专题06 全等三角形模型之角平分线模型（全等）-2024-2025学年八年级数学上册常见几何模型全归纳之模型解读与提分精练（苏科版）

专题06 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 2 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 25 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 37 61 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 例1．（2023·山东济南·二模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P； ③连接，交于点．若，，则的长为 ． 例2．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则；④．其中正确的是（    ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 例3．（23-24八年级上·安徽·期中）如图，四边形中，，点为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)猜想、与的关系，并说明理由． 例4．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）知识感悟：如图1，点Р是的角平分线是一点，于M，于N，由角平分线的性质，易知：（不需证明） 知识迁移：如图2，平分 求证： 知识拓展：如图3，四边形中，，若，求的长． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！） 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 例1．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）如图， 已知是的平分线，， 若的面积为， 则的面积（      ） A． B． C． D． 例2．（2023·江苏·八年级期末）如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 例3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）【情境建模】（1）苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”． 小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形．即如图1，已知，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明； 请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： 【理解内化】（2）①如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交、于点E、F，．求证：； ②如图3，在四边形中，，平分，当的面积最大时，请直接写出此时的长． 【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，，，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在上，步道分别平分和，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少m？（步道宽度和接头忽略不计） 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°． 例2．（2024·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则线段AB与AC、BD有什么数量关系？请说明理由． 例3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴， 在和中， ∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 1．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图所示，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E．若AB＝8，则△DEB的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，BE平分∠ABC，AD⊥BE的延长线于点D，若AD=2，则△ABE的面积为（    ）．    A．4 B．6 C．2 D．2 3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，在等腰中，的角平分线交于点D，过点D分别作，垂足分别是点，下列结论：①；②；③点E是的中点；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 4．（23-24八年级上·北京·期中）如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 5．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 6．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，是中的平分线，，垂足为点E，，，，则的长是 ． 7．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是 ．（2）若，，则的长是 ． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在四边形中，，，则的值是 ． 9．（23-24八年级上·河南商丘·期中）已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． (1)如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ；(3)如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 10．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，，P是的中点，且平分，连接．(1)试说明平分；(2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 11．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）探索角的平分线的画法． （1）画法1：利用直尺和圆规 请在图中用直尺和圆规画出的平分线；（不写画法不需证明，保留作图痕迹） （2）画法2：利用等宽直尺． 如图，将一把等宽直尺的一边依次落在的两条边上，再过另一边分别画直线，两条直线相交于点O．画射线，则射线是的平分线．这种角的平分线的画法依据的是______． A．    B．    C．    D． （3）画法3：利用刻度尺 已知：如图，在的两条边上分别画，，连接、，交点为点O，画射线． 求证：是的平分线． （4）画法4：利用你手里带有刻度的一块直角三角尺，设计一种与上述画法不同的角的平分线的画法．请在图中画出的平分线，写出画法，并加以证明． 12．（2023·湖北鄂州·八年级统考期中）在△ABC中，AC＞AB，AD是△ABC的角平分线． （1）如图1，求证AC－AB＞CD－BD； （2）如图2，若AB＝3，AC＝4，BC＝5，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，求DC的长． 13．（2023秋·江苏八年级课时练习）如图，在中，，，分别平分，，且交于点.(1)求的度数；(2)求证：.    14．（2023·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点． （1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　． （2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明． （3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）． 15．（2023·山东八年级课时练习）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD． （3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值． 16．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验： 画，并画的平分线，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、． (1)若，（如图①，与相等吗？请说明理由； (2)把三角尺绕点旋转（如图②，与相等吗？请说明理由； (3)探究：画，并画的平分线，在上任取一点，作．的两边分别与、相交于、两点（如图③，与相等吗？请说明理由． 17．（2024·绵阳市·九年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF． （2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系． 18．（2024·河北·八年级校考期末）定理的回顾与应用： (1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 　 　． 符号语言：∵如图1，为上的平分线，且 　 　，∴　 　． (2)解答：已知：如图2，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、 ，且．求证：． (3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点 P为的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点、，使得（要求保留作图痕迹，不写作法） (4)思考：如图4，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，．（只写数量关系，不必证明） 19．（2023·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知，平分，点在射线上，点在射线上，点在直线上，连接，，且． (1)如图1，当时，与的数量关系是______． (2)如图2，当是钝角时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)当时，若，，请直接写出与的面积的比值． 20．（2023春·成都市·八年级期中）四边形中，，连接． （1）如图1，若平分，求证：． （2）如图2，若，，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！17 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 全等三角形模型之角平分线模型（全等） 角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。 大家在掌握几何模型时，多数同学会注重模型结论，而忽视几何模型的证明思路及方法，导致本末倒置。要知道数学题目的考察不是一成不变的，学数学更不能死记硬背，要在理解的基础之上再记忆，这样才能做到对于所学知识的灵活运用，并且更多时候能够启发我们解决问题的关键就是基于已有知识、方法的思路的适当延伸、拓展，所以学生在学习几何模型要能够做到的就是：①认识几何模型并能够从题目中提炼识别几何模型；②记住结论，但更为关键的是记住证明思路及方法；③明白模型中常见的易错点，因为多数题目考察的方面均源自于易错点。当然，以上三点均属于基础要求，因为题目的多变性，若想在几何学习中突出，还需做到的是，在平时的学习过程中通过大题量的训练，深刻认识几何模型，认真理解每一个题型，做到活学活用！ 2 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 2 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 25 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 37 61 模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直） 角平分线垂两边是指过角的平分线上一点向角的两边作垂线。角平分线垂两边模型，可以充分利用角平分线性质：角平分线上的点到角两边距离相等。 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，于点A，于点B. 结论：、≌. 证明：∵为的角平分线，，， ∴，∠CBO=∠CAO=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型1（直角三角形型） 条件：如图2，在中，，为的角平分线，过点D作. 结论：、≌.（当是等腰直角三角形时，还有.） 证明：∵，为的角平分线，， ∴，∠AED=∠ACD=90°，∵，∴≌（HL） 常见模型2（邻等对补型） 条件：如图3，OC是∠AOB的角平分线，AC=BC，过点C作CD⊥OA、CE⊥OB。 结论：①；②；③. 证明：∵OC是∠AOB的角平分线，CD⊥OA、CE⊥OB， ∴，∠CDA=∠CEB=90°，AC=BC，∴≌（HL），∴，∠CAD=∠CBE； ∵，∴，∴， 同图1中的证法易得：≌（HL），∴， ∴， 例1．（2023·山东济南·二模）如图，在中，，按以下步骤作图： ①以点A为圆心，以小于的长为半径作弧，分别交于点M，N； ②分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P； ③连接，交于点．若，，则的长为 ． 【答案】6 【分析】过点D作于点E，由作图知平分，根据角平分线的性质得到，根据勾股定理得到，证明得，设，根据勾股定理得到，解方程即可得到结论． 【详解】如解图，过点D作于点E，由作图步骤知，平分， ， ，， 设，由，得，解得，即．故答案为：6． 【点睛】本题考查了角平分线的尺规作图和性质，全等三角形的判定与性质及勾股定理的知识，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 例2．（2024八年级下·江苏·专题练习）如图，中，、的角平分线、交于点P，下列结论：①平分；②；③若点M、N分别为点P在、上的正投影，则；④．其中正确的是（    ） A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③ 【答案】B 【分析】过点P作，，，依据角平分线的性质和判定即可判断①；利用四边形内角和为从而可判断②；借助全等三角形的性质和判定，进行等量变换即可判断③；利用和的外角写出关系式进行整理即可判断④． 【详解】解：如图，过点P作，，，垂足分别为M、N、D， ①∵平分，平分，∴，， ∴，∴点P在的角平分线上，故①正确； ②∵，，∴， ∴，由图可知，∴错误，故②错误； ③在与中，，∴，∴， 同理可得，∴，∴，故③正确； ④∵平分，平分，∴，， ∴，故④正确．综上所述，①③④正确．故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，借助辅助线综合运用角平分线的性质和判定以及全等三角形的判定与性质是解题的关键． 例3．（23-24八年级上·安徽·期中）如图，四边形中，，点为的中点，且平分．(1)求证：平分；(2)求证：；(3)猜想、与的关系，并说明理由． 【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、垂线的定义，熟记性质并作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．（1）过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，从而求出，然后根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可； （2）利用，证明，根据全等三角形对应角相等，可得，同理可得，然后求出，再根据垂直的定义即可证明；（3）根据全等三角形对应边相等，可得，，然后根据线段之间的数量关系，即可得出结论． 【详解】（1）证明：如图，过点作于， 又∵，平分，∴， ∵点为的中点，∴，∴，又∵，∴平分； （2）证明：在和中，，∴， ∴，， 在和中，，∴， ∴，， ∴，∴； （3）解：，理由如下：∵，∴， ∵，∴，∵，∴． 例4．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）知识感悟：如图1，点Р是的角平分线是一点，于M，于N，由角平分线的性质，易知：（不需证明） 知识迁移：如图2，平分 求证： 知识拓展：如图3，四边形中，，若，求的长． 【答案】知识迁移：见解析；知识拓展： 【分析】知识迁移：作于，于，由证明，即可得出结论； 知识拓展：连接，作于点，首先由证明≌，再由证明即可解决问题． 【详解】知识迁移：作于，于，如图所示： 平分，，，， ，，， 在和中，，≌，； 知识拓展：连接，作于点， ∵，， 在和中，≌，，， 在和中，，，， ，． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形． 模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。但同学们也需要注意，在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全等来得到结论。（因为正确的结论有很多，但只有作为定理的才可以在证明中直接使用哦！） 图1 图2 图3 条件：如图1，为的角平分线，， 结论：△AOC≌△BOC，是等腰三角形，是三线合一等。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，∠BCO=∠ACO=90°，∵，∴△AOC≌△BOC（ASA）， ∴，∴是等腰三角形，∵，∴是三线合一。 条件：如图2，为的角平分线，，延长BA，CE交于点F. 结论：△BEC≌△BEF，是等腰三角形、BE是三线合一等。 证明：同图1的证法， 例1．（23-24八年级下·江西赣州·阶段练习）如图， 已知是的平分线，， 若的面积为， 则的面积（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质、角平分线的定义、三角形的中线性质，证得点P为的中点是解答的关键．延长交于Q，证明得到,然后利用三角形的中线性质得到，，进而可求解． 【详解】解：延长交于Q，∵是的平分线，， ∴，，又，∴， ∴,∴，， ∴，∴ ∵的面积为，∴．故选：B． 例2．（2023·江苏·八年级期末）如图，中， ， ，平分，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】延长交于点E，可证，再根据，可得的长度，当最大即可求得最大值． 【详解】解：如图所示延长交于点E， ∵平分，，∴ ，， 在与中，∵ ， ，， ∴∴ ， ， ∵∴ ，∵，∴ ， ∴当，最大，即最大， ∴答案为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、角平分线的性质及全等三角形性质，解题关键是根据中线将小三角形面积转换成大三角形面积取垂直时最大． 例3．（23-24八年级上·江苏无锡·期中）【情境建模】（1）苏科版教材八年级上册第60页，研究了等腰三角形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”． 小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形．即如图1，已知，点D在的边上，平分，且，求证：．请你帮助小明完成证明； 请尝试直接应用“情境建模”中小明反思出的结论解决下列问题： 【理解内化】（2）①如图2，在中，是角平分线，过点B作的垂线交、于点E、F，．求证：； ②如图3，在四边形中，，平分，当的面积最大时，请直接写出此时的长． 【拓展应用】（3）如图4，是两条公路岔路口绿化施工的一块区域示意图，其中，，，该绿化带中修建了健身步道，其中入口M、N分别在上，步道分别平分和，，．现要用围挡完全封闭区域，修建地下排水和地上公益广告等设施，试求需要围挡多少m？（步道宽度和接头忽略不计） 【答案】（1）见解析；（2）①见解析；②；（3）至少需要围挡． 【分析】（1）根据角平分线和垂直的性质，证明，即可证明； （2）①由（1）可得，，，进而得到，，再利用三角形外角的性质得到，从而推出，即可证明结论； ②延长和相交于点E，由（1）可知，，得到，，进而得到，根据三角形中线性质，得到，当时，最大，利用勾股定理求出，即可得到的长； （3）延长交于点D，延长交于点E，由（1）可知，，，得到，，进而证明，得到，再利用勾股定理得到，设，，则，，，，从而得到，即可求出的周长，得到答案． 【详解】解：（1）平分，，，， 在和中，，； （2）①证明：在中，是角平分线，， 由“情境建模”的结论得，，， ，，，， ，，，； ②延长和相交于点E， 平分，，由“情境建模”的结论得：，，， ，，为中点，， 当最大时，最大，即时，最大， ，，，为中点，； （3）延长交于点D，延长交于点E， 、分别平分和，，， 由“情境建模”的结论得：，，，， 在和中，，，， ，，，， 设，，，， ，，，， ，， 的周长，答：至少需要围挡． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的有关计算，运用三线合一的性质和作辅助线构造全等三角形是解题关键． 模型3.角平分线构造轴对称模型（角平分线+截线段相等） 角平分线构造轴对称模型是利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等，利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。 图1 图2 条件：如图1，为的角平分线，A为任意一点，在上截取，连结. 结论：≌，CB=CA。 证明：∵为的角平分线，∴∠COA=∠COB， ∵，，∴△AOC≌△BOC（SAS），∴CB=CA。 条件：如图2，BE、CE分别为和的平分线，，在上截取，连结。 结论：≌，≌，AB+CD=BC。 证明：∵BE为的平分线，∴∠ABE=∠FBE=， ∵，，∴≌（SAS），∴∠AEB=∠FEB， ∵，∴∠ABC+∠BCD=180°，∵CE为的平分线，∴∠FCE=∠DCE=， ∴∠EBC+∠BCE=+=90°，∴∠FEC+∠FEB=90°，∠AEB+∠CED=90°， ∴∠FEC=∠CED，∵EC=EC，∴≌，∴FC=DC，∴AB+CD=BF+FC=BC。 例1．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝40°，BD是∠ABC的平分线，延长BD至E，使DE＝AD，求证：∠ECA＝40°． 【答案】见解析 【分析】在BC上截取BF＝AB，连DF，根据SAS可证明△ABD≌△FBD，得出DF＝DA＝DE，证明△DCE≌△DCF，故∠ECA＝∠DCB＝40°． 【详解】证明：在BC上截取BF＝AB，连DF， ∵BD是∠ABC的平分线，∴∠ABD＝∠FBD， 在△ABD和△ＦBD中，， ∴△ABD≌△FBD（SAS），∴DF＝DA＝DE， 又∵∠ACB＝∠ABC＝40°，∠DFC＝180°﹣∠A＝80°，∴∠FDC＝60°， ∴∠EDC＝∠ADB＝180°﹣∠ABD﹣∠A＝180°﹣20°﹣100°＝60°， 在△DCE和△DCF中，，∴△DCE≌△DCF（SAS），∴∠ECA＝∠DCB＝40°． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 例2．（2024·辽宁营口·八年级校考阶段练习）如图，已知AC∥BD、EA、EB分别平分∠CAB和△DBA，CD过点E，则线段AB与AC、BD有什么数量关系？请说明理由． 【答案】AB=AC+BD，理由见解析． 【分析】在AB上截取AC=AF，连接EF，根据SAS证△CAE≌△FAE，推出∠C=∠AFE，求出∠D=∠EFB，根据AAS证△BEF≌△BED，推出BF=BD即可． 【详解】解：AB=AC+BD，理由是：在AB上截取AC=AF，连接EF， ∵AE平分∠CAB，∴∠CAE=∠BAE， 在△CAE和△FAE中，∴△CAE≌△FAE（SAS），∴∠C=∠AFE， ∵AC∥BD，∴∠C+∠D=180°，∴∠AFE+∠D=180°， ∵∠EFB+∠AFE=180°，∴∠D=∠EFB，∵BE平分∠ABD，∴∠DBE=∠FBE， 在△BEF和△BED中，∴△BEF≌△BED（AAS），∴BF=BD， ∵AB=AF+BF，AC=AF，BF=BD∴AB=AC+BD． 【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，角平分线的定义等知识点，全等三角形的对应边相等，对应角相等，注意证明此类型题的证明方法． 例3．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）在四边形中，C是边的中点． (1)如图1，若平分，，则线段满足数量关系是 ； (2)如图2，平分，平分，若，则线段，，，之间存在怎样的数量关系？写出结论并证明； (3)如图3，，，，若，则线段长度的最大值是 ． 【答案】(1)(2)，证明见解析(3)18 【分析】（1）在上取一点F，使，即可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论；（2）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论；（3）作B关于的对称点F，D关于的对称点G，连接，，，，．同（2）可得是等边三角形，则．当A，F，G，E共线时，有最大值，即可求解． 【详解】（1）解：在上取一点F，使，连接．如图（1），∵平分，∴． 在和中，，∴，∴，． ∵C是边的中点．∴，∴． ∵，∴，，∴． 在和中，，∴，∴． ∵，∴；故答案为：． （2）解：结论：． 证明：在上取一点F，使，连接，在上取点G，使，连接．如图（2）， ∵C是边的中点，∴．∵平分，∴． 在和中，，∴， ∴，．同理可证：，． ∵，∴，∵，∴． ∴．∴，∴是等边三角形．∴， ∵，∴． （3）解：将沿翻折得，将沿翻折得，连接，如图3， 由翻折可得，，，，，， ∵C是边的中点，∴，∴ ∵，由（2）可得是等边三角形，∴． ∵当A，F，G，E共线时，有最大值．故答案为：18． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，全等三角形的判定及性质，等边三角形的判定与性质，折叠的性质，余角的性质，两点之间线段最短，作恰当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 例4．（24-25八年级上·江苏扬州·阶段练习）问题情境：数学课上，同学们在探索利用角平分线来构造全等三角形问题． 如图①，在四边形中，点是边的中点，平分，，证明：． 讨论思考：当同学们讨论到题目中寻找线段之间的和差关系时，大家都踊跃提出了各自的见解，大家集思广议，提出了一个截长法：如图②，在上截取，连接，先证明，再证明，即有，即． 解决问题：小明同学根据大家的思路，进行了如下的证明 ，理由如下：如图②，在上取一点，使，连接． ∵平分，∴， 在和中， ∴（）∴，． （1）小明已经完成了大家讨论的第一步，接下来就由你来利用题干中的条件完成剩下的推理证明吧． 拓展探究：已知：如图③，在中，，、分别为上的点，且交于点．若为的角平分线．（2） ；（3）证明：． （4）如图④，在中，，延长的边到点，平分交延长线于点，若，，则 ． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边对等角，三角形的外角的性质；（1）根据题意再证明得出，进而即可得证；（2）根据角平分线的定义可得，进而根据三角形的内角和定理，即可求解；（3）在上截取，证明，，根据全等三角形的性质，即可得证；（4）在上截取，证明，结合已知可得，进而根据等边对等角可得，进而根据角平分线的定义，全等三角形的性质，三角形的外角的性质即可求解． 【详解】（1）补充证明如下：∵，∴， 又∵∴，∴ ∵点是边的中点，∴，又∵∴， 在中，∴∴， 又，∴，即； （2）∵，∴， ∵为的角平分线，∴ ∴，故答案为：． （3）证明：如图所示，在上截取， ∵，∴，∵是的角平分线，∴， 在中，∴，∴，， ∵，∴， 又∵∴∵是的角平分线，∴， 在中，∴∴∴； （4）解：如图所示，在上截取，∵平分∴， 在中，∴，∴，， ∵，∴，∴， ∵，∴∴， ∴， ∴ 故答案为：． 1．（23-24八年级下·广东深圳·阶段练习）如图所示，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E．若AB＝8，则△DEB的周长为（　　） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】先利用“角角边”证明△ACD和△AED全等，根据全等三角形对应边相等可得AC＝AE，CD＝DE，然后求出BD+DE＝AE，进而可得△DEB的周长． 【详解】解：∵DE⊥AB，∠C＝90°∴∠C＝∠AED＝90°，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD＝∠EAD， 在△ACD和△AED中，∵，∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC＝AE，CD＝DE，∴BD+DE＝BD+CD＝BC＝AC＝AE， BD+DE+BE＝AE+BE＝AB＝8，∴△DEB的周长为8．故选：B． 【点睛】本题考查的是角平分线的性质，涉及到等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是证明△ACD≌△AED． 2．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，等腰直角△ABC中，AC=BC，BE平分∠ABC，AD⊥BE的延长线于点D，若AD=2，则△ABE的面积为（    ）．    A．4 B．6 C．2 D．2 【答案】A 【分析】过点E作于F，设，运用等腰直角三角形将其它各未知线段用表示；延长AD与BC的延长线交于点G，依据ASA判定△ABD≌△GBD，依据全等的性质求得DG=AD=2，，继而得到AG=4，；接着在直角△ACG中，运用勾股定理列出关于的方程，解出代入到中即可. 【详解】解：延长AD与BC的延长线交于点G，过点E作于F，    易得是等腰直角三角形，∴ ∵BE平分∠ABC，EC⊥BC，,∴EF=EC,,∴ 设 则，，∵AD⊥BE,∴, ∵在△ABD和△GBD中，∴△ABD≌△GBD（ASA） ∴DG=AD=2,∴AG=4, ∵在直角△ACG中，ACG=90°，，AG=4，， ∴∴∴=4.故选：A. 【点睛】本题考查了等腰直角三角形三边关系、运用全等构造等腰三角形和勾股定理的综合问题，设立未知数表示各未知线段、根据图形特征作辅助线构造熟悉图形、并根据勾股定理建立起各未知量之间的等式是解题的关键. 3．（23-24八年级下·山东淄博·期中）如图，在等腰中，的角平分线交于点D，过点D分别作，垂足分别是点，下列结论：①；②；③点E是的中点；④．其中正确的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的性质，垂直平分线的性质；根据等腰三角形的性质以及角平分线的性质判断①；根据题意可得，但，即可判断②，根据垂直平分线的性质即可判断③；根据即可判断④． 【详解】解：①是的角平分线，，，选项①正确； ②，，． ，，选项②正确． ③，，垂直平分，选项③正确． ④，，． 又，，选项④正确．综上，①②③④正确．故选：D． 4．（23-24八年级上·北京·期中）如图，的平分线与的平分线相交于点P，作，垂足为E．若，则点P到的距离与到的距离之和为（   ） A．3 B．5 C．6 D．不能确定 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，平行线间的距离的定义，熟记性质并作辅助线构造出、间的距离的线段是解题的关键． 过点作，交于，交于，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得，，再根据平行线之间的距离的定义判断出的长即为、间的距离． 【详解】解：如图，过点作，交于，交于， ，，， 是的平分线，，，， 是的平分线， ，，， 点到的距离与到的距离之和为．故选：C． 5．（23-24八年级上·重庆沙坪坝·开学考试）如图，点D在内部，平分，且，连接．若的面积为2，则的面积为 ． 【答案】4 【分析】此题主要是考查了全等三角形的判定和性质，延长交于点，然后证得，得出，根据中点定义可得的面积为面积的2倍． 【详解】延长交于点， ，，平分，， 在和中，．∴，， ，，．故答案为：4． 6．（23-24八年级上·福建莆田·期中）如图，是中的平分线，，垂足为点E，，，，则的长是 ． 【答案】5 【分析】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等． 作于，如图，先根据角平分线的性质得到，然后利用面积法求的长． 【详解】解：作于，如图， 为的平分线，，，， ，，．故答案为：5． 7．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）在中，已知，的平分线与的平分线相交于点O，的平分线交于F，则： （1）的度数是 ．（2）若，，则的长是 ． 【答案】 /60度 9 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，全等三角形的性质与判定，线段的和差，灵活运用所学知识是解题的关键．（1）利用三角形内角和定理和角平分线的定义求出的度数即可利用平角的定义求出的度数；（2）利用证明，得到，同理，利用线段和差关系得到即可得到答案． 【详解】解：（1）∵在中，，∴， ∵的平分线与的平分线相交于点O，∴， ∴， ∴，故答案为：； （2）∵平分，∴， 又∵，∴，∴，同理， ∵，，∴，即， ∴，故答案为：9． 8．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）如图，在四边形中，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】该题主要考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的性质等知识点，解题的关键是正确作出辅助线．过点作并交的延长线于点，证明，设，根据勾股定理得，再证明，得出，即可求解； 【详解】解：过点作并交的延长线于点， ∵，∴，∴， 设，则，∵，∴， ∵，∴，∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，答案为：． 9．（23-24八年级上·河南商丘·期中）已知点P为平分线上一点，于B，于C，点M、N分别是射线上的点． (1)如图1，当点M在线段上，点N在线段的延长线上，且，求证：； (2)在（1）的条件下，直接写出线段，与之间的数量关系 ；(3)如图2，当点M在线段的延长线上，点N在线段上时，且，若，求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析(2)(3)32 【分析】本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定和性质，掌握角平分线的点到角的两边的距离相等是解题的关键． （1）根据角平分线的性质可得，可证明，即可求证； （2）证明，可得，即可求解； （3）根据，可得，从而得到，可证明，可得，再证明，可得，从而得到，再由四边形的面积为，即可求解． 【详解】（1）证明：∵点P为平分线上一点，，，∴， 在和中，∵，，∴，∴； （2）解：在和中，∵，，∴， ∴，∴，故答案为：； （3）解：∵， ∴， ∵，∴， 在和中，∵，，， ∴，∴， 在和中，∵，，∴， ∴，∴， ∴四边形的面积为． 10．（23-24八年级上·山东聊城·阶段练习）如图所示，，P是的中点，且平分，连接． (1)试说明平分；(2)线段与有怎样的位置关系?请说明理由． 【答案】(1)见解析(2)，理由见解析 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理和它的逆定理．根据题意正确作出辅助线是解答本题的关键． （1）由题意过点作，垂足为E，先求出，再求出，从而证明平分； （2）根据题意利用两直线平行同旁内角互补可得，从而求证两直线垂直． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为E，如图所示： ∵平分，∴， ∵，，∴（角平分线上的点到角两边的距离相等）， 又∵是中点，∴，∴， ∵，，∴平分；（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． （2）解：，理由如下：∵，∴，， ∴（垂直于同一条直线的两条直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵，（角平分线定义）， ∴，∴，∴，即． 11．（23-24七年级下·江苏苏州·期末）探索角的平分线的画法． （1）画法1：利用直尺和圆规 请在图中用直尺和圆规画出的平分线；（不写画法不需证明，保留作图痕迹） （2）画法2：利用等宽直尺． 如图，将一把等宽直尺的一边依次落在的两条边上，再过另一边分别画直线，两条直线相交于点O．画射线，则射线是的平分线．这种角的平分线的画法依据的是______． A．    B．    C．    D． （3）画法3：利用刻度尺 已知：如图，在的两条边上分别画，，连接、，交点为点O，画射线． 求证：是的平分线． （4）画法4：利用你手里带有刻度的一块直角三角尺，设计一种与上述画法不同的角的平分线的画法．请在图中画出的平分线，写出画法，并加以证明． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析；（4）见解析 【分析】（1）根据要求作出图形即可（2）根据利用全等三角形的性质可得结论． （3）通过三次全等证明即可．（4）根据证明，可得结论． 【详解】解：（1）如图①中，射线即为所求． （2）如图②中，是等宽直尺， 点到两边的距离相等，根据可以利用全等三角形的性质证明是角平分线．故选D． （3）如图③中，在和中，，，， ，，， 在和中，，，， 在和中，，，，平分． （4）如图，在的两边上截取，利用直角尺作，，交于，作射线，射线即为所求． 理由：在和中，，， ，射线平分． 【点睛】本题考查作图复杂作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型． 12．（2023·湖北鄂州·八年级统考期中）在△ABC中，AC＞AB，AD是△ABC的角平分线． （1）如图1，求证AC－AB＞CD－BD； （2）如图2，若AB＝3，AC＝4，BC＝5，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC，求DC的长． 【答案】（1）证明见祥解（2）． 【分析】（1）在AC上截取AE=AB，连接DE，根据AD是△ABC的角平分线,可得∠BAD=∠DAE，可证△ABD≌△AED（SAS），可得BD=ED，利用三角形三边关系即可得出结论； （2）过D作DF⊥AB于F，DG⊥AC，过A作AH⊥BC，AD为∠BAC的平分线性质可得DF=DG，利用三角形面积S△ABD:S△ACD ==3:4，可得BD：CD=3:4即可． 【详解】（1）证明：在AC上截取AE=AB，连接DE， ∵AD是△ABC的角平分线，，∴∠BAD=∠DAE， 在△ABD和△AED中，，∴△ABD≌△AED（SAS），∴BD=ED， ∴EC＞DC-DE即AC-AB＞CD-BD； （2）解：过D作DF⊥AB于F，DG⊥AC，过A作AH⊥BC， ∵AD为∠BAC的平分线，DF⊥AB，DG⊥AC，∴DF=DG， ∴S△ABD=，S△ACD=，∴S△ABD:S△ACD ==3:4， ∴S△ABD=，S△ACD=，∴：=BD：CD=3:4， ∵BC=5，即BD+CD=BC=5，∴，∴． 【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形三边关系，高相等两个三角形面积比等于底的比，解一元一次方程，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，三角形三边关系，高相等两个三角形面积比等于底的比是解题关键． 13．（2023秋·江苏八年级课时练习）如图，在中，，，分别平分，，且交于点.(1)求的度数；(2)求证：.    【答案】(1)(2)见解析 【分析】（1），，分别平分，得，即可得到的度数；（2）在上截取，连接.先证明，得到.由（1）知，则，再证明，则，即可得到结论. 【详解】（1）解：，，分别平分， ，. （2）证明：如图，在上截取，连接.    平分，. 在和中，，. 由（1）知，，. 平分，.在和中， ，，. 【点睛】此题考查了角平分线的定义、三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键. 14．（2023·江苏·八年级专题练习）在△ABC中，AD为△ABC的角平分线，点E是直线BC上的动点． （1）如图1，当点E在CB的延长线上时，连接AE，若∠E＝48°，AE＝AD＝DC，则∠ABC的度数为 　 　． （2）如图2，AC＞AB，点P在线段AD延长线上，比较AC+BP与AB+CP之间的大小关系，并证明． （3）连接AE，若∠DAE＝90°，∠BAC＝24°，且满足AB+AC＝EC，请求出∠ACB的度数（要求：画图，写思路，求出度数）． 【答案】（1）；（2），见解析；（3）44°或104°；详见解析． 【分析】（1）根据等边对等角，可得，，再根据三角形外角的性质求出，由此即可解题； （2）在AC边上取一点M使AM=AB，构造，根据即可得出答案；（3）画出图形，根据点E的位置分四种情况，当点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB，可得，可得，设，则；根据∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，可得，可证（SAS），得出，利用还有 ，列方程；当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， 可得，得出，设，则；∠BAC＝24°，根据AD为△ABC的角平分线，得出，证明（SAS），得出，利用三角形内角和列方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵AE＝AD＝DC，∴，， ∵，，∴， ∵AD为△ABC的角平分线，即， ∴；∴ （2）如图2，在AC边上取一点M使AM=AB，连接MP， 在和中， ，∴（SAS），∴， ∵，，∴，∴； （3）如图，点E在射线CB延长线上，延长CA到G，使AG=AB， ∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴， 设，则； 又∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴， 又∵，∴，，∴， 在和中， ，∴（SAS），∴， 又∵，∴，解得：，∴； 当点E在BD上时，∠EAD＜90°，不成立；当点E在CD上时，∠EAD＜90°，不成立； 如图，点E在BC延长线上，延长CA到G，使AG=AB， ∵AB+AC＝EC，∴AG+AC＝EC，即，∴，设，则； 又∵∠BAC＝24°，AD为△ABC的角平分线，∴， 又∵，∴，，∴， 在和中， ，∴（SAS）， ∴，∴，解得：，∴．∴∠ACB的度数为44°或104°． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形性质、全等三角形判定和性质，角平分线，三角形外角性质，三角形内角和，解一元一次方程，根据角平分线模型构造全等三角形转换线段和角的关系是解题关键． 15．（2023·山东八年级课时练习）（1）如图1，射线OP平分∠MON，在射线OM，ON上分别截取线段OA，OB，使OA＝OB，在射线OP上任取一点D，连接AD，BD．求证：AD＝BD． （2）如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，求证：BC＝AC+AD． （3）如图3，在四边形ABDE中，AB＝9，DE＝1，BD＝6，C为BD边中点，若AC平分∠BAE，EC平分∠AED，∠ACE＝120°，求AE的值． 【答案】（1）见详解；（2）见详解；（3）AE=13 【分析】（1）由题意易得∠AOD=∠BOD，然后易证△AOD≌△BOD，进而问题可求证；（2）在BC上截取CE=CA，连接DE，由题意易得∠ACD=∠ECD，∠B=30°，则有△ACD≌△ECD，然后可得∠A=∠CED=60°，则根据三角形外角的性质可得∠EDB=∠B=30°，然后可得DE=BE，进而问题可求证；（3）在AE上分别截取AF=AB，EG=ED，连接CF、CG，同理（2）可证△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE，则有∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，然后可得∠ACF+∠GCE=60°，进而可得△CFG是等边三角形，最后问题可求解． 【详解】证明：（1）∵射线OP平分∠MON，∴∠AOD=∠BOD， ∵OD=OD，OA＝OB，∴△AOD≌△BOD（SAS），∴AD＝BD． （2）在BC上截取CE=CA，连接DE，如图所示： ∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD平分∠ACB，∴∠ACD=∠ECD，∠B=30°， ∵CD=CD，∴△ACD≌△ECD（SAS），∴∠A=∠CED=60°，AD=DE， ∵∠B+∠EDB=∠CED，∴∠EDB=∠B=30°，∴DE=BE，∴AD=BE，∵BC=CE+BE，∴BC＝AC+AD． （3）在AE上分别截取AF=AB=9，EG=ED=1，连接CF、CG，如图所示： 同理（1）（2）可得：△ABC≌△AFC，△CDE≌△CGE， ∴∠ACB=∠ACF，∠DCE=∠GCE，BC=CF，CD=CG，DE=GE=1， ∵C为BD边中点，∴BC=CD=CF=CG=3， ∵∠ACE＝120°，∴∠ACB+∠DCE=60°，∴∠ACF+∠GCE=60°， ∴∠FCG=60°，∴△CFG是等边三角形，∴FG=CF=CG=3，∴AE=AF+FG+GE=9+3+1=13． 【点睛】本题主要考查三角形全等的性质与判定、角平分线的定义、等腰三角形的性质与判定及等边三角形的性质与判定，解题的关键是构造辅助线证明三角形全等． 16．（23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）在七年级下册“证明”的一章的学习中，我们曾做过如下的实验： 画，并画的平分线，把三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边分别与、相交于点、． (1)若，（如图①，与相等吗？请说明理由； (2)把三角尺绕点旋转（如图②，与相等吗？请说明理由； (3)探究：画，并画的平分线，在上任取一点，作．的两边分别与、相交于、两点（如图③，与相等吗？请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析；(2)，理由见解析；(3)，理由见解析． 【分析】（1）由角平分线的性质可证明；（2），分两种情况，当时，证明，可得；当与不垂直时，作于点，于点，先证明得，再证明，可得；（3）在上取一点，使，连接，先证明，可得，再由同角的补角相等证明，则，得． 【详解】（1）解：平分，，，∴； （2），理由如下：当时，如图①， ，平分，， ，且，，， ，∴，； 当与不垂直时，如图②，作于点，于点， ，，，，， ，且，， ，， ，∴，，综上所述，． （3），理由如下：如图③，在上取一点，使，连接， 平分，，，∴， ，，， ，，且， ，，，． 【点睛】此题是三角形综合题，考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、多边形的内角和定理、线段相等的证明等知识与方法，解题的关键是正确地作出所需要的辅助线，构造全等三角形． 17．（2024·绵阳市·九年级期中）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90，BD平分∠ABC交AC于点D． （1）如图1，点F为BC上一点，连接AF交BD于点E．若AB=BF，求证：BD垂直平分AF． （2）如图2，CE⊥BD，垂足E在BD的延长线上．试判断线段CE和BD的数量关系，并说明理由． （3）如图3，点F为BC上一点，∠EFC=∠ABC，CE⊥EF，垂足为E，EF与AC交于点M．直接写出线段CE与线段FM的数量关系． 【答案】（1）见解析；（2）BD=2CE，理由见解析；（3）FM=2CE． 【分析】(1) 由BD平分∠ABC，可得∠ABE=∠FBE，可证△ABE≌△FBE（SAS），可得AE=FE，∠AEB=∠FEB=×180°=90°即可；（2）延长CE，交BA的延长线于G，由CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，可得GE=2CE=2GE，可证△BAD≌△CAG（ASA），可得BD=CG=2CE；（3）作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H，由FN=MN，MH=FH=FM，可得∠NMH=∠NBH，由∠EFC=∠ABC=22.5°，可求∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，可得NM=CM=FN，由外角∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，可求∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，可证△FNH≌△CME（AAS），可得FH=CE即可． 【详解】证明(1) ∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠FBE， ∵BA=BF，BE=BE，∴△ABE≌△FBE（SAS）， ∴AE=FE，∠AEB=∠FEB=× 180°=90°，∴BD垂直平分AF． （2）BD=2CE，理由如下：延长CE，交BA的延长线于G， ∵CE⊥BD，∠ABE=∠FBE，∴GE=2CE=2GE， ∵∠CED=90°=∠BAD，∠ADB=∠EDC，∴∠ABD=∠GCA， 又AB=AC，∠BAD=∠CAG，，∴△BAD≌△CAG（ASA），∴BD=CG=2CE， （3）FM=2 CE，理由如下：作FM的中垂线NH交CF于N，交FM于H， ∴FN=MN，MH=FH=FM，∴∠NMH=∠NBH， ∵∠EFC=∠ABC=22.5°，∴∠MNC=2∠NFH=2×∠ABC=∠ABC， ∵AB=AC，∠BAC=90，∴∠ABC=∠ACB=∠MNC=45°，∴NM=CM=FN， ∵∠EMC=∠MFC+∠MCF=22.5°+45°=67.5°，∴∠ECM=90°-∠EMC=22.5°，∴∠NFH=∠MCE， 又∵∠FHN=∠E=90°，∴△FNH≌△CME（AAS），∴FH=CE，∴FM=2FH=2CE． 【点睛】本题考查角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线，三角形外角性质，掌握角平分线性质，三角形全等判定与性质，直角三角形两锐角互余，线段垂直平分线是解题关键． 18．（2024·河北·八年级校考期末）定理的回顾与应用： (1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到 　 　． 符号语言：∵如图1，为上的平分线，且 　 　，∴　 　． (2)解答：已知：如图2，，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、 ，且．求证：． (3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点 P为的平分线上的点，请你用尺规作图3，分别在角的两边上找点、，使得（要求保留作图痕迹，不写作法） (4)思考：如图4，为的平分线，以点为顶点的与角的两边相交于点、，当与有怎样的数量关系时，．（只写数量关系，不必证明） 【答案】(1)角两边的距离相等；，(2)见解析(3)见解析(4) 【分析】（1）根据角平分线性质，写出结果； （2）作于，作于，证明，从而得出结论； （3）作射线，交于，作，反向延长，交于； （4）当和互补时，． 【详解】（1）解：定理直接得出结果：角两边的距离相等；，； （2）证明：证明：如图1， 作于，作于，， 平分，， 在四边形中，，， ， ，，， ，（ASA）； （3）证明：如图2，作射线，交于，作，反向延长，交于，则；, （4）解：如图3，当和互补时，，理由如下： 作于，作于，， 平分，，在四边形中，， ，，， ，，(ASA) ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识． 19．（2023·辽宁葫芦岛·八年级校联考期中）已知，平分，点在射线上，点在射线上，点在直线上，连接，，且． (1)如图1，当时，与的数量关系是______． (2)如图2，当是钝角时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由； (3)当时，若，，请直接写出与的面积的比值． 【答案】(1)(2)成立；证明见解析(3)2或4（或也行） 【分析】（1）过点作于，于，根据角平分线的性质得到，证明，根据全等三角形的性质得出结论； （2）过点作于，于，证明，得到； （3）分点在射线上，点在射线的反向延长线上两种情况，仿照（2）的方法解答即可． 【详解】（1）如图1，过点作于，于， 四边形为矩形，，， ， ，，， 平分，，，， 在和中，， ，，故答案为． （2）解：成立，理由如下：如图2， 证明：过点分别作于点，作于点．∴ ∵平分，∴ ∵在四边形中， ∴ 又∵∴ 在和中，∴∴． （3）解：如图3，过点分别作于点，作于点． 平分，， 与的面积的比值为2。 如图4，过点作于，于，则 与的面积的比值为4， 综上所述： 与的面积的比值为2比4． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键． 20．（2023春·成都市·八年级期中）四边形中，，连接． （1）如图1，若平分，求证：． （2）如图2，若，，求证：． （3）如图3，在（2）的条件下，作于点，连接，若，，求的长度． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】（1）过点分别作于点，交的延长线于点，根据角平分线的性质可得，结合已知条件HL证明，继而可得，根据平角的定义以及等量代换即可证明； （2）过点分别作于点，交的延长线于点，过点作，根据含30度角的直角三角形的性质可得，根据三线合一，可得，进而可得，根据角平分线的判定定理可推出，进而即可证明； （3）先证明四边形是矩形，证明，进而证明四边形是正方形，设，根据（2）的结论以及三角形内角和定理，求得，进而求得，根据含30度角的直角三角形的性质，即可求得，进而在中，勾股定理即可求得的长． 【详解】（1）如图，过点分别作于点，交的延长线于点， 平分， ，在与中 （HL） 即 （2）如图，过点作交的延长线于点，过点作， ， 即 （3）如图，过点分别作于点，交的延长线于点， ，四边形是矩形 在与中 ，四边形是正方形 设 在中 在中， 【点睛】本题考查了三角形全等的性质与判定，角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，三角形的外角性质，勾股定理，正方形的性质与判定，正确的添加辅助线是解题的关键． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$