第2章 三角形 单元测试卷-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

三角形单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．在三角形的三个外角中，锐角最多只有(     ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 2．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（    ） A． B． C． D． 3．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 4．根据下列条件能画出唯一确定的的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，，，分别是 高，角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 6．下列命题：①当多边形的边数增加1条时，它的内角和增加；②三角形的外角和小于四边形的外角和；③n边形共有条对角线；④四边形至少有一个内角不小于．其中是真命题的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 7．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（    ） A．逆时针，30° B．逆时针，105° C．顺时针，30° D．顺时针，105° 8．如图，中，的垂直平分线交与点若，，则的周长是（    ）． A． B． C． D． 9．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，则的度数为（    ） A． B． C． D． 10．如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： 12．如图，若，，，则的长度是 ．    13．如图，在中，，过点E作的垂线，连接．若，，，，则的长为 ． 14．如图，点，分别在线段和上，且．要使，需添加一个条件是 ．（只需写出一个条件） 15．用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b（a＞b），∠B=30°，若这样的三角形能作两个，则a，b间满足的关系式是 ． 16．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A= ． 17．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是 ． 18．如图所示，在中，已知点，，分别是，，的中点，且，则的值为 ．                         三、解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）已知：线段，，如图所示，作，使，，．保留作图痕迹，不必写画法和证明)    20．（6分）如图，在和中，，，，连接，，与全等吗？请说明理由． 21．（8分）如图，AD与BC相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AB、CD、EF，给出以下四个等量关系：①，②，③，④．请你以其中两个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题，并证明． (1)条件：______，结论：______；（填序号） (2)写出你的证明过程． 22．（8分）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下: 如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,OD⊥CD,垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度. 23．（9分）已知：，，是的内角．求证：，，中至多有一个角是钝角． 24．（9分）如图，已知垂直平分线段，点是延长线上一点，点是上一点，截取线段，连接并延长交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 25．（10分）如图，，，，点D在边上．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 26．（10分）已知：如图1，直线，EF分别交AB，CD于E，F两点，的平分线相交于点M． (1)求的度数； (2)如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由； (3)在图2中作的平分线相交于点，作的平分线相交于点，依此类推，作的平分线相交于点，请直接写出的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 三角形单元测试卷 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共10小题，每小题3分，合计30分） 1．在三角形的三个外角中，锐角最多只有(     ) A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】根据三角形内角和180°可知内角最多一个钝角，则外角中锐角也最多有一个. 【详解】根据三角形的内角和是180°可知，三角形内角最多只能有1个钝角， 所以在三角形的三个外角中，锐角最多只有1个． 故选C． 【点睛】本题考查三角形内角与外角，掌握三角形内角最多只有一个是钝角是关键. 2．将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据直角三角板的性质得出∠ACD的度数，再由三角形内角和定理即可得出结论． 【详解】解：如图所示， 由一副三角板的性质可知：∠ECD=60°，∠BCA=45°，∠D=90°， ∴∠ACD=∠ECD－∠BCA=60°－45°=15°， ∴∠α=180°－∠D－∠ACD=180°－90°－15°=75°， 故选：B． 【点睛】本题考查的是三角形内角和定理，熟知三角形内角和是180°是解答此题的关键． 3．长度分别为2，3，3，4的四根细木棒首尾相连，围成一个三角形（木棒允许连接，但不允许折断），得到的三角形的最长边长为（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【分析】利用三角形的三边关系列举出所围成三角形的不同情况，通过比较得到结论. 【详解】①长度分别为5、3、4，能构成三角形，且最长边为5； ②长度分别为2、6、4，不能构成三角形； ③长度分别为2、7、3，不能构成三角形； ④长度分别为6、3、3，不能构成三角形； 综上所述，得到三角形的最长边长为5． 故选：B. 【点睛】此题考查构成三角形的条件，三角形的三边关系，解题中运用不同情形进行讨论的方法，注意避免遗漏构成的情况. 4．根据下列条件能画出唯一确定的的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全等三角形的判定及构成三角形的条件逐项判断即可． 【详解】A、，三线段不能构成三角形，故不能画出唯一确定的三角形； B、没有边边角这样的全等三角形判定定理，故不能画出唯一确定的； C、根据角边角的判定，能画出唯一确定的； D、斜边应大于，不可能斜边等于直角边，故这样的三角形不存在的； 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，三角形三边的关系等知识，掌握这些知识是关键． 5．如图，，，分别是 高，角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形高，中线，角平分线的定义，熟知相关定义是解题的关键．根据三角形高，中线，角平分线的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵是的中线， ∴，原结论正确，不符合题意； B、∵是的角平分线， ∴，原结论正确，不符合题意； C、∵是的中线， ∴， ∴，原结论错误，符合题意； D、∵是的高， ∴，原结论正确，不符合题意； 故选：C． 6．下列命题：①当多边形的边数增加1条时，它的内角和增加；②三角形的外角和小于四边形的外角和；③n边形共有条对角线；④四边形至少有一个内角不小于．其中是真命题的有（    ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】根据n边形内角和，外角和定理，n边形的对角线公式逐项判断． 【详解】解：由n边形内角和公式（n−2）×180°知，当多边形的边数增加1条时，它的内角和增加180°，故①是真命题； 三角形的外角和，四边形的外角和都是360°，故②是假命题； n边形共有条对角线，故③是假命题； 若四边形每个内角都小于90°，则与四边形内角和为360°矛盾，故四边形至少有一个内角不小于90°，④是真命题； ∴真命题有①④，共2个， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握n边形的内角和公式（n−2）×180°，外角和是360°以及n边形的对角线公式． 7．如图，△ABC中，∠ABC＝∠ACB＝75°，将△ABC绕点C旋转，得到△DEC，点A的对应点D在BC的延长线上，则旋转方向和旋转角可能为（    ） A．逆时针，30° B．逆时针，105° C．顺时针，30° D．顺时针，105° 【答案】D 【分析】先根据旋转得出△ABC≌△DEC，可得∠ACB=∠DCE=75°，利用邻补角求出∠BCE=180°-∠DCE=105°，得出旋转角和旋转方向即可． 【详解】解∵将△ABC绕点C旋转，得到△DEC， ∴△ABC≌△DEC， ∴∠ACB=∠DCE=75°， ∴∠BCE=180°-∠DCE=105°， ∴△ABC绕点C旋转，顺时针旋转105°得到△DEC， 故选D． 【点睛】本题考查图形旋转，三角形全等旋转，邻补角，掌握图形旋转，三角形全等旋转，邻补角是解题关键． 8．如图，中，的垂直平分线交与点若，，则的周长是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据垂直平分线的性质，得出，求出的周长即可． 【详解】解：是的垂直平分线， ， 的周长为： （cm）， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线性质，根据题意得出，是解题的关键． 9．将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图形，利用折叠的性质，折叠前后形成的图形全等,对应角相等，利用平角定义+++=180°，再通过等量代换可以求出． 【详解】 解：∵长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕 ∴, ∵+++=180°（平角定义） ∴+++=180°（等量代换） +=90° 即=90° 故选：C． 【点睛】本题通过折叠变换考查学生的逻辑思维能力，解决此类问题，应结合题意，最好实际操作图形的折叠，易于找到图形间的关系． 10．如图，的三边，，长分别是20，30，40，其三条角平分线将分为三个三角形，则等于（       ）．    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作，，的垂线，可得，从而可证 ，即可求解． 【详解】解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，，    由角平分线的性质定理得：， 的三边，，长分别是20，30，40， ． 故选：C． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，掌握定理是解题的关键． 二、填空题（共8小题，每小题3分，合计24分） 11．把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等 【分析】本题考查了命题的改写；根据命题的条件与结论即可改写． 【详解】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等; 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等; 12．如图，若，，，则的长度是 ．    【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，进而得出，根据已知条件即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 13．如图，在中，，过点E作的垂线，连接．若，，，，则的长为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，根据题意可证，由此可得，，根据，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ∴ ∵ 又 ∴， ∴ ∴， 故答案为：4． 14．如图，点，分别在线段和上，且．要使，需添加一个条件是 ．（只需写出一个条件） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：∵、∠A=∠A ∴添加AB=AD（ASA），AC=AE或BC=ED（AAS）均可得． 故答案为（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法以及挖掘隐含条件∠A=∠A是解答本题的关键. ． 15．用直尺和圆规作△ABC，使BC=a，AC=b（a＞b），∠B=30°，若这样的三角形能作两个，则a，b间满足的关系式是 ． 【答案】a＜b＜a 【分析】过点C作CD⊥AB,垂足为D,依据在直角三角形中,30°角所对直角边等于斜边的一半可得到CD与a的关系,然后依据垂线段最短可知CD＜b,从而可得到a与b之间的关系． 【详解】如图所示,过点C作CD⊥AB,垂足为D, ∵∠B=30°, ∴CD=BC=a． ∵AC＞CD, ∴a＜b, ∴a＜b＜a． 故答案为a＜b＜a． 【点睛】本题主要考查的是尺规作图、特殊直角三角形的性质、垂线段的性质,找出这样的三角形能作两个的条件是解题的关键． 16．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，若∠B=35°，∠ACE=60°，则∠A= ． 【答案】 【分析】根据角平分线的性质，可知∠ACD，进而根据三角形外角定理，即可求得∠A. 【详解】∵CE是角∠ACD的平分线，∠ACE=60° ∴∠ACD=120° 又∵∠ACD是△ABC的外角 ∴∠A=∠ACD-∠B=85° 故答案为85°. 【点睛】本题主要考查角平分线的性质和三角形外角定理，熟知上述知识点是解答本题的关键. 17．在数学活动课上，小明提出这样一个问题：∠B＝∠C＝90°，E是BC的中点，DE平分∠ADC，∠CED＝35°，如图，则∠EAB是多少度？大家一起热烈地讨论交流，小英第一个得出正确答案，是 ． 【答案】 【分析】作EF⊥AD于F，证△DCE≌△DFE（HL），再证△AFE≌△ABE（HL），可得∠FEB＝180°－70°＝110°，∠AEB＝55°，∠EAB＝35°. 【详解】如图，过点E作EF⊥AD于F， ∵DE平分∠ADC，EF⊥AD，EC⊥CD， ∴EF=EC, 又∵DE=DE, , ∴△DCE≌△DFE（HL）， ∴=∠CED＝35°, ∵CE=BE,CE=EF, ∴BE=EF, 又∵AE=AE, , ∴△AFE≌△ABE（HL）， ∴, 又∴=∠CED＝35°, ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的性质，直角三角形全等的判定，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键. 18．如图所示，在中，已知点，，分别是，，的中点，且，则的值为 ．                         【答案】 【分析】题目给的已知条件点、、分别是线段、、的中点，我们可以根据三角形任一顶点到对边中点连线能够把三角形面积分成相等的两份来一步一步求出的面积． 【详解】点是的中点， ，， 点是的中点， ，， ． 点是的中点， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了三角形中线的性质，熟练掌握三角形任一顶点到对边中点连线能够把三角形面积分成相等的两份是解题的关键． 三、解答题（共8小题，合计66分） 19．（6分）已知：线段，，如图所示，作，使，，．保留作图痕迹，不必写画法和证明)    【答案】见解析 【分析】首先画线段再以为圆心，长为半径化弧，再以为圆心，长为半径化弧，两弧交于点，再连接、即可． 【详解】解：如图所示：   ， 即为所求． 【点睛】此题主要考查了基本作图，关键是掌握画一条线段等于已知线段的方法． 20．（6分）如图，在和中，，，，连接，，与全等吗？请说明理由． 【答案】理由见解析 【分析】根据可得，再根据证明可得出结论． 【详解】解：, ， 即， 又，， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键． 21．（8分）如图，AD与BC相交于点O，点E、F分别为OB、OD的中点，连接AB、CD、EF，给出以下四个等量关系：①，②，③，④．请你以其中两个为条件，另两个中的一个为结论，组成一个真命题，并证明． (1)条件：______，结论：______；（填序号） (2)写出你的证明过程． 【答案】(1)②④，①．（答案不唯一） (2)证明见解析 【分析】（1）根据全等三角形的性质与判定组成真命题即可； （2）根据全等三角形的判定证明（1）中的命题即可． 【详解】（1）②④，①．（答案不唯一） （2）证明：∵，点E、F分别为OB、OD的中点， ∴． 在和中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，命题，掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． 22．（8分）杨阳同学沿一段笔直的人行道行走,在由A步行到达B处的过程中,通过隔离带的空隙O,刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语,其具体信息汇集如下: 如图,AB∥OH∥CD,相邻两平行线间的距离相等,AC,BD相交于O,OD⊥CD,垂足为D,已知AB=20米,请根据上述信息求标语CD的长度. 【答案】20米. 【详解】试题分析：已知AB∥CD，根据平行线的性质可得∠ABO=∠CDO，再由垂直的定义可得∠CDO=90°，可得OB⊥AB，根据相邻两平行线间的距离相等可得OD=OB，即可根据ASA定理判定△ABO≌△CDO，由全等三角形的性质即可得CD=AB=20m． 试题解析：∵AB∥CD，∴∠ABO=∠CDO， ∵OD⊥CD，∴∠CDO=90°， ∴∠ABO=90°，即OB⊥AB， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴OD=OB， 在△ABO与△CDO中， ， ∴△ABO≌△CDO（ASA）， ∴CD=AB=20（m） 考点：全等三角形的判定及性质. 23．（9分）已知：，，是的内角．求证：，，中至多有一个角是钝角． 【答案】见解析 【分析】利用反证法的步骤得出答案．首先假设∠、∠、∠中有两个或三个钝角（或∠、∠、∠中至少有两个钝角），然后再去说明我们的假设与三角形内角和定理矛盾，因而假设错误，所以∠A，∠B，∠C中至多有一个角是钝角． 【详解】证明：假设∠、∠、∠中有两个或三个钝角， 则， 与三角形内角和定理矛盾，因而假设错误， 所以∠A，∠B，∠C中至多有一个角是钝角． 【点睛】此题主要考查了反证法，反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 24．（9分）如图，已知垂直平分线段，点是延长线上一点，点是上一点，截取线段，连接并延长交于点． (1)若，求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，平分，再根据外角的性质即可求出的度数； （2）根据角平分线的定义和外角的定义，可得，进而可证明． 【详解】（1）解：垂直平分线段， ， ， ， 为中点， ，平分， ， ， ， ， ； （2）证明：由（1）得， ． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、三角形的外角性质，解决本题的关键是掌握等腰三角形的性质． 25．（10分）如图，，，，点D在边上．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角的性质： （1）由可得，进而利用即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，，再根据等腰三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 在和中 ∴. （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 26．（10分）已知：如图1，直线，EF分别交AB，CD于E，F两点，的平分线相交于点M． (1)求的度数； (2)如图2，，的平分线相交于点，请写出与之间的等量关系，并说明理由； (3)在图2中作的平分线相交于点，作的平分线相交于点，依此类推，作的平分线相交于点，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3) 【分析】（1）利用平行线的性质以及角平分线的定义解决问题即可； （2）结论：∠M1=∠M．如图2中，过点M1作M1J∥AB．利用平行线的性质解决问题； （3）探究规律，利用规律解决问题即可． 【详解】（1）解：∵AB∥CD， ∴∠AEF+∠CFE=180°， ∵∠AEF，∠CFE的平分线相交于点M， ∴∠MEF=∠AEF，∠EFM=∠CFE， ∴∠MEF+∠MFE=（∠AEF+∠CFE）=90°， ∴∠M=180°-90°=90°； （2）结论：∠M1=∠M； 理由：过点M1作M1J∥AB，如图所示： ∵AB∥CD，M1J∥AB， ∴M1J∥CD， ∵∠AEM，∠CFM的平分线相交于点M1， ∴∠AEM1=∠AEM，∠CFM1=∠CFM， ∵∠EM1J=∠AEM1，∠JM1F=∠CFM1， ∴∠EM1F=∠AEM1+∠CFM1=（∠AEM+∠CFM）=×90°=45°； ∴∠EM1F=∠M； （3）由（2）可知，∠M1=×90°， 同法可知，∠M2=∠M1=∠M， •••， ∠Mn=（）n×90°， 当n=2022时，∠M2022=（）2022×90°． 【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的性质等知识，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$