精品解析：上海市风华初级中学教育集团2024—2025学年上学期第一次阶段练习九年级数学试卷

上海市风华初级中学教育集团九年级数学第一次阶段练习试卷（2024.10） 时间：100分钟满分：150分 【考生注意】：所有的试题均在答题纸上完成，在试卷上答题不得分． 一、选择题（共6小题，每题4分） 1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了相似图形的定义，根据相似图形的定义，四条边对应成比例，四个角对应相等，对各选项分析判断后利用排除法解答． 【详解】解：A、两个矩形四个角相等，但是各边不一定对应成比例，所以不一定相似，故不符合题意； B、两个菱形，对应边成比例，对应角不一定相等，不符合相似的定义，故不符合题意； C、两个正方形，对应角相等，对应边一定成比例，一定相似，故符合题意； D、两个等腰梯形对应角不一定相等，对应边不一定成比例，不符合相似的定义，故不符合题意； 故选：C． 2. 如果抛物线经过第一、二、三象限，那么常数、的符号是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的基本性质，包括对称轴、开口方向及所经过象限，理解题意，结合图象，熟练运用二次函数基本性质是解题关键． 由题意得，二次函数经过原点可知，又只经过第一，二，三象限，画图可知抛物线开口向上，对称轴在轴的负半轴，由对称轴公式可得，即可得出选项． 【详解】解：由题意得，二次函数经过原点可知，， 如图所示，函数图象经过第一，二，三象限， ∴抛物线开口向上，故， ∴对称轴在轴的负半轴， ∴， ∴． 故选：A． 3. 如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键． 根据平行线分线段成比例，逐项分析即可． 【详解】解: A、由平行可得，变形为与已知不符合，故选项A不正确； B、由平行可得，变形为，与已知符合，故选项B正确； C、由平行可得与已知不符合，故选项C不正确； D、由平行可得与已知不符合，故选项D不正确； 故选：B． 4. 若抛物线（，、、是常数）经过、、、四点，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，关键是确定对称轴，开口方向，两点与对称轴的远近． 根据题意先求出抛物线的对称轴为直线，可得抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小，即可求解． 【详解】解：∵抛物线过、， ∴抛物线的对称轴为直线， ， ∴抛物线开口向下，离对称轴越远，函数值越小， ， ， 故选：A． 5. 在中，点、分别在边、的反向延长线上，且满足，连接，那么在下列结论中，不是仅仅利用比例的相关性质就可以得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握比例的性质是解题关键．根据比例的性质以及相似三角形的性质，逐项分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，故选项A不符合题意； ∵证明，还需要证明，，不是仅仅利用比例的相关性质就可以得到， ∴选项B符合题意； ∵点、分别在边、的反向延长线上，且满足， ∴，选项C不符合题意； ∵， ∴，选项D不符合题意． 故选：B． 6. 四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题关键．根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：A. ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项A不符合题意； B.∵，， ∴，故选项B不符合题意； C. ∵，， ∴，故选项C不符合题意； D. 条件，，无法证明，故选项D符合题意． 故选：D． 二、填空题（共12小题，每题4分） 7. 如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据：“形如，这样的函数叫做二次函数”，得到，即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 8. 抛物线与轴的交点是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，正确把握二次函数图象上点的特征是解题的关键．根据题意，令，求出的值，即可求出抛物线与轴的交点． 【详解】解：令，则， 抛物线与轴的交点是． 故答案为：． 9. 已知抛物线在直线的左侧部分是下降的，那么常数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了本题考二次函数图像与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题的关键． 根据题目中的函数解析式和二次函数的性质确定的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知是抛物线的对称轴，该函数在的左侧是下降的 那么该函数的开口向上 10. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新拋物线的表达式是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可． 【详解】抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新拋物线的表达式是 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握平移规律是解题的关键． 11. 在比例尺为的图上，图上距离为8厘米的实际距离约为______千米．（用科学记数法表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺、科学记数法等知识，解题的关键是掌握比例尺为图上距离和实际距离的比，以及用科学记数法表示绝对值大于1的数的方法．设图距为8厘米的实际距离为，，根据比例尺的定义得到，利用比例的性质求得的值，再用科学记数法表示即可． 【详解】解：设图距为8厘米的实际距离为， ∵比例尺为， ∴， 解得千米． 故答案为：． 12. 若点P把线段分成和两段，且是和的比例中项，则的值等于______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是黄金分割比，是与的比例中项即点是线段的黄金分割点，理解并熟记黄金分割比是解本题的关键． 根据黄金分割的概念和黄金比是解答即可． 【详解】解：∵点把线段分割成和两段，其中是与的比例中项， ∴点是线段的黄金分割点， ， ， 故答案为：． 13. 在中，点D、E分别在边的延长线上，且满足，，那么______． 【答案】8 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定，解题的关键是掌握相似三角形的性质和判定． 根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：8． 14. 已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出斜边的长度，再利用重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为求解可得答案． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为5和12， ∴斜边的长度为， ∴这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查三角形的重心和勾股定理，解题的关键是掌握重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为及勾股定理． 15. 一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形______相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）． 【答案】一定 【解析】 【分析】此题考查了相似三角形的判定，注意熟记定理是解此题的关键． 由一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，可得对应边成比例，即可求得答案． 【详解】解：一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4， ， 这两个直角三角形一定相似． 故答案为：一定． 16. 如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么______． 【答案】##1:2 【解析】 【分析】根据题意先过D作BF的平行线，交AC边于G，得出DG∥BF，再根据D为BC中点可得出△CDG∽△CBF，即，CG=FC=FG；同理得出△AEF∽△ADG，AF=AG=FG，从而得出AF=FG=GC，即可得出的值． 【详解】解：过D作BF的平行线，交AC边于G，如下图所示： ∵D为BC中点，DG∥BF， ∴∠CGD=∠CFB， 又∵∠C=∠C， ∴△CDG∽△CBF， ∴，即：CG=CF=FG， 又E为AD的中点，BE的延长线交AC于F，DG∥BF， 同理可得：△AEF∽△ADG， ∴，即：AF=AG=FG， ∴AF=FG=GC， ∴. 故答案为：． 【点睛】本题考查平行线分线段成比例，用到的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键在于找出条件判断两个三角形相似，再运用相似三角形的性质求解． 17. 在矩形中，，，点P是边上一点，如果，那么满足条件的点P有______个． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，矩形的性质，根据，得到，然后代入即可得到答案． 【详解】解：如图所示， ∵四边形是矩形， ∴， 设，那么， ∵时， ∴， ∴， 解得， ∴满足条件的有1个． 故答案为：1． 18. 对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，先化为顶点式，求得、，然后根据题中定义解方程求得值，进而可求解． 【详解】解：由得， 设，则， ∵， ∴， 即 解得，或（不合题意，舍去）， ∴抛物线的“开口大小”为， 故答案为：． 三、解答题（共7小题，第19—22题每题10分，第23、24每题12分，第25题14分） 19. 已知：某个二次函数的一般式为：． （1）用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； （2）求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 【答案】（1）对称轴为直线，顶点坐标为 （2）和 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）利用配方法把二次函数的一般式改写成顶点式，即可得到函数图象的对称轴与顶点坐标； （2）令求出，即可得到函数图象与轴的交点坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴对称轴为直线，顶点坐标为； 【小问2详解】 解：令，即， 解得：，， ∴函数图像与轴的交点坐标为和． 20. 已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． （1）求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： （2）当直道为________米时，足球场的面积最大． 【答案】（1）；定义域为 （2）当直道为100米时，足球场的面积最大 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意； （1）根据题意可得足球场的宽为，然后根据长方形的面积公式可进行求解； （2）根据（1）中的函数关系式可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得： ； ∵， ∴； ∴S关于的函数关系式为；定义域为； 【小问2详解】 解：由（1）可知： ， ∵， ∴当直道为100米时，足球场的面积最大． 21. 已知：在中，点是边上任意一点（不与点、重合）． （1）如图1，联结，__________；（用图中已有线段表示） （2）如图2，是线段上任意一点（不与点、重合），联结、，试猜想与之应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由． 【答案】（1） （2） ，理由如下： 如图所示，作于E点，作于F点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积计算以及相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）作于E点，根据三角形的面积公式表示出和的面积，即可求出； （2）在（1）的基础之上，作于F点，分别表示和的面积，得出，然后确定，得出，即可得出结论． 【小问1详解】 解：如图所示，作于E点， ∵，， ∴， 故答案为：； 【小问2详解】 略 22. 已知：如图，在四边形中，点在边上，点在边上，且满足，． （1）联结，如果，求证：； （2）在（1）的条件下，如果，，那么________．（用含、的代数式表示） 【答案】（1） 证明：延长交于点，如图所示： ∵， ∴， 即： ∵，． ∴， ∴， 即：， ∴ （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例以及相似三角形的判定与性质，熟记相关结论是解题关键． （1）延长交于点，根据可得，结合，可推出，即可求证； （2）由可得，推出，得到，进而得；根据可得，根据即可求解； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， 即：， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 即：， ∴， 故答案为：． 23. 已知：在和中， ．求证：． 【答案】 证明：在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E， ∵， ∴， ∴， 又，， ∴，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定，三边对应成比例的两个三角形相似，灵活运用两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，全等三角形的判定是解决本题的关键． 在线段（或它的延长线）上截取，过点D作，交于点E，先证明，然后再证明即可． 【详解】略 24. 回顾整个初中学习函数的过程，我们都是先经历了列表、描点、连线画出函数图像，再结合函数图像研究函数性质．现给出一个全新的函数，请沿用这种学习经验完成对它的一些研究． （1）请根据下表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的大致图像： 0 1 2 3 4 5 6 8 0 4 4 0 8 （2）观察图像，研究性质： ①该函数图像关于________对称； ②当随的增大而增大时，的取值范围是________； ③请你再写出一条和①、②不同的函数性质：________； （3）深入思考，拓展探究： ④若函数的图像与直线有4个交点则常数的取值范围是________； ⑤不难发现，函数的图像可通过将函数图像的某一部分沿着某条直线翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）；进而我们尝试将该发现推广为更一般的情况，即：函数的图像可通过将函数在_____上的图像（填“具体哪一部分”）沿着______（填“具体哪条直线”）翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）． 【答案】（1） 如图所示： （2）①直线；②或；③当或时，该函数有最小值，且最小值为； （3）④；⑤轴下方，轴 【解析】 【分析】本题考查了函数的应用，掌握函数的研究方法是解题关键． （1）描点连线即可完成作图； （2）根据图像即可确定函数的性质； （3）作出直线，通过上下平移即可确定函数的图像与直线有4个交点的情况，即可求解；结合的图像即可确定一般规律； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图象可知： ①该函数图像关于直线对称； ②当随的增大而增大时，的取值范围是或； ③当或时，该函数有最小值，且最小值为； 故答案为：①直线；②或；③当或时，该函数有最小值，且最小值为； 【小问3详解】 解：由图象可知： ④由表格数据可知：当时，； 若函数的图像与直线有4个交点则常数的取值范围是：； ⑤函数的图像可通过将函数在轴下方的图像沿着轴 翻折得到， 故答案为：④；⑤轴下方，轴 25. 在直角坐标平面中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点；把抛物线向下平移得到抛物线，设的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P与点A重合时，求平移的距离； （3）如果与互补，求此时点D的坐标． 【答案】（1） （2）3 （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入抛物线上，得到关于的二元一次方程组，求解即可； （2）由抛物线顶点式知对称轴为，顶点，设平移的距离为，可得抛物线的表达式为，继而得到， ，最后由得，即可得解； （3）连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点，由平移的性质可证明四边形为平行四边形，得，继而得到，得到，在中，，得，继而得到，由，证明，得，则，可得解． 【小问1详解】 解：∵点和点在抛物线上． ， 解得：， ∴抛物线的表达式为； 【小问2详解】 解：∵抛物线， ∴对称轴为直线，顶点， 把抛物线向下平移得到抛物线， 当点与点重合，设平移的距离为，设对称轴交轴于点， ∴抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点为， ， 对于抛物线， 当时，， ， ， ， ， ， ， 解得：， ∴当点与点重合时，平移的距离是3； 【小问3详解】 解：连接，过点作轴于点，交的延长线于点，过点作于点， ∵，对称轴为直线， ∴，四边形为矩形， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于点和点， 当时，得， 解得：或， ， ， ， ∵把抛物线向下平移得到抛物线，抛物线的顶点为， ， ∵对称轴与轴平行，即， ∴四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，， ， ∵轴， ∴轴， ， ， 与互补，即， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法确定函数解析式，二次函数的图像与性质，平移的性质，锐角三角函数，等边对等角，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识点．掌握二次函数的图像与性质，锐角三角函数的应用，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海市风华初级中学教育集团九年级数学第一次阶段练习试卷（2024.10） 时间：100分钟满分：150分 【考生注意】：所有的试题均在答题纸上完成，在试卷上答题不得分． 一、选择题（共6小题，每题4分） 1. 下列各组图形中，一定相似的是（ ） A. 两个矩形 B. 两个菱形 C. 两个正方形 D. 两个等腰梯形 2. 如果抛物线经过第一、二、三象限，那么常数、的符号是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 如果用线段a、b、c，求作线段x，使，那么下列作图正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若抛物线（，、、是常数）经过、、、四点，则（ ） A. B. C. D. 与的大小关系不能确定 5. 在中，点、分别在边、的反向延长线上，且满足，连接，那么在下列结论中，不是仅仅利用比例的相关性质就可以得到的是（ ） A. B. C. D. 6. 四边形的两条对角线相交于点，下列条件中，不一定能推得与相似的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共12小题，每题4分） 7. 如果函数（是常数）是二次函数，那么的取值范围是______． 8. 抛物线与轴的交点是_______． 9. 已知抛物线在直线的左侧部分是下降的，那么常数的取值范围是______． 10. 抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的新拋物线的表达式是______． 11. 在比例尺为的图上，图上距离为8厘米的实际距离约为______千米．（用科学记数法表示） 12. 若点P把线段分成和两段，且是和的比例中项，则的值等于______． 13. 在中，点D、E分别在边的延长线上，且满足，，那么______． 14. 已知直角三角形的两条直角边长分别为5和12，那么这个直角三角形的重心到直角顶点的距离是_____． 15. 一个直角三角形的两直角边长分别为3和6，另一个直角三角形的两直角边长分别为2和4，那么这两个直角三角形______相似．（填“一定”、“不一定”或“一定不”）． 16. 如图，AD是的中线，是AD的中点，BE的延长线交AC于点，那么______． 17. 在矩形中，，，点P是边上一点，如果，那么满足条件的点P有______个． 18. 对于一个二次函数（、、是常数）中存在一点，使得，则称为该抛物线的“开口大小”，那么抛物线的“开口大小”为_____________． 三、解答题（共7小题，第19—22题每题10分，第23、24每题12分，第25题14分） 19. 已知：某个二次函数的一般式为：． （1）用配方法把一般式化为顶点式，并指出该函数图像的对称轴和顶点坐标； （2）求这个二次函数图像与轴的交点坐标． 20. 已知：如图，是400米跑道示意图，中间的足球场是矩形，两边是全等的半圆，如果问直道的长是多少？那你大概率是知道的．可你也许不知道，这不仅是为了田径比赛的需要，还有另一个原因，等你做完本题就明白了．设直道的长为米，足球场的面积为S平方米． （1）求出S关于的函数关系式（结果保留），并写出定义域： （2）当直道为________米时，足球场的面积最大． 21. 已知：在中，点是边上任意一点（不与点、重合）． （1）如图1，联结，__________；（用图中已有线段表示） （2）如图2，是线段上任意一点（不与点、重合），联结、，试猜想与之应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由． 22. 已知：如图，在四边形中，点在边上，点在边上，且满足，． （1）联结，如果，求证：； （2）在（1）的条件下，如果，，那么________．（用含、的代数式表示） 23. 已知：在和中， ．求证：． 24. 回顾整个初中学习函数的过程，我们都是先经历了列表、描点、连线画出函数图像，再结合函数图像研究函数性质．现给出一个全新的函数，请沿用这种学习经验完成对它的一些研究． （1）请根据下表中的数据在平面直角坐标系中画出该函数的大致图像： 0 1 2 3 4 5 6 8 0 4 4 0 8 （2）观察图像，研究性质： ①该函数图像关于________对称； ②当随的增大而增大时，的取值范围是________； ③请你再写出一条和①、②不同的函数性质：________； （3）深入思考，拓展探究： ④若函数的图像与直线有4个交点则常数的取值范围是________； ⑤不难发现，函数的图像可通过将函数图像的某一部分沿着某条直线翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）；进而我们尝试将该发现推广为更一般的情况，即：函数的图像可通过将函数在_____上的图像（填“具体哪一部分”）沿着______（填“具体哪条直线”）翻折得到（其余未翻折的剩余图像不动）． 25. 在直角坐标平面中，抛物线与x轴交于点和点B，与y轴交于点；把抛物线向下平移得到抛物线，设的顶点为D，与y轴交于点E，直线与x轴交于点P． （1）求抛物线的表达式； （2）当点P与点A重合时，求平移的距离； （3）如果与互补，求此时点D的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $