第10讲 全等三角形及用尺规作三角形（8大知识点+4大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第10讲 全等三角形及用尺规作三角形 课程标准 学习目标 全等三角形 用尺规作三角形 1.能够掌握全等三角形的判定定理，灵活使用定理判定三角形全等 2.初步了解尺规作图步骤，对于简单作图题，能写出已知、求作和作法, 知识点01 全等图形和全等三角形的相关概念 全等图形:能够完全重合的两个图形叫作全等图形. 全等三角形:能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形. 对应顶点:在全等三角形中,互相重合的顶点叫作对应顶点. 对应边:在全等三角形中,互相重合的边叫作对应边. 对应角:在全等三角形中,互相重合的角叫作对应角. 【即学即练1】 下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 【答案】D 【分析】本题考查的是全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质．根据全等图形的判定和性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、周长相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； B、形状相同，边长不对应相等的两个三角形不全等，故本选项错误； C、面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； D、全等三角形的面积一定相等，故本选项正确． 故选：D． 知识点02 全等三角形的性质 (1)全等三角形的对应边相等; (2)全等三角形的对应角相等. 【即学即练1】 在中，，若，则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形全等的性质及三角形内角和定理，根据，利用三角形内角和定理求出，再根据，可得，即可得出结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 故选：A． 知识点03 “边角边”判定三角形全等 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等简记为“边角边”或“SAS”. 【即学即练1】 如图，，，其中，连接，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．先判定，再利用“”判定即可． 【详解】证明：， ， 即， 在和中， ， ， . 易错提醒：运用“边角边”时,两边必须是夹这个角的两边，角必须是这两边的夹角.任意两边及其中一边的对角对应相等(即SSA)的两个三角形不一定全等. 知识点04 “角边角”判定三角形全等 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，简记为“角边角"或“ASA” 【即学即练1】 如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，______，______ (2)若，试说明． 【答案】(1) (2)见详解 【分析】本题考查了三角形外角性质，全等三角形的判定，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据角的和差关系可求出，再利用三角形外角性质即可求出； （2）由三角形外角性质可得，结合，进而由即可证明； 【详解】（1）解：， ， ∵， ， 故答案为：； （2）证明：∵， ， ，， ， 在和中， ， ． 知识点05 “角角边”判定三角形全等 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等,简记为“角角边”或“AAS”. 【即学即练1】 如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，适当选择全等三角形的判定定理证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明； （2）由全等三角形的性质得，所以，再求解即可． 【详解】（1）， ， 在与中， ， ． （2）由（1）得， ， ， ， ． 易错提醒：在使用“两角一边”证三角形全等时,一定要分清根据的是 ASA 还是AAS判定法,防止出现对应中的混乱. 知识点06 “边边边"判定三角形全等 三边分别相等的两个三角形全等,简记为“边边边"或“SSS” 【即学即练1】 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形的内角和定理的应用，掌握其性质定理是解决此题的关键． （1）根据，可得出，即可判定； （2）首先根据（1）中两三角形全等，可得，在中根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】（1）证明：， ， 即， 在和中， ， ． （2）解： ，，， ， ． 规律总结：当图中有两组对应边相等而无对应角相等时，通常在图中寻找或构造第三边相等，以达到应用 SSS 判定三角形全等的目的. 知识点07 灵活使用定理判定三角形全等 【即学即练1】 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，点E是BD上一点，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当__________度时，是等边三角形． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）先证明，再证明，得出结论即可； （2）根据等边三角形的性质，，结合，得到，结合，得到是等边三角形，根据等边三角形的性质，结款求解， 本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， 在和中，， ∴， ∴，是等腰三角形， （2）解：∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴． 知识点08 用尺规作三角形 (1)已知三边作三角形; (2)已知底边及底边上的高线作等腰三角形; (3)已经两边及其夹角作三角形; (4)已知两角及其夹边作三角形. 【即学即练1】 已知：如图，在中，，把绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为点． (1)求作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查了旋转性质、作一个角等于已知角，等边三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）因为，且把绕点按顺时针方向旋转，即先作出，再结合旋转性质，，以点C为圆心，为半径画弧交射线于一点，即为点，结合旋转性质，，分别以点D为圆心，的长为半径，以点C为圆心，的长为半径，画弧交于一点，即为点，再连接，即可作答； （2）根据旋转性质得出，证明是等边三角形，推出在同一直线上，再结合线段关系运算，即可作答． 【详解】（1）解：即为所求，如图： （2）解：依题意，连接，， ∵把绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为点． ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴在同一直线上， ∴， ∴． 题型01 三角形全等的判定 【典例1】如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【答案】(1)与相等，理由见解析； (2)证明见解析． 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，以及线段中点定义， （1）在和 中，利用即可证明，则； （2）根据题意得 ， ，则，结合（1）得，即可证明，有． 【详解】（1）解：与相等， 理由如下：连接， 在和 中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵点E与F分别是、的中点， ∴ ， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 【变式1】如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 【答案】(1)①③ (2)见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解本题的关键． （1）利用，，，的判定定理进行判断； （2）利用，进行证明即可． 【详解】（1）解：由题意知：，可利用，证明两三角形全等，故选：①③， 故答案为：①③． （2）解：选①时， 在和中， ， ； 选③时， 在和中， ， ． 【变式2】如图，，，点在上． (1)求证：平分； (2)求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定； （1）证明，根据全等三角形的性质，即可得证； （2）由（1）可得，即，证明，根据全等三角形的性质，即可得证． 【详解】（1）证明：在中， ∴， ∴，即平分； （2）证明：由（1）可得，即， 在中， ∴， ∴ 【变式3】如图，在和中，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据直接证明两三角形全等，即可得证． 【详解】证明：在和中， ， ． 【变式4】如图，点在线段上，，，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定方法，根据平行线的性质可得，再利用即可证明，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 【变式5】如图，，，相交于点，．求证：． 【答案】证明见解析． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，先由等腰三角形的性质得出，再由“”证明即可，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形全等的判定方法是解题的关键． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． 题型02 全等三角形辅助线问题 【典例1】已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．    （1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE； （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． 【答案】（1）见详解；（2）图2：，图3： 【分析】（1）在线段上截取，连接，，证明，可得到，即可求解． （2）当点在线段延长线上时，在的延长线上截取，连接，，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得；当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，，由题意可证，可得，由题意可得，即可证，可得，则可得． 【详解】解：（1）证明：在线段上截取，连接，    ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）当点在线段延长线上时， 如图2：在的延长线上截取，连接，    ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∴ 当点在线段延长线上时， 如图3：当点在线段延长线上时，在线段上截取，连接，    ∵，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴， ∴，，且 ∴ ∴ ∵ ∴ 【点睛】本题主要考查了三角形综合题，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定，合理添加辅助线证全等是解题的关键． 【变式1】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使， 请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是 ． A．                   B． C．                   D． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， [方法应用] （3）如图，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．    【答案】（1）B；（2）C；（3），理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、三角形三边关系等知识点，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）根据三角形全等的判定定理即可得出结论； （2）根据全等得出，，由三角形三边关系定理得出答案； （3），延长，交于点F，证明推出 再证明即可解决问题； 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：B． （2）由（1）可知，， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 故选：C． （3），理由如下： 如图：延长交于点F，    在和中， ， ∵是的平分线， . 【变式2】如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【答案】(1)证明见解析 (2)， 【分析】本题考查了全等三角形中的旋转模型，掌握旋转的相关性质是解题关键． （1）推出，即可求证； （2）旋转角为旋转前后对应线段形成的角度，据此即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， ，， ； （2）解：由题意可得：旋转中心是点， 旋转角为或， ∴旋转角的度数为． 故答案为：， 【变式3】是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 【答案】(1)图①的猜想：，证明见解析 (2)图②：，图③： 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键； （1）作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； （2）如图，作交于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证；如图，作交的延长线于，证明得到，，从而得到，证明得到，即可得证； 【详解】（1）， 证明：如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （2）如图，作交于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ，即； 如图，作交的延长线于， 则， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； 题型03 尺规作图 【典例1】已知：线段，，利用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法． (1)求作：线段的垂直平分线． (2)求作：，使，． 【答案】(1)如图，直线l即为所求； (2)如图，即为所求． 【分析】本题考查了复杂作图，掌握基本作图是解题关键． （1）作线段垂直平分线即可； （2）先作，再取即可． 利用已知角和线段，首先作一角等于已知角，进而得出符合题意的答案即可． 【详解】（1）如图，由线段垂直平分线作法得：直线为所求直线， （2）先作，再取即可． 如图：为所求． 【变式1】如图，已知，求作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】本题考查了作图-基本作图，作一条线段等于已知线段，全等三角形的判定．作射线，以为圆心，长度为半径画弧，交于点；分别以、为圆心，、长度为半径画弧，两弧交于点，连接，，则即为所求． 【详解】解：如图：即为所求． 【变式2】如图，已知和线段a，用尺规作，使，，．（保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图．先用尺规作图作出，再截取，然后再用尺规作图作出，直线与相交于点，最后连接即可解答． 【详解】解：如图，即为所求． 题型04 结合尺规作图的全等问题 【典例1】根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断． 【详解】解：A、根据，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； B、，，，能画出唯一，故此选项不符合题意； C、，，，能画出唯一三角形，故本选项不合题意； D、，，，不能画出唯一三角形，故本选项符合题意； 故选：D． 【变式1】如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线m成轴对称． (1)直接写出的面积为 ； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴m； (3)请在线段的右侧找一点D，画出，使． 【答案】(1)5 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作轴对称图形，全等三角形的性质与判定，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键． （1）根据割补法求三角形的面积即可求解； （2）连接，，根据网格的特点过，的中点作直线m，即可求解； （3）根据轴对称的性质作出，即可． 【详解】（1）解：（1）的面积为， 故答案为：5； （2）解：如图1，直线m即为所求． （3）解：如图2，即为所求． 【变式2】如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)在图甲中，画出的边上的中线； (2)在图乙中， 找一点 P，连接线段 ，使得 平分． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质， （1）在图中取格点并连接对应的线段，即可得到三角形的全等，结合其性质即可知，连接即可； （2）根据网格可知，在上取格点长为5，即可得到等腰三角形，利用网格即可找到等腰三角形底边的中点，连接即可． 【详解】（1）解：如图， （2）解：如图， 【变式3】如图，在中，，，在线段延长线上取一点，以为直角边，点为直角顶点，在射线上方作等腰，过点作，垂足为点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接，并延长交的延长线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了作图复杂作图，解决本题的关键是利用全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质．（1）根据题意补全图形即可； （2）根据已知条件证明，即可得； （3）根据（2）证明为等腰直角三角形，为等腰直角三角形，即可得到． 【详解】（1）解：如图即为补全的图形； （2）证明： ，， ， ， 又， ， ， 又， ． ． （3）线段与的数量关系是．理由如下： ， ， 又， ， ， 即为等腰直角三角形， ∴ ∴为等腰直角三角形， ， ． 一、单选题 1．如图是由个全等的小正方形组成的网格图，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质及三角形的内角和定理，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键，证（），得，由 得，进而得 再根据等腰三角形的性质即可得解． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ∴（）， ∴， ∵ ∴， ∴ ∵， ∴ ∴ 故选：． 2．如图，在和中，，增加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据判定定理逐项判断即可． 【详解】解：∵， ∴，即， ∵， ∴ ， 可知不符合题意； ， ∴ ， 可知不符合题意； ∵， ∴ ， 可知不符合题意； 当，不能判断这两个三角形全等，所以符合题意． 故选：． 3．用尺规作角平分线的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据尺规作图的方法结合三角形全等的判定方法，进行判断即可． 【详解】解：如图： 由作图可知：， 又∵， ∴， ∴，即：为的角平分线， ∴用尺规作角平分线的依据是； 故选D． 4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定定理．根据全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：已知，且， 当添加，根据能判断，选项A不符合题意； 当添加，根据能判断，选项B不符合题意； 当添加，根据能判断，选项D不符合题意； 如果添加，不能根据判断，选项C符合题意； 故选：C． 5．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明是解题的关键．根据题意得出，再根据证明，即可利用全等三角形的性质得解． 【详解】解：， ， 即， 在和中， ， ， ， 故选：A 6．如图，在中，平分．连接和，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 【答案】A 【分析】本题主要查了全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系．在边上取点D，使，连接，证明，可得，在中，根据三角形的三边关系，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点D，使，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 所以A选项符合题意． 故选：A 7．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形“边边边”的判定以及全等三角形的对应角相等这个知识点，熟练掌握三角形全等的性质是解题的关键．利用可证得，那么． 【详解】解：由作图知：，，， ∴， ∴， 依据是． 故选：A． 8．如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，尺规作图，解题的关键是掌握尺规作图．由作图可知，，根据证明三角形全等即可解决问题， 【详解】解：由作图可知，， ， ， 故选：D． 9．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，根据作图方法可得，由此即可求解． 【详解】解：根据直尺和圆规作一个角等于已知角的作图的方法可得，，，， ∴， ∴， ∴作图的依据是， 故选：A ． 10．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 【答案】A 【分析】本题考查作图应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，掌握全等三角形的判定方法，属于中考常考题型．根据定理证明即可． 【详解】解：由作图可知，在和中， ， ， ∴． 故选：A． 二、填空题 11．如图，和均为等边三角形，，则 ． 【答案】/124度 【分析】本题考查等边三角形的性质、三角形内角和及全等三角形的性质与判定，根据等边三角形的性质，，，证明，得，设，根据三角形内角和即可求解．熟练掌握等边三角形的性质、全等三角形的性质与判定是解题的关键． 【详解】解：∵和均为等边三角形，， ∴，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 设， ∴， ， ∴ ． 故答案为：． 12．如图，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 cm/s时，与有可能全等． 【答案】1或 【分析】根据题意，则，然后根据已知，分两种情况：当，时；当时，分别进行计算即可解答．本题考查了全等三角形的判定，分两种情况讨论是解题的关键． 【详解】解：由题意得： ， ∵， ∴， ∵， ∴①当，时，与全等， ∴， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度 ； ②当时，与全等， ∴， ∴， ∴点Q的运动速度 综上所述：当点Q的运动速度为1或时，与有可能全等， 故答案为：1或． 13．如图，点D、E分别在线段、上，与相交于点O．若，，，，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】先证明，得出，根据三角形内角和求出，即可得出答案． 本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，解题的关键是证明． 【详解】解：在和中，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 14．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块． 【答案】4 【分析】本题考查了全等三角形的判定：根据标有1、2、3、4的四块玻璃与原三角形的玻璃的联系，结合全等三角形的判定定理进行求解即可，全等三角形的判定定理有：． 【详解】解：标有1的玻璃与原三角形的玻璃有一个角相等，但没有任何边相等，故不带标有1的玻璃去； 标有2的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有2的玻璃去； 标有3的玻璃与原三角形的玻璃没有任何角相等，也没有任何边相等，故不带标有3的玻璃去； 标有4的玻璃与原三角形的玻璃两个角相等，且这两个角的夹边相等，故带标有4的玻璃去； 故答案为：4． 15．如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点D．，，垂足分别为E，F．则 ． 【答案】 【分析】本题主要是全等三角形的判定与性质、角平分线的定义与垂直平分线的性质等等；连接，，证明推出，，证明，推出，再根据线段的和差关系求解即可． 【详解】解：如图，连接，， 是的平分线，，， ，， 在和中， ， ， ，， ∵点D在的垂直平分线上， ． 在和中， ， ， ， ． ，， ． 故答案为：． 16．如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查基本作图—作角，根据作图可知，，求解即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴； 故答案为：． 17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线和直线外一点P； 求作：直线m，使得直线m经过点P且． 作法： （1）在直线上任取一点A； （2）作射线； （3）以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线和射线于点B，点C； （4）以P为圆心，以为半径画弧，交线段于点D； （5）以D为圆心，以为半径画弧，与上一圆弧交于点E； （6）作直线，即为直线m．所以，直线m即为所求．（如图） 这样作图能使的依据是 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了尺规作图法—做一个角等于已知角，平行线的判定，掌握平行线的判定是解题的关键．根据作一个角等于已知角的方法可知，再利用平行线的判定即可解答． 【详解】解：由作法可知， ∴， 依据是：内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 18．下列尺规作图能得到平行线的是 ．（填序号） ①  ② ③  ④ 【答案】①②③ 【分析】本题考查平行线的判定、基本尺规作图，根据基本尺规作图和平行线的判定逐个判断即可． 【详解】解：①根据同位角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故①符合题意； ②根据同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，该尺规作图能得到平行线，故②符合题意； ③根据内错角相等，两直线平行，该尺规作图能得到平行线，故③符合题意； ④根据尺规作图不能得到平行线，故④不符合题意， 故答案为：①②③． 三、解答题 19．在中，是的平分线，交于点，过点作于点，若，求的度数． 【答案】 【分析】延长交于，由垂线定义及角平分线得，，进而证明，得，再利用三角形的外角性质即可得解． 【详解】解：如图，延长交于， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了垂线定义，角平分线的定义，全等三角形的判定及性质以及三角形的外角性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 20．如图，已知，，， (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，找准对应关系是解答的关键． （1）可以先证，再利用全等三角形的性质，可得； （2）由（1）的结论结合已知条件，根据三角形内角和定理，可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：由（1）知， ∵， 又∵，， ∴． 21．已知：如图，在、中，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)请判断有何关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)，，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质： （1）利用证明即可； （2）根据全等三角形的性质，推出，即可； 【详解】（1）证明：∵ ∴ 即， 又∵， ∴． （2），． 证明如下：由（1）知， ∴，． ∵， ∴． ∴． 即． ∴． 22．如图，在中，点F在上，D为外一点，连接，有，，连接交于点E，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，平行线的性质，根据平行线的性质得到，结合已知利用证明，即可证明结论． 【详解】解：∵ ， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴． 23．作角：已知： 求作：，使． 作法： 1、以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； 2、画一条射线，以点为圆心，　　　　　长为半径画弧，交于点； 3、以点 为圆心， 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点； 4、过点画射线，则． 这样作出的和就是相等的．依据是（    ）． 【答案】；；； 【分析】本题主要考查复杂作图，全等三角形的判定与性质，先补全作法，再根据“”证明即可 【详解】1、以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； 2、画一条射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点； 3、以点为圆心，长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点； 4、过点画射线，则． 这样作出的和就是相等的．理由如下： 连接， 由作法可知，，，， ∴ ， ∴ 故答案为：；；； 24．如图，在中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，E点旋转至点F． (1)如图1，过F点作交于点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，求证：是的2倍； (3)E是射线上一点，直线交直线于D点，若，则　　　． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）由，可得，再结合旋转的性质，通过即可证明全等； （2）过F点作交AC于H点，根据（1）中结论可得，即可证明，可得，设，，则，分别用含a的式子表示和，即可解题； （3）当点E在线段上时，过点F作于G点，设，，则，由（1）知，求得，，，由（2）知，求得，；当点E在线段的延长线上时，过点F作于G点，设，，则，由（1）知，，，，由（2）知，，即可． 【详解】（1）证明：证明：如图1， 由旋转的性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ； （2）证明：过F点作交于H点，如图，    则， 由（1）知， ∵， ， 在和中， ， ， ， ， 设，，则 ， ， ， 即是的2倍； （3）证明：当点E在线段上时，过点F作于G点，如图， ∵， ∴设，， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，过点F作于G点，如图4， ∵， ∴设，， ∴， 由（1）知， ∴，， ∴， 由（2）知， ∴， ∴， ∴； 综上，的值是或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，比例线段的性质，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，通过已知条件证明三角形全等是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第10讲 全等三角形及用尺规作三角形 课程标准 学习目标 全等三角形 用尺规作三角形 1.能够掌握全等三角形的判定定理，灵活使用定理判定三角形全等 2.初步了解尺规作图步骤，对于简单作图题，能写出已知、求作和作法, 知识点01 全等图形和全等三角形的相关概念 全等图形:能够完全 的两个图形叫作全等图形. 全等三角形:能够完全 的两个三角形叫作全等三角形. 对应顶点:在全等三角形中,互相重合的 叫作对应顶点. 对应边:在全等三角形中,互相重合的 叫作对应边. 对应角:在全等三角形中,互相重合的 叫作对应角. 【即学即练1】 下列说法正确的是（　　） A．周长相等的两个三角形一定全等 B．形状相同的两个三角形全等 C．面积相等的两个三角形全等 D．全等三角形的面积一定相等 知识点02 全等三角形的性质 (1)全等三角形的 相等; (2)全等三角形的 相等. 【即学即练1】 在中，，若，则与的关系为（    ） A． B． C． D．无法确定 知识点03 “边角边”判定三角形全等 两边及其 分别相等的两个三角形全等简记为“边角边”或“SAS”. 【即学即练1】 如图，，，其中，连接，，求证：． 易错提醒：运用“边角边”时,两边必须是夹这个角的两边，角必须是这两边的夹角.任意两边及其中一边的对角对应相等(即SSA)的两个三角形不一定全等. 知识点04 “角边角”判定三角形全等 两角及其 分别相等的两个三角形全等，简记为“角边角"或“ASA” 【即学即练1】 如图，在中，，点D在线段上运动（点D不与点B，C重合），连接，作，交线段于点E． (1)当时，______，______ (2)若，试说明． 知识点05 “角角边”判定三角形全等 两角分别相等且其中一组等角的 相等的两个三角形全等,简记为“角角边”或“AAS”. 【即学即练1】 如图，已知点B、E、C、F在同一直线上，，． (1)求证：； (2)若，求的长度． 易错提醒：在使用“两角一边”证三角形全等时,一定要分清根据的是 ASA 还是AAS判定法,防止出现对应中的混乱. 知识点06 “边边边"判定三角形全等 三边分别 的两个三角形全等,简记为“边边边"或“SSS” 【即学即练1】 如图，点B，E，C，F在一条直线上，，，， (1)求证： (2)若，，求的度数 规律总结：当图中有两组对应边相等而无对应角相等时，通常在图中寻找或构造第三边相等，以达到应用 SSS 判定三角形全等的目的. 知识点07 灵活使用定理判定三角形全等 【即学即练1】 如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，，点E是BD上一点，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)当__________度时，是等边三角形． 知识点08 用尺规作三角形 (1)已知三边作三角形; (2)已知底边及底边上的高线作等腰三角形; (3)已经两边及其夹角作三角形; (4)已知两角及其夹边作三角形. 【即学即练1】 已知：如图，在中，，把绕点按顺时针方向旋转得到，点的对应点为点． (1)求作；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)连接，若，，求的长． 题型01 三角形全等的判定 【典例1】如图，四边形中，，，E、F分别为、的中点，连接、． (1)与相等吗？请说明理由； (2)求证：． 【变式1】如图，在与中，已知． (1)在不添加任何辅助线的前提下，以下条件中，能使的条件有_____（填序号）， ①；②；③；④； (2)分别对（1）中添加条件的情况证明，并指出两个三角形全等的判定方法． 【变式2】如图，，，点在上． (1)求证：平分； (2)求证： 【变式3】如图，在和中，，．求证：． 【变式4】如图，点在线段上，，，．求证：． 【变式5】如图，，，相交于点，．求证：． 题型02 全等三角形辅助线问题 【典例1】已知等腰△ABC中，AB=AC，点D在直线AB上， DE∥BC，交直线AC与点E，且BD=BC，CH⊥AB，垂足为H．    （1）当点D在线段AB上时，如图1，求证DH=BH+DE； （2）当点D在线段BA延长线上时，如图2，当点D在线段AB延长线上时，如图3，直接写出DH，BH，DE之间的数量关系，不需要证明． 【变式1】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题，如图，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使， 请根据小明的方法思考：    （1）由已知和作图能得到的理由是 ． A．       B．        C．        D． （2）求得的取值范围是 ． A．                   B． C．                   D． 感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中， [方法应用] （3）如图，在四边形中，，点E是的中点，若是的平分线，试猜想线段之间的数量关系，并证明你的猜想．    【变式2】如图，与都是等腰直角三角形，，，，交于点，连接，． (1)求证：； (2)可以看作是由绕某点旋转得到的，若，则旋转中心是点______，旋转角的度数为______． 【变式3】是等腰三角形， ，M是的中点，D 为射线上一点（不与点 B，C重合）、连接 并延长到点 E，使得，连接．过点 B作的垂线交直线于点 F． (1)如图①，点D在线段上，线段，， 之间的有怎样的数量关系？写出你的猜想，并证明： (2)当点D在线段上时，如图②；当点D在的延长线上时，如图③，直接写出线段，， 之间的数量关系，不需证明． 题型03 尺规作图 【典例1】已知：线段，，利用直尺和圆规，保留作图痕迹，不写作法． (1)求作：线段的垂直平分线． (2)求作：，使，． 【变式1】如图，已知，求作，使．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【变式2】如图，已知和线段a，用尺规作，使，，．（保留作图痕迹） 题型04 结合尺规作图的全等问题 【典例1】根据下列已知条件，画出的不唯一的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式1】如图，和的顶点都在边长为1的正方形网格的格点上，且和关于直线m成轴对称． (1)直接写出的面积为 ； (2)请在如图所示的网格中作出对称轴m； (3)请在线段的右侧找一点D，画出，使． 【变式2】如图，在8×8的正方形网格中，的三个顶点都在格点上，请按要求完成下列作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹． (1)在图甲中，画出的边上的中线； (2)在图乙中， 找一点 P，连接线段 ，使得 平分． 【变式3】如图，在中，，，在线段延长线上取一点，以为直角边，点为直角顶点，在射线上方作等腰，过点作，垂足为点． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接，并延长交的延长线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 一、单选题 1．如图是由个全等的小正方形组成的网格图，则（   ）． A． B． C． D． 2．如图，在和中，，增加下列条件不能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．用尺规作角平分线的依据是（    ） A． B． C． D． 4．如图，已知，那么添加下列一个条件后，不能判定的是（　　） A． B． C． D． 5．如图，已知点A、D、C、F在同一条直线上，，则（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，平分．连接和，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 7．用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是（　　） A． B． C． D． 8．如图用尺规作“与已知角相等的角”的过程中，作出的依据是（    ） A． B． C． D． 9．用直尺和圆规作一个角等于已知角的作图痕迹如图所示，则作图的依据是（ ） A． B． C． D． 10．下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点C，D； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则． 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（    ） A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS 二、填空题 11．如图，和均为等边三角形，，则 ． 12．如图，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动．设运动时间为t（s），则当点Q的运动速度为 cm/s时，与有可能全等． 13．如图，点D、E分别在线段、上，与相交于点O．若，，，，则的度数为 ． 14．小明不慎将一块三角形的玻璃摔碎成如图所示的四块（即图中标有1、2、3、4的四块），你认为将其中的哪一块带去，就能配一块与原来一样大小的三角形？应该带第 块． 15．如图，在中，，，的角平分线与的垂直平分线交于点D．，，垂足分别为E，F．则 ． 16．如图，，观察尺规作图的痕迹，的度数为 ． 17．下面是小东设计的“过直线外一点作这条直线的平行线”的尺规作图过程．已知：直线和直线外一点P； 求作：直线m，使得直线m经过点P且． 作法： （1）在直线上任取一点A； （2）作射线； （3）以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交直线和射线于点B，点C； （4）以P为圆心，以为半径画弧，交线段于点D； （5）以D为圆心，以为半径画弧，与上一圆弧交于点E； （6）作直线，即为直线m．所以，直线m即为所求．（如图） 这样作图能使的依据是 18．下列尺规作图能得到平行线的是 ．（填序号） ①  ② ③  ④ 三、解答题 19．在中，是的平分线，交于点，过点作于点，若，求的度数． 20．如图，已知，，， (1)求证：； (2)求证：． 21．已知：如图，在、中，，，点C、D、E三点在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)请判断有何关系，并证明． 22．如图，在中，点F在上，D为外一点，连接，有，，连接交于点E，．求证：． 23．作角：已知： 求作：，使． 作法： 1、以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； 2、画一条射线，以点为圆心，　　　　　长为半径画弧，交于点； 3、以点 为圆心， 长为半径画弧，与第2步中所画的弧交于点； 4、过点画射线，则． 这样作出的和就是相等的．依据是（    ）． 24．如图，在中，，，点为射线上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，E点旋转至点F． (1)如图1，过F点作交于点，求证：； (2)如图2，连接交于D点，若，求证：是的2倍； (3)E是射线上一点，直线交直线于D点，若，则　　　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$