专题06 相似三角形的五类结构图（5大题型）-【帮课堂】2024-2025学年九年级数学上册同步学与练（湘教版）

专题06 相似三角形的五类结构图 基本图形一：平行线型 已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、． (1)图中有 对相似三角形； (2)求证：． 【答案】(1)6； (2)见解析； 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， 则， ∵， 则， 综上所述，共有6对相似三角形； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， 即． 一．解答题（共3小题） 1．如图，在中，点D，E分别是上的点，且．请证明：． 2．如图，，，求证：． 3.如图，在中，． 求证：； 基本图形二：相交线型 如图，，连接、，且点、、在同一条直线上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质、相似三角形的判定，根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”，得出，，，推出，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证明，熟练掌握全等三角形的性质、相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∴，，即， ∴． 一．解答题（共4小题） 1．如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 2．如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 3．如图，，且，求证：． 4．如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    基本图形三：子母型 如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， 为公共角， ． 一．解答题（共3小题） 1．如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 2．如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 3．已知：如图，在中，D、E分别在边上，连接，，，，，求证：． 基本图形四：旋转型 如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键． 由旋转性质可得：，，，进而可得，，由此根据相似三角形的判定定理即可证明 【详解】证明：将绕点B逆时针旋转得到， 由旋转性质，得，，， ， ， ， 即， ∽ 一．解答题（共2小题） 1．如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分． (1)求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 2．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 基本图形五：一线三等角型 如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】题考查了相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 一．解答题（共2小题） 1.如图，在四边形中，，点在上，且．求证：． 2．如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点． 求证：； 连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 相似三角形的五类结构图 基本图形一：平行线型 已知：平行四边形，是延长线上一点，与、交于、． (1)图中有 对相似三角形； (2)求证：． 【答案】(1)6； (2)见解析； 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，主要利用了平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 根据平行四边形的对边平行，再根据平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似找出相似三角形即可得解． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ， 则， ∵， 则， 综上所述，共有6对相似三角形； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ，， ， 即． 一．解答题（共3小题） 1．如图，在中，点D，E分别是上的点，且．请证明：． 【答案】见解析 【分析】题目主要考查相似三角形的判定，根据平行线的性质得出，再由公共角即可判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵， ∴． 2．如图，，，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题考查了相似三角形的判定，根据两个角分别相等的三角形为相似三角形，据此即可作答． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ 3.如图，在中，． 求证：； 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，由平行得两组相等的同位角，即可证明三角形相似． 【详解】证明：∵， ∴， ∴． 基本图形二：相交线型 如图，，连接、，且点、、在同一条直线上，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质、相似三角形的判定，根据“全等三角形的对应边相等、对应角相等”，得出，，，推出，，根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”，即可证明，熟练掌握全等三角形的性质、相似三角形的判定是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴，，， ∴，，即， ∴． 一．解答题（共4小题） 1．如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 2．如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．如图，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”；先根据，得出，再根据对应边成比例，即可解答． 【详解】证明：， ， 即 ， ， ， ． 4．如图，在中，，D，E分别是，上的点，且，求证：．    【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定．等边对等角，得到，利用外角的性质，推出，即可得证．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 基本图形三：子母型 如图，是的边上的一点，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的证明，根据相似三角形的判定方法，两边对应成比例和夹角相等即可得出结论． 【详解】证明：，， ， ， ， 为公共角， ． 一．解答题（共3小题） 1．如图，在中，点分别是边上的点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定问题，由两个角相等可判定其相似，而题中而公共角，所以再求解一对应角相等即可，根据已知条件，即求解． 【详解】证明：，， ， 又∵为公共角， ． 2．如图，在中，点D是上一点，且，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，先证明，再结合公共角可得结论，熟记相似三角形的判定方法是解本题的关键． 【详解】证明：∵，，， ∴，， ∴， 又∵， ∴． 3．已知：如图，在中，D、E分别在边上，连接，，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 基本图形四：旋转型 如图，将绕点B逆时针旋转得到，连接MA，求证：∽ 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质，熟练掌握相似三角形的判定定理，旋转的性质是解题的关键． 由旋转性质可得：，，，进而可得，，由此根据相似三角形的判定定理即可证明 【详解】证明：将绕点B逆时针旋转得到， 由旋转性质，得，，， ， ， ， 即， ∽ 一．解答题（共2小题） 1．如图1，中，，．的垂直平分线分别交，于点M，O，平分． (1)求证：； (2)如图2，将绕点O逆时针旋转得到，旋转角为．连接， ①求面积的最大值及此时旋转角的度数，并说明理由； ②当是直角三角形时，请直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①，；②或 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出，利用等边对等角得出，结合角平分线定义可得出，最后根据相似三角形的判定即可得证； （2）先求出，然后利用含的直角三角形性质求出，，，利用勾股定理求出，，取中点，连接，，作于N，由旋转的性质知，为旋转所得线段，则，，，根据点到直线的距离，垂线段最短知，三角形三边关系得出，故当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为，此时，最后根据三角形面积公式求解即可； ②先利用三角形三边关系判断出，，则当为直角三角形时，只有，然后分A和重合，和C重合，两种情况讨论即可． 【详解】（1）证明：∵垂直平分， ∴， ∴， ∵平分 ∴， ∴， 又； ∴； （2）解：①∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴，， ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∴， 取中点，连接，，作于N， 由旋转的性质知，为旋转所得线段， ∴，，， 根据垂线段最短知， 又， ∴当M、O、三点共线，且点O在线段时，取最大值，最大值为， 此时， ∴面积的最大值为； ②∵，， ∴， 同理 ∴为直角三角形时，只有， 当A和重合时，如图， ∵ ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、O、M三点共线， ∴为直角三角形， 此时旋转角； 当和C重合时，如图， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴、O、M三点共线， 又 ∴为直角三角形， 此时旋转角； 综上，旋转角的度数为或时，为直角三角形． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理，旋转的性质等知识，明确题意，正确画出图形，添加辅助线，合理分类讨论是解题的关键． 2．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 基本图形五：一线三等角型 如图，，点B是线段上的一点，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】题考查了相似三角形的判定，熟练掌握两角对应相等的两个三角形相似是解题的关键． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 一．解答题（共2小题） 1.如图，在四边形中，，点在上，且．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，通过，可得，再结合可得结论． 【详解】证明：，， ，， ， 又， ∴． 2．如图，四边形是正方形，点是边上动点(不与重合)．连接过点作交于点． 求证：； 连接，试探究当点在什么位置时，，请证明你的结论． 【答案】（1）证明见解析；（2）点在中点位置时，，证明见解析． 【分析】（1）先根据正方形的性质可得，再根据直角三角形的性质、角的和差可得，然后根据相似三角形的判定即可得证； （2）如图（见解析），先根据正方形的性质、平行线的性质可得，再根据三角形全等的判定定理与性质可得，然后根据等腰三角形的判定与性质可得，最后根据等量代换即可得． 【详解】（1）四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ； （2）点在中点位置时，，证明如下： 如图，连接，延长于的延长线相交于点H， 为中点， ， 四边形是正方形， ， ， 在和中，， ， ， ， 是等腰三角形， ， ， 故当点在中点位置时，． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定、正方形的性质、三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（2），通过作辅助线，构造全等三角形和等腰三角形是解题关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$