第3章 图形的相似 单元测试卷-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

图形的相似单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（  ） A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm 2．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美的感觉．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她需要穿的高跟鞋的高度约为（    ） A．6cm B．10cm C．4cm D．8cm 3．下列图形中不一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个圆 C．两个正方形 D．两个等边三角形 4．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（    ） A．70° B．80° C．110° D．120° 5．如图，．若，则的长为(        ) A． B． C． D．无法确定 6．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A．B．C． D． 7．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为(    ) A． B． C． D． 8．如图在Rt中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，为原点，则点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 9．若2a=3b=4c，且abc≠0，则的值是 A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 10．如图，在中，，，，若内接正方形的边长是x，则h、c、x的数量关系为（    ） A． B． C． D． 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为 ． 12．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设的坐标是，则点B的坐标是 ． 13．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝2 cm，b＝4 cm，那么c＝ cm． 14．在比例尺的地图上，量得，两地的距离是，则，两地的实际距离是 米. 15．已知，则 k的值是 ． 16．如图所示，已知点，分别是的边，的中点，，相交于点，，则的长为 ． 17．如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ．    18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M.则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的序号是 . 三、解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）如图，在中，点分别在边上，若，求的值． 20．（6分）如图，已知 中， ， ， ，点 、 分别在 、 上，如果以 、 、 为顶点的三角形和 相似，且相似比为 ，试求 、 的长． 21．（8分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为AB、BC上的点，且BD•AB＝BE•BC．求证：DE⊥AB．    22．（8分）如图，中，D，E分别是、上的点，且，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）． （1）△AOB向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的△A1O1B1； （2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2：1； （3）若△A2OB2与△A1O1B1是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标． 24．（9分）一个师傅要将一个正方形ABCD（四个角都是直角，四边都相等，边长的余料，修剪成如四边形ABEF的零件. 其中CE=BC，F是CD的中点. （1）试用含a的代数式表示AF2+EF2值； （2）连接AF，则△AEF是直角三角形吗？为什么？ 25．（10分）5月10日上午，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行，习近平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响．某校为庆祝共青团成立100周年升起了共青团旗帜，李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度MN，他们进行了如下操作：如图，首先，李优在C处竖立一根标杆，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上，米，米，米；然后，贺基旭手持自制直角三角纸板，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，米，米，，已知，，，点P、G、C、A在同一水平直线上，点N在上，求旗帜的宽度． 26．（10分）【证明体验】 （1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分． 【思考探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 图形的相似单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．下列四组长度的线段中，是成比例线段的是（  ） A．4cm，5cm，6cm，7cm B．3cm，4cm，5cm，8cm C．5cm，15cm，3cm，9cm D．8cm，4cm，1cm，3cm 【答案】C 【分析】根据成比例线段的定义，逐项分析判断即可，成比例线段，如果两条线段的比值与另两条线段的比值相等，即，则为成比例线段． 【详解】A、∵，∴4cm，5cm，6cm，7cm不是成比例线段，故该选项不符合题意； B、∵，∴3cm，4cm，5cm，8cm不是成比例线段，故该选项不符合题意； C、∵，∴5cm，15cm，3cm，9cm是成比例线段，故该选项符合题意； D、∵，∴8cm，4cm，1cm，3cm不是成比例线段，故该选项不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了成比例线段的定义，理解成比例线段的定义是解题的关键． 2．美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近0.618时，越给人一种美的感觉．已知某女士身高160cm，下半身长与身高的比值是0.60，为了尽可能达到好的效果，她需要穿的高跟鞋的高度约为（    ） A．6cm B．10cm C．4cm D．8cm 【答案】D 【分析】先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解． 【详解】解：根据已知条件得下半身长是160×0.6=96（cm）， 设需要穿的高跟鞋是ycm，则根据黄金分割的定义得：≈0.618， 解得：y≈8cm． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比，难度适中． 3．下列图形中不一定相似的是（    ） A．两个矩形 B．两个圆 C．两个正方形 D．两个等边三角形 【答案】A 【分析】两个多边形相似，是指边数相同的两个多边形，对应角相等，对应边成比例，根据此定义即可判断． 【详解】A、两个矩形不一定相似，由于对应边不一定成比例，故符合题意； B、两个圆一定相似，故不满足题意； C、根据两个图形相似的定义，两个正方形相似，故不满足题意； D、根据两个图形相似的定义，两个等边三角形相似，故不满足题意； 故选：A． 【点睛】本题考查两个图形的相似，关键是掌握两个图形相似的概念． 4．如图，四边形ABCD∽四边形EFGH，∠A＝80°，∠C＝90°，∠F＝70°，则∠H的度数为（    ） A．70° B．80° C．110° D．120° 【答案】D 【分析】根据相似多边形的性质以及四边形内角和求解即可． 【详解】∵ 四边形 ABCD∽ 四边形 EFGH，∠A=80°，∠C=90°，∠F=70° ， ∴∠E=∠A=80°，∠G=∠C=90° ∴∠H=360°−∠E−∠F−∠G=360°−80°−70°−90°=120° 故选D 【点睛】本题考查了相似多边形的性质以及四边形内角和，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 5．如图，．若，则的长为(        ) A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例，列出比例式，再根据已知条件代入求值即可． 【详解】解：∵，即， ∴   ， ∵，＝， ∴   ， 解得＝. 故选：C 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，列出比例式是解题的关键． 6．如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 7．如图，为了测量某棵树的高度，小明用长为的竹竿作测量工具，移动竹竿，使竹竿顶端、树的顶端的影子恰好落在地面的同一点．此时竹竿与这一点相距，与树相距，则树的高度为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用相似三角形对应边成比例列式求解即可． 【详解】解：如图： 由题意得，， ， 即， 解得：． 故选：C． 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是读懂题目信息，确定出相似三角形． 8．如图在Rt中，，，，在上截取，在上截取，在数轴上，为原点，则点对应的实数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据勾股定理求出OB，进而求出OC即可． 【详解】解：∵∠OAB= 90°，OA= 2，AB= 1， ∴OB= ∵BC= AB= 1， ∴OC=OB- BC=-1， ∴ OP=-1， ∴P点对应的实数是-1， 故选：A． 【点睛】本题考查了勾股定理以及实数与数轴，由勾股定理求出OB的长是解题的关键． 9．若2a=3b=4c，且abc≠0，则的值是 A．2 B．﹣2 C．3 D．﹣3 【答案】B 【详解】解：∵2、3、4的最小公倍数是12， ∴设2a=3b=4c=12k（k≠0）． ∴a=6k，b=4k，c=3k． ∴ ． 故选B． 10．如图，在中，，，，若内接正方形的边长是x，则h、c、x的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据正方形的性质得到，继而证明，根据相似三角形的性质即可列出比例式，再通过证明四边形DHMG是矩形表示出CM的长度，即可求解． 【详解】解：设CH与GF交于点M， 正方形， ，， ， ， ， ， 四边形DHMG是矩形， ， ，，正方形的边长是x， ， ， ， 整理得， 故选：D． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、正方形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．已知△ABC∽△DEF，且它们的面积之比为4：9，则它们的相似比为 ． 【答案】2：3/ 【详解】解：因为S△ABC：S△DEF=4：9= ， 所以△ABC与△DEF的相似比为2：3， 故答案为：2：3． 12．如图，中，A、B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是．以点C为位似中心，在x轴的下方作的位似图形，并把的边长放大到原来的2倍．设的坐标是，则点B的坐标是 ． 【答案】/ 【分析】过点B作轴于D，过点作轴于，，根据相似三角形的性质求出的长，得到点B的坐标． 【详解】解：如图所示，过点B作轴于D，过点作轴于， ∵点C的坐标是，B′的坐标是， ∴， 由题意得，，相似比为1：2， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标是． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，位似图形的性质，正确作出辅助线是解题的关键． 13．已知线段b是线段a、c的比例中项，且a＝2 cm，b＝4 cm，那么c＝ cm． 【答案】8 【分析】根据比例中项的定义，列出比例式即可求解． 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积， 所以b2＝ac，即42＝2c，c＝8． 故答案为8． 【点睛】本题考查了比例中项的定义，一般的，如果三个数a，b，c满足比例式a∶b=b∶c，则b就叫做a，c的比例中项. 14．在比例尺的地图上，量得，两地的距离是，则，两地的实际距离是 米. 【答案】 【分析】图上距离和比例尺已知,依据"实际距离-图上距离比例尺"即可求出A、 B 两地的实际距离． 【详解】解:∵比例尺为1：10000，A，两地的距离是3cm， 设A，B两地的实际距离为cm， ∴ ∴， ∵， ∴A，B两地的实际距离为300米． 故答案为:300． 【点睛】本题主要考查图上距离、际距离和比例尺之间的关系，解答时要注意单位的换算． 15．已知，则 k的值是 ． 【答案】2或﹣1/﹣1或2 【分析】根据比例的基本性质，三等式相加，即可得出k值． 【详解】解：∵， ∴， 分两种情况： ①若a+b+c≠0，则k=2； ②a+b+c=0时，a+b=﹣c，则k=﹣1； 故答案为：2或﹣1． 【点睛】本题考查比例的性质，掌握并熟练运用比例的基本性质是解题关键． 16．如图所示，已知点，分别是的边，的中点，，相交于点，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】利用三角形的中位线定理以及相似三角形的判定和性质，即可解决问题． 【详解】解：∵AE＝EC，AF＝FB． ∴EF∥BC，EF＝BC， ∴, ∴FG：GC＝EF：BC＝1：2， ∵FG＝1， ∴GC＝2， ∴FC＝1＋2＝3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17．如图，在中，，，动点从点出发到点止，动点从点出发到点止，点的运动速度为，点的运动速度为．若，两点同时出发，则当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为 ．    【答案】或 【分析】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应边成比例，分两种情况：与对应；与对应，根据相似三角形的性质分别作答，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质． 【详解】设运动时间为时，以点，，为顶点的三角形与相似时， 则，，， 与对应，， ∴， 即， ∴； 与对应时，， ∴， 即， ∴， ∴当以点，，为顶点的三角形与相似时，运动时间为或， 故答案为：或． 18．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M.则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的序号是 . 【答案】①②③④. 【详解】结论①正确．理由如下： 易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形， ∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°， ∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN， ∴∠5=∠6， ∴AM=AE=BF． 在△ACM与△ABF中，， ∴△ACM≌△ABF（SAS）， ∴CM=AF； 结论②正确．理由如下： ∵△ACM≌△ABF， ∴∠2=∠4， ∵∠2+∠6=90°， ∴∠4+∠6=90°， ∴CE⊥AF； 结论③正确．理由如下： ∵CE⊥AF， ∴∠ADC+∠AGC=180°， ∴A、D、C、G四点共圆， ∴∠7=∠2， ∵∠2=∠4， ∴∠7=∠4， 又∵∠DAH=∠B=45°， ∴△ABF∽△DAH； 结论④正确．理由如下： ∵A、D、C、G四点共圆， ∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°， ∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC． 故答案为：①②③④. 三、解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）如图，在中，点分别在边上，若，求的值． 【答案】 【分析】根据题意证即可求证． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查相似三角形的证明及性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 20．（6分）如图，已知 中， ， ， ，点 、 分别在 、 上，如果以 、 、 为顶点的三角形和 相似，且相似比为 ，试求 、 的长． 【答案】，；A，． 【分析】利用三角形相似的性质分△ABC∽△ADE和△ABC∽△AED两种情况讨论即可求得AD、AE的长． 【详解】解：当时，相似比为， ， 即：， 解得：，； 当时， ， 即：， 解得：，． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，解题的关键是分两种情况讨论． 21．（8分）如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为AB、BC上的点，且BD•AB＝BE•BC．求证：DE⊥AB．    【答案】见解析 【分析】根据相似三角形的判定定理得出△BDE∽△BCA，再根据相似三角形的性质证明即可． 【详解】证明：∵BD•AB＝BE•BC， ∴，又∠DBE＝∠CBA， ∴△BDE∽△BCA， ∴∠BDE＝∠C＝90°，即DE⊥AB． 【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定及其性质，再判定两个三角形相似时，应注意利用图中已有的公共角、公共边等隐含条件． 22．（8分）如图，中，D，E分别是、上的点，且，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)详见解析 (2)6 【分析】（1）由，可得出，结合可证出； （2）由，利用相似三角形的性质可得出及，利用“同位角相等，两直线平行”可得出，进而可得出，再利用相似三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线的判定，解题的关键是：（1）利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证出；（2）利用相似三角形的性质及平行线的判定定理，找出． 23．（9分）如图，在平面直角坐标系中，△AOB的顶点坐标分别为A（2，1）、O（0，0）、B（1，﹣2）． （1）△AOB向左平移3个单位，向上平移1个单位，请画出平移后的△A1O1B1； （2）以点O为位似中心，在y轴的右侧画出△AOB的一个位似△A2OB2，使它与△AOB的相似比为2：1； （3）若△A2OB2与△A1O1B1是关于某一点Q为位似中心的位似图形，请在图中标出位似中心Q，并写出点Q的坐标． 【答案】（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）画图见解析， 【分析】（1）分别确定向左平移3个单位，向上平移1个单位后的对应点，再顺次连接，从而可得答案； （2）点O为位似中心，分别确定的对应点,再顺次连接即可得到答案； （3）由的交点为从而可得位似中心，再根据的位置可得点的坐标. 【详解】解：（1）如图，即为所求作的三角形； （2）如图，即为所求作的三角形； （3）如图所示，由的交点为 所以与是关于点Q为位似中心的位似图形， 此时． 【点睛】本题是相似三角形综合题，主要考查了作图-位似变换，平移变换，画位似图形的一般步骤为：①确定位似中心，②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据相似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形． 24．（9分）一个师傅要将一个正方形ABCD（四个角都是直角，四边都相等，边长的余料，修剪成如四边形ABEF的零件. 其中CE=BC，F是CD的中点. （1）试用含a的代数式表示AF2+EF2值； （2）连接AF，则△AEF是直角三角形吗？为什么？ 【答案】（1）a2（2）△AEF是直角三角形 【分析】先连接AE，证明△ADF∽△FCE，得到∠AFE=90°，所以AF2+EF2=AE2= a2. 【详解】（1）连接AE，则AB=a，BE=a， ∵∠B=90°， 在直角三角形ABE中，根据勾股定理得 AE2=a2； ∵CE：CF=DF：AD=1：2， ∠C=∠D=90°； ∴△ADF∽△FCE， ∴∠CFE+∠AFD=90° ∴∠AFE=90° ∴AF2+EF2=AE2=a2； （2）由（1）中AF2+EF2=AE2  ， 可知△AEF是直角三角形. 【点睛】本题考查的知识点是正方形的性质及勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练的掌握正方形的性质及勾股定理的逆定理. 25．（10分）5月10日上午，庆祝中国共产主义青年团成立100周年大会在北京人民大会堂隆重举行，习近平总书记重要讲话引发各界青年热烈反响．某校为庆祝共青团成立100周年升起了共青团旗帜，李优和贺基旭想用所学知识测量该旗帜的宽度MN，他们进行了如下操作：如图，首先，李优在C处竖立一根标杆，地面上的点A、标杆顶端B和点N在一条直线上，米，米，米；然后，贺基旭手持自制直角三角纸板，使长直角边与水平地面平行，调整位置，恰好在P点时点D、E、M在一条直线上，米，米，，已知，，，点P、G、C、A在同一水平直线上，点N在上，求旗帜的宽度． 【答案】旗帜的宽度是1.3米 【分析】延长交于Q，则，，证明∽和∽，可得和的值，最后由线段的和差可得结论． 【详解】解：如图，延长交于Q，则，， ∵，， ∴， ∴∽， ∴，即 ∴， 同理得：∽， ∴， ∵， ∴， ∴（米）． 答：旗帜的宽度是1.3米． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，掌握相似三角形的性质和判定是解本题的关键． 26．（10分）【证明体验】 （1）如图1，为的角平分线，，点E在上，．求证：平分． 【思考探究】 （2）如图2，在（1）的条件下，F为上一点，连结交于点G．若，，，求的长． 【拓展延伸】 （3）如图3，在四边形中，对角线平分，点E在上，．若，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据SAS证明，进而即可得到结论； （2）先证明，得，进而即可求解； （3）在上取一点F，使得，连结，可得，从而得，可得，，最后证明，即可求解． 【详解】解：（1）∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即平分； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴； （3）如图，在上取一点F，使得，连结． ∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，添加辅助线，构造全等三角形和相似三角形，是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$