第11讲 平方根和立方根（5大知识点+7大题型精讲+强化训练）-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学上册同步学与练（湘教版）

第11讲 平方根和立方根 课程标准 学习目标 平方根的概念 无理数的概念 立方根的概念 1.了解平方根和算术平方根的概念及性质 2.会求一个非负数的平方根与算术平方根，弄清两者的区别 3.了解无理数的意义，了解数系由有理数向实数扩展的过程. 4.了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根 5.能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算,并能区分立方根与平方根的不同. 6.会用计算器计算一个数的立方根. 知识点01 平方根 平方根:如果有一个数r,使得,那么我们把r叫作a的一个平方根,也叫作二次方根. 注意:(1)负数没有 ,0的平方根是 ;(2)一般地,如果r是正数a 的一个平方根那么a的平方根有且只有 :r与-r. 【即学即练1】 下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D． 规律总结：(1)求一个带分数的平方根:应先将带分数化为假分数; (2)求一个算式的平方根,应先算出这个算式的具体值,再求平方根。 知识点02 算术平方根 算术平方根:正数a的正平方根叫作a的算术平方根,记作,读作“根号a”. 注意:“正数”和“正平方根”,即算术平方根具有双重非负性. 【即学即练1】 已知的平方根为，的算术平方根为6． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 知识点03 无理数的概念 无理数:无限不 小数叫作无理数. 【即学即练1】 在，，，，（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 易错提醒：对无理数的四点错误认识 (1)带根号的数都是无理数; (2)无理数是开方开不尽的数;(3)分数是无理数; (4)无限小数是无理数, 知识点04 立方根的求法 立方根:如果一个数b,使得,那么将b叫作a的一个立方根.a的立方根记作,读作“立方根号a”(或“三次根号a”). 开立方:求一个数的 的运算,叫作开立方. 性质:正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0. 【即学即练1】 下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 知识点05 立方根的应用 求立方根的两种方法(1)定义法:求一个数a的立方根通常用主方运算,先找出立方等于a的数,写出立方 式,再由立方式写出a的立方根的值;(2)借助计算器:直接利用计算器求一个数a 的立方根. 【即学即练1】 小明和小红各制作了一个正方体盒子，制作完后，小明对小红说：“我制作的盒子的表面积是，你的呢？”小红低头想了一下说：“先不告诉你我制作的盒子表面积是多少，我制作的盒子比你的盒子的体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考一会儿，顺利得到了答案，同学们，你能算出来吗？ 题型01 平方根概念理解 【典例1】若一个正数的平方根分别是与，则m为（       ） A． B．3 C．2 D．或 3 【变式1】一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 【变式2】的平方根分别是，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 题型02 平方根的应用 【典例1】母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【变式1】如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值． 【变式2】如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 题型03 无理数的概念 【典例1】下列数中是无理数的为（   ） A．0 B． C． D．（相邻两个1之间有一个0） 【变式1】有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的时，输出的y等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【变式2】下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 题型04 立方根概念理解 【典例1】下列说法正确的有（    ） ①5是25的算术平方根；②是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【变式1】立方根等于它本身的有（    ） A．，， B．， C．， D． 【变式2】已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 题型05 立方根的实际应用 【典例1】2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1】每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 · 【变式2】已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大． (1)求第二个纸盒的棱长； (2)第二个纸盒的表面积比第一个纸盒大多少？ 题型06 计算器——平方根和立方根 【典例1】若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（   ） A． B． C． D． 【变式1】利用教材中的计算器计算时，进行如下按键，显示，则若按键：，显示（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列有关使用大雁学生计算器的说法错误的是（    ） A．求的按键顺序是 B．求的按键顺序是 C．求的值的按键顺序是 D．求的按键顺序是 题型07 算术平方根和立方根的综合应用 【典例1】已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 【变式1】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式2】（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 一、单选题 1．若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 024 2．的平方根是（   ） A．0 B．或4 C．2 D．2或 3．下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 4．64的算术平方根是（   ） A． B． C．8 D． 5．已知a， b， c满足则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 6．已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 7．的立方根是（    ） A． B． C． D． 8．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 9．实数，，在数轴上的位置如图所示，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 10．下列说法中：①立方根等于本身的是，0， 1 ；②两个无理数的和一定是无理数；③实数与数轴上的点是一一对应的是负分数；⑤两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是(      ) A．2 B．3 C．4 D．5 二、填空题 11．计算： ． 12．若， ，则 的值为 ． 13．满足方程中的x的值为 ． 14．的立方根是 ． 15．已知，，则 ． 16．已知是49的算术平方根，的立方根是．则的立方根是 ． 17．如果 那么x是一个 数． 18．下列各数，，，中，无理数的个数有 个． 三、解答题 19．计算：． 20．已知：且，求的值． 21．已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 22．解方程 (1)； (2)． 23．已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根． 24．根据下表回答问题： (1)的平方根是 ； (2) ， ； (3)设的整数部分为，求的立方根． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第11讲 平方根和立方根 课程标准 学习目标 平方根的概念 无理数的概念 立方根的概念 1.了解平方根和算术平方根的概念及性质 2.会求一个非负数的平方根与算术平方根，弄清两者的区别 3.了解无理数的意义，了解数系由有理数向实数扩展的过程. 4.了解立方根的概念，能够用根号表示一个数的立方根 5.能用类比平方根的方法学习立方根及开立方运算,并能区分立方根与平方根的不同. 6.会用计算器计算一个数的立方根. 知识点01 平方根 平方根:如果有一个数r,使得,那么我们把r叫作a的一个平方根,也叫作二次方根. 注意:(1)负数没有平方根,0的平方根是0;(2)一般地,如果r是正数a 的一个平方根那么a的平方根有且只有两个:r与-r. 【即学即练1】 下列说法错误的是（    ） A．是16的平方根 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D． 【答案】C 【分析】本题考查平方根与算术平方根，根据平方根的定义对各选项分析判断即可得解． 【详解】A、，所以是16的平方根，说法正确，不符合题意； B、0的平方根是0，说法正确，不符合题意； C、，所以的平方根是，说法错误，符合题意； D、的算术平方根是，所以，说法正确，不符合题意； 故选：C． 规律总结：(1)求一个带分数的平方根:应先将带分数化为假分数; (2)求一个算式的平方根,应先算出这个算式的具体值,再求平方根。 知识点02 算术平方根 算术平方根:正数a的正平方根叫作a的算术平方根,记作,读作“根号a”. 注意:“正数”和“正平方根”,即算术平方根具有双重非负性. 【即学即练1】 已知的平方根为，的算术平方根为6． (1)求a，b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了平方根、算术平方根等知识点，平方根、算术平方根的定义求得a、b的值是解答本题的关键． （1）运用平方根和算术平方根的定义求解即可； （2）先将a、b的值代入求值，然后再根据平方根的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵的平方根为， ∴，解得：， ∵的算术平方根为6， ∴， ∵， ∴． （2）∵，， ∴， 则的平方根为． 知识点03 无理数的概念 无理数:无限不循环小数叫作无理数. 【即学即练1】 在，，，，（每两个2之间依次多一个1）中，无理数有（   ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的定义：无限不循环小数是无理数；常见的无理数有：开不尽方的数，含的数，有规律但是无限不循环的数．根据无理数的定义，即可进行解答． 【详解】解：在实数，，，，（每两个2之间依次多一个1）中， 无理数有：，，…（每两个2之间依次多一个1），共3个， 故选：C． 易错提醒：对无理数的四点错误认识 (1)带根号的数都是无理数; (2)无理数是开方开不尽的数;(3)分数是无理数; (4)无限小数是无理数, 知识点04 立方根的求法 立方根:如果一个数b,使得,那么将b叫作a的一个立方根.a的立方根记作,读作“立方根号a”(或“三次根号a”). 开立方:求一个数的立方根的运算,叫作开立方. 性质:正数的立方根是正数,负数的立方根是负数,0的立方根是0. 【即学即练1】 下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了立方根和立方运算，掌握立方根的概念是解题的关键．根据立方根的概念求解即可． 【详解】解：A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项不符合题意． 故选：B． 知识点05 立方根的应用 求立方根的两种方法(1)定义法:求一个数a的立方根通常用主方运算,先找出立方等于a的数,写出立方 式,再由立方式写出a的立方根的值;(2)借助计算器:直接利用计算器求一个数a 的立方根. 【即学即练1】 小明和小红各制作了一个正方体盒子，制作完后，小明对小红说：“我制作的盒子的表面积是，你的呢？”小红低头想了一下说：“先不告诉你我制作的盒子表面积是多少，我制作的盒子比你的盒子的体积大，你能算出它的表面积吗？”小明思考一会儿，顺利得到了答案，同学们，你能算出来吗？ 【答案】能， 【分析】本题考查了算术平方根和立方根的运算．解答本题的关键是要掌握好正方体的体积公式． 首先利用正方体的表面积公式求出体积，再利用立方根的定义求出棱长进而求出表面积即可． 【详解】解：小明制作的盒子棱长为， 所以其体积为， 则小红制作的盒子的体积为， 其棱长为， 所以其表面积为． 题型01 平方根概念理解 【典例1】若一个正数的平方根分别是与，则m为（       ） A． B．3 C．2 D．或 3 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方根的定义以及解一元一次方程，正确理解平方根的定义是解题关键．根据平方根的定义可得，求解即可获得答案． 【详解】解：根据题意，一个正数的两个平方根分别是与， 则有， 解得． 故选：B． 【变式1】一个正数的两个不同的平方根为和，则这个正数是（    ） A．7 B．11 C．49 D．324 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据平方根求原数，根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，据此求出，再根据平方根的概念求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不同的平方根为和， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴这个正数是49， 故选：C． 【变式2】的平方根分别是，，则的值为（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】此题考查了平方根的意义．正数的平方根有两个，一个正的平方根和一个负的平方根，且互为相反数，据此进行解答即可． 【详解】解：∵，的平方根分别是，， ∴，互为相反数且都不为0， ∴， ∴， 故选：B 题型02 平方根的应用 【典例1】母亲节，是一个感恩母亲的节日．哥哥小宇和弟弟小旭准备自制节日礼物送给母亲．小旭自制了一张面积为的正方形贺卡，小宇自制了一个面积为的长方形信封，其长宽之比为．小旭自制的贺卡不折叠能完全放入小宇自制的信封中吗？请通过计算说明你的判断． 【答案】能，理由见解析 【分析】本题主要考查了平方根的应用．先求出正方形的边长为，然后设长方形的信封的长为，宽为，根据题意可得，从而确定长方形的长宽即可得出结果． 【详解】解：能，理由如下： ∵正方形贺卡的面积为， ∴正方形的边长为， 设长方形的信封的长为，宽为，依题得： ， 即， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴能将这张贺卡不折叠地放入此信封中． 【变式1】如图，两个边长为2的正方形重叠，重叠部分是边长为a的正方形．若空白部分面积之和为3.5，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查平方根的应用，解理的关键是看懂重叠部分、空白部分与两个正方形面积之间的关系． 根据大小正方形的面积之差的2倍等于重叠部分面积，由此列式可解． 【详解】解：∵空白部分面积之和为， ∴ ∴ 则 ∵ ∴ 【变式2】如图，用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形． (1)求拼成的大正方形纸片的边长； (2)小丽想：若沿此大正方形纸片的边的方向剪出一个长方形，能否使剪出的长方形纸片的长、宽之比为且面积为？她不知能否剪得出来，正在发愁．小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片剪出一块面积小的纸片．”你同意小明的说法吗？你认为小丽能用这块纸片剪出符合要求的纸片吗？为什么？ 【答案】(1) (2)解：不同意小明的说法，我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】本题考查平方根的实际应用，读懂题意，由算术平方根及平方根定义列式求解即可得到答案，读懂题意，由平方根定义列式求解是解决问题的关键． （1）根据题意，利用算术平方根列式求解即可得到答案； （2）设长方形纸片的长为，宽为，由题意得到求解即可得到答案． 【详解】（1）解：用两个面积为的小正方形纸片拼成一个大正方形， 大正方形的边长为； （2）解：不同意小明的说法；我认为小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 理由如下： 设长方形纸片的长为，宽为，根据题意得，解得或（负值，舍去），即长方形的长为，宽为， ∵，不符合题意， ∴小丽不能用这块纸片剪出符合要求的纸片． 题型03 无理数的概念 【典例1】下列数中是无理数的为（   ） A．0 B． C． D．（相邻两个1之间有一个0） 【答案】B 【分析】此题考查了实数数的分类．无理数是无限不循环小数，整数和分数统称有理数，根据无理数和有理数的定义分别进行判断即可． 【详解】解：A. 0是有理数，故选项不符合题意；     B. 是无理数，故选项符合题意； C. 是分数，属于有理数，故选项不符合题意；     D. （相邻两个1之间有一个0）是无限循环小数，属于有理数，故选项不符合题意． 故选：B 【变式1】有一个数值转换器，原理如图所示：当输入的时，输出的y等于（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求一个数的算术平方根，无理数，根据流程图依次计算即可． 【详解】解：输入的时，取算术平方根为，是有理数，继续计算； 取的算术平方根为，是有理数，继续计算； 取的算术平方根为，是无理数，输出； 故选：D． 【变式2】下列各数中，是无理数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的概念，平方根、立方根的化简，根据无理数的定义“无理数是无限不循环小数”及常见的无理数有“含的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如（相邻两个2之间1的个数逐渐增加）”，由此即可求解． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、是开不尽方的数，是无理数，符合题意； C、是有理数，不符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选：B ． 题型04 立方根概念理解 【典例1】下列说法正确的有（    ） ①5是25的算术平方根；②是64的立方根；③的平方根是；④0的平方根和算术平方根都是它本身． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查了立方根、算术平方根、平方根，根据立方根、算术平方根、平方根的定义逐项判断即可得出答案，熟练掌握相关概念是解此题的关键． 【详解】解：①，即5是25的算术平方根，故①正确； ②，即是64的立方根，故②错误； ③，即的平方根是，故③正确； ④0的平方根和算术平方根都是它本身，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，共个， 故选：B． 【变式1】立方根等于它本身的有（    ） A．，， B．， C．， D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根的定义，根据立方根的定义即可求解，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：的立方根为； 的立方根为； 的立方根为； ∴立方根等于本身的数有，，， 故选：． 【变式2】已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：∵为9的算术平方根，2为的立方根， ，， 解得：，； （2）解：∵，， ， ∴的平方根是． 题型05 立方根的实际应用 【典例1】2024年的母亲节来临之际，小美和小嘉分别制作了一个如图所示的正方体礼盒，准备用礼盒装好礼物送给妈妈．已知小美制作的正方体礼盒的表面积为，而小嘉制作的正方体礼盒的体积比小美制作的正方体礼盒的体积小，则小嘉制作的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了正方体的表面积和体积、算术平方根和立方根运算、乘方运算等知识，正确求得两个正方体礼盒的棱长是解题关键．首先设小美制作的正方体礼盒的棱长为，根据题意列方程并求解，可得小美制作的正方体礼盒的棱长，进而计算小美制作的正方体礼盒的体积，根据题意可得小嘉制作的正方体礼盒的体积；设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为，由正方体体积公式可解得小嘉制作的正方体礼盒的棱长，然后计算小嘉制作的正方体礼盒的表面积即可． 【详解】解：设小美制作的正方体礼盒的棱长为， 根据题意，可得， ∴， ∴小美制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小美制作的正方体礼盒的体积为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的体积为， 设小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴， ∴， ∴小嘉制作的正方体礼盒的棱长为， ∴小嘉制作的正方体礼盒的表面为． 故选：B． 【变式1】每年农历八月十五是我国传统的中秋佳节，这时是一年秋季的中期，所以被称为中秋．自古便有中秋节赏月品月饼的习俗，某商店的李师傅制作的正方体月饼礼盒的体积为，而康师傅制作的正方体．月饼礼盒的体积比李师傅制作的小，则康师傅制作的正方体月饼礼盒的表面积为 · 【答案】 【分析】本题考查了立方根的应用，先根据康师傅制作的正方体月饼礼盒的体积求出边长，进而求出表面积. 【详解】解：康师傅制作的正方体月饼礼盒的边长， 所以这个表面积为 【变式2】已知第一个正方体纸盒的棱长为，第二个正方体纸盒的体积比第一个纸盒的体积大． (1)求第二个纸盒的棱长； (2)第二个纸盒的表面积比第一个纸盒大多少？ 【答案】(1)第二个纸盒的棱长为 (2)第二个纸盒的表面积比第一个纸盒大 【分析】本题考查了立方根的应用，解题关键是掌握立方根的定义，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫a的立方根． （1）根据正方体的体积等于棱长的立方求出第一个纸盒的体积，再求出第二个纸盒的体积，再利用立方根的定义即可求解； （2）先求出第一个纸盒的表面积，再求出第二个纸盒的表面积，相减即可． 【详解】（1）解：第一个正方体纸盒的体积为， ， ， 答：第二个纸盒的棱长为． （2）解：第一个纸盒的表面积为， 由前面可知第二个纸盒的棱长为， ∴第二个纸盒的表面积为， ∴ 答：第二个纸盒的表面积比第一个纸盒大． 题型06 计算器——平方根和立方根 【典例1】若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，依次按键，对应的计算是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查计算器—基础知识，解答本题的关键是明确第二能键是立方根．根据题目中的运算程序，可以计算出式子的运算结果． 【详解】解：根据按键顺序可知算式为． 故选A． 【变式1】利用教材中的计算器计算时，进行如下按键，显示，则若按键：，显示（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了科学计算器的使用，求一个数的立方根，根据题意，再由立方根进行求解即可，读懂题意，掌握立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得， 故选：． 【变式2】下列有关使用大雁学生计算器的说法错误的是（    ） A．求的按键顺序是 B．求的按键顺序是 C．求的值的按键顺序是 D．求的按键顺序是 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能．根据计算器的按键对应的功能即可求解． 【详解】 解：A、求的按键顺序是是正确的，不符合题意； B、求的按键顺序是是正确的，不符合题意； C、求的值的按键顺序是是正确的，不符合题意； D、求的按键顺序是，原来的说法是错误的，符合题意． 故选：D． 题型07 算术平方根和立方根的综合应用 【典例1】已知的平方根是，的立方根是3，求： (1)a和b； (2)的算术平方根． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根的综合应用，熟记相关定义即可． （1）平方根是，的立方根是3，即可求解； （2）根据即可求解； 【详解】（1）解： 的平方根是， ， 的立方根是3， ， 将代入，解得； （2）解： ，， ， 的算术平方根是， 的算术平方根是 【变式1】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】本题考查了利用平方根和立方根的定义解方程，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． （1）利用平方根的定义解答即可求解； （2）利用立方根的定义解答即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， 即或． （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式2】（1）已知的平方根是，的算术平方根是4，求的算术平方根． （2）若x，y都是实数，且，求的立方根． 【答案】（1）5；（2）3 【分析】本题考查了算术平方根、平方根和立方根，掌握概念是解题的关键． （1）根据平方根的定义求出a、b的值，代入求出的值，再求算术平方根即可； （2）根据算术平方根的含义求出x，进而得到y的值，代入求出的值，再求立方根即可． 【详解】解：（1） 的平方根是，的算术平方根是4， ，， ，， ， 的算术平方根为5； （2）由可知，， ，， ， 的立方根为3． 一、单选题 1．若，则的值为（   ） A． B．0 C．1 D．2 024 【答案】C 【分析】本题考查平方和算术平方根的非负性，根据平方和算术平方根的非负性，由几个非负数的和为0，则这几个非负数均为0，即可求得，的值，再代数求值． 【详解】解： ， ，， 解得，， 故， 故选：C． 2．的平方根是（   ） A．0 B．或4 C．2 D．2或 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的平方根和算术平方根，对于两个实数a、b若满足，那么a就叫做b的平方根，若a为非负数，那么a就叫做b的算术平方根，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根为2或， 故选：D． 3．下列各式中运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查同底数幂的乘法、负整数指数次幂、算术平方根和绝对值，运用同底数幂的乘法、负整数指数次幂、算术平方根和绝对值运算法则逐一判断即可． 【详解】解：A、应为，故本选项错误； B、应为，故本选项错误； C、应为，故本选项错误； D、，正确． 故选：D． 4．64的算术平方根是（   ） A． B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根的定义，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据算术平方根的定义，判断即可． 【详解】解：因为 64的算术平方根是8 故选：C． 5．已知a， b， c满足则的值是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式、算术平方根，熟记完全平方公式是解题关键． 先将已知等式利用完全平方公式变形为，再根据偶次方的非负性、绝对值的非负性，算术平方根的性质可求出的值，代入计算即可得． 【详解】解：∵ ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C 6．已知，如果是的算术平方根，是的立方根，则的值为（    ） A． B．17 C． D．19 【答案】B 【分析】本题考查了平方根、立方根和绝对值的计算，熟练掌握计算规则是解题关键． 先通过算出的值，再算出，进而可得到最后结果． 【详解】解：∵ ∴ ∵是的算术平方根，是的立方根， ∴， ∴ ∴ 故选：B ． 7．的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了立方根概念的运用能力，解题的关键是能准确理解相关知识，并能进行正确计算．根据立方根的定义可得结果． 【详解】解：， 的立方根是， 故选：C． 8．下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根及立方根．根据掌握算术平方根及立方根的意义求解即可判断． 【详解】解：A、不能合并，原计算错误，本选项不符合题意； B、，本选项不符合题意； C、，本选项不符合题意； D、，本选项符合题意； 故选：D． 9．实数，，在数轴上的位置如图所示，代数式可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是数轴，立方根，算术平方根，先根据各点在数轴上的位置判断出，，的符号，再化简可得出结论． 【详解】解：由图可知，， ， ∴， ∵，， 原式 ， 故选：A． 10．下列说法中：①立方根等于本身的是，0， 1 ；②两个无理数的和一定是无理数；③实数与数轴上的点是一一对应的是负分数；⑤两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数．其中正确的个数是(      ) A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查立方根的性质，无理数的性质，解题的关键是熟练掌握这些概念．根据立方根的性质，以及无理数的性质判断选项的正确性． 【详解】解：立方根等于本身的数有：，1，0，故①正确； 两个无理数的和不一定是无理数，比如和的和是0，是有理数，故②错误； 实数与数轴上的点一一对应，故③正确； 是无理数，不是分数，故④错误； 从数轴上来看，两个有理数之间有无数个无理数，同样两个无理数之间有无数个有理数，故⑤正确． 正确的有：①③⑤，共3个． 故选：B． 二、填空题 11．计算： ． 【答案】6 【分析】本题考查了算术平方根，零指数幂，先化简各式，然后再进行加法计算即可解答． 【详解】解：， 故答案为：6． 12．若， ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查算术平方根的非负性，代入求值，先根据算术平方根的非负性得到，然后计算出m，n的值，代入计算即可． 【详解】解：由题可得，解得， ∴，， ∴， 故答案为：． 13．满足方程中的x的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的定义．根据平方根的性质求解方程即可． 【详解】解：， ∴， ∴， 故答案为：． 14．的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了立方根，利用立方根的意义求解是解题的关键． 利用立方根的意义，求得的立方根，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴的立方根是 ， 故答案为：． 15．已知，，则 ． 【答案】或/或 【分析】本题考查了代数式求值，平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义求出、的值，再代入计算即可，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，， 当，时，， 当，时，， 故答案为：或． 16．已知是49的算术平方根，的立方根是．则的立方根是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，平方根以及算术平方根的定义，熟记概念并求出、的值是解题的关键．根据算术平方根的定义求出x，再根据立方根的定义求出y，将，代入求出的值，再根据立方根的定义解答． 【详解】解：∵是49的算术平方根， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：． 当，时，， ∴的立方根是， 故答案为：． 17．如果 那么x是一个 数． 【答案】无理 【分析】本题主要考查了无理数的定义，求平方根的方法解方程，先根据求平方根的方法得到，再根据无理数的定义可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴x是一个无理数， 故答案为：无理． 18．下列各数，，，中，无理数的个数有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等． 【详解】解：， 下列各数，，，中，无理数有，，，共3个， 故答案为：3． 三、解答题 19．计算：． 【答案】 【分析】先化简绝对值、零次幂、算术平方根、乘方，再运算加减法，即可作答．本题考查了化简绝对值，零次幂、算术平方根、乘方，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解： ． 20．已知：且，求的值． 【答案】11或1． 【分析】本题考查了绝对值和平方根，有理数的大小比较，代数式求值，掌握相关定义是解题关键．根据题意，利用绝对值的意义及平方根定义确定a、b的值，再代入原式计算即可得到结果． 【详解】解：，， ， ， ， 当，时，， 当，时，， 即的值为11或1． 21．已知的三边长分别为，，，且，，，满足，试判断的形状． 【答案】为等腰三角形 【分析】本题考查非负性和三角形的分类，根据非负性求出的值，进而判断出的形状即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰三角形． 22．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可； （2）利用平方根的定义解方程即可； 本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握平方根是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， 解得：； （2） 或 解得：或． 23．已知的平方根是，的算术平方根是4，求的立方根． 【答案】2 【分析】本题考查了平方根、算术平方根和立方根，掌握平方根、算术平方根和立方根的定义是解题的关键．首先根据平方根和算术平方根的性质得到，，然后代入求解立方根即可． 【详解】解：根据题意可知，的平方根是， 所以， 解得：，     因为的算术平方根是4， 所以，     解得：，     所以， 故的立方根为2． 24．根据下表回答问题： (1)的平方根是 ； (2) ， ； (3)设的整数部分为，求的立方根． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题考查算术平方根，平方根，立方根，能熟练从表格中找到相关信息和掌握夹值法求平方根是解题的关键． （1）根据表格找到对应的为，因为平方根有两个，所以的平方根是，即可解答； （2）根据，，求解即可； （3）由表可得：，推出，得到的整数部分，将代入求解即可． 【详解】（1）解：由表可得：， ， 的平方根是， 故答案为：； （2） ，， ，， 故答案为：，； （3） ， ， ， 的整数部分， ， ， 即的立方根为． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！13 学科网（北京）股份有限公司 $$