专题04 圆中的重要模型之圆弧的中点模型（几何模型讲义）数学华东师大版九年级下册

该初中数学单元复习讲义聚焦圆中圆弧中点模型，通过“模型来源-真题示例-提炼模型-模型运用”递进框架梳理知识，用结构框架图呈现垂径定理相关、圆周角定理相关（母子模型）、两者结合的三大模型，明确各模型条件、结论及证明逻辑，突出核心定理内在联系与重难点。 讲义亮点在于真题驱动的模型化教学，结合2025年广东深圳模拟题“选择条件证明切线”问题，引导学生用数学思维构建辅助线，培养推理意识与几何直观。例题分层设计基础应用与综合压轴题，基础学生掌握模型通法，优秀学生突破复杂题，为教师分层教学和学生自主复习提供精准支持。

专题04 圆中的重要模型之圆弧的中点模型 当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。 当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.与垂径定理相关的中点模型 6 模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 9 模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 12 16 ‌ 圆弧中点是初中数学圆几何中的重要解题工具，主要来源于对圆中垂径定理和圆周角定理的深入应用。该模型通过连接圆心与弧中点，构造垂径关系或利用圆周角性质，解决与切线、相似三角形、线段比例等相关的问题。圆弧中点模型作为几何学中处理弧中点性质的核心工具，其历史演进融合了东西方数学思想。 古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中证明的‌托勒密定理，首次隐含圆弧中点对弦长比例的约束作用，为模型提供了早期定量基础。阿拉伯学者的核心突破‌系统完善‌垂径定理‌：严格证明圆弧中点与圆心的连线必垂直平分对应弦，确立“弧中点→弦中点→垂直关系”的逻辑链条。宋代数学家基于弦长与圆心角关系，明确“等弧对等弦”性质，强化圆弧中点的对称应用。 （2025·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt中，，点为斜边上一点，以为直径的交于点，交于点，连接，与的延长线相交于点． (1)请从以下条件中：①；②点是弧的中点；③．选择一个能证明是切线的条件，你选择的条件是___________，并写出证明过程； (2)若是的切线，连接，若，，求的长． （24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，交于点G，延长，交于点F． (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，若，，求的半径． 1）与垂径定理相关的中点模型 图1 图2 图3 1）条件：如图1，已知点P是中点，连接OP，结论：OP⊥AB； 2）条件：如图2，已知点P是中点，过点P作MN∥AB，结论：MN是圆O的切线； 3）条件：如图3，点P是中点，连接BP、AP，若∠BPN=∠A，结论：MN是圆O切线。 证明：1）根据垂径定理易得：OP⊥AB； 2）由1）知：OP⊥AB，∵MN∥AB，∴OP⊥MN，∴MN是圆O的切线。 3）由1）知：OP⊥AB，∴∠BPO+∠ABP=90°，∵P是中点，∴，∴∠ABP=∠BAP， ∵∠BPN=∠A，∴∠BPN=∠ABP，∴∠BPO+∠BPN=90°，∴MN是圆O的切线。 2）与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 1）条件：如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，结论：∠PCA=∠PCB． 2）条件：如图2，已知点P是半圆中点，结论：∠PCA=∠PCB=45°． 3）条件：如图3，已知点P是中点，结论：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC； △PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。 证明：1）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB， 2）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB， ∵AB是直径，∴∠CPB=90°，∴∠PCA=∠PCB=45°， 3）∵P是中点，∴，∴∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB， ∵∠PCA=∠PAD，∠APD=∠CPA，∴△PDA∽△PAC； ∵∠PCB=∠APB，∠BPD=∠CPB，∴△PDB∽△PBC； ∵，∴∠P=∠B，∵∠PCB=∠ACP，∴△CAP∽△CDB； ∵，∴∠P=∠A，∵∠ACD=∠PCB，∴△CAD∽△CPB。 3）垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 条件：如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，连结PB交AC于点F。 结论：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB． 证明：1）∵P是中点，∴， ∵AB是直径，PH⊥AB，∴，∴.∴∠APD=∠PAD，∴AD=PD， ∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴∠PAD+∠PFA=90°，∠APD+∠FPD=90°， ∴FPD=∠PFA，∴FD=PD，∴AD=PD=FD，∵，∴，∴PQ=AC， ∵，∴∠APQ=∠PCA，∵∠DAP=∠PAC，∴△PAC∽△DAP；∴，∴AP2=AD×AC， ∵，∴∠APQ=∠ABP，∵∠HAP=∠PAB，∴△HAP∽△PAB；∴，∴AP2=AH×AB， ∵，∴∠PAC=∠ABP，∵∠APF=∠BPA，∴△APF∽△BPA；∴，∴AP2=PF×PB， 模型1.与垂径定理相关的中点模型 例1（2025·安徽合肥二模）如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（    ）． A． B． C．3 D．4 例2（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，弦与直径交于点，点是圆上一点，点为的中点，过点的切线与延长线交于点，且，若，，则 ， ． 例3（2024·云南文山·一模）如图， 是 的直径， C、D在上， 且点 A 是 的中点，连接交于点E， 延长和相交于点 P， 过点A作交于点G． (1)求证: 直线 是的切线；(2)若， 求的值； (3)过点 P作的切线，切点为Q， 若，求m与n之间的关系． 例4（2024·宁夏银川·二模）（1）尺规作图：确定点D，E的位置，使得点D是的中点，交直线于点E；（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：是的切线； （3）连接，交于点F，若，求的长． 模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 例1（2025·甘肃陇南·二模）如图，四边形内接于，点是弧的中点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2（2023·安徽·一模）如图，在半径为3的中，点C是优弧的中点，是的直径，若，则劣弧的长为 ． 例3（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，为的直径，是弧的中点，与分别交于点．(1)求证：；(2)若，①求的值；②求的值． 例4（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，点C在以为直径的上，点D是半圆的中点，连接，，，．过点D作交的延长线于点H． (1)求证：直线是的切线；(2)若，，求的长． 模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 例1（2025·浙江金华·校考二模）如图，是的直径，C是上一点，点D是弧的中点，于点E，交于点F，已知，的半径为2，则的长为 ． 例2（2025·浙江·九年级校考阶段练习）如图，四边形内接于，为直径，，过D作于点E，交于点F，连接，，．当点P为下面半圆弧的中点时，连接交于H，则的长为（　　）    A． B． C． D．12 例3（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦相交于点． (1)求的度数；(2)若，求的长． 例4（2024·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，为上一点，为弧的中点，过点作于点，交过点的切线于点，交弦于点，连接． (1)求证：；(2)若，求弧的长． 1．（24-25·浙江·九年级期中）如图，是半径为8的的弦，点C是优弧的中点，，则弦的长度是（    ） A．8 B．4 C． D． 2．（24-25·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在中，点A是的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（2024·湖南长沙·统考一模）如图，已知是的直径，与相切于点，与相交于点，是弧的中点，现有如下几个结论：，，，，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 4．（2025·山西晋中·校考模拟预测）如图，是的直径，点、在上，点为弧的中点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25·安徽·九年级校联考开学考试）如图，已知点均在上，为的直径，弦的延长线与弦的延长线交于点，连接．则下列命题为假命题的是（   ）    A．若点是的中点，则 B．若，则 C．若，则 D．若半径平分弦，则四边形是平行四边形 6．（24-25·江苏·九年级假期作业）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 7．（24-25·广东深圳·九年级校考期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 8．（2025·陕西西安·校考三模）如图，是的直径，为上的点，是的中点，连接，，若，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 9．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，点A是优弧的中点，过点B作的垂线交于点E，与圆交于点D．若，且，则圆的半径为（    ）    A． B．3 C． D． 10．（2025·山东临沂·统考一模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，点为的中点，连接，，，与相交于点，过点作直线，交的延长线于点． (1)求证：是的切线；(2)若，，求阴影部分的面积． 11．（2025·福建龙岩·统考一模）如图，点C是的中点，直线与相切于点C，直线与切线相交于点E，与相交于另一点D，连接，． (1)求证：；(2)若，求的度数． 12．（2025·北京·统考二模）如图，是直径，是上一点，过点作直线，使． (1)求证：是的切线；(2)点是弧中点，连接并延长，分别交于点，若，，求线段的长． 13．（24-25·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知是圆的直径，点在圆上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点 (1)若圆的半径为，且点为弧的中点时，求线段的长度； (2)在（1）的条件下，当，α时，求线段的长度；（答案用含α的代数式表示） (3)若，且，求的面积． 14.（2025·云南·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，点D是劣弧的中点，直径交于点 G，在劣弧上取一点 B，使得，延长至H，连接，使． (1)若，求的度数；(2)求证：直线是的切线；(3)若且，你认为的值是否等于一个常数k，若是，求出k的值；若不是，请说明理由． 15．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． (1)求的度数；(2)若，求直径的长． 16．（2024·四川成都·校考二模）如图，是的一条弦，点是中点，连接，，交于点．过点作的切线交的延长线于点，延长交于点，连接交于点，连接．(1)求证：；(2)已知，求的值．    17．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在中，以为直径作，恰好经过点，点为半圆中点，连接，过作交延长线于点． (1)求证：为切线；(2)若，，求的半径长．    18．（2025·湖北恩施·统考二模）如图，以为直径的经过的边的中点，与边交于点为的中点，且直线与的延长线交于点． (1)求证：是的切线；(2)若点为的中点，，求的长；(3)求证：．    19．（2025·云南文山·二模）如图，A、B、C、D在上，点D是的中点，连接、、、，过点D作交延长线于点E．(1)求证：是的切线；(2)点P是弦下方圆上的一个动点，连接和，过点D作于点H，点P在运动过程中，的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出这个比值．    20．（2025·天津河东·二模）已知，⊙O的半径为3，点A，B，C在⊙O上.    (1)如图①，若四边形是平行四边形，求的大小和的长；(2)如图②，是⊙O的直径，为弧的中点，过点作⊙O的切线交的延长线于点E，若，求的长. 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 圆中的重要模型之圆弧的中点模型 当圆中出现弧的中点时，我们要注意考虑几个方面：三角形的中位线，垂径定理，圆周角定理，弦，弧，圆心角，圆周角的关系等等。其关系复杂，在理解其做辅助线的方法和分析技巧的基础之上，还要注意各知识点之间的联系，才是形成稳固的解题思路以及推导模式的最佳选择，以便于最后才能突破复杂的综合题型以及压轴题型。 当圆中出现弦的中点或弧的中点时，我们联想到的是利用垂径定理以及圆周角定理进行思路的突破，这样的解决方式比较直接，而且能够提高大家解题的效率。 1 模型来源 1 真题现模型 2 提炼模型 4 模型运用 6 模型1.与垂径定理相关的中点模型 6 模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 9 模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 12 16 ‌ 圆弧中点是初中数学圆几何中的重要解题工具，主要来源于对圆中垂径定理和圆周角定理的深入应用。该模型通过连接圆心与弧中点，构造垂径关系或利用圆周角性质，解决与切线、相似三角形、线段比例等相关的问题。圆弧中点模型作为几何学中处理弧中点性质的核心工具，其历史演进融合了东西方数学思想。 古希腊数学家托勒密在《天文学大成》中证明的‌托勒密定理，首次隐含圆弧中点对弦长比例的约束作用，为模型提供了早期定量基础。阿拉伯学者的核心突破‌系统完善‌垂径定理‌：严格证明圆弧中点与圆心的连线必垂直平分对应弦，确立“弧中点→弦中点→垂直关系”的逻辑链条。宋代数学家基于弦长与圆心角关系，明确“等弧对等弦”性质，强化圆弧中点的对称应用。 （2025·广东深圳·模拟预测）如图，在Rt中，，点为斜边上一点，以为直径的交于点，交于点，连接，与的延长线相交于点． (1)请从以下条件中：①；②点是弧的中点；③．选择一个能证明是切线的条件，你选择的条件是___________，并写出证明过程； (2)若是的切线，连接，若，，求的长． 【答案】(1)②，证明见解析(2) 【详解】（1）解：选择条件②，证明如下：连接，，则：， ∵点是弧的中点，∴，∴，∴， ∴，∴，∴， 又∵是的半径，∴是切线； （2）∵为直径，∴，∵，∴， ∵是切线，∴，∴， ∴，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， 在中，，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，即：，∴，∴． （24-25九年级上·湖北荆州·期中）如图，为的直径，点C，D为直径同侧圆上的点，且点D为的中点，过点D作于点E，交于点G，延长，交于点F． (1)如图①，若，求证：；(2)如图②，若，，求的半径． 【答案】(1)见解析(2)的半径为 【详解】（1）证明：如图①，连接，， ，，， ∵点D为的中点，，，，； （2）解：如图②，连接，，为的直径，，，， ，，，，， 设的半径为r，则，在中，， ，解得，的半径为． 1）与垂径定理相关的中点模型 图1 图2 图3 1）条件：如图1，已知点P是中点，连接OP，结论：OP⊥AB； 2）条件：如图2，已知点P是中点，过点P作MN∥AB，结论：MN是圆O的切线； 3）条件：如图3，点P是中点，连接BP、AP，若∠BPN=∠A，结论：MN是圆O切线。 证明：1）根据垂径定理易得：OP⊥AB； 2）由1）知：OP⊥AB，∵MN∥AB，∴OP⊥MN，∴MN是圆O的切线。 3）由1）知：OP⊥AB，∴∠BPO+∠ABP=90°，∵P是中点，∴，∴∠ABP=∠BAP， ∵∠BPN=∠A，∴∠BPN=∠ABP，∴∠BPO+∠BPN=90°，∴MN是圆O的切线。 2）与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 1）条件：如图1，已知点P是中点，点C是圆上一点，结论：∠PCA=∠PCB． 2）条件：如图2，已知点P是半圆中点，结论：∠PCA=∠PCB=45°． 3）条件：如图3，已知点P是中点，结论：∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB；△PDA∽△PAC； △PDB∽△PBC；△CAP∽△CDB；△CAD∽△CPB。 证明：1）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB， 2）∵P是中点，∴，∴∠PCA=∠PCB， ∵AB是直径，∴∠CPB=90°，∴∠PCA=∠PCB=45°， 3）∵P是中点，∴，∴∠PBA=∠PCA=∠PCB=∠PAB， ∵∠PCA=∠PAD，∠APD=∠CPA，∴△PDA∽△PAC； ∵∠PCB=∠APB，∠BPD=∠CPB，∴△PDB∽△PBC； ∵，∴∠P=∠B，∵∠PCB=∠ACP，∴△CAP∽△CDB； ∵，∴∠P=∠A，∵∠ACD=∠PCB，∴△CAD∽△CPB。 3）垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 条件：如图，AB是直径，点P是中点，过点P作PH⊥AB交AB于点H，连结PB交AC于点F。 结论：AD=PD=FD，PQ=AC，AP2=AD×AC=AH×AB=PF×PB． 证明：1）∵P是中点，∴， ∵AB是直径，PH⊥AB，∴，∴.∴∠APD=∠PAD，∴AD=PD， ∵AB是直径，∴∠APB=90°，∴∠PAD+∠PFA=90°，∠APD+∠FPD=90°， ∴FPD=∠PFA，∴FD=PD，∴AD=PD=FD，∵，∴，∴PQ=AC， ∵，∴∠APQ=∠PCA，∵∠DAP=∠PAC，∴△PAC∽△DAP；∴，∴AP2=AD×AC， ∵，∴∠APQ=∠ABP，∵∠HAP=∠PAB，∴△HAP∽△PAB；∴，∴AP2=AH×AB， ∵，∴∠PAC=∠ABP，∵∠APF=∠BPA，∴△APF∽△BPA；∴，∴AP2=PF×PB， 模型1.与垂径定理相关的中点模型 例1（2025·安徽合肥二模）如图，在中，，，，D是的中点，则的长为（    ）． A． B． C．3 D．4 【答案】A 【详解】解：如图：连接，连接交点H ∵即∴为的直径 在中，，则∴ ∵点D为的中点∴∴ 在中，，则∴ 在中，，则．故选：A． 例2（2025·重庆·模拟预测）如图，在中，弦与直径交于点，点是圆上一点，点为的中点，过点的切线与延长线交于点，且，若，，则 ， ． 【答案】 1 【详解】解：连接，如图；∵点为的中点，是直径，∴垂直平分， ，   ， 设，则，， ，， 在中，，， 解得（负值不合题意，已经舍去），； 连接，过作于点，是的切线 ，， ，  ，， ，，（同弧所对的圆周角相等）， ，，， 四边形为平行四边形，， 由（1）知，在中，，，， ，，    ，，， ，，．故答案为：1，． 例3（2024·云南文山·一模）如图， 是 的直径， C、D在上， 且点 A 是 的中点，连接交于点E， 延长和相交于点 P， 过点A作交于点G． (1)求证: 直线 是的切线；(2)若， 求的值； (3)过点 P作的切线，切点为Q， 若，求m与n之间的关系． 【答案】(1)见解析(2)6(3) 【详解】（1）证明：∵是⊙O 的直径，∴，∴， ∵点 A 是 的中点，∴，∵，∴， ∵，∴，即，∴直线 是⊙O 的切线； （2）∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴（负值舍去）； （3）过点P作⊙O的切线，连接，过点O作，交于点F，交于点H，如图所示： ∴，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴， ∵，，∴， ∵，∴代入得：，∴． 例4（2024·宁夏银川·二模）（1）尺规作图：确定点D，E的位置，使得点D是的中点，交直线于点E；（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）的条件下，求证：是的切线； （3）连接，交于点F，若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【详解】（1）解：根据题意，作线段的垂直平分线，交于点D，根据垂径定理，得到点D是的中点；过点D作，交直线于点E即可．如图所示： （2）证明：设交于M，∵D是的中点，∴， ∵经过圆心，∴，，∴， ∵，∴，∵是半径，∴是的切线； （3）解：∵是的直径，∴， ∵，∴，，过点F作于点G， ∵D是的中点，∴，∴，∴， 设，则，∴， 解得，∴． 模型2.与圆周角定理相关的中点模型（母子模型） 例1（2025·甘肃陇南·二模）如图，四边形内接于，点是弧的中点，连接，．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形内接于，，∴， ∵点是的中点，∴，∴， 故选：B． 例2（2023·安徽·一模）如图，在半径为3的中，点C是优弧的中点，是的直径，若，则劣弧的长为 ． 【答案】 【详解】解：连接，，，∵是的直径，∴， ， ∵，∴，∴，∵点C是优弧的中点，∴，∴， ∴，∴，∴， ∴劣弧的长为．故答案为：． 例3（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，为的直径，是弧的中点，与分别交于点．(1)求证：；(2)若，①求的值；②求的值． 【答案】(1)证明见解析(2)①；② 【详解】（1）证明：∵为弧的中点，为的半径，∴，即， 又∵为的直径，∴，∴，∴； （2）解：①∵为弧的中点，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，，∴，∴， 设，则，，∴； ②∵，∴，∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴，∴． 例4（2025·辽宁本溪·模拟预测）如图，点C在以为直径的上，点D是半圆的中点，连接，，，．过点D作交的延长线于点H． (1)求证：直线是的切线；(2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析；(2)． 【详解】（1）解：证明：连接， ∵为的直径，点D是半圆的中点，∴， ∵，∴，∴，是半径，∴直线是的切线． （2）解：连接，∵为O的直径，∴， ∵点D是半圆的中点，∴，∴，∴是等腰直角三角形， ∵，∴， ∵，，∴，∵四边形是圆内接四边形，∴， ∵，∴，由（1）知，，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴，∴，解得： 模型3.垂径定理与圆周角定理结合的中点模型 例1（2025·浙江金华·校考二模）如图，是的直径，C是上一点，点D是弧的中点，于点E，交于点F，已知，的半径为2，则的长为 ． 【答案】 【详解】解：延长交于点G，连接、，如图所示： ∵点D是弧的中点，∴， 又∵，∴，∴，∴，∴， ∵是的直径，的半径为2，∴， ∴，，∴， ∵∴，∴；即：， ∵，∴，∴， 设，则，在中，由勾股定理得： ，解得：，∴，故答案为：． 例2（2025·浙江·九年级校考阶段练习）如图，四边形内接于，为直径，，过D作于点E，交于点F，连接，，．当点P为下面半圆弧的中点时，连接交于H，则的长为（　　）    A． B． C． D．12 【答案】A 【详解】解：连接，如图，    ∵为直径，∴，∵，∴， 而，∴，∵，∴， 而，∴，∴，∴， 在和中，∵，∴， ∴，，∴， ∵P为下面半圆弧的中点，∴，∴， ∴点H是的内心，∴平分，∴， ∵，∴， ∴， ∵，∴是等腰直角三角形，∴，故选：A． 例3（23-24九年级上·山东泰安·阶段练习）如图，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦相交于点． (1)求的度数；(2)若，求的长． 【答案】(1)(2)18 【详解】（1）解：与相切，，， ，，，， ，即，，； （2）解：如图，连接，为的直径，， 点是的中点，，， 在中，，，，， 在中， ，，． 例4（2024·安徽蚌埠·三模）如图，是的直径，为上一点，为弧的中点，过点作于点，交过点的切线于点，交弦于点，连接． (1)求证：；(2)若，求弧的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）解：连接 为的切线 ∵，； （2）解：连接 点为弧的中点 又弧． 1．（24-25·浙江·九年级期中）如图，是半径为8的的弦，点C是优弧的中点，，则弦的长度是（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【详解】解：连接，过点O作，如图所示， ∵点C是优弧的中点，∴，∵，∴是等边三角形，∴， ∵的半径为8，∴，∴，∴，故选：D． 2．（24-25·浙江温州·九年级校考阶段练习）如图，在中，点A是的中点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：点是的中点，，．故选：D． 3．（2024·湖南长沙·统考一模）如图，已知是的直径，与相切于点，与相交于点，是弧的中点，现有如下几个结论：，，，，其中正确的个数为（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：∵是的直径，与相切于点，∴，∴正确； ∵是弧的中点、∴∴，， ∵所对的圆周角是，∴， ∴∴，∴正确； ∵所对的圆心角是，所对的圆周角是， ∴，∴正确；∵，， 但无法证明与的等量关系，∴，∴错误； 综上所述，正确的为：共3个．故选：C． 4．（2025·山西晋中·校考模拟预测）如图，是的直径，点、在上，点为弧的中点，若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵是的直径，点为弧的中点， ∴的度数为，的度数为，∴， ∵，∴， ∵（8字型图），∴；故选C． 5．（24-25·安徽·九年级校联考开学考试）如图，已知点均在上，为的直径，弦的延长线与弦的延长线交于点，连接．则下列命题为假命题的是（   ）    A．若点是的中点，则 B．若，则 C．若，则 D．若半径平分弦，则四边形是平行四边形 【答案】D 【详解】解：点是的中点，，，故选项A是真命题，不符合题意； 为的直径，，即， 若，则，，故选项B是真命题，不符合题意； 若，则是等腰三角形， ，，故选项C是真命题，不符合题意； 由半径平分弦，不能证明四边形是平行四边形，故选项D是假命题，符合题意；故选：D． 6．（24-25·江苏·九年级假期作业）如图，的顶点A、B、C均在上，点A是中点，则下列结论正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、∵点A是中点， ∴，∴，无法得出，故选项A错误； B、如图：连接，∵，∴， ∵，∴， ∴，故此选项正确； C、∵，∴，故选项C错误； D、无法得出，故选项D错误．故选：B．    7．（24-25·广东深圳·九年级校考期中）如图，点是的内心，的延长线和的外接圆相交于点，与相交于点，则下列结论：①；②若，则；③若点为的中点，则；④．其中一定正确的个数是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：∵点是的内心，∴平分，∴，故①正确； 如图，连接，，∵点是的内心，∴，， ∵，∴，∴， ∴，故②不正确；    ∵，∴，∴， ∵点为的中点，∴，∴，故③正确； 如图，连接，∵点是的内心，∴平分，∴， ∵，∴， ∴，∴，故④正确，∴一定正确的是①③④，共3个，故选：C． 8．（2025·陕西西安·校考三模）如图，是的直径，为上的点，是的中点，连接，，若，则的度数是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：连接，，    ，，， 是的中点，，．故选：C． 9．（2025·陕西西安·校考模拟预测）如图，点A是优弧的中点，过点B作的垂线交于点E，与圆交于点D．若，且，则圆的半径为（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，连接，    ∵，∴，∵，∴，∴， ∵点A是优弧的中点，∴，∴，∴，∴， ∵，，∴，∴，， ∵，∴，∴是圆的直径， ∵，，∴，∴， ∴，∴圆的直径为，∴圆的半径为．故选：A． 10．（2025·山东临沂·统考一模）如图，是半圆的直径，点在半圆上，点为的中点，连接，，，与相交于点，过点作直线，交的延长线于点． (1)求证：是的切线；(2)若，，求阴影部分的面积． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：如图所示，连接， 点为的中点，， ，．是的切线． （2）解：如图所示，连接、，过点作，垂足是， ，点为的中点，， ，， 又，是等边三角形， 是半圆的直径，， 在中，，， ，，， ． 11．（2025·福建龙岩·统考一模）如图，点C是的中点，直线与相切于点C，直线与切线相交于点E，与相交于另一点D，连接，． (1)求证：；(2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：连接，， ∵点C是的中点，∴，∴， 又∵，∴， ∵直线EF与相切于点C，∴，∴； （2）解：∵，∴，∴， 由（1）知，，∴，即， ∵，，∴，∴， ∴． 12．（2025·北京·统考二模）如图，是直径，是上一点，过点作直线，使． (1)求证：是的切线；(2)点是弧中点，连接并延长，分别交于点，若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）∵是直径，∴，∴， ∵，∴，∴， ∵是直径，∴是的切线； （2）如图所示，∵，∴， ∵，∴，∴， ∵点是弧中点，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，即， ∴解得，∴． 13．（24-25·浙江杭州·九年级校考阶段练习）如图，已知是圆的直径，点在圆上，且，过点作弦的平行线与的延长线交于点 (1)若圆的半径为，且点为弧的中点时，求线段的长度； (2)在（1）的条件下，当，α时，求线段的长度；（答案用含α的代数式表示） (3)若，且，求的面积． 【答案】(1)；(2)；(3)108． 【详解】（1）解∶如图，过作于，连接，则， ∵是圆的直径，∴， ∵点为弧的中点，∴弧弧，∴， ∴，∴，∴， ∵圆的半径为，即，∴，∴； （2）解：∵，，∴， ∵，∴，∴， 由可知，∴； （3）解：如图，连接，，，并延长至点， ∵是圆的直径，∴， ∵，，∴垂直平分，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴，∴即， 设，则，∴，，∴，， ∵，∴，∵，∴，， ∴，即，解， ∴，∴的面积． 14.（2025·云南·模拟预测）如图，是四边形的外接圆，点D是劣弧的中点，直径交于点 G，在劣弧上取一点 B，使得，延长至H，连接，使． (1)若，求的度数；(2)求证：直线是的切线；(3)若且，你认为的值是否等于一个常数k，若是，求出k的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)(2)见解析(3)是， 【详解】（1）解：是四边形的外接圆，， ，； （2）证明：如图，连接， 是直径，，，，， ，，即，， ∵为半径，∴直线是的切线； （3）解：如图，连接、、、．延长、交于点， ∵点是劣弧的中点，∴劣弧劣弧，∴， ∵，，∴、、三点都在的垂直平分线上， ∴是的直径，∴， ∵是直径，∴，∴，∴∴， 又，∴，， ∵四边形是圆内接四边形，∴， ∵，∴， ∵，∴，， ∵、为直径，∴，∴和是直角三角形， 在和中，，∴，∴， ∵，∴设，，，， ，，，， ∵，． 15．（2023·山东济南·统考中考真题）如图，，为的直径，为上一点，过点的切线与的延长线交于点，，点是的中点，弦，相交于点． (1)求的度数；(2)若，求直径的长． 【答案】(1)(2) 【详解】（1）解：∵与相切于点， ∴，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，即， ∴，∴； （2）解：如图，连接，    ∵是直径，∴，∵点是的中点，∴， ∴， 在中，∵，，∴， 在中，∵，∴，∴的直径的长为． 16．（2024·四川成都·校考二模）如图，是的一条弦，点是中点，连接，，交于点．过点作的切线交的延长线于点，延长交于点，连接交于点，连接．(1)求证：；(2)已知，求的值．    【答案】(1)见解析(2) 【详解】（1）证明：∵切于，∴直径，∴， ∵是的直径，，，， ∵，∴； （2）解：如图所示，连接，    ∵C是中点，， ∵，，，， ∵，∴，∴， ，由（1）知， ∴，， ，． 17．（2025·辽宁鞍山·二模）如图，在中，以为直径作，恰好经过点，点为半圆中点，连接，过作交延长线于点．    (1)求证：为切线；(2)若，，求的半径长． 【答案】(1)证明见解析(2) 【详解】（1）如图，连接，    ∵点为半圆中点，∴． ∵，∴．∴为切线． （2）过点作，如图所示，    ∵，∴．∴． ∵，∴．∴．∴． ∵，∴是等腰直角三角形， ∴．即的半径长是． 18．（2025·湖北恩施·统考二模）如图，以为直径的经过的边的中点，与边交于点为的中点，且直线与的延长线交于点．    (1)求证：是的切线；(2)若点为的中点，，求的长；(3)求证：． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)证明见解析 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵D是的中点，∴，∵，∴， ∵E为的中点，∴；∵，∴，∴， ∵，∴，∴，∴，∴， 又∵是的半径，∴是的切线；       （2）解：如图所示，连接， ∵，点为的中点，∴，∴， 又∵，∴是等边三角形，∴， ∴，∴； （3）证明：如图所示，过点B作于H，连接，∴， 又∵，∴，∴， 设，， ∵，∴， ∴，即，∴，即， ∴，∴，即． 19．（2025·云南文山·二模）如图，A、B、C、D在上，点D是的中点，连接、、、，过点D作交延长线于点E．(1)求证：是的切线；(2)点P是弦下方圆上的一个动点，连接和，过点D作于点H，点P在运动过程中，的比值是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出这个比值．    【答案】(1)见解析(2)比值不改变， 【详解】（1）证明：如图，连接交于点，       ∵点是的中点，∴，∴， ∵，∴，∵是的半径，∴是的切线． （2）解：比值不改变，求解过程如下： 如图，在上截取，连接、、、， ∵，∴，由圆周角定理得：， 在和中，，，∴， ∵，∴，∴， ∵，∴． 20．（2025·天津河东·二模）已知，⊙O的半径为3，点A，B，C在⊙O上.    (1)如图①，若四边形是平行四边形，求的大小和的长；(2)如图②，是⊙O的直径，为弧的中点，过点作⊙O的切线交的延长线于点E，若，求的长. 【答案】(1)，；(2) 【详解】（1）如图，连接，∵四边形是平行四边形，， ∴四边形是菱形，△是等边三角形．∴，；       （2）如图，连接，，∵是⊙的切线，∴， 过作于，∴， ∵为弧的中点，∴， 又∵，∴，∴，∴， ∵，∴四边形是矩形， ∵在中，，∴，∴； 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 $