专题3.2 勾股定理的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（苏科版）

专题3.2 勾股定理的应用 · 思想方法 数形结合思想：是把数、式图形结合起来用代数的方法分析图形，图形的来直观的理解数、式的关系，称作数形结合。数形结合思想是中学一个重要的思想方法，其对解题和分析问题有很大的意义。有些时候通过题意直接分析题求解时很不直观，不能直接找到突破口；或者求解时计算量很大、很费时间；或者有时根本就无法求解。这个时候就要求我们学会分析转化题意的能力了，因此恰当的运用数形结合思想就显得很有必要了，灵活的运用属性思想不仅可以化解题目难度，还可以做到快、准等意想不到的收获。 · 典例分析 【典例1】背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【思路点拨】 小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【解题过程】 解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，    ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． · 学霸必刷 1．（2023上·山东威海·七年级校联考期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C． D．  2．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A．cm B．25cm C．cm D．16cm 3．（2023下·山东潍坊·七年级统考期中）如图，一根笔直木棒（不计粗细）的一端固定在一竖直墙面上的A点，另一端可以绕A点自由转动，在墙面上画一条水平直线l，当木条另一端逆时针从点B转动到点C的过程中，在直线l下方木条长度的变化情况是（　　）    A．不变 B．变大 C．先变大再变小 D．先变小再变大 4．（2023下·江苏镇江·八年级统考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．    5．（2024上·广东河源·八年级统考期末）如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．  6．（2023下·浙江台州·八年级校考期中）如图，老农门前有一块三角形土地，，，，这块土地面积是 ． 7．（2023上·江苏无锡·八年级统考期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm 8．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是 ． 9．（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期中）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，，，．线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠的造价为130元，问：当水渠的造价最低时，长为多少米？最低造价是多少元？    10．（2023下·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图所示，为一棵大树，在树上距地面的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B处，再由B处跑到C处．已知两只猴子所经过的路程都是，求树高的距离． 11．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： （1）根据题意，可知________（填“”“”“”）； （2）若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 12．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）为节约用电，某住宅楼将单元门厅照明灯更换为人体感应灯，当人体进入感应灯感应范围内（即人体头顶与感应灯的距离小于或等于感应距离）时，感应灯亮．如图，当身高的成年人与感应灯A的水平距离为时，感应灯刚好亮；当身高的小朋友与感应灯A的水平距离为时，感应灯A也刚好亮，求感应灯A到地面的距离的长．      13．（2023上·广东深圳·八年级南山实验教育麒麟中学校考开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    （1）一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ （2）为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？ 14．（2023上·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由． 15．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    （1）求秋千的长度； （2）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m，则需要将秋千往前推送多少米？ 16．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米． （1）现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ （2）为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．  17．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． （1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由； （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？ 18．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C上有一部信号发射塔，方圆20海里内的船只能够收到它发射的信号．    （1）求B处离岛C的距离； （2）求该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间． 19．（2023上·山东东营·九年级校考期末）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（结果保留根号）    （1）港口A与小岛C之间的距离； （2）甲船从B处行至小岛C的速度． 20．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图某货船以20海里的速度将一批重要的物资由A处运往正西方向的B处，经的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门的通知，一台风中心、以40海里的速度由A处向北偏西方向移动，距台风中心200海里以内的圆形区域会受到影响.（）问 ： （1）B处是否会受到台风的影响？请说明理由. （2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时以内卸完货物？ （3）如果B处受到台风影响，那么求出影响的时间. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题3.2 勾股定理的应用 · 思想方法 数形结合思想：是把数、式图形结合起来用代数的方法分析图形，图形的来直观的理解数、式的关系，称作数形结合。数形结合思想是中学一个重要的思想方法，其对解题和分析问题有很大的意义。有些时候通过题意直接分析题求解时很不直观，不能直接找到突破口；或者求解时计算量很大、很费时间；或者有时根本就无法求解。这个时候就要求我们学会分析转化题意的能力了，因此恰当的运用数形结合思想就显得很有必要了，灵活的运用属性思想不仅可以化解题目难度，还可以做到快、准等意想不到的收获。 · 典例分析 【典例1】背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【思路点拨】 小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【解题过程】 解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，    ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． · 学霸必刷 1．（2023上·山东威海·七年级校联考期末）如图，教室墙面与地面垂直，点在墙面上，若米，米，点到的距离是米，一只蚂蚁要从点爬到点，它的最短行程是（    ）米 A． B． C． D．  【思路点拨】 本题考查平面展开—最短路径问题及勾股定理的应用，可将教室的墙面与地面展开，连接，根据两点之间线段最短，利用勾股定理求解即可．正确利用立体图形中的最短距离，通常要转换为平面图形的两点间的线段长来进行解决是解题的关键． 【解题过程】 解：如图，过作于，连接， 此时的长为这只蚂蚁从点爬到点的最短行程， ∵米，米，点到的距离是米， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， ∴（米）， ∴这只蚂蚁的最短行程应该是米． 故选：C． 2．（2024上·山西太原·八年级校考阶段练习）如图，长方体的长为20cm，宽为15cm，高为10cm，点B离点C为5cm，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B去吃一滴蜜糖，需要爬行的最短距离是（    ） A．cm B．25cm C．cm D．16cm  【思路点拨】 分三种情况讨论：把上面展开到左侧面上，连结AB，如图1；把上面展开到正面上，连结AB，如图2；把侧面展开到正面上，连结AB，如图3，然后利用勾股定理分别计算各情况下的AB，再进行大小比较． 【解题过程】 解：把上面展开到左侧面上，连结AB，如图1， AB＝（cm） 把上面展开到正面上，连结AB，如图2， AB＝（cm）； 把侧面展开到正面上，连结AB，如图3， AB＝（cm）． ∵＞＞25 所以一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离为25cm． 故选：B． 3．（2023下·山东潍坊·七年级统考期中）如图，一根笔直木棒（不计粗细）的一端固定在一竖直墙面上的A点，另一端可以绕A点自由转动，在墙面上画一条水平直线l，当木条另一端逆时针从点B转动到点C的过程中，在直线l下方木条长度的变化情况是（　　）    A．不变 B．变大 C．先变大再变小 D．先变小再变大  【思路点拨】 过点A作直线l，根据勾股定理表示出的长，从而表示出的长，在转动过程中，先变小再变大，根据固定不变，于是先变小再变大，从而得出先变大再变小． 【解题过程】 解：过点A作直线l，垂足为H，设与直线l交于点E，    点A和直线l的位置固定， 点A到直线l的距离不变，即的长不变， 设直线l下方木条长度为， ， 在中，由勾股定理得：， ，且，在转动过程中长度始终不变， ①当木条从点B往H点方向转动时，不断减小， 则不断减小，即AE不断减小， 所以不断变大； ②当木条从H点往C点方向转动时，不断增大， 则不断增大，即不断增大， 所以不断变小； 综上，木条从B点转动到C点的过程中，在直线l下方木条的长度先变大再变小． 故选：C． 4．（2023下·江苏镇江·八年级统考期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙壁，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为2米，顶端距离地面1.5米．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2.4米，则小巷的宽度为 米．     【思路点拨】 在中，根据勾股定理求出的长，再在中，求出的长，最后由进行计算即可得到答案． 【解题过程】 解：如图，   ， 根据题意得：， 在中，米，米， 米， 在中，米，米， 米， 米， 小巷的宽度为2.7米， 故答案为：2.7． 5．（2024上·广东河源·八年级统考期末）如图，在一棵树的10米高的处有两只猴子为抢吃池塘边水果，一只猴子爬下树跑到处（离树20米）的池塘边，另一只爬到树顶后直接跃到处，距离以直线计算，若两只猴子所经过的距离相等，则这棵树高 米．  【思路点拨】 本题主要考查了勾股定理的应用，理解题意，构造直角三角形是解题关键．设米，则米，结合两只猴子所经过的距离相等，可得米，然后在中，利用勾股定理列式并求解，即可获得答案． 【解题过程】 解：根据题意，米，米， 设米，则米， ∵两只猴子所经过的距离相等， ∴，即， ∴米， 在中，可有， 即， 解得， ∴米， 即这棵树高15米． 故答案为：15． 6．（2023下·浙江台州·八年级校考期中）如图，老农门前有一块三角形土地，，，，这块土地面积是 ．  【思路点拨】 过点A作于点D，设，在和中，利用勾股定理可得， 求出x的值，即可求出，最后利用三角形的面积公式求解即可． 【解题过程】 解：过点A作于点D， 设， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴这块土地的面积为． 故答案为：． 7．（2023上·江苏无锡·八年级统考期中）爱动脑筋的小明某天在家玩遥控游戏时遇到下面的问题：已知，如图一个棱长为8cm无盖的正方体铁盒，小明通过遥控器操控一只带有磁性的甲虫玩具，他先把甲虫放在正方体盒子外壁A处，然后遥控甲虫从A处出发沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到边CD上后再在边CD上爬行3cm，最后在沿内壁面正方形ABCD上爬行，最终到达内壁BC的中点M，甲虫所走的最短路程是 cm  【思路点拨】 将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，此时最小，运用勾股定理求解即可． 【解题过程】 解：如图，将正方形沿着翻折得到正方形 ，过点在正方形内部作，使，连接，过作于点，则四边形是矩形，四边形是平行四边形， ∴，，，， 此时最小， ∵点是中点， ∴cm， ∴cm，cm， 在中，cm， ∴cm， 故答案为：16． 8．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）人字梯的原理是三角形的稳定性，梯子顶端A与脚底两端点B，C构成等腰三角形．图甲是梯子两脚架夹角A为时的示意图，图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图，若点A与地面的距离为时，则此时点与点的距离是 ．  【思路点拨】 本题主要考查勾股定理的应用，等腰三角形的性质；图甲，过点A作于点D，根据等腰直角三角形的性质，设，利用勾股定理得到，进而得到，图乙，根据题意得出，，，在中，利用勾股定理得出x，即，图丙，在中，利用勾股定理得出，进而求得． 【解题过程】 解：如图甲， 由题意可知，为等腰直角三角形， ， 过点A作于点D， ， 设， 由勾股定理得：， ， ， 如图乙， 过点作于点， 图乙是由图甲当点与点的距离缩小，而点A与地面的距离增大时的示意图， ，， ， 梯子长度不变， ， 在中，， ， 解得：， ， 若点A与地面的距离为时，如图丙， 过点A作于点F， ，， 在中，， ， 解得：， ， 此时点与点的距离是． 故答案为：140． 9．（2023下·新疆乌鲁木齐·八年级新疆生产建设兵团第一中学校考期中）某校把一块形状为直角三角形的废地开辟为生物园，如图所示，，，．线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠的造价为130元，问：当水渠的造价最低时，长为多少米？最低造价是多少元？     【思路点拨】 根据“垂线段最短”可得，当时，最短，用等面积法求解即可．再乘以单价，即可得出造价． 【解题过程】 解：根据题意可得：当时，最短， ∵，，， ∴根据勾股定理可得：， ∵， ∴，即， 解得：， ∴最低造价（元）， 答：长为米，最低造价是6000元． 10．（2023下·辽宁大连·八年级校考阶段练习）如图所示，为一棵大树，在树上距地面的D处有两只猴子，它们同时发现地面上的C处有一筐水果，一只猴子从D处向上爬到树顶A处，利用拉在A处的滑绳，滑到C处，另一只猴子从D处滑到地面B处，再由B处跑到C处．已知两只猴子所经过的路程都是，求树高的距离．  【思路点拨】 Rt△ABC中，∠B=90°，则满足，设AD=x，根据两只猴子经过的路程一样可得再利用勾股定理可得答案． 【解题过程】 解：Rt△ABC中，，  设AD=x， 则   又在Rt△ABC中，由勾股定理得：， ∴ 解得，x=2，即AD=2（米） ∴AB=AD+DB=2+10=12（米） 答：树高AB为12米． 11．（2023上·河南南阳·八年级统考期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： （1）根据题意，可知________（填“”“”“”）； （2）若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）．  【思路点拨】 （1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【解题过程】 （1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， （2）解：连接，则点、、三点共线， 在中，（米， （米， 在中，（米， ， （米， 男孩需向右移动的距离为米． 12．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）为节约用电，某住宅楼将单元门厅照明灯更换为人体感应灯，当人体进入感应灯感应范围内（即人体头顶与感应灯的距离小于或等于感应距离）时，感应灯亮．如图，当身高的成年人与感应灯A的水平距离为时，感应灯刚好亮；当身高的小朋友与感应灯A的水平距离为时，感应灯A也刚好亮，求感应灯A到地面的距离的长．     【思路点拨】 本题考查的是勾股定理的应用，正确构造直角三角形、掌握勾股定理是解题的关键．过点C作交于点M、N，则，设，则，在和中通过勾股定理列方程求解即可． 【解题过程】 解：过点C作交于点M、N，    则， 设，则， 由题意得， 在和中：，， ∴， 解得， ∴． 13．（2023上·广东深圳·八年级南山实验教育麒麟中学校考开学考试）如图，一个无盖长方体小杯子放置在桌面上，，；    （1）一只蚂蚁从A点出发，沿小杯子外表面爬到D点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？ （2）为了怕杯子落入灰尘又方便使用，现在需要给杯子盖上盖子，并把一双筷子放进杯子里，请问，筷子的最大长度是多少？  【思路点拨】 （1）利用勾股定理求解即可； （2）求得长方体盒子的体对角线即可求解。 【解题过程】 （1）解：如图所示：    由题意得：，， ∴， 在中，由勾股定理得； ∴最短路程是20cm； （2）将筷子斜着放，    ∵，， ∴ ∴， 即筷子的最大长度是cm． 14．（2023上·江苏苏州·八年级星海实验中学校考期中）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在公路上建一个土特产品市场E，使得C、D两村庄到市场E的距离相等，则市场E应建在距A多少千米处？并判断此时的形状，请说明理由．  【思路点拨】 本题考查了勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定；设，则，根据勾股定理可得：在直角中，，在直角中，，则，即可求出；进而得出，，通过证明，得出，推出，即可得出是等腰直角三角形． 【解题过程】 解：设，则， 在直角中，， 在直角中，， ∴， 解得：， 即； ∴市场E应建在距A的20千米处； ∵，， 在和中， ， 可得， ∴， 又∵， ∴， ∴ 又∵， ∴是等腰直角三角形． 15．（2023上·湖南岳阳·八年级校考期末）勾股定理是人类数学文化的一颗璀璨明珠，是用代数思想解决几何问题最重要的工具，也是数形结合的纽带之一，如图，有一架秋千，当它静止在的位置时，踏板离地的垂直高度为0.6m，将秋千往前推送3m，到达的位置，此时，秋千的踏板离地的垂直高度为1.6m，秋千的绳索始终保持拉直的状态．    （1）求秋千的长度； （2）如果想要踏板离地的垂直高度为2.6m，则需要将秋千往前推送多少米？  【思路点拨】 此题考查了勾股定理的应用，正确理解题意，由勾股定理求出秋千的长度是解题的关键． （1）由题意得，证四边形是矩形，得，则，；设秋千的长度为，则，，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可； （2）当时，，则，得，然后在中，由勾股定理求出的长即可． 【解题过程】 （1）解：由题意得：， ∵，，， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 设秋千的长度为， 则，， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 即秋千的长度是； （2）当时，， ∵， ∴， 由（1）可知，， ∴， 在中，由勾股定理得： ， 即需要将秋千往前推送． 16．（2023下·山东济南·七年级统考期末）如图，A中学位于南北向公路l的一侧，门前有两条长度均为100米的小路通往公路l，与公路l交于B，C两点，且B，C相距120米． （1）现在想修一条从公路l到A中学的新路（点D在l上），使得学生从公路l走到学校路程最短，应该如何修路（请在图中画出）？新路长度是多少？ （2）为了行车安全，在公路l上的点B和点E处设置了一组区间测速装置，其中点E在点B的北侧，且距A中学170米．一辆车经过区间用时5秒，若公路l限速为（约），请判断该车是否超速，并说明理由．  【思路点拨】 （1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【解题过程】 （1）过点A作，交l于点D．    ，        在中，， 由勾股定理得 ，     新路长度是80米． （2）该车超速     在中，， 由勾股定理得 ，    该车经过区间用时 ∴该车的速度为   该车超速． 17．（2023上·四川成都·八年级校考阶段练习）2023年7月五号台风“杜苏芮”登陆，使我国很多地区受到严重影响．据报道，这是今年以来对我国影响最大的台风，风力影响半径（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受台风影响）．如图，线段是台风中心从C市移动到B市的大致路线，A是某个大型农场，且．若A，C之间相距，A，B之间相距． （1）判断农场A是否会受到台风的影响，请说明理由； （2）若台风中心的移动速度为，则台风影响该农场持续时间有多长？  【思路点拨】 本题考查勾股定理，三角形的面积，关键是由以上知识点求出AH的长，求出台风从开始影响农场，到结束影响农场，所移动的距离． （1）过A作于H，由勾股定理得，由三角形面积公式得到，由，判断农场A会受到台风的影响； （2）台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接，，得到，由勾股定理求出，得到，即可求出台风响该农场持续时间． 【解题过程】 （1）解：农场A会受到台风的影响，理由如下： 过A作于H，    ∵， ∴， ∴， ∵的面积 ∴， ∴， ∵， ∴农场A会受到台风的影响； （2）如图，台风从点M开始影响该农场，到点N以后结束影响，连接，， ∴， ∵，， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∵台风中心的移动速度为， ∴台风影响该农场持续时间是（小时）． 18．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级统考期中）如图，某渔船向正东方向以12海里时的速度航行，在A处测得岛C在北偏东方向，1小时后渔船航行到B处，测得岛C在北偏东方向，已知该岛C上有一部信号发射塔，方圆20海里内的船只能够收到它发射的信号．    （1）求B处离岛C的距离； （2）求该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间．  【思路点拨】 （1）如图1，作的延长线于，由题意知，，，，由，可得； （2）如图2，在找点，连接，使， 则， ，由勾股定理得，由勾股定理得，，即，然后求时间即可． 【解题过程】 （1）解：如图1，作的延长线于，    由题意知，，，， ∵， ∴， ∴B处离岛C的距离为12海里； （2）解：如图2，在找点，连接，使，    ∴， 由题意知，，， ∴ ， 由勾股定理得， 由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴该渔船在整个航行过程中收到岛C发射信号的时间为． 19．（2023上·山东东营·九年级校考期末）如图，甲，乙两条轮船同时从港口A出发，甲轮船以每小时30海里的速度向东北方向航行，乙船以每小时15海里的速度沿着北偏东方向航行，1小时后，甲船接到命令要与乙船会合，于是甲船在B处改变航向，沿南偏东方向航行，结果甲，乙两船在小岛C处相遇．假设乙船的速度和航向保持不变，求：（结果保留根号）    （1）港口A与小岛C之间的距离； （2）甲船从B处行至小岛C的速度．  【思路点拨】 （1）自B作，垂足为M，根据题意知，可推知，，分别在与中依据已知的特殊角、已知边，可逐一求出的长，于是的长度可求出． （2）先依据的距离与乙船航行的速度可求得乙船航行的时间，然后求出甲船从B处行至小岛C的时间，最后求得甲船此段航行的速度． 【解题过程】 （1）如图，过点B作，垂足为M，    由题意得，，°， 设指示南北方向，点N在线段上，则， ∴． 由题意知，， ∴ 在中，海里， ∴海里，海里， 在中，， ∴海里， ∴海里， 答：港口A与小岛C之间的距离为海里； （2）在中，海里， ∴ （海里）， ∴乙船行驶的时间为小时， ∴甲船从B处行至小岛C的时间为（小时）． ∴甲船从B处行至小岛C的速度为（海里/时）， 答：甲船从B处行至小岛C的速度为海里/时． 20．（2023上·甘肃张掖·九年级校考阶段练习）如图某货船以20海里的速度将一批重要的物资由A处运往正西方向的B处，经的航行到达，到达后必须立即卸货.此时，接到气象部门的通知，一台风中心、以40海里的速度由A处向北偏西方向移动，距台风中心200海里以内的圆形区域会受到影响.（）问 ： （1）B处是否会受到台风的影响？请说明理由. （2）为避免受到台风的影响，该船应在多少小时以内卸完货物？ （3）如果B处受到台风影响，那么求出影响的时间.  【思路点拨】 （1）B处是否会受到台风影响，其实就是B到的垂直距离是否超过200海里，如果超过则不会影响，反之受影响； （2）根据已知及三角函数求得的长，再根据路程公式求得时间即可； （3）结合（2）中过程，得出在点D右侧相同的距离内点B也受影响，即可求出时间； 将实际问题转化为数学问题，构造出与实际问题有关的直角三角形是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：如图1，过点B作交于点D， ∵在中， ∴, ∵海里 ∴海里 ∵， ∴会受台风影响． （2）解：如图2， 在中，海里，海里， ∴海里， ∵要使卸货不受台风影响， ∴必须在点B距台风中心第一次为200海里前卸完货， 如图，海里， 在中， 海里， ∴海里， ∵台风速度为40海里/小时， ∴时间小时， 答：为避免受到台风影响，该船应在小时内卸完货； （3）由（2）得海里， 同时在点D右侧相同的距离内点B也受影响， ∴小时， ∴影响的时间为小时． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 6 学科网（北京）股份有限公司 $$