则的长是 ． 【答案】/ 【分析】连接，交于F，由垂径定理得出，利用证，得，然后由三角形中位线定理求得，求得，最后由勾股定理即可求得的长． 【详解】解：连接，交于F， ∵D是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵是的直径，半径为5， ∴， ∵P是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即； ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、三角形中位线定理以及勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理和勾股定理，证明是解题的关键． 3．如图，已知，以为直径的分别交于点D，E，连接，且． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质得到，由圆内接四边形的性质得到，由此推得，由等腰三角形的判定即可证得结论； （2）连接，由为直径，可证得，由（1）知，证明后即可求得的长． 【详解】（1）证明：， ， ，， ， ， ； （2）解：连接， 为直径， ， 由（1）知， ，， ， ， ， ， ， ． 题型十六　圆内接四边形 例题：如图，是四边形的外接圆，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键． 根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论． 【详解】解：∵四边形内接于，， ， 故选：B 巩固训练 1．如图，四边形是的内接四边形．若，则的度数是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据圆的内接四边形对角互补，计算解答即可． 本题考查了圆的内接四边形的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是的内接四边形． ∴． ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，四边形是的内接四边形，是的直径，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，圆内接四边形的性质，连接，由是的直径，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质得，最后由圆内接四边形的性质即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的直径，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，等腰内接于，，点E是上的点（不与点A，C重合），连接并延长至点G，连接并延长至点F，与交于点D． (1)求证：； (2)若的半径为5，，点D是的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由四边形为圆内接四边形，得到，根据等腰三角形的性质得出，根据同弧所对圆周角相等得出，再结合和对顶角相等即可证明； （2）作于H，过点D作于点M，连接，根据垂径定理可知点O在上，,根据勾股定理可求出，从而可求出．又易证，得出，即可求出，再由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点A，B，C，E均在上， ∴四边形为圆内接四边形， ∴． 又∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴； （2）解：作于H，过点D作于点M，连接，如图， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴点O在上， ∴, ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查圆内接四边形的性质，圆周角定理的推论，垂径定理，等腰三角形的性质，三角形相似的判定和性质，勾股定理等知识．正确作出辅助线并利用数形结合的思想是解题关键． 题型十七　切线长定理 例题：如图，的内切圆与、、分别相切于点D、E、F且，则的周长为（    ）．    A．7 B．14 C．10 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线长定理，由此可得，，，根据三角形的周长公式计算即可，掌握切线长定理“从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长度相等”是解题的关键． 【详解】解：的内切圆与、、分别相切于点、、， ，，， ， 的周长： 故选：B． 巩固训练 1．如图，直线、、分别与相切于点、、且，若，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要是考查了切线长定理，平行线的性质，勾股定理，根据平行线的性质以及切线长定理，即可证明，再根据勾股定理即可求得的长，再结合切线长定理即可求解，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：连接， 根据切线长定理得：，，，；   ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：． 2．如图，分别切于点切于点C，分别交于点M，，若，则的周长是 ． 【答案】/15厘米 【分析】本题考查切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，这两条切线的长度相等是解题关键．根据切线长定理可知，，从而可求出，即可求解． 【详解】解：∵切于点C， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 3．已知点是外一点，分别与相切于点． (1)如图①，若，则______； (2)如图②，连接，若，则______°； (3)如图③，点是优弧上一点，连接，若，则______°． 【答案】(1)1 (2)56 (3)60 【分析】本题考查了切线长定理，切线的性质定理，圆周角定理，解题的关键是熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线． （1）根据切线长定理即可解答； （2）根据切线的性质得出，进而得出，即可解答； （3）连接，根据切线的性质得出，进而得出为等边三角形，推出，根据三角形的内角和定理和圆周角定理即可解答． 【详解】（1）解：∵分别与相切于点，， ∴， 故答案为：1． （2）解：是的切线， ， ， ， ， ． 故答案为：56． （3）解：连接，如图， 是的切线， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ． 故答案为：60． 题型十八　三角形周长、面积与内切圆半径关系 例题：正三角形的内切圆半径、外接圆半径和正三角形高的比为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是正多边形和圆，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，利用角所对的直角边等于斜边的一半，得到，然后求出与的关系，计算，与的比，正确画出图形得到相应关系是解题的关键． 【详解】解：如图，画出图形，连接，连接并延长交于点，得到直角三角形，则， ， 是边上的高，， ． ． 即正三角形的内切圆半径、外接圆半径和高的比为． 故选：A． 巩固训练 1．如图，的内切圆与，，分别相切于点D，E，F，且，，则的周长为（　　） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的内切圆，切线长定理，熟练掌握切线长定理是解题的关键．根据切线长定理得到，，，根据，于是得到的周长． 【详解】解：∵的内切圆与，，分别相切于点D，E，F， ∴，，， ∵， ∴， ∴的周长， 故选：A． 2．如图，中，，，是边上的高，，分别是，的内切圆，则与的面积比为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的内切圆性质，圆的面积，先用勾股定理求得得长，再利用内切圆性质求得圆的半径，继而求得面积计算即可． 【详解】∵，，是边上的高， ∴，， ∴，， 设与的半径分别为x，y，则 ∴，， 解得， ∴与的面积比为， 故答案为：． 3．如图，已知． (1)请在图1中用无刻度的直尺和圆规作图：作的内切圆；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，，，则__________．（如需画草图，请使用图2） 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作的角平分线，交于点，过点作的垂线，交于点，以点为圆心，为半径画圆，即为所求； （2）如图，切线长定理求出的长，等积法求出的长，再利用，进行求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）设分别切于点，连接，则：，， 由题意，得：，， 设， ∴，， ∴， ∴， 过点作于点，则：， 设，则：， ∵ ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴； ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的内切圆，切线长定理，解直角三角形．熟练掌握等积法求三角形的内切圆的半径，是解题的关键． 题型十九　三角形的外接圆与内切圆 例题：如图，是的外心，，，则（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了圆周角定理及三角形内角和定理．先利用三角形内角和计算出，在利用三角形外心的性质和圆周角定理得到的度数． 【详解】解：，， ， ， 故选：B． 巩固训练 1．如图，中，，，内心为I，连接并延长交的外接圆于D，若，则  （    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】设的外接圆的圆心为O，连接，，，，根据圆周角定理证得是等边三角形，再根据垂径定理可得，，再根据三角形内心证得，进而解决问题． 【详解】解：如图，设的外接圆的圆心为O，连接，，，， 在中，，，内心为I， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∵I是的内心， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形内切圆与内心、三角形外接圆与外心、垂径定理、圆周角定理、等边三角形的性质与判定、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质，证得是等边三角形是解题的关键． 2．在平面直角坐标系中，O是坐标原点，A、B两点的坐标分别为、，则的内心与外心之间的距离是 ． 【答案】 【分析】 本题根据题意画出图形分析，根据，推出的中点为外接圆圆心，得到的坐标，记为内切圆圆心，连接、、、得到四边形正方形，根据正方形性质和切线长定理，得到，解出，，得到的坐标，利用勾股定理求出的距离，即可解题． 【详解】解： A、B两点的坐标分别为、， ，， ， ， 为外接圆的直径， 取的中点为，即为外接圆圆心， ， 记为内切圆圆心，连接、、、 内切于， ，，，， ， ， 四边形正方形， ， ，， ， ，解得， ， ． 【点睛】本题主要考查对勾股定理，正方形的性质和判定，切线长定理，三角形的外接圆与外心，三角形的内切圆与内心，坐标与图形性质等知识点的理解和掌握，综合运用性质进行推理是解此题的关键． 3．（1）发现：如图1，在平面内，已知的半径为r，B为外一点，且，P为上一动点，连接，易得的最大值为___________，最小值为___________；（用含a，r的代数式表示） （2）应用：①如图2，在矩形中，，E为边中点，F为边上一动点，在平面内沿将翻折得到，连接，则的最小值为___________； ②如图3，点P为线段外一动点，分别以为直角边，P为直角顶点，作等腰和等腰，连接．若，则最大值为___________； （3）拓展：如图4，已知以为直径的半圆O，C为弧上一点，，P为弧上任意一点，交于D，连接，若，则的最小值为___________．    【答案】（1）；（2）①，②；（3） 【分析】（1）当P在延长线上时，最大为：．当P在上时，最小为：． （2）①由沿将翻折得到，可知，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆，则当E、P、B三点共线时，小，此时进而即可求解；②由和是等腰直角三角形，可证，得，进而 ，当C、A、B三点共线时，最大，进而可求解； （3）以为边作，在的异侧作等边，为半圆O的直径，，由，由是等边三角形，可得，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，进而可求； 【详解】解：（1）当P在延长线上时最大，如图：        ∴最大为：． 当P在上时最小，如图：     ∴最小为：． 故答案为∶． （2）①如图：      ∵沿将翻折得到， ∴，即P的运动轨迹是以点E为圆心，以2为半径的半圆， ∴当E、P、B三点共线时，小，此时， ∴的最小值为， 故答案为：． ②∵和是等腰直角三角形， ∴， ∴ ，即， ∴， ∴， ∴当最大时，就最大， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴当C、A、B三点共线时，最大，如图：    ∴此时． （3）以为边作，在的异侧作等边，      ∵为半圆O的直径，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，即D的运动轨迹是G为圆心，为半径的，而， ∴， 在中，， ∴， 当G、D、B三点共线时，BD最小，如图：    ∴最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的综合应用，涉及翻折变换，全等三角形的判定及性质，三角形两边之差小于第三边等知识，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，等边三角形及转化思想的应用，综合性较强． 题型二十　圆的切线定理 例题：如图，是的直径，M是的中点，弦于点M，过点D作交的延长线于点E． (1)连接，求的度数； (2)求证：与相切； (3)点F在弧上，，交于点N．若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3) 【分析】（1）由和是的中点，得出垂直平分，再利用三角函数可以得到，进而得到是等边三角形，． （2）先通过证明，则，所以，结合，则，即可作答． （3）先得出，因为，可以证明，，由（1）可知，，再根据特殊角的三角函数值可以得到的数值． 【详解】（1）解：如图，连接，， 是的直径，， 垂直平分， 是的中点， ， ， ， 又， 是等边三角形， ． 故答案为：60； （2）证明：，是的直径， ， 是的中点， ， 又， ， ， ， ， ， ∵是半径， 与相切． （3）解：如图，连接，， 于， 是中点， ， ， ， ， ， 由（1）可知， ， 在中，，，， ， 在中，，，， ， 由（1）知， ， 在中，，，， ． 【点睛】本题考查圆的综合运用，垂径定理、切线的判定，锐角三角函数，全等三角形的判定与性质，需要学生能具有较强的推理和运算能力．正确掌握相关性质内容是解题的关键． 巩固训练 1．综合探究 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点F，在下方作，过点C作，垂足为点E． (1)求证：； (2)求证：是的切线； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据已知条件先证明，然后利用即可证明． （2）由（1）可得，由已知条件可得，得出，推出，再由平行线的性质可得． （3）连接，可得，且，进一步求得和，即可求得． 【详解】（1）证明：∵以为直径的交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 在和中， ； （2）解：由（1）可知， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的切线． （3）解：连接，如图， ∵，且以为直径 ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 则． 【点睛】本题主要考查直径所对圆周角为直角、全等三角形的判定和性质、平行线的判定、切线的判定定理、勾股定理以及三线合一的性质，解题的关键是熟练直径所对圆周角为直角和切线的判定． 2．如图，四边形内接于，，点在的延长线上，且． (1)求证：是的切线； (2)若，当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先判断出是圆的直径，再判断出，即可得出结论； （2）先判断出，进而求出，再用勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， 点必在上，即：是直径， ， ， ， ， ∵， ， ， ，即：， 点在上， 是的切线； （2）解：， ， ， 即， ，， 在中，， ， ． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理，垂径定理，三角形的面积公式，切线的判定和性质，勾股定理，求出是解本题的关键． 3．如图，为的直径，过圆上一点D作的切线交的延长线于点C，过点O作，交于点E，连接． (1)求证：直线与相切； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)6 【分析】（1）如图，连接，由与相切于点D，可得，由，可得，由，可得，则，证明，则，进而结论得证； （2）设⊙O的半径为r，则，由勾股定理得，，即，可求，则，，由（1）知，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵与相切于点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴直线与相切； （2）解：设⊙O的半径为r，则， 由勾股定理得，，即， 解得， ∴， ∴， 由（1）知， ∴， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴的长为6． 【点睛】本题考查了切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识．熟练掌握切线的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理是解题的关键． 题型二十一　正多边形——尺规作图 例题：如图，是中互相垂直的两条直径，以点A为圆心，为半径画弧，与交于E、F两点． (1)求证：是正六边形的一边； (2)请在图上继续画出这个正六边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了正多边形和圆，熟悉正六边形的性质、尺规作图是解题的关键． （1）连接，得到是等边三角形，从而得到是正六边形的一边； （2）用以的长为圆规两脚间的距离，分别在圆上截得相等的弧长． 【详解】（1）证明：连接，如图． ∵， ∴是等边三角形， ， ∴是正六边形的一边； （2）解：如图所示， 用圆规截去弧的弧长，然后以E点、点B为圆心，为半径画弧，与交于G、H两点，顺次将点A、E、G、B、H、F连接起来，就得到正六边形． 巩固训练 1．请用圆规和直尺作图，不写作法，但要保留作图痕迹． 已知：⊙O，点A在圆上． 求作：以A为一顶点作圆内接正方形ABCD． 【答案】见解析 【分析】作直径AC，过点O作BD⊥AC交⊙O于B，D，连接AB，BC，CD，AD即可． 【详解】如图，四边形ABCD即为所求作． 【点睛】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 2．已知：如图，A为⊙O上一点；求作：⊙O的内接正方形ABCD． 【答案】见解析 【分析】先作直径AC，再过O点作AC的垂线交⊙O于D、B，然后连接AB、AD、CD、CB即可． 【详解】解：如图，四边形ABCD为所作． 【点睛】本题考查了作图——复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 3．已知正六边形ABCDEF，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图． （1）在图①中，以AB为边作等边三角形； （2）在图②中，作一个含30°的直角三角形． 【答案】（1）见详解；（2）见详解 【分析】（1）连接AD，BE交于点O，即可得到所求三角形； （2）连接AC，CF，即可得到所求三角形； 【详解】（1）如图①所示：∆AOB即为所求三角形； （2）如图②所示：∆ACF即为所求三角形． 【点睛】本题主要考查正六边形的性质，熟练掌握正六边形的每条边都相等，每个内角都等于120°，是解题的关键． 题型二十二　求不规则图形面积 例题：（1）课本再现：如图，，是的两条切线，切点分别为，．则图中的与，与有什么关系？请说明理由， （2）知识应用：如图，、、分别与相切于点、、，且，连接、，延长交于点，交于点，过点作交于． ①求证：是的切线； ②当，时，求的半径及图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②半径是，图中阴影部分的面积是 【分析】本题考查圆的切线的证明、扇形的面积计算等，解题的关键在于熟练掌握圆的知识点，切线的证明与性质，圆中的相关面积计算等． （1）连接和，根据切线的性质，可得，即可得出结论； （2）①根据题意求证，即可得出，即可得出答案；②根据，求出的长，再用三角形面积减去扇形面积即可得出答案． 【详解】（1）证明：如图，连接和， 和是的两条切线， ，． 又，． ， ，． （2）①证明：、、分别与相切于点、、， 、分别平分、． 又． ． ． 又， ， 又经过半径的外端点， 是的切线． ②解：连接，则， ，， ∴， ∴， ， 即⊙O的半径为． ∴ 综上所述：的半径是，图中阴影部分的面积是． 巩固训练 1．如图，是的直径，是上一点，是的中点，为延长线上一点，且，与交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，求出阴影部分面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（）连接，由圆周角定理及直角三角形的性质可得出，则可得出结论； （）证明为等边三角形，得出，，进而由计算即可求解． 【详解】（1）证明：连接， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 又∵是的直径， ∴是的切线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，解直角三角形三角形，扇形的面积，正确作出辅助线是解题的关键． 2．如图，是的直径，是的一条弦，直线为的切线，，交的延长线于点E (1)求证：； (2)连接，延长交于点F，延长交于点G．当F为的中点时，求证：； (3)若的半径为6，在（2）的条件下，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据切线的性质可得，根据圆周角定理可得，再由等腰三角形的性质及角的转换即可得证； （2）由垂径定理和等边三角形的性质即可得证； （3）通过证明得到是等边三角形，再根据进行计算即可得到答案． 【详解】（1）证明：连接，如图1，    图1 ∵直线为的切线， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图2，连接并延长交于，    图2 ∵， ∴， ∴， ∵，为的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由（1），， ∴， ∴； （3）解：如图3，    图3 由（1）， 由（2）， ∴， ∴， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， ∴是等边三角形， ∴，， ． 【点睛】本题主要考查了圆的切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、扇形面积的计算，熟练掌握圆的切线的性质、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，添加适当的辅助线是解题的关键． 3．如图，在中，，是中点，以为圆心，为半径作，分别交及其延长线、于，，点，连接交于点． (1)求证：是的切线； (2)若是的中点，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】此题重点考查圆中不规则图形的面积、等腰三角形的“三线合一”、切线的判定定理、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、锐角三角函数与解直角三角形等知识，证明及求得是解题的关键． （1）连接，由，是中点，得，即可证明是的切线； （2）由是的中点，得，推出，再证，则可求出，和，最后可由求解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ，是中点， ， 是的半径， 是的切线； （2）解：是的中点，， ， ， ， ，是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积是． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！87 学科网（北京）股份有限公司 $$