5.1 导数的概念及其意义6题型分类（讲+练）-2024-2025学年《解题秘籍》高二数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

5.1导数的概念及其意义6题型分类 一、瞬时速度 1．平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. 2．瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 二、抛物线切线的斜率 1．抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. 2．抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 三、函数的平均变化率 函数平均变化率的定义:对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 四、函数在某点处的导数的几何意义 1．切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))，沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T (T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线. 2．函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0==f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为y- f(x0)=f'(x0) (x- x0). 五、导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. （一） 求平均变化率 函数平均变化率的定义：对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 题型1：求平均变化率 1-1．（2024高二下·四川成都·阶段练习）在曲线 的图象上取一点及邻近一点， 则为（    ） A． B．2 C． D． 1-2．（2024高二下·北京海淀·期末）下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（    ） A． B． C． D． 1-3．（2024高二下·辽宁阜新·期末）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 1-4．（2024高二下·辽宁阜新·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 1-5．（2024高二下·江西九江·期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（    ）    A． B． C． D． 1-6．（2024高二下·河南新乡·期中）某物体沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则在这段时间内，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． （二） 求瞬时速度 1．平均速度：设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. 2．瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 3.瞬时速度与平均速度的区别和联系： 区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关． 联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值． 题型2：求瞬时速度 2-1．（2024高二下·河南·阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（　　） A． B．1 C．2 D． 2-2．（2024高二下·宁夏银川·阶段练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 2-3．（2024高二下·全国·课后作业）质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（    ） A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s 题型3：导数定义中极限的简单计算 3-1．（2024高二下·上海闵行·期中）若函数在处导数为，则等于（    ） A． B． C． D． 3-2．（河北省廊坊市固安县马庄中学等2校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题）函数在上可导，若，则（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 3-3．（2024高二下·山西晋中·阶段练习）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 3-4．（2024高二上·陕西延安·期末）已知在处的导数为2，则（    ） A．2 B．6 C． D． （三） 求函数在某点的切线斜率及方程 曲线的切线斜率： 1．设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的斜率． 2．当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y＝f (x)在x0处的切线的斜率即k＝.切线方程为y- f(x0)=f'(x0) (x- x0). 题型4：求函数在某点的导数或切线斜率 4-1．（2024高二·全国·课后作业）已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 4-2．（2024高二下·全国·课后作业）函数在处的导数为 ． 4-3．（2024高二上·宁夏银川·期末）曲线在点处的斜率为（    ） A． B． C．2 D．4 4-4．（2024高二·全国·课后作业）已知函数，则该函数在处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4-5．（2024高二下·湖北·期中）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 题型5：求函数在某点或过某点的切线方程 5-1．（2024高二下·全国·课后作业）曲线在点处的切线方程为 . 5-2．（2024高二下·四川绵阳·阶段练习）已知函数. (1)利用导数的定义求导函数； (2)求曲线在点处的切线的方程. 5-3．（2024高二·全国·专题练习）求函数的图象上过原点的切线方程． 5-4．（2024高二·全国·随堂练习）求函数在处的切线方程． 5-5．（2024高二·湖南·课后作业）计算抛物线上任一点处的切线的斜率，并求过点的切线方程. （四） 导数几何意义的应用 曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.结合具体条件，利用导数的几何意义，进行转化求解即可. 题型6：导数几何意义的应用 6-1．（2024高二下·北京丰台·期中）如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．    6-2．（2024高二上·福建泉州·阶段练习）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 6-3．（2024高二下·上海浦东新·期末）在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   6-4．（2024高二下·陕西西安·期中）已知函数的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ）    A． B． C． D． 一、单选题 1．（2024高二·全国·课后作业）设，若，则（    ）. A．2 B．-2 C．3 D．不确定 2．（2024高二下·天津·期中）已知函数的导函数是，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 3．（2024高二下·甘肃武威·阶段练习）已知，则（    ） A．－4 B．－1 C．1 D．4 4．（2024高二下·江西新余·期末）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零.12分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记探测器与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2024高二下·全国·课后作业）函数，当自变量由改变到时，的变化为（    ） A． B． C． D． 6．（2024高二下·全国·课后作业）函数在区间上的平均变化率是（    ） A． B． C． D． 7．（2024高二下·甘肃武威·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B．0 C．1 D．2 8．（2024高二下·河南驻马店·期末）定义在上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数（    ） A． B． C． D． 9．（2024高二下·西藏林芝·期末）函数在区间上的平均变化率为（  　） A． B． C．2 D． 10．（2024高二下·广西桂林·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 11．（2024·江苏连云港·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 12．（2024高二下·重庆·阶段练习）某物体沿直线运动，其位移（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则在这段时间内，该物体位移的平均速度为（    ） A． B． C． D． 13．（2024高二·全国·课后作业）函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]的平均变化率为k2，则（    ） A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1＝k2 D．不确定 14．（2024高二下·江苏苏州·期中）设为函数在处的导数，则满足的函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 15．（2024高二·全国·专题练习）已知函数满足，，则在和附近符合条件的的图象大致是（　　） A． B． C． D． 16．（2024高二下·全国·课后作业）过曲线上两点和作曲线的割线，当时割线的斜率为（    ） A． B．3 C．1 D． 17．（2024高二·全国·专题练习）函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 18．（2024高二下·甘肃张掖·期中）曲线在点处的切线斜率是（    ） A．9 B．6 C． D． 19．（2024高三·全国·课后作业）若在处可导，则可以等于（    ）． A． B． C． D． 20．（上海市川沙中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D．0 21．（2024高二下·重庆长寿·期中）若函数在处的导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 22．（2024高二下·北京丰台·期中）设某质点的位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则质点在第时的瞬时速度等于（    ） A． B． C． D． 23．（2024高二下·山东聊城·阶段练习）如图，函数在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（    ） A． B． C． D． 24．（2024高二上·陕西榆林·阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A．4 B． C． D． 25．（2024高二下·北京海淀·期末）函数在附近的平均变化率是（　　） A． B． C． D． 26．（2024高二下·全国·课后作业）已知抛物线在处的增量为，则的值为（　　） A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29 27．（2024高二下·陕西渭南·期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 28．（2024高二下·重庆·阶段练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 29．（2024高二下·安徽黄山·期中）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（　） A．.2 B． C． D． 30．（2024高二下·浙江嘉兴·期中）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 31．（2024高二下·广东梅州·期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 32．（2024高二·全国·课后作业）定义，已知函数在内的导函数为，的值为（    ） A． B． C． D． 33．（2024高二下·全国·课后作业）有一机器人的运动方程为，是时间，是位移，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 34．（2024高二下·全国·课后作业）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（    ） A．运动员在时的瞬时速度是 B．运动员在时的瞬时速度是 C．运动员在附近以的速度上升 D．运动员在附近以的速度下降 35．（2024高二下·山东日照·阶段练习）设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（    ） A．可以是正数也可以是负数，但不能为0 B．函数值的改变量为 C．函数在上的平均变化率为 D．函数在上的平均变化率 三、填空题 36．（2024高二·江苏·课后作业）已知函数，当时， ． 37．（2024高二·全国·课后作业）曲线过点的切线方程是 ． 38．（2024高二下·全国·课后作业）曲线在点处的切线方程为 ． 39．（2024高二·全国·课后作业）函数在处的导数值为 ． 40．（2024高二下·全国·课后作业）函数在处的导数为 ． 41．（2024高二下·四川遂宁·期中）拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为 42．（2024高三上·上海奉贤·阶段练习）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ． 43．（2024高二下·湖南长沙·期中）设为R上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为 . 44．（2024高二下·上海嘉定·期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则 45．（2024高三上·上海浦东新·期中）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ． 46．（2024·河北邯郸·一模）已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为 ． 47．（2024高二·湖南·课后作业）已知一物体的运动方程是s＝24t－3t2(s的单位为m， t的单位为s)，则物体在t＝ s时的瞬时速度为12 m/s. 48．（2024高二·全国·课后作业）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为 ． 49．（2024高二下·河南·阶段练习）已知函数是可导函数，且，则 . 四、解答题 50．（2024高二·全国·单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率． 51．（2024高二上·上海·课后作业）已知，求曲线在点处的切线方程． 52．（2024高二下·全国·课后作业）已知函数求此函数在和处的导数. 53．（2024高二下·全国·课后作业）某赛车比赛中，一赛车的位移s（单位：m）与比赛时间t（单位：s）存在函数关系. (1)当，时，求与的值； (2)求当时的瞬时速度. 54．（2024高二·全国·随堂练习）对一名工人的研究表明，工作t h后生产出的产品量Q（单位：t）可以近似表示为，该工人每天工作8h． (1)求当t从2h变到4h，该工人生产的产品量Q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求，，并解释它们的实际意义． 55．（2024高二·全国·随堂练习）某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c（单位：μg/mL）来表示，它是时间t（单位：min）的函数，表示为．下表给出了的一些函数值： t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 0.41 (1)求服药后30min内，30min到40min，80min到90min这3段时间内，血液中药物质量浓度的平均变化率； (2)讨论刻画血液中的药物质量浓度变化快慢的方法，并说明上述3段时间中，药物质量浓度变化最快的时间段． 56．（2024高二·湖南·课后作业）试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程. 57．（2024高二·全国·课后作业）已知曲线上的两点和，求： (1)割线AB的斜率； (2)过点A的切线的斜率； (3)点A处的切线的方程． 58．（2024高二·全国·课堂例题）某物体做自由落体运动，其运动方程为，其中t为下落的时间（单位：s），g为重力加速度，大小为9.8m/s2．求它在时间段内的平均速度． 59．（2024高二·全国·随堂练习）已知函数，求自变量x在以下的变化过程中，该函数的平均变化率： （1）自变量x从1变到1.1； （2）自变量x从1变到1.01； （3）自变量x从1变到1.001． 估算当时，该函数的瞬时变化率． 60．（2024高二·全国·课堂例题）已知函数，，分别计算它们在区间，上的平均变化率． 61．（2024高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的导函数； (2)过点作函数的图象的切线，求切线方程． 62．（2024高二·全国·课堂例题）充满气的气球近似为球体．在给气球充气时，我们都知道，开始充气时气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来，气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积的平均变化率． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 5.1导数的概念及其意义6题型分类 一、瞬时速度 1．平均速度 设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. 2．瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 二、抛物线切线的斜率 1．抛物线割线的斜率 设二次函数y=f(x)，则抛物线上过点、的割线的斜率为=. 2．抛物线切线的斜率 一般地，在二次函数y=f(x)中，当x无限趋近于0时，无限趋近于某个常数k，我们就说当x趋近于0时，的极限是k，这时k就是抛物线在点处切线的斜率，即切线的斜率k==. 三、函数的平均变化率 函数平均变化率的定义:对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 四、函数在某点处的导数的几何意义 1．切线的定义 在曲线y=f(x)上任取一点P(x,f(x))，如果当点P(x,f(x))，沿着曲线y=f(x)无限趋近于点P0(x0,f(x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线P0T (T是直线P0T上的一点)称为曲线y=f(x)在点P0处的切线. 2．函数在某点处的导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数f'(x0)就是切线P0T的斜率k0，即k0==f'(x0).这就是导数的几何意义.相应地，切线方程为y- f(x0)=f'(x0) (x- x0). 五、导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=处导数的过程可以看到，当x=时，f'()是一个唯一确定的数.这样，当x变化时，y=f'(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(简称导数).y=f(x)的导函数有时也记作y'，即f'(x)=y'=. （一） 求平均变化率 函数平均变化率的定义：对于函数y=f(x)，设自变量x从变化到+x，相应地，函数值y就从f()变化到f(+x).这时，x的变化量为x，y的变化量为y=f(+x)- f ().我们把比值，即=叫做函数y=f(x)从到+x的平均变化率. 题型1：求平均变化率 1-1．（2024高二下·四川成都·阶段练习）在曲线 的图象上取一点及邻近一点， 则为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据平均变化率，代入计算即得． 【详解】由题可得. 故选：C． 1-2．（2024高二下·北京海淀·期末）下列四个函数中，在区间上的平均变化率最大的为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的计算即可比较大小求解. 【详解】对于A，在上的平均变化率为， 对于B，在上的平均变化率为， 对于C, 在上的平均变化率为， 对于D，在上的平均变化率为， 由于，故在上的平均变化率最大， 故选：B 1-3．（2024高二下·辽宁阜新·期末）若函数，则函数从到的平均变化率为（    ） A．6 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】根据条件，直接求出，，再利用平均变化率的定义即可求出结果. 【详解】因为，所以，， 故函数从到的平均变化率为， 故选：B. 1-4．（2024高二下·辽宁阜新·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的定义计算． 【详解】， 故选：B． 1-5．（2024高二下·江西九江·期中）某汽车在平直的公路上向前行驶，其行驶的路程与时间的函数图象如图.记该车在时间段，，，上的平均速度的大小分别为，，，，则平均速度最小的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平均速度的定义和两点求斜率公式，可得平均速度为经过两点所对应直线的斜率，结合图形即可求解. 【详解】由题意知，汽车在时间，，，上的平均速度的大小分别为，，，， 设路程与时间的函数关系为， 则，即为经过点的直线的斜率， 同理为经过点的直线的斜率， 为经过点的直线的斜率， 为经过点的直线的斜率，如图， 由图可知，最小，即最小. 故选：C. 1-6．（2024高二下·河南新乡·期中）某物体沿直线运动，其位移（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，则在这段时间内，该物体的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率的计算公式，准确计算，即可求解. 【详解】由位移与时间之间的关系为， 根据平均变化率的计算公式，可得在这段时间内，该物体的平均速度为： 故选：B. （二） 求瞬时速度 1．平均速度：设物体的运动规律是s=s(t)，则物体在到+t这段时间内的平均速度为=. 2．瞬时速度 ①物体在某一时刻的速度称为瞬时速度. ②一般地，当t无限趋近于0时，无限趋近于某个常数v，我们就说当t趋近于0时，的极限是v，这时v就是物体在t=时的瞬时速度，即瞬时速度v==. 3.瞬时速度与平均速度的区别和联系： 区别：瞬时速度是刻画物体在某一时刻的运动状态，而平均速度则是刻画物体在一段时间内的运动状态，与该段时间内的某一时刻无关． 联系：瞬时速度是平均速度在变化时间趋近于0时的极限值． 题型2：求瞬时速度 2-1．（2024高二下·河南·阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率，则（　　） A． B．1 C．2 D． 【答案】B 【分析】根据平均变化率和瞬时变化率的概念直接计算. 【详解】函数在区间上的平均变化率等于， 由，得，所以， 因为函数在区间上的平均变化率等于时的瞬时变化率， 所以，解得. 故选：B 2-2．（2024高二下·宁夏银川·阶段练习）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度单位：）是，则运动员在时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 根据瞬时速度的定义直接求解即可． 【详解】 运动员在时的瞬时速度即为，令， 根据导数的定义， ， 所以， 故运动员在时的瞬时速度为. 故选：A． 2-3．（2024高二下·全国·课后作业）质点M按规律s＝2t2＋3t做直线运动（位移单位：m，时间单位：s），则质点M在t＝2 s时的瞬时速度是（    ） A．2 m/s B．6 m/s C．4 m/s D．11 m/s 【答案】D 【分析】本题首先分析题意，运用物理知识，进行数学结合. 【详解】质点M在t＝2 s时位移的平均变化率为＝＝11＋2Δt， 当Δt无限趋近于0时，无限趋近于11 m/s. 故选：D. 题型3：导数定义中极限的简单计算 3-1．（2024高二下·上海闵行·期中）若函数在处导数为，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数的定义即可直接求解. 【详解】 , 故选：D. 3-2．（河北省廊坊市固安县马庄中学等2校2023-2024学年高二下学期开学考试数学试题）函数在上可导，若，则（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】A 【分析】根据题意，由导数的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】． 故选：A 3-3．（2024高二下·山西晋中·阶段练习）已知，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 根据导数的定义可得答案. 【详解】 . 故选：D 3-4．（2024高二上·陕西延安·期末）已知在处的导数为2，则（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】由导数的定义求解即可. 【详解】，. 故选：A （三） 求函数在某点的切线斜率及方程 曲线的切线斜率： 1．设P0(x0，f (x0))，P(x，f (x))是曲线y＝f (x)上任意不同两点，则平均变化率＝为割线P0P的斜率． 2．当P点逐渐靠近P0点，即Δx逐渐变小，当Δx→0时，瞬时变化率就是y＝f (x)在x0处的切线的斜率即k＝.切线方程为y- f(x0)=f'(x0) (x- x0). 题型4：求函数在某点的导数或切线斜率 4-1．（2024高二·全国·课后作业）已知函数在处的导数为3，则函数的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由导函数的定义计算可得答案. 【详解】解： 对于A：，故A正确； 对于B：，故B不正确； 对于C：，故C不正确； 对于D：，故D不正确， 故选：A. 4-2．（2024高二下·全国·课后作业）函数在处的导数为 ． 【答案】6 【分析】 借助导数定义计算即可得. 【详解】 . 故答案为：6. 4-3．（2024高二上·宁夏银川·期末）曲线在点处的斜率为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】A 【分析】根据导数的定义求导即可. 【详解】因为， 所以. 故选：A. 4-4．（2024高二·全国·课后作业）已知函数，则该函数在处的切线斜率为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】利用导数的定义求解. 【详解】因为， ， 所以斜率， ． 故选：C 4-5．（2024高二下·湖北·期中）点在曲线上移动，设点处切线的倾斜角为，则角的范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求导得，即，再根据倾斜角的范围及正切函数的图象求解即可. 【详解】解：由，可得， 所以，即， 当时，，当时，， 所以角的范围是. 故选：B. 题型5：求函数在某点或过某点的切线方程 5-1．（2024高二下·全国·课后作业）曲线在点处的切线方程为 . 【答案】 【分析】 根据切点和斜率来求得切线方程. 【详解】 切线的斜率为 ， 所以切线方程为. 故答案为： 5-2．（2024高二下·四川绵阳·阶段练习）已知函数. (1)利用导数的定义求导函数； (2)求曲线在点处的切线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的定义可求得； （2）分析可知点在曲线上，求出的值，利用到导数的几何意义可求得所求直线的方程. 【详解】（1）解：因为 ， 所以，. （2）解：因为，故点在曲线上， 又因为， 所以，曲线在点处的切线的方程为，即. 5-3．（2024高二·全国·专题练习）求函数的图象上过原点的切线方程． 【答案】或 【分析】首先设出切点，利用切点在曲线上，得出坐标的关系，再根据导数的几何意义及点斜式求出切线方程，结合点在切线上即可求解. 【详解】设切点坐标为，则， ∵ , 所以切线方程为． 因为切线过原点， 所以，即， 解得或， 所以切线方程为或. 5-4．（2024高二·全国·随堂练习）求函数在处的切线方程． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求得在处的斜率，从而得解. 【详解】因为，所以， 而，则， 所以在处的斜率为， 所以在处的切线方程为，即. 5-5．（2024高二·湖南·课后作业）计算抛物线上任一点处的切线的斜率，并求过点的切线方程. 【答案】；. 【分析】根据已知条件得出与的关系，利用解决曲线过点处的切线问题进行求解即可. 【详解】因为点在抛物线上，所以， 由导数的定义，知 ， 由导数几何意义，知 所以抛物线在点处的切线的斜率为， 所以抛物线在的切线方程为， 又在切线上，则 即， 于是，解得，此时切点为. 斜率为， 所以过点的切线方程为即. （四） 导数几何意义的应用 曲线在某点处的切线斜率的大小反映了曲线在相应点处的变化情况，由切线的倾斜程度，可以判断出曲线升降的快慢.结合具体条件，利用导数的几何意义，进行转化求解即可. 题型6：导数几何意义的应用 6-1．（2024高二下·北京丰台·期中）如图，直线是曲线在点处的切线，则 ．    【答案】1 【分析】根据极限的运算法则和导数的定义，即可求解. 【详解】根据函数切线过,则曲线在处的切线斜率为， 根据导数的定义，可得. 故答案为：1． 6-2．（2024高二上·福建泉州·阶段练习）已知函数在上可导，其部分图象如图所示，设，则下列不等式正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直线的斜率公式和导数的几何意义结合图象即可判断. 【详解】由图象可知，函数在上的增长越来越快， 故函数图象在点（）的切线的斜率越来越大， 因为，所以. 故选：B. 6-3．（2024高二下·上海浦东新·期末）在区间上，若，则下列四个图中，能表示函数的图像的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】根据导数值与函数切线斜率的关系即可判断. 【详解】根据导数值与切线斜率的关系可知，在区间上时，函数图象在任意一点处的切线斜率恒大于1，则显然BCD不合题意， 对A选项，函数在处的切线斜率等于1，且在上，切线斜率不断增大，则恒成立，故A正确. 故选：A. 6-4．（2024高二下·陕西西安·期中）已知函数的图像如图所示，则下列不等关系中正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数图象斜率的变化，即可得出答案． 【详解】解：割线AB的斜率为， 为函数图象在点处切线的斜率， 为函数图象在点处切线的斜率， 结合图象可得， 故选：D． 一、单选题 1．（2024高二·全国·课后作业）设，若，则（    ）. A．2 B．-2 C．3 D．不确定 【答案】A 【分析】利用导数定义求导即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2．（2024高二下·天津·期中）已知函数的导函数是，若，则（ ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】B 【分析】根据导数定义，将增量化成即可得到. 【详解】因为 所以 故选：B 3．（2024高二下·甘肃武威·阶段练习）已知，则（    ） A．－4 B．－1 C．1 D．4 【答案】A 【分析】根据导数的定义运算求解. 【详解】因为，则， 所以. 故选：A. 4．（2024高二下·江西新余·期末）2020年12月1日22时57分，嫦娥五号探测器从距离月球表面处开始实施动力下降，7500牛变推力发动机开机，逐步将探测器相对月球纵向速度从约降为零.12分钟后，探测器成功在月球预选地着陆，记探测器与月球表面距离的平均变化率为，相对月球纵向速度的平均变化率为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据已知条件，结合平均变化率的计算公式，即可求解． 【详解】探测器与月球表面的距离逐渐减小， 则， 探测器的速度逐渐减小， 则, 故选：C 5．（2024高二下·全国·课后作业）函数，当自变量由改变到时，的变化为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 根据的变化求得正确答案. 【详解】依题意，的变化为. 故选：D 6．（2024高二下·全国·课后作业）函数在区间上的平均变化率是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据平均变化率的定义即可求得本题答案. 【详解】 因为，所以， 所以在区间上的平均变化率. 故选：B 7．（2024高二下·甘肃武威·阶段练习）函数在区间上的平均变化率为（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】根据函数平均变化率的公式，准确计算，即可求解. 【详解】由函数的平均变化率的公式，可得. 故选：C. 8．（2024高二下·河南驻马店·期末）定义在上的函数在区间内的平均变化率为，其中，则函数在处的导数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的定义可求得的值. 【详解】由导数的定义可得， 故选：B. 9．（2024高二下·西藏林芝·期末）函数在区间上的平均变化率为（  　） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】利用平均变化率的意义，直接计算作答. 【详解】函数在区间上的平均变化率为. 故选：C 10．（2024高二下·广西桂林·期末）设函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合解析式直接求解即可. 【详解】. 故选：C. 11．（2024·江苏连云港·模拟预测）曲线在点处的切线方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】应用导数的几何意义求解即可. 【详解】因为，所以，即切点坐标为，由，所以，所以在点处的切线方程为，即. 故选：B 12．（2024高二下·重庆·阶段练习）某物体沿直线运动，其位移（单位：m）与时间t（单位：s）之间的关系为，则在这段时间内，该物体位移的平均速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平均速度的求法求得正确答案. 【详解】， 所以平均速度为. 故选：B 13．（2024高二·全国·课后作业）函数y＝x2在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为k1，在区间[x0－Δx，x0]的平均变化率为k2，则（    ） A．k1>k2 B．k1<k2 C．k1＝k2 D．不确定 【答案】A 【分析】 利用平均变化率的求法计算即可. 【详解】 ∵k1＝＝2x0＋Δx，k2＝＝2x0－Δx，又由题意知Δx>0，故k1>k2. 故选：A 14．（2024高二下·江苏苏州·期中）设为函数在处的导数，则满足的函数的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义逐项分析判断. 【详解】结合图象根据导数的几何意义可得： 对于A：由图可得，故A错误； 对于B：由图可得，故B错误； 对于C：由图可得，故C错误； 对于D：由图可得，故D正确； 故选：D. 15．（2024高二·全国·专题练习）已知函数满足，，则在和附近符合条件的的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导函数的几何意义分析求解即可. 【详解】由，，可知的图象在处切线的斜率为正，在处切线的斜率为负， 选项A：的图象在和处切线的斜率都为负； 选项B：的图象在处切线的斜率为负，在处切线的斜率为正； 选项C：的图象在处切线的斜率为零，在处切线的斜率为正； 选项D：的图象在处切线的斜率为正，在处切线的斜率为负； 故选：D 16．（2024高二下·全国·课后作业）过曲线上两点和作曲线的割线，当时割线的斜率为（    ） A． B．3 C．1 D． 【答案】A 【分析】求出，计算割线斜率即可． 【详解】∵， ∴， ∴割线斜率为， 当时，割线的斜率为. 故选：A． 17．（2024高二·全国·专题练习）函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据导数的几何意义，，分别看作切线及两点斜率，数形结合判断即可. 【详解】 ，分别为曲线在处的切线的斜率，由题图可知， 而表示与两点连线的斜率， 且在与之间．∴． 故选:B. 18．（2024高二下·甘肃张掖·期中）曲线在点处的切线斜率是（    ） A．9 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】依题意求出，即可得到，从而得解； 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率是； 故选：A 19．（2024高三·全国·课后作业）若在处可导，则可以等于（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断得出结果. 【详解】由导数定义， 对于A， ，A满足； 对于B，， ，B不满足； 对于C，， ，C不满足； 对于D，， ，D不满足. 故选：A. 20．（上海市川沙中学2023-2024学年高二下学期3月月考数学试题）若函数在处可导，则（    ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】 根据导数的定义得到，结合极限的运算，即可求解. 【详解】由题意知，函数在处可导，所以， 又由. 故选：C. 21．（2024高二下·重庆长寿·期中）若函数在处的导数为2，则（    ） A．2 B．1 C． D．4 【答案】B 【分析】根据题意，由导数的定义，代入计算，即可得到结果. 【详解】根据导数的定义可得，函数在处的导数为2， 则. 故选：B 22．（2024高二下·北京丰台·期中）设某质点的位移（单位：）与时间（单位：）的关系是，则质点在第时的瞬时速度等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 利用导数的定义可求得质点在第时的瞬时速度. 【详解】质点在第时的瞬时速度为. 故选：D. 23．（2024高二下·山东聊城·阶段练习）如图，函数在，，这几个区间内，平均变化率最大的一个区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数平均变化率的计算公式，结合函数的图象，即可求解. 【详解】由函数平均变化率的计算公式，可得 函数在上的平均变化率为：， 函数在上的平均变化率为：， 函数在上的平均变化率为：， 函数在上的平均变化率为：， 结合函数的图象，可得. 故选：D. 24．（2024高二上·陕西榆林·阶段练习）函数在区间上的平均变化率等于（    ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据平均变化率的定义计算. 【详解】由已知, 故选：B． 25．（2024高二下·北京海淀·期末）函数在附近的平均变化率是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】令，根据，结合函数的解析式，即可用表示出，接下来再求，并将代入计算即可求得答案. 【详解】令， 因为， 所以， 则在附近的平均变化率是， 故选：C. 26．（2024高二下·全国·课后作业）已知抛物线在处的增量为，则的值为（　　） A．－0.11 B．－1.1 C．3.89 D．0.29 【答案】B 【分析】 根据导数的概念即可求解. 【详解】 因为， 则， 所以. 故选：B. 27．（2024高二下·陕西渭南·期中）若函数在处的瞬时变化率为，且，则（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】 根据导数的定义，直接代入求值. 【详解】根据导数的定义可知， . 故选：B 28．（2024高二下·重庆·阶段练习）函数的图象如图所示，是函数的导函数，则下列大小关系正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数图象及导函数几何意义得到，得到答案. 【详解】由图象可知在上单调递增，，    故，即． 故选：B． 29．（2024高二下·安徽黄山·期中）设为可导函数，且满足，则曲线在点处的切线的斜率是（　） A．.2 B． C． D． 【答案】B 【详解】分析：化简得到，即得切线的斜率. 详解：∵， ∴， ∴， ∴， 故曲线在点处的切线的斜率是-2， 故选B. 点睛：本题主要考查导数的定义，，在这个定义中，分母是自变量的增量，但是已知中自变量的增量为2-（2-h）=h,但是分母中是2h,所以要通过极限运算把下面的分母变成h, .后面就迎刃而解了. 30．（2024高二下·浙江嘉兴·期中）函数在处的瞬时变化率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用瞬时变化率的定义可求得结果. 【详解】因为， 所以，函数在处的瞬时变化率为 . 故选：C. 31．（2024高二下·广东梅州·期中）已知函数的导函数为，的图象如图所示，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件作出切线，利用导数的几何意义及斜率的定义即可得. 【详解】依次作出函数在处的切线，如图所示： 根据导数的几何意义及图形中切线的斜率可知， ． 故选：B. 32．（2024高二·全国·课后作业）定义，已知函数在内的导函数为，的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用导数的定义公式可知，，即可解出． 【详解】因为， ， 所以 故选：B． 33．（2024高二下·全国·课后作业）有一机器人的运动方程为，是时间，是位移，则该机器人在时刻时的瞬时速度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 利用瞬时速度定义即可求得该机器人在时刻时的瞬时速度. 【详解】 该机器人在时刻时的瞬时速度为 故选：A 二、多选题 34．（2024高二下·全国·课后作业）在高台跳水运动中，时运动员相对于水面的高度(单位：是，判断下列说法正确的是（    ） A．运动员在时的瞬时速度是 B．运动员在时的瞬时速度是 C．运动员在附近以的速度上升 D．运动员在附近以的速度下降 【答案】BD 【分析】求出时的瞬时速度,再结合瞬时速度的概念判断. 【详解】由已知，， 的瞬时速度为， 因此该运动员在附近以的速度下降， 故选：BD． 35．（2024高二下·山东日照·阶段练习）设函数，当自变量由变化到时，下列说法正确的是（    ） A．可以是正数也可以是负数，但不能为0 B．函数值的改变量为 C．函数在上的平均变化率为 D．函数在上的平均变化率 【答案】ABD 【分析】 利用平均变化率的概念一一判定即可. 【详解】由平均变化率的定义可知自变量的改变量不能为零，可以为正数或负数， 函数值的改变量为，平均变化率为函数值的改变量比自变量的改变量，即A、B、D正确； 故选：ABD 三、填空题 36．（2024高二·江苏·课后作业）已知函数，当时， ． 【答案】1 【分析】直接化简计算即可 【详解】因为， 所以， 所以当时，， 故答案为：1 37．（2024高二·全国·课后作业）曲线过点的切线方程是 ． 【答案】或 【分析】设切点为，得切线斜率为2a，，由得，进而利用点斜式求得切线方程. 【详解】设切点为，则， 当时，趋于2a，所以所求切线的斜率为2a，故， 解得， 所以所求的切线方程为或． 故答案为：或. 38．（2024高二下·全国·课后作业）曲线在点处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】由导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程的斜率，再由点斜式方程求解即可. 【详解】设， 因， 所以曲线在点处的切线方程的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为：， 化简可得：. 故答案为： 39．（2024高二·全国·课后作业）函数在处的导数值为 ． 【答案】 【分析】由导数的定义，讨论，的函数值即可 【详解】， 所以， 当时，． 故函数在处的导数值为． 故答案为： 40．（2024高二下·全国·课后作业）函数在处的导数为 ． 【答案】2 【分析】 根据导数的定义求解即可. 【详解】解：导数的定义可知函数在处的导数为： = . 故答案为： 41．（2024高二下·四川遂宁·期中）拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微积分学中的基本定理之一，它反映了函数在闭区间上的整体平均变化率与区间某点的局部变化率的关系，其具体内容如下：若在上满足以下条件：①在上图象连续，②在内导数存在，则在内至少存在一点，使得（为的导函数）．则函数在上这样的点的个数为 【答案】 【分析】利用已知定义得到存在点，使得，转化为研究和的图象的交点个数，作出函数图象，即可得到答案. 【详解】由函数，则， 根据题意知，存在点，使得，即， 所以， 作出函数和的图象，如图所示， 由图象可知，函数和的图象只有一个交点， 所以只有一个解，即函数在上点的个数为个. 故答案为：.    42．（2024高三上·上海奉贤·阶段练习）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ． 【答案】1 【分析】直接根据导数的定义计算得到答案. 【详解】因为， 故. 故答案为：1 43．（2024高二下·湖南长沙·期中）设为R上的可导函数，且，则曲线在点处的切线斜率为 . 【答案】/ 【分析】根据已知可求出，然后根据导数的几何意义，即可得出答案. 【详解】由已知可得. 根据导数的几何意义可知，曲线在点处的切线斜率为. 故答案为：. 44．（2024高二下·上海嘉定·期中）已知函数在处的切线斜率为，且，则 【答案】 【分析】根据计算得到答案. 【详解】 而，则. 故答案为： 45．（2024高三上·上海浦东新·期中）若为可导函数，且，则过曲线上点处的切线斜率为 ． 【答案】2 【分析】直接根据导数的定义计算得到答案. 【详解】，故. 故答案为：2 46．（2024·河北邯郸·一模）已知函数满足，则曲线在点处的切线斜率为 ． 【答案】3 【分析】根据极限形式和求导公式得，进而得，计算得解. 【详解】由，可得． 因为，所以，即，则， 所以，． 故答案为：3. 47．（2024高二·湖南·课后作业）已知一物体的运动方程是s＝24t－3t2(s的单位为m， t的单位为s)，则物体在t＝ s时的瞬时速度为12 m/s. 【答案】2 【分析】由平均速度的概念求得瞬时速度，代入已知可得， 【详解】在t到t＋Δt这段时间内，物体的平均速度为＝＝＝24－6t－3Δt.当Δt无限趋近于0时，无限趋近于24－6t，由题意得24－6t＝12，解得t＝2s. 故答案为：2. 48．（2024高二·全国·课后作业）曲线在点P处的切线与直线垂直，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】设切点，由题意可知切线斜率为，求函数在处的导数，列出方程即可得解. 【详解】易知曲线在点P处的切线的斜率为，设， 因为， 当时，， 所以，则点P的坐标为或． 故答案为：或. 49．（2024高二下·河南·阶段练习）已知函数是可导函数，且，则 . 【答案】/ 【详解】因为函数是可导函数，且， 根据导数的定义，有. 故答案为：. 四、解答题 50．（2024高二·全国·单元测试）试求过点且与曲线相切的直线的斜率． 【答案】或6 【分析】结合导数的定义求得切线方程，代入点的坐标求得切点的横坐标，进而求得切线的斜率. 【详解】设切点坐标为，则有． 因为，所以． 切线方程为，将点代入，得， 所以，得或． 当时，；当时，． 所以所求直线的斜率为或6． 51．（2024高二上·上海·课后作业）已知，求曲线在点处的切线方程． 【答案】 【分析】先求曲线在点处切线的斜率，再利用点斜式求切线方程. 【详解】根据题意，先由导函数定义求曲线在点处切线的斜率： 当时，，从而当h趋近于0时，． 因此，曲线在点处切线的斜率为0． 根据直线的点斜式方程为，即； 于是，所求切线方程为． 52．（2024高二下·全国·课后作业）已知函数求此函数在和处的导数. 【答案】； 【分析】先确定对应的解析式，再根据导数的定义即可求解. 【详解】当时，，⒈ 所以. 所以. 所以. 当时，， 所以. 所以. 所以. 53．（2024高二下·全国·课后作业）某赛车比赛中，一赛车的位移s（单位：m）与比赛时间t（单位：s）存在函数关系. (1)当，时，求与的值； (2)求当时的瞬时速度. 【答案】(1)， (2)210 m/s 【分析】（1）代入计算出，进而计算出； （2）在（1）的基础上得到，进而得到赛车在时的瞬时速度. 【详解】（1） ; （2）由（1）可知， 当趋于0时，趋于210， 所以赛车在时的瞬时速度为210 m/s. 54．（2024高二·全国·随堂练习）对一名工人的研究表明，工作t h后生产出的产品量Q（单位：t）可以近似表示为，该工人每天工作8h． (1)求当t从2h变到4h，该工人生产的产品量Q关于时间t的平均变化率，并解释它的实际意义； (2)求，，并解释它们的实际意义． 【答案】(1)74，意义见解析； (2),，意义见解析. 【分析】（1）利用平均变化率计算公式计算即可； （2）先求出导函数，再带入求导数值即可. 【详解】（1）由题意可知：， 它表示该工人在2h到4h时间段内，平均每小时生产产品为74； （2）由题意可得， 所以， 表示在2h时刻，工人的生产速度为每小时产量60， 表示在4h时刻，工人的生产速度为每小时产量84. 55．（2024高二·全国·随堂练习）某人服药后，吸收药物的情况可以用血液中药物的质量浓度c（单位：μg/mL）来表示，它是时间t（单位：min）的函数，表示为．下表给出了的一些函数值： t/min 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0.84 0.89 0.94 0.98 1.00 1.00 0.97 0.90 0.79 0.63 0.41 (1)求服药后30min内，30min到40min，80min到90min这3段时间内，血液中药物质量浓度的平均变化率； (2)讨论刻画血液中的药物质量浓度变化快慢的方法，并说明上述3段时间中，药物质量浓度变化最快的时间段． 【答案】(1)详见解析； (2)详见解析. 【分析】（1）利用平均变化率公式求解； （2）由平均变化率的正负刻画增减，用平均变化率的绝对值的大小刻画药物质量浓度变化的快慢. 【详解】（1）解：服药后30min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：， 服药后30min到40min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：， 服药后80min到90min内血液中药物质量浓度的平均变化率为：； （2）用平均变化率的绝对值的大小刻画药物质量浓度变化的快慢， 当时，血液中的药物质量浓度增加；当时，血液中的药物质量浓度减小， 因为， 所以80min到90min这段时间内血液中的药物质量浓度变化最快. 56．（2024高二·湖南·课后作业）试求过点P(3，5)且与曲线y＝x2相切的直线方程. 【答案】2x－y－1＝0和10x－y－25＝0 【分析】设所求切线的切点坐标为，根据导数的定义求得曲线在处的导数，得出切线斜率，写出切线方程，由切线所过点坐标代入求得，从而得结论． 【详解】设所求切线的切点坐标为，则＝＝2x0＋Δx. 当Δx无限趋近于0时，无限趋近于2x0， 所以曲线在切点处的切线的斜率为2x0， 则所求切线方程为y－x＝2x0(x－x0). 因为切线过点P(3， 5)， 所以5－x＝2x0(3－x0)，解得x0＝1或5， 即所求的切线有两条，方程分别是y＝2x－1和y＝10x－25， 即2x－y－1＝0和10x－y－25＝0. 57．（2024高二·全国·课后作业）已知曲线上的两点和，求： (1)割线AB的斜率； (2)过点A的切线的斜率； (3)点A处的切线的方程． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）根据斜率公式，即可得到；（2）令，根据导数的定义求出，分成切点为点和不是点两种情况.当切点不是点时，设出切点坐标，表示出切线斜率，得到关系式，求出参数值，得到这种情况不符合，所以斜率即为；（3）根据（2）中求出的斜率，代入点斜式方程，整理即可得到结果. 【详解】（1）由已知可得，. （2）令，， 根据导数的定义可得，. ①当切点为点时，根据导数的几何意义知； ②当切点不是点时. 设切点坐标为，，则， 又，所以有，解得， 因为，所以此时无解. 综上所述，过点A的切线的斜率. （3）由（2）知，曲线在点A处的切线的斜率， 代入点斜式方程有，，整理可得切线的方程为. 58．（2024高二·全国·课堂例题）某物体做自由落体运动，其运动方程为，其中t为下落的时间（单位：s），g为重力加速度，大小为9.8m/s2．求它在时间段内的平均速度． 【答案】19.6m/s 【分析】根据平均速度的计算公式即可得答案. 【详解】物体在时间段内的平均速度为： （m/s）， 即它在时间段内的平均速度19.6m/s. 59．（2024高二·全国·随堂练习）已知函数，求自变量x在以下的变化过程中，该函数的平均变化率： （1）自变量x从1变到1.1； （2）自变量x从1变到1.01； （3）自变量x从1变到1.001． 估算当时，该函数的瞬时变化率． 【答案】（1）；（2）；（3）； 【分析】利用平均变化率与瞬时变化率的定义求解即可. 【详解】（1）因为， 所以， 所以自变量x从1变到1.1的平均变化率为； （2）， 所以自变量x从1变到1.01的平均变化率为； （3）， 所以自变量x从1变到1.001的平均变化率为； 所以可估算当时，的瞬时变化率为，证明如下： 而，则， 所以在处的瞬时变化率为. 60．（2024高二·全国·课堂例题）已知函数，，分别计算它们在区间，上的平均变化率． 【答案】3；3；-3；6 【分析】由平均变化率的公式计算. 【详解】函数在上的平均变化率为． 函数在上的平均变化率为． 函数在上的平均变化率为． 函数在上的平均变化率为． 61．（2024高二下·全国·课后作业）已知函数． (1)求函数的导函数； (2)过点作函数的图象的切线，求切线方程． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】（1）先求函数在上的平均变化率，再求当时的极限即可； （2）设切点为，根据导数的几何意义利用点斜式表示切线方程，结合条件求切点坐标即可. 【详解】（1） ， 当时，， 所以函数的导函数为． （2）设切点为，则由（1），可得切线的斜率， 则切线方程为，即． 因为切线过点，所以，解得或， 从而切线方程为或． 62．（2024高二·全国·课堂例题）充满气的气球近似为球体．在给气球充气时，我们都知道，开始充气时气球膨胀较快，随后膨胀速度逐渐缓慢下来，气球膨胀实际上就是气球半径增大，表面积增大，体积增大．试描述气球的半径相对于体积的平均变化率． 【答案】答案见解析 【分析】由生活事实可知，随着气球的体积增大，半径的增长越来越缓慢，我们可以用平均变化率来描述这一过程． 【详解】设气球的半径为，体积为，则，所以． 例如，当时，半径的平均变化率 ． 当时，半径的平均变化率 ． 由以上两个结果可以看出，气球体积由0.5增至1，再由1增至1.5，二者都增大了0.5，但的平均变化率却由0.26变成0.18，变小了．也就是说，随着气球体积的逐渐增大，它的半径的平均变化率逐渐变小． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$