专题2.7 特殊三角形（压轴题综合测试卷）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题2.7 特殊三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024八年级·全国·竞赛）如图，图案是由一个窗花通过轴对称变换而形成的，则变换次数最多和最少分别是（    ）． A． B． C． D．以上都不对 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）对于命题“如果，那么与互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 5．（23-24八年级上·广东·单元测试）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A． B． C． D． 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，，点分别在边，，上，连接，．已知点和点关于直线对称，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（    ）    A．4 B．6 C． D．8 8．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 9．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：；；；；其中正确的说法有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 10．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长IB交AC于点J，则．④若，则．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图所示为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知，上述三条线段中，能够通过折纸折出的是 ． 12．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为40，则的最小值为 ． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ． 14．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有．若，，则 ． 15．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接，下列结论正确的是 （填序号） ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩图中共有2对全等三角形． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（4分）（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积． 17．（6分）（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，． （1）求证：． （2）已知，，求面积 18．（6分）（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画，使它与关于直线成轴对称；并求出面积； （2）在直线上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； （3）在直线上找一点Q，使点Q到边的距离相等． 19．（6分）（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． （1）燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． （2）若测得A，B两镇的距离为，又测得A，B两镇到公路l的距离分别为和，求所铺设管道的最短长度． 20．（8分）（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在等边的边上各取一点P、Q，相交于点O． （1）若，求证； （2）在（1）的条件下，当时，求的边长； （3）连接，若，，求的值． 21．（8分）（23-24八年级上·浙江台州·期末）在中，，，是斜边的中点． （1）如图1，连接，求证：为等边三角形； （2）如图2，为边上的一动点，连接，以为边向左侧作等边三角形，连接.随着点位置的变化，的度数是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点在线段上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作于点，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 22．（8分）（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，，于点D，，E，F分别是直线上的动点，连结． （1）求的长． （2）若点E在边上，且，求证：平分． （3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与全等？若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的的长． 23．（9分）（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，等边，点E是边 (或延长线)上一点，点D是边（或延长线)上的点，连接，以为边向下作等边，连接． （1）如图1，若点D与点C重合，证明：； （2）如图1，移动点E，使点E为中点，则与的数量关系为 ； （3）如图2，移动点D，使点D为中点，求证：； （4）如图3，移动点D，E，使D，E分别在的延长线上，若，，直接写出的长(用m的代数式表示)． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题2.7 特殊三角形 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 题号 一 二 三 总分 得分 评卷人 得 分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（2024八年级·全国·竞赛）如图，图案是由一个窗花通过轴对称变换而形成的，则变换次数最多和最少分别是（    ）． A． B． C． D．以上都不对 【思路点拨】 本题考查了轴对称变换，根据轴对称的性质即可求解，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【解题过程】 解：每次变换一个窗花，需次； 先变换个，接着个，再个，最后个，共次； ∴变换次数最多和最少分别是， 故选：． 2．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）对于命题“如果，那么与互补”，能说明这个命题的逆命题是假命题的反例是（　　） A．， B．， C．， D．， 【思路点拨】 本题考查了命题与定理，余角与补角，先写出原命题的逆命题，再找到满足且的反例即可． 【解题过程】 解：对于命题“如果，那么与互补”的逆命题为“如果与互补，那么”，能说明这个命题为假命题的反例可以为：，， 故选：C． 3．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图所示，在中，，为的平分线，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了角平分线的性质定理、角平分线的定义，由角平分线的定义得出，再由角平分线的性质定理即可得出，再证明即可得出，即可得解． 【解题过程】 解：∵为的平分线， ∴， ∵，， ∴， 在和， ， ∴ ∴， ∴． 故选：A． 4．（23-24八年级上·浙江宁波·期中）如图，中，，，，线段的两个端点分别在边上滑动，且，若点分别是的中点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了勾股定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，根据勾股定理得到，根据直角三角形斜边中线的性质求得，，当在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为，根据两点之间线段最短得到在同一直线上时取最小值是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵，点分别是的中点， ∴，， 当在同一直线上时，取最小值， ∴的最小值为． 故选：． 5．（23-24八年级上·广东·单元测试）如图，已知：，点、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，若，则的边长为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案，根据已知得出，，进而发现规律是解题的关键． 【解题过程】 解：如图， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵、是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ， 以此类推：． 故选：． 6．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，，，点分别在边，，上，连接，．已知点和点关于直线对称，若，则的长为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，如图，连接，过点作于点，首先证明，利用面积法求出，再利用勾股定理求出，根据题意，正确作出辅助线是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，连接，过点作于点， ∵关于对称， ∴， ∴， ∵， ， ∵， 即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图，在等腰三角形中，，点为的中点，连结． 以为边向左作，且，． 连结，记和的面积分别为和，则的最大值是（    ）    A．4 B．6 C． D．8 【思路点拨】 取的中点，连接，得出，进而证明得出，结合已知条件得出，进而可得，即可求解． 【解题过程】 解：如图所示，取的中点，连接，    ∵， ∴ ， ∴， ∵，为的中点， ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴， 在中， ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵点为的中点， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴当时，取得最大值，即的最大值是． 故选：D． 8．（23-24八年级上·浙江绍兴·阶段练习）将一个等腰三角形纸板沿垂线段进行剪切，得到三角形①②③，再按如图2方式拼放，其中与共线．若，则的长为（　　） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查等腰三角形的性质，勾股定理，识别图形找等量关系是解题的关键．利用等腰三角形的性质可以得到，设为x，再运用勾股定理得，代入解方程即可解题． 【解题过程】 解：如图，设为为为，图2中的余角为， 是等腰三角形， ， , , ,, , 设为， 根据勾股定理得， 解得∶， 故选D． 9．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图，等边中，、分别为、边上的点，，连接、交于点，、的平分线交于边上的点，与交于点，连接下列说法：；；；；其中正确的说法有（    ）    A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【思路点拨】 根据等边三角形的性质，证明；即可得①正确；证明，，再由，即可得②正确；先证，得，再证，即可得③正确；先证，得，再证，由，即可得④正确； 【解题过程】 解：是等边三角形， ， 在和中， ， ，故①正确； ， ， ， ， ， ， ， 的平分线交于边上的点G， ， ， ，故②正确； 如下图，过点G作于T，于J，于K，   平分，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故③正确； ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上：正确的有4个； 故选A． 10．（23-24八年级上·浙江金华·期末）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形，给出下列结论：①．②．③过点B作于点I，延长IB交AC于点J，则．④若，则．其中正确的结论个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【思路点拨】 本题考查勾股定理，全等三角形的性质和判定，解题的关键是正确作出辅助线． 首先根据题意证明出，进而得到，即可判断①；过点F作交延长线于点O，证明出，得到，然后利用三角形面积公式即可得到，即可判断②；过点A作交的延长线于点P，过点C作，证明出，得到，同理得到，得到，然后证明出，得到，即可判断③；根据全等三角形的性质得到，然后利用勾股定理证明出，同理得到，然后得到，即可判断④． 【解题过程】 解：∵在中，，以该三角形的三条边为边向外作正方形，正方形和正方形， ∴，， ∵ ∴ ∴ ∴，故①正确； 如图所示，过点F作交延长线于点O，    ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵ ∵， ∴，故②正确； 如图所示，过点A作交的延长线于点P，过点C作    ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴ 同理可证， ∴ ∴ ∵， ∴ ∴，故③正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 同理可证， ∴，故④正确． 综上所述，正确的结论个数是4． 故选：D． 评卷人 得 分 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分） 11．（23-24八年级上·浙江金华·期中）如图所示为一张锐角三角形纸片，小明想要通过折纸的方式折出如下线段：①边上的中线；②的平分线；③边上的高．根据所学知识与相关活动经验可知，上述三条线段中，能够通过折纸折出的是 ． 【思路点拨】 本题考查的是轴对称的性质，涉及到图形的翻折变换，三角形的角平分线、中线以及高线，掌握三角形的角平分线、中线以及高线的几何意义是解题的关键．根据三角形的中线，角平分线以及高的定义作答即可． 【解题过程】 解：①边上的中线：如图1，使点B、C重合，中点为点D，连接，此时即为边上的中线； ②的平分线：如图2，沿直线折叠，使与重叠，此时即为边上的角平分线； ③边上的高：如图3，沿直线折叠，使与重合，此时即为边上的高． 综上所述，所有能够通过折纸折出的有①②③． 故答案为：①②③． 12．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，在中，，平分，交于点，点分别为上的动点，若，的面积为40，则的最小值为 ． 【思路点拨】 本题主要考查等腰三角形的性质及最短路径问题，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得，连接，则有，所以，然后可得当点A、M、N三点共线且时最小，进而问题可求解． 【解题过程】 解：∵，平分， ∴，则垂直平分， 连接，过点A作于点H，如图所示： ∴， ∴， 要使的值为最小，则需满足点A、M、N三点共线且，如图中线段的长， ∵，的面积为40， ∴， ∴的最小值是8； 故答案为：8． 13．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，点M、N分别是边上的定点，、分别是边、上的动点，记，，当最小时，则 ． 【思路点拨】 本题考查轴对称最短问题、三角形外角的性质．作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，则最小易知，，根据三角形的外角的性质和平角的定义即可得到结论． 【解题过程】 解：如图，作关于的对称点，关于的对称点，连接交于，交于，当三点共线时，最小， ，， ， ， ， 故答案为：． 14．（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，在中，，点D在内，平分，连接，把沿折叠，落在处交于F，恰有．若，，则 ． 【思路点拨】 本题考查了等腰三角形的判定和性质，折叠的性质，勾股定理，熟练掌握等腰三角形的判定和性质是解题关键．延长交于点G，根据等腰三角形的判定和性质，得到，，，再利用垂直和折叠的性质，得到，进而推出是等腰直角三角形，得到，求出，然后由勾股定理求出，最后利用三角形面积公式，得到，即可求出得长． 【解题过程】 解：延长交于点G， ，平分， ，，， ， ， ， ， ， ， ， 由折叠性质可知，，， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15．（23-24八年级上·山东滨州·期中）如图，已知点是边上的动点（不与重合），在的同侧作等边和等边，连接，下列结论正确的是 （填序号） ①；②；③；④是等边三角形；⑤平分；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩图中共有2对全等三角形． 【思路点拨】 本题以常见的全等模型-“手拉手”模型为几何背景，考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的综合问题、角平分线的性质定理等知识点，还涉及了“截长补短”的辅助线作法，掌握相关结论和方法，进行严密的几何推理是解题关键． 【解题过程】 解：∵、是等边三角形， ∴， ∴ 即： ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵ ∴，故②正确； ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形 ∴ ∴，故③、④正确； ∵， ∴ ∴边上的高相等， 即点到的距离相等， ∴平分，故⑤正确； 在上截取，连接，如图所示： ∵， ， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴，故⑥正确； 在上截取，连接，如图所示： 由②得：， ∴ 由⑤得：平分， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴，故⑦正确； ∵ ∴ ∴，故⑧正确； ∴ ∴，故⑨正确； 由以上推理可知：、， ∵ ∴ ∴图中不只有2对全等三角形，故⑩错误； 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨． 评卷人 得 分 三、解答题（本大题共8小题，满分55分） 16．（4分）（24-25八年级上·浙江宁波·期中）如图，有一块凹四边形的绿地，，，，，，求这块绿地的面积． 【思路点拨】 本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理说明，最后根据得出答案． 【解题过程】 解：连接， ∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形面积为： ． 答：这块空地的面积是． 17．（6分）（23-24八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，是边上的高线，是边上的中线，于，． （1）求证：． （2）已知，，求面积 【思路点拨】 本题考查的是直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半、等腰三角形的三线合一是解题的关键． （1）连接，根据直角三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质证明结论； （2）作于，根据题意求出，根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，得到答案． 【解题过程】 （1）证明：连接， 在中，点是的中点， ， ， ，， ． （2）解：作于， ，， ， ，， ， ， 的面积， 面积． 18．（6分）（23-24八年级上·浙江台州·期中）如图，的顶点A、B、C都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）画，使它与关于直线成轴对称；并求出面积； （2）在直线上找一点P，使点P到点A、B的距离之和最短； （3）在直线上找一点Q，使点Q到边的距离相等． 【思路点拨】 本题考查了轴对称、两点之间线段最短、角平分线的知识． （1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，顺次连接即可，再利用割补法求得； （2）连接交直线l于点P，点P即为所求； （3）连接，则是的角平分线，与直线l的交点Q即为所求． 【解题过程】 （1）解：如图，即为所求作． ； （2）解：如图，点P即为所求作．      理由：根据（1）的结论，点A、点关于直线l成轴对称， ∴， ∴， ∴当点P在直线l和的交点处时，，为最小值， ∴当点P在直线l和的交点处时，取最小值， 即点P到点A、点B的距离之和最短； （3）解：如图，点Q即为所求作． 连接， 根据题意得：， ∴点Q是直线l和的交点时，点Q到边的距离相等． 19．（6分）（2024八年级上·浙江·专题练习）如图，要在一条笔直的公路l上建一个燃气站P，向l同侧的A，B两个城镇分别铺设管道输送燃气． （1）燃气站P在公路l上何处时，管道总长度最短？请作出这条最短路线． （2）若测得A，B两镇的距离为，又测得A，B两镇到公路l的距离分别为和，求所铺设管道的最短长度． 【思路点拨】 本题考查了轴对称−最短路线问题，作图−应用与设计作图，解决本题的关键是掌握轴对称的性质． （1）作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P，则点P即为所求，即可得出答案． （2）设交直线l于点E，过点B作直线l的垂线，交直线l于点F，过点作于点C，过点A作于点D，则四边形为矩形，四边形为矩形，根据勾股定理求出的长，即可得的长，再利用勾股定理求出的长即可． 【解题过程】 （1）解：如图，作点A关于直线l的对称点，连接，交直线l于点P， 则点P即为所求． 沿线段，铺设管道，管道总长度最短． （2）解：设交直线l于点E，过点B作直线l的垂线，交直线l于点F，过点作于点C，过点A作于点D， 四边形为矩形，四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 所铺设管道的最短长度为． 20．（8分）（23-24八年级上·浙江宁波·期中）在等边的边上各取一点P、Q，相交于点O． （1）若，求证； （2）在（1）的条件下，当时，求的边长； （3）连接，若，，求的值． 【思路点拨】 本题主要考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识点，利用高相等的两个三角形面积之比等于底之比是解题的关键， （1）利用证明，再利用全等三角形的性质即可证明结论； （2）由（1）知，则，作于H，根据直角三角形的性质可得，进而得到即可解答； （3）分或两种情形，利用高相同的两个三角形面积之比等于底之比求解即可． 【解题过程】 （1）证明：∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：由（1）知，， ∴， ∴， 如图：作于H， ∵， ∴， ∴， ∴的边长为． （3）解：如图，当时， ∵， ∴， ∴， 此时， ∴，则， ∴， ∴， ∴的值为； 如图，当时， 由等边三角形的对称性知，当时，仍然有， 同理可得的值为． 综上所述：的值为或． 21．（8分）（23-24八年级上·浙江台州·期末）在中，，，是斜边的中点． （1）如图1，连接，求证：为等边三角形； （2）如图2，为边上的一动点，连接，以为边向左侧作等边三角形，连接.随着点位置的变化，的度数是否会发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出的度数； （3）如图3，在（2）的条件下，点在线段上，点在的延长线上，且，连接交于点，过点作于点，试探究线段与之间的数量关系，并说明理由． 【思路点拨】 （1）由，，可得出，，根据直角三角形斜边上的中线定理可得出，即可得出为等边三角形； （2）连接，根据可得出，再结合即可得出，根据全等三角形的性质即可得出，即的度数不变； （3）过点P作交于点O，易证是等腰三角形，即可证明，推出，由，， 得到，即，进而推出，根据为等边三角形，即可得出结论． 【解题过程】 （1）证明：∵在中，，， ∴，． ∵点D是中点， ∴， ， ∴为等边三角形； （2）解：的度数不变， 如图，连接， ∵，，是斜边的中点， ∴， ∴． ∵为等边三角形， ∴． 又∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， 即的度数不变，； （3）解：，理由如下： 如图，过点P作交于点O， 则， ， 是等腰三角形， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ，即， ， ， ， ， 为等边三角形， ，即． 22．（8分）（23-24八年级上·浙江·期末）如图，在中，，于点D，，E，F分别是直线上的动点，连结． （1）求的长． （2）若点E在边上，且，求证：平分． （3）是否存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与全等？若不存在，请说明理由；若存在，求出所有符合条件的的长． 【思路点拨】 （1）先求出的长，再用面积法求解即可； （2）先证明，再根据证明即可； （3）分4种情况求解：①若点E，F在线段上；②若点E，F在射线上；③若点E在线段上，点F在线段上；④若点E在射线上，点F在射线上． 【解题过程】 （1）∵， ∴ ∵于点D， ∴． ∴，即． （2）如图1，∵， ∴，即． ∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴平分． （3）存在点E，F，使得以C，E，F为顶点的三角形与全等． 由题意，以C，E，F为顶点的三角形与全等， 是公共边，有四种情形： ①如图2，若点E，F在线段上． 当时， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ②如图3，若点E，F在射线上． 同①可得， ∴，． ∵， ∴， ∴． ③如图4，若点E在线段上，点F在线段上． 当时， ∵， ∴， ∴，． ∵， ∴， ∴． ④如图5，若点E在射线上，点F在射线上． 当时， ∵， ∴，此时， ∴． 综上所有符合条件的的长是． 23．（9分）（23-24八年级上·浙江台州·期末）如图，等边，点E是边 (或延长线)上一点，点D是边（或延长线)上的点，连接，以为边向下作等边，连接． （1）如图1，若点D与点C重合，证明：； （2）如图1，移动点E，使点E为中点，则与的数量关系为 ； （3）如图2，移动点D，使点D为中点，求证：； （4）如图3，移动点D，E，使D，E分别在的延长线上，若，，直接写出的长(用m的代数式表示)． 【思路点拨】 （1）根据等边三角形的性质，利用证明即可； （2）根据三线合一，全等三角形的性质，推出是含30度角的直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质，即可得出结果； （3）过点作，连接，先证明为等边三角形，进而证明，得到，再证明，即可得证； （4）过点作，连接，得到为等边三角形，证明，得到，，再利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理进行求解即可． 【解题过程】 （1）证明：∵，均为等边三角形， ∴，， ∴， ∴； （2）∵为的中点，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）过点作，连接，则：， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的中点，， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴； （4）过点作，连接，则：， ∴为等边三角形， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 学科网（北京）股份有限公司 $$