专题6.3 期中压轴题专项复习（考试范围：第1～3章）【30大考点100题】-2024-2025学年八年级数学上册举一反三系列（浙教版）

专题6.3 期中压轴题专项复习【30大考点100题】 （考试范围：第1~3章） 【浙教版】 【考点1 三角形的三边关系的应用】 2 【考点2 由三角形的中线求面积最值】 6 【考点3 与平行线有关的三角形的内角和问题】 8 【考点4 与折叠有关的三角形的内角和问题】 13 【考点5 与角平分线有关的三角形的内角和问题】 18 【考点6 三角形的外角与三角形的内角和的综合求值】 22 【考点7 不规则多边形的内角和】 31 【考点8 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】 34 【考点9 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】 41 【考点10 倍长中线模型】 50 【考点11 旋转模型】 55 【考点12 垂线模型】 60 【考点13 轴对称中的最短路径问题】 63 【考点14 格点中作等腰三角形】 68 【考点15 三角形中的多结论问题】 71 【考点16 等腰三角形的存在性问题】 79 【考点17 构成等腰三角形的点的个数】 85 【考点18 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】 87 【考点19 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】 96 【考点20 与三角形有关的新定义问题】 109 【考点21 勾股定理与网格问题】 124 【考点22 利用勾股定理证明线段平方关系】 130 【考点23 利用勾股定理求图形面积】 136 【考点24 确定构成直角三角形的点的个数】 141 【考点25 判断直角三角形】 143 【考点26 勾股定理的应用】 147 【考点27 与三角形有关的新定义问题】 153 【考点28 不等式中的整数解问题】 164 【考点29 不等式中的含参问题】 169 【考点30 不等式（组）的应用】 174 【考点1 三角形的三边关系的应用】 1．（23-24八年级·安徽安庆·期中）已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（    ） A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和5 【答案】D 【分析】先设长度为4、12的高分别是a、b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，根据三角形面积公式，可求a=；b=；c=，结合三角形三边的不等关系，可得关于h的不等式，解不等式即可． 【详解】设长度为4、12的高分别是a，b边上的，边c上的高为h，△ABC的面积是S，那么a=；b=；c= ∵a-b＜c＜a+b， ∴-＜c＜+， 即 ＜＜， 解得3＜h＜6， ∴h=4或h=5， 故选D. 【点睛】主要考查三角形三边关系；利用三角形面积的表示方法得到相关等式是解决本题的关键. 2．（23-24八年级·江苏南京·期中）现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是 ． 【答案】11 【分析】此题主要考查三角形的三边关系，解题的关键是熟知两边之和大于第三边，两边之差小于第三边． 根据三角形的三边关系，进行分类讨论即可求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边， ∴选4，5，7，9， 如图，①当时， ，即， 且，即， ， 此时对角线最长可以取到的整数是8， ②当时， ，即， 且，即， 此时对角线最长可以取到的整数是10， 如图，当时， ③当时， ，即， 且，即， ， 此时对角线最长可以取到的整数是11， ④当时， ，即， 且，即， 此时对角线最长可以取到的整数是10， 综上，∴该木框的对角线最长可以取到的整数是11． 故答案为：11． 3．（23-24八年级·北京朝阳·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①，，；    ②，，． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为 ． 【答案】 ① 10或12或13或14 【分析】（1）根据“不均衡三角形”的定义即可求解； （2）分三种情况，为最长边、不为最长也不为最短边、为最短边进行讨论即可求解． 【详解】：（1）①， ∴能组成“不均衡三角形”； ②， ∴不能组成“不均衡三角形”． 故答案为：①． （2）①当16为最长边，为最短边时， ， 解得：， ， 解得：， 故不合题意，舍去； ②当为最长边，为最短边时， 解得：， ∵， 解得：， ， 为整数， ， 经检验，当时，可构成三角形； ③当为最长边，16为最短边时， 解得：， ∵， 解得：， ， 为整数， 或或，都可以构成三角形； 综上所述，的整数值为或或或； 故答案为：或或或． 【点睛】本题考查了三角形三边关系、新概念“不均衡三角形”的定义、分类讨论等知识，熟练掌握新概念“不均衡三角形”的定义是解题的关键． 【考点2 由三角形的中线求面积最值】 4．（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A． B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，首先证明两个阴影部分面积之差，当时，的面积最大．解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 【详解】解：延长交于点．设交于点． ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， 当时，的面积最大，最大面积为． 故选：． 5．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查三角形的面积公式求解，设，．可可得出，由已知条件得出结合等高的三角形面积比为底边边长之比得出，进而得出，联立方程组解出x，y的值，再由已知条件得出，最后代入求值即可求得答案． 【详解】解：设， ∴， ∵，即 ∴， ∴， ∵点G为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点A，B到的高为：，， ， ∴， ∵， 同理可得：， ∴， ∴ ∴ 解得：， ， 故答案为：16． 【考点3 与平行线有关的三角形的内角和问题】 6．（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 【答案】(1)①见解析；②见解析； (2)或； 【分析】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题． （1）①如图1中，过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； ②过点作交于点，利用平行线的性质求解即可； （2）作出图形，利用平行线的性质，以及三角形的外角的性质求解即可． 【详解】（1）①证明：如图1中，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ②证明： 如图2， 过点作交于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：设交于，如图3， ∵， ∴， ∵，， ∴， 当点在的延长线上时，同法可证，如图4： 7．（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，直线CD//EF，点A、B分别在直线CD、EF上（自左向右分别为点C、A、D和点E、B、F），∠ABF=60°，射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒． (1)如图1，直接写出下列答案： ①∠BAD的度数是 ； ②当旋转时间x= 秒时，射线BN过点A． (2)如图2，若AMBN，求此时对应的旋转时间x的值． (3)若两条射线AM和BN所在直线交于点P， ①如图3，若点P在CD与EF之间，且∠APB=126°，求旋转时间x的值； ②若旋转时间x<24，求∠APB的度数（用含x的代数式表示）． 【答案】(1)；24 (2) (3)；当时，，当时， 【分析】（1）①根据平行线的性质可求得； ②根据邻补角的定义求得，进而求得结论； （2）根据平行线的性质得出，即可得出等式，解出即为所求； （3）①根据三角形内角和定理得解出即可； ②借助图形可求得的度数． 【详解】（1）① ， ，， ． 故答案为：120°． ② ， ， 当射线BN过点A时， ，， 当旋转时间为24秒时，射线BN过点A． 故答案为：24． （2）若， 根据平行线的性质得， ， ， ， ，解得：， 此时对应时间为20秒． （3）①， ， 根据三角形内角和为得， ， 解得． ②由（2）可知，时时间是20秒， 时，分两种情况： 如图4，当时，； 如图5，当时，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，平行线的性质，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题． 【考点4 与折叠有关的三角形的内角和问题】 8．（23-24八年级·山东青岛·期中）直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动，连接． （1）如图1，已知，分别是和角的平分线， ①点，在运动的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的大小． ②如图2，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则_______；如图3，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则________． （2）如图4，延长至，已知，的角平分线与的角平分线交其延长线交于，，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数． 【答案】（1）∠ACB的大小不会发生变化，∠ACB=45°；（2）30，60；（3）60°或72°． 【分析】（1）①由直线MN与直线PQ垂直相交于O，得到∠AOB=90°，根据三角形的外角的性质得到∠PAB+∠ABM=270°，根据角平分线的定义得到∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM，于是得到结论； ②图2中，由于将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上，得到∠CAB=∠BAQ，由角平分线的定义得到∠PAC=∠CAB，根据三角形的内角和即可得到结论； 图3中，根据将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上，得到∠ABC=∠ABN，由于BC平分∠ABM，得到∠ABC=∠MBC，于是得到结论； （2）由∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E可知∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ，进而得出∠E的度数，由AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线可知∠EAF=90°，在△AEF中，由一个角是另一个角的倍分情况进行分类讨论即可解答． 【详解】（1）①∠ACB的大小不变， ∵直线MN与直线PQ垂直相交于O， ∴∠AOB=90°， ∴∠OAB+∠OBA=90°， ∴∠PAB+∠ABM=270°， ∵AC、BC分别是∠BAP和∠ABM角的平分线， ∴∠BAC=∠PAB，∠ABC=∠ABM， ∴∠BAC+∠ABC=（∠PAB+∠ABM）=135°， ∴∠ACB=45°； ②∵图2中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线PQ上， ∴∠CAB=∠BAQ， ∵AC平分∠PAB， ∴∠PAC=∠CAB， ∴∠PAC=∠CAB=∠BAO=60°， ∵∠AOB=90°， ∴∠ABO=30°， ∵图3中，将△ABC沿直线AB折叠，若点C落在直线MN上， ∴∠ABC=∠ABN， ∵BC平分∠ABM， ∴∠ABC=∠MBC， ∴∠MBC=∠ABC=∠ABN， ∴∠ABO=60°， 故答案为：30，60； （2）∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E， ∴∠EAO=∠BAO，∠EOQ=∠BOQ， ∴∠E=∠EOQ-∠EAO=（∠BOQ-∠BAO）=∠ABO， ∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线， ∴∠EAF=90°． 在△AEF中， ∵有一个角是另一个角的倍，故有： ①∠EAF=∠E，∠E=60°，∠ABO=120°（不合题意，舍去）； ②∠EAF=∠F，∠E=30°，∠ABO=60°； ③∠F=∠E，∠E=36°，∠ABO=72°；    ④∠E=∠F，∠E=54°，∠ABO=108°（不合题意，舍去）；． ∴∠ABO为60°或72°． 【点睛】本题主要考查的就是角平分线的性质以及三角形内角和定理的应用.解决这个问题的关键就是要能根据角平分线的性质将外角的度数与三角形的内角联系起来，然后再根据内角和定理进行求解.同学们在解答这种问题的时候，一定要注意外角与内角之间的联系，不能只关注某一部分.在需要分类讨论的时候一定要注意分类讨论的思想. 9．（23-24八年级·安徽安庆·期中）在中，于点 （1）如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数； （2）如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，且点，点均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并加以证明； （3）在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度（），记旋转中的为（如图3），在旋转过程中，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，是否存在这样的两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由.    【答案】（1）∠C=56°；（2）∠AMF=∠ANG．证明见解析；（3）满足条件的旋转角为28°或56°或208°或236°. 【分析】（1）利用三角形的内角和定理即可解决问题； （2）结论：∠AMF=∠ANG．由翻折可知：∠B=∠F，∠C=∠DGN，由∠B+∠C=90°，推出∠BAC=90°，∠F+∠DGN=90°，推出∠BAD+∠CAD=90°，由∠BAD=∠F+∠AMF，∠CAD=∠DGN-∠ANG，推出∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°，可得∠AMF=∠ANG； （3）分两种情形①当∠PQB=90°时；②当∠BPQ=90°时.分别求解即可解决问题. 【详解】解：（1）如图1中， ∵AD⊥BC， ∴∠ADB=∠ADC=90° 在Rt△AED中，∵∠EAD=7°， ∴∠AED=83°， ∵∠AED=∠B+∠BAE，∠B=42°， ∴∠BAE=∠CAE=41°， ∴∠BAC=82°， ∴∠C=180°-42°-82°=56°． （2）结论：∠AMF=∠ANG． 理由：如图2中， 由翻折可知：∠B=∠F，∠C=∠DGN， ∵∠B+∠C=90°， ∴∠BAC=90°，∠F+∠DGN=90°， ∴∠BAD+∠CAD=90°， ∵∠BAD=∠F+∠AMF，∠CAD=∠DGN-∠ANG， ∴∠F+∠AMF+∠DGN-∠ANG=90°， ∴∠AMF=∠ANG． （3）①如图3-1当∠PQB=90°时， ∵∠B=∠F′=28°， ∴∠F′DQ=90°-28°=62°， ∵∠FDB=90°， ∴∠FDF′=90°-62°=28°， ∴旋转角为28°． ②如图3-2，当∠BPQ=90°时， ∵∠B=∠F′=28°， ∴∠PQB=90°-28°=62°， ∵∠PQB=∠F′+∠F′DB， ∴∠F′DB=62°-28°=34°， ∴∠FDF′=90°-34°=56°， ∴旋转角为56°， 同法可得当旋转角为208°或236°时，也满足条件， 综上所述，满足条件的旋转角为28°或56°或208°或236°． 【点睛】本题考查三角形综合题、旋转变换、翻折变换、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 【考点5 与角平分线有关的三角形的内角和问题】 10．（23-24八年级·河南信阳·期中）【情景引入】： （1）如图，、分别是的内角、的平分线，说明的理由． 【深入探究】： （2）①如图，、分别是的两个外角、的平分线，与之间的等量关系是______ ； ②如图，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，与之间的等量关系是______ ． 【拓展应用】： （3）请用以上结论解决下列问题：如图，在中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、． ①，则的度数为______ ； ②，则的度数为______ ．    【答案】（1）见解析；（2）①，②；（3）①，② 【分析】（1）利用角平分线的定义得出，再利用三角形内角和定理即可求解； （2）①利用三角形内角和定理可得，，利用角平分线的定义可得，，从而得到，化简即可求解； ②利用三角形的外角性质可得，，从而得到，化简即可求解； （3）由（1）知：，即可求出，利用三角形内角和定理可得，再利用角平分线的性质可得，利用三角形内角和定理可得，再由（2）②可知，求解即可． 【详解】解：（1）、分别是、的平分线， ，， ， ，， ， ； （2）①、分别是的两个外角、的平分线， ，， ，，，， ，， ， ， ， ， 故答案为：； ②、分别是的一个内角和一个外角的平分线， ，， ， ， ； 所以与之间的等量关系是：， 故答案为：； （3）①由（1）知：， ， ， ， ， 、分别平分、， ， ． 由（2）②知：， ， 故答案为：； ②由（1）知：， 、分别平分、， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查三角形的外角性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，解题的关键是熟记三角形外角性质，内角和定理，角平分线的定义． 11．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC．    (1)如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C； (2)请利用（1）的结论探索下列问题： ①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小； ②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP∠BAD，∠BCP∠BCD，试探索α，β，γ之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析； (2)①；②4γ＝3α+β． 【分析】（1）根据三角形的内角和定理即可得到结论； （2）根据三角形的内角和定理和角平分线的定义即可得到结论； （3）根据已知条件得到各角的数量关系，然后列方程即可得到结论． 【详解】（1）∵，，， ∴； （2）①如图2，    ∵平分，平分 ， ∴ 由（1）得：， ， 两式相加得：， 即：， ∴， ②如图3，    设，， ∵， ∴，， 由（1）得：，， 即， ∴， ∴， 即． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，对顶角相等的性质，解此题的关键是用整体思想求角度计算． 【考点6 三角形的外角与三角形的内角和的综合求值】 12．（23-24八年级·辽宁大连·期中）在四边形中，，，E是直线上一点，连接，． (1)如图1，当点E在线段上时，若，，则________； (2)已知，平分，平分，直线、交于点H，请画出图形，并求的度数（用含α的式子表示） 【答案】(1) (2)图见解析，的度数为或． 【分析】（1）首先证明，然后过点E作，可得，再利用平行线的性质求出，，进而可得的度数； （2）分三种情况讨论：①当点E在上时，②当点E在延长线上时，③当点E在延长线上时，分别利用平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形外角的性质计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∴， 如图1，过点E作， ∴， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）①当点E在上时，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴； ②当点E在延长线上时，如图所示： 由①知， ∴，即， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴，即， ∴； ③当点E在延长线上时，如图所示： 由①知， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴ ， ； 综上所述：的度数为或． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角的和差计算；正确分类讨论，能够画出对应的图形是解题的关键． 13．（23-24八年级·辽宁大连·期中）如图1，在中，点D是边上一点，过点D作，连接，若． (1)求证：； (2)若，点G是边上的一点，过点G作，点H在左侧，连接． ①如图2，当时，与的角平分线交于点M，求的度数； ②若，请直接写出 ． 【答案】(1)见解析 (2)①；②或 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判定得出结论即可； （2）①延长交于点N，连接，根据角平分线的定义得出，根据平行线的性质得出，求出，即可得出答案； ②分两种情况进行讨论：当在之间时，当G在上时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①延长交于点N，连接，如图所示： ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ②当在之间时，连接，如图所示： 设，则， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， 即； 当G在上时，如图所示： ∵，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即． 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质和判定，平行公理的应用，三角形内角和定理的应用，角平分线的定义，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握平行线的判定和性质． 14．（23-24八年级·浙江湖州·期中）已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①或；②是定值， 【分析】（1）由角平分线的定义可得，再根据“内错角相等，两直线平行”可得结论； （2）①由垂直的定义可知，即可得，设，则可表示和的度数，然后利用三角形的内角和解题即可解题；②设，则可求出的值，然后表示的度数解题即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：①如下图，当点可以在点的右侧， ∵， ∴， 又∵， ∴， 设， ∵， ∴， 又∵， ∴， 在中，， 即， 解得， ∴； 当点可以在点的左侧， 同理，可得， 综上，的度数为或； ②，理由如下： 如图，设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线、平行线的判定与性质、三角形外角的定义和性质、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 【考点7 不规则多边形的内角和】 15．（23-24八年级·云南·阶段练习）（概念学习） 在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则_____°； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②，______；（用含α的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点Q，延长、交于P，的平分线交于点M，；直接运用（2）中的结论，试说明：． 【答案】（1）225；（2）；（3）；（4）见解析． 【分析】本题考查多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质，熟练掌握多边形的内角和及三角形的内角与外角的性质是解题关键． （1）根据组角的定义直接得答案； （2）根据组角的定义和四边形的内角和可得结论； （3）根据（2）的结论可直接得出答案； （4）由（2）中的结论可知在镖形中，有，在镖形中，有，再根据等式的性质可得结论． 【详解】解：（1）、互为组角，且， ， 故答案为：； （2）钝角； 理由：优角与钝角互为组角， 优角钝角， 四边形的内角和是， 优角， 钝角； （3）由（2）得，在镖型中，， 在镖型中， ， ， 故答案为：； （4）的平分线交于点M， ， 令． 由（2）中的结论可知在镖形中，有 在镖形中，有， 于是根据等式的性质得出， 而， ，即． 16．（23-24八年级·江苏宿迁·期中）如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B. (1)用“8字型” 如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________； (2)造“8字型” 如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____________; (3)发现“8字型” 如图4，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分 线，EF为∠BED的平分线. ①图中共有________个“8字型”； ②若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值. 【答案】(1)360°；(2)540；(3)①6；②x=5. 【详解】分析：（1）根据题意即可得到结论； （3）①由图形即可得到结论； ②根据三角形内角和为180°的性质即可证得关系为∠D+∠B=2∠F，再根据∠B、∠D、∠F的比值，即可求得x的值； 详解： （1）∵∠A+∠B=∠GKH+∠GHK， ∠C+∠D=∠GHK+∠HGK， ∠E+∠F=∠HGK+∠GKH， ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=2（∠GKH+∠GHK+∠HGK）=2×180°=360°，故答案为360°； （2）如图，连结BC， ∵∠E+∠G=∠GCB+∠EBC， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=五边形FABCD的内角和， 即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=（5-2）•180°=540°， 故答案为540°； （3）①图中共有6个“8字型”； 故答案为6． ②：∵CF平分∠BCD，EF平分∠BED ∴∠DEG=∠AEG，∠ACH=∠BCH， ∵在△DGE和△FGC中，∠DGE=∠FGC ∴∠D+∠DEG=∠F+∠ACH ∵在△BHC和△FHE中，∠BHC=∠FHE ∴∠B+∠BCH=∠F+∠AEG ∴∠D+∠DEG+∠B+∠BCH=∠F+∠ACH+∠F+∠AEG ∴∠D+∠B=2∠F； ∵∠B：∠D：∠F=4：6：x，∠D+∠B=2∠F， ∴x=5． 点睛：考查了多边形的内角与外角，三角形的内角和，三角形的外角的性质，正确的识别图形是解题的关键． 【考点8 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】 17．（23-24八年级·贵州黔东南·期中）如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（       ） A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16 【答案】D 【分析】首先分两种情况：当E在线段AB上和当E在BN上，然后再分成两种情况：AC＝BE和AB＝EB，分别进行计算，即可得出结果． 【详解】解：①当E在线段AB上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24﹣12＝12cm， ∴点E的运动时间为12÷3＝4（秒）； ②当E在BN上，AC＝BE时，△ACB≌△BED， ∵AC＝12cm， ∴BE＝12cm， ∴AE＝24+12＝36cm， ∴点E的运动时间为36÷3＝12（秒）； ③当E在BN上，AB＝EB时，△ACB≌△BDE， ∵AB＝24cm， ∴BE＝24cm， ∴AE＝24+24＝48cm， ∴点E的运动时间为48÷3＝16（秒）， 综上所述t的值为： 4，12，16．共3种情况． 故选D． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合问题，分类讨论，找到所有符合题意的情况是解本题的关键． 18．（23-24八年级·河南周口·期中）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t= s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 【答案】1或或12 【分析】由以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等．可知CE=CD，而CE，CD的表示由E，D的位置决定，故需要对E，D的位置分当E在BC上，D在AC上时或当E在AC上，D在AC上时，或当E到达A，D在BC上时，分别讨论． 【详解】解：当E在BC上，D在AC上，即0＜t≤时， CE=（8-3t）cm，CD=（6-t）cm， ∵以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． ∴CD=CE， ∴8-3t=6-t， ∴t=1s， 当E在AC上，D在AC上，即＜t＜时， CE=（3t-8）cm，CD=（6-t）cm， ∴3t-8=6-t， ∴t=s， 当E到达A，D在BC上，即≤t≤14时， CE=6cm，CD=（t-6）cm， ∴6=t-6， ∴t=12s， 故答案为：1或或12． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的性质，解决问题的关键是对动点所在的位置进行分类，分别表示出每种情况下CD和CE的长． 19．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)秒或秒 (2)cm/s或cm/s 【分析】本题主要考查了直角三角形综合，画出相应图形，熟练掌握直角三角形性质，三角形中位线性质，全等三角形的的性质，分类讨论，是正确解答的关键． （1）分两种情况，当点P在上时，， 得到点P移动路程为，移动时间为秒；当点P在上时，， 得到得到点P移动路程为，移动时间为秒； （2）分两种情况，当点P在上， ，Q的移动速度；②当点P在上， ，，点P移动的距离为32cm，点Q移动的距离为31cm，∴点Q移动的速度为 ． 【详解】（1）当点P在上时，如图①﹣1， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 当点P在上时，如图①﹣2 ∵的面积等于面积的一半； ∴， ∴点P移动的距离为， ∴移动的时间为：秒； 故答案为：秒或秒； （2）∵， ∴对应顶点为A与D，P与E，Q与F； 当点P在上，如图②﹣1所示， ∵， ∴点Q移动的速度为； 当点P在上，如图②﹣2所示： ∵，， ∴点P移动的距离为，点Q移动的距离为， ∴点Q移动的速度为； 故P、Q两点运动过程中的某一时刻，恰好时，点Q的运动速度为或． 20．（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．    (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；；②或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定与性质，线段的和差； （1）由，可得，通过即可证明； （2）①根据题列出代数式即可得出，根据等角的余角相等即可证明； ②分两种情形：如图2，当时；如图3，当时，分别进行求解即可得到答案． 【详解】（1）证明： 是边上的高，是边上的高， ， ， ， 在和中， ， ； （2）①解：依题意，， ∵ 是边上的高，是边上的高， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；． ②解：存在， 如图2，当时， 在和中， ， ， ， ， ； 如图3，当时， 在和中， ， ， ， ， ， 综上所述：或时，使以点、、为顶点的三角形与以点、、为顶点的三角形全等． 【考点9 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】 21．（23-24八年级·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据直线l，直线l，，可得，利用可证明，根据即可得到； （2）同（1）利用可证明，根据即可得到； （3）过作于，的延长线于，可构造两组一线三直角全等模型，即：，，从而可以得到，，再根据可得，即可确定的长度； 【详解】（1）证明：∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （2）∵直线l，直线l， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴ ∴，， ∴； （3）如图，过作于，的延长线于， ∴ ∵，， ∴ 在和中， ， ∴ ∴，， 同理可得： ∴，， 即：，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，一线三直角全等模型，线段之间的计算，构造合理的辅助线及掌握等腰直角三角形下的一线三直角全等模型是解决本题的关键． 22．（23-24八年级·河南新乡·期中）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF． （2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． （3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】（1）见解析；（2）AE+CF＝EF，证明见解析；（3）AE﹣CF＝EF，证明见解析 【分析】（1）利用SAS定理证明△ABE≌△CBF； （2）延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，分别证明△BAE≌△BCK、△KBF≌△EBF，根据全等三角形的性质、结合图形证明结论； （3）延长DC至G，使CG＝AE，仿照（2）的证明方法解答． 【详解】（1）证明：在△ABE和△CBF中， ， ∴△ABE≌△CBF（SAS）； （2）解：AE+CF＝EF， 理由如下：延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK， 在△BAE与△BCK中， ， ∴△BAE≌△BCK（SAS）， ∴BE＝BK，∠ABE＝∠KBC， ∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠FBC+∠ABE＝60°， ∴∠FBC+∠KBC＝60°， ∴∠KBF＝∠FBE＝60°， 在△KBF与△EBF中， ， ∴△KBF≌△EBF（SAS）， ∴KF＝EF， ∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF； （3）解：AE﹣CF＝EF， 理由如下：延长DC至G，使CG＝AE， 由（2）可知，△BAE≌△BCG（SAS）， ∴BE＝BG，∠ABE＝∠GBC， ∠GBF＝∠GBC﹣∠FBC＝∠ABE﹣∠FBC＝120°+∠FBC﹣60°﹣∠FBC＝60°， ∴∠GBF＝∠EBF， ∵BG＝BE，∠GBF＝∠EBF，BF＝BF， ∴△GBF≌△EBF， ∴EF＝GF， ∴AE﹣CF＝CG﹣CF＝GF＝EF． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 23．（23-24八年级·江苏扬州·期中）我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题： （1）如图1，CD为△ABC的高，∠ABC＝2∠A，证明：AD＝CB+BD （2）如图2，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠ADB，AB=3，CD=5，求AC的长度 （3）如图3，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边AB，边AD上的两点，且∠ECF＝∠BCD，求证：BE+DF＝EF． （4）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．请直接写出AC、AE、AF之间的数量关系 【答案】（1）证明见详解；（2）8；（3）证明见详解；（4）． 【分析】（1）在上取一点使，连接，证明，得到 ，，根据可证得，则有，可证得； （2）在上截取，连接，证明，得到，再证明，进而代入数值解答即可； （3）延长到，使，连接，根据 分别证明， 可以证得 ； （4）作于，在上截取，用证明，，得到，再根据可以证明，得到，进而可以得到． 【详解】解：（1）如图1，在上取一点使，连接， ∵为的高， ∴， ∵， ∴ ∴ ， ∵ ∴， ∴ ∴ ∴； （2）如图2示，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，又， ， 而， ， ， ， ； （3）如图3示，延长到，使，连接， ∵，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ； （4）如图4示，作于，在上截取， ，， ， ， 点是外角平分线上一点，， ， ，， 在和中， ， 在和中， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理，正确作出辅助线是解题的关键． 【考点10 倍长中线模型】 24．（23-24八年级·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系，三角形全等的性质与判定，利用倍长中线辅助线方法是解题的关键． （1）延长到点，使，连接，根据题意证明，可知，在中，根据，即可； （2）延长到，使得，连接，由（1）的结论以及已知条件证明，进而可得，由，即可求得与的数量关系； （3），取中点，连接并延长至点，使得，连接和，通过“倍长中线”思想全等证明，进而得到然后结合三角形的三边关系建立不等式证明即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1所示，延长到点，使，连接． ∵是的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， ∴， 故答案为：． （2），理由： 如图2，延长到，使得，连接， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，即， 又∵， ∴ ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）证明：如图所示，取中点，连接并延长至点，使得，连接和， ∵为中点， 为三等分点， ∴， ∴， 在和中， ， ∴, 同理可得: , ∴， 此时, 延长交于 点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 25．（23-24八年级·浙江台州·期中）已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①45°；②见解析；（2），理由见解析 【分析】（1）①利用直角三角形两个锐角相加得和三角形的外角等于不相邻的两个内角和的性质结合题干已知即可解题． ②延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，即可知道，所以，根据题干又可得到，所以，从而得出结论． （2）延长至点，使得，连接，从而可证明≌（SAS），再利用全等的性质，可知，，根据题干即可证明≌（HL），即得出结论． 【详解】（1）①∵， ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ 故答案为． ②如图，延长至点，使得，连接， ∵点为的中点， ∴， 又∵， ∴≌， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （2）． 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴≌， ∴，， ∵． ∴≌， ∴． 【点睛】本题主要考查直角三角形的角的性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定和性质以及平行线的性质．综合性较强，作出辅助线是解答本题的关键． 【考点11 旋转模型】 26．（23-24八年级·山东济南·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的常见模型－旋转模型，掌握该模型的相关结论是解题关键． （1）证即可求解； （2）证即可求解； （3）证即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即：， ∵，， ∴ ∵，， 故答案为： （2）解：，理由如下： ， ， 又， ， 即：， 在和中，， ； （3）解：（2）中的结论不成立，当点在的延长线上时，．理由如下： 如图所示： ， ， 即：， 在和中，， 又， ． 27．（23-24八年级·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【答案】【基本模型】【模型运用】：，证明见解析；【拓展延伸】：． 【分析】（1）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，然后求出，利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解； （2）结论：，证明方法同法（1）； （3）结论：．将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，根据旋转变换的性质可得和全等，根据全等三角形对应角相等可得，对应边相等可得，，对应角相等可得，再根据证明，并证明、、三点共线，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，从而得解． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：，，， ∴，即：三点共线， ， ∴， ∴， ， 在和中， ， ， ， 又， ． 故答案为：； （2）结论：． 理由：如图2，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则：， 同法（1）可得：， ， 又， ． 故答案为：； （3）结论：． 理由：如图3，将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，    则， ，，，， 又， ， ， 又， ， 、、三点共线， 在和中，， ， ， 又， ． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，旋转的性质。本题蕴含半角模型，遇到半角经常要通过旋转构造全等三角形。 【考点12 垂线模型】 28．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是 . 【答案】2 【分析】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F,构造 得出BE=AF 利用等腰三角形三线合一的性质得出：AF=可得BE=AF=，利用三角形ABC的面积为1进行计算即可. 【详解】过B作BE⊥AC于E, 过D作DF⊥AC于F, ∴∠BEA=∠AFD=90° ∴∠2+∠3=90° ∵∠BAD=90° ∴∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3 ∵AB=AD ∴ ∴BE=AF ∵AD=CD，DF⊥AC ∴AF= ∴BE=AF= ∴ ∴AC=2 故答案为2 【点睛】本题考查了利用一线三等角构造全等三角形，以及利用三角形面积公式列方程求线段，熟练掌握辅助线做法构造全等是解题的关键. 29．（23-24八年级·浙江·期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC； （2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点． （3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果） 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）或 【分析】（1）证明△AFD≌△EAC，根据全等三角形的性质得到DF=AC，等量代换证明结论； （2）作FD⊥AC于D，证明△FDG≌△BCG，得到DG=CG，求出CE，CB的长，得到答案； （3）过F作FD⊥AG的延长线交于点D，根据全等三角形的性质得到CG=GD，AD=CE=7，代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵FD⊥AC， ∴∠FDA=90°， ∴∠DFA+∠DAF=90°， 同理，∠CAE+∠DAF=90°， ∴∠DFA=∠CAE， 在△AFD和△EAC中， ， ∴△AFD≌△EAC（AAS）， ∴DF=AC， ∵AC=BC， ∴FD=BC； （2）作FD⊥AC于D， 由（1）得，FD=AC=BC，AD=CE， 在△FDG和△BCG中，， ∴△FDG≌△BCG（AAS）， ∴DG=CG=1， ∴AD=2， ∴CE=2， ∵BC=AC=AG+CG=4， ∴E点为BC中点； （3）当点E在CB的延长线上时，过F作FD⊥AG的延长线交于点D， BC=AC=4，CE=CB+BE=7， 由（1）（2）知：△ADF≌△ECA，△GDF≌△GCB， ∴CG=GD，AD=CE=7， ∴CG=DG=1.5， ∴AG=CG+AC=5.5， ∴， 同理，当点E在线段BC上时，AG= AC -CG+=2.5， ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 【考点13 轴对称中的最短路径问题】 30．（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、，则由轴对称知识可知，所以依据垂线段最短知：当在一条直线上，且时，取最小值，根据直角三角形的两锐角互余及三角形外角的性质可以求出. 【详解】解：∵，平分， ∴， 作点关于的对称点，作点关于的对称点，连接、、、、， 则，，，，， ∴，，，， 当在一条直线上，且时，取最小值， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D. 【点睛】本题考查了最短路径问题，等腰三角形等边对等角，直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质，垂线段最短，通过作对称点化折为直是解题的关键. 31．（2024·贵州毕节·一模）如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 【答案】D 【分析】首先证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），因为AF为定值，所以当AE+EF最小时，△AEF的周长最小，作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小，根据等边三角形的判定和性质即可求出∠CFE的大小． 【详解】解：∵△ABC，△ADE都是等边三角形， ∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=∠ABC=60°， ∴∠BAD=∠CAE， ∴△BAD≌△CAE， ∴∠ABD=∠ACE， ∵AF=CF， ∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=30°， ∴点E在射线CE上运动（∠ACE=30°）， 作点A关于直线CE的对称点M，连接FM交CE 于E′，此时AE′+FE′的值最小， ∵CA=CM，∠ACM=60°， ∴△ACM是等边三角形， ∵AF=CF， ∴FM⊥AC， ∴∠CFE′=90°， 故选D． 【点睛】本题考查轴对称——最短距离问题、等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是证明点E在射线CE上运动（∠ACE=30°），本题难度比较大，属于中考选择题中的压轴题． 32．（23-24八年级·辽宁营口·阶段练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】作点关于直线的对称点，连接、，根据轴对称的性质、垂直平分线的性质可得，则欲求的最小值即为的最小值，即的最小值，则当时，即的值最小，最小值为的长． 【详解】解：如图，作点关于直线的对称点，连接、， 是、的对称轴， 即是线段的垂直平分线， ， 的最小值即为的最小值，即的最小值， 当时，即的值最小，此时与重合，与重合，最小值为的长， 在中，，，， ， 的最小值是． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称的性质、垂直平分线的性质、最短路径问题、垂线段最短及含角的直角三角形的性质，解题关键是找出点、的位置． 33．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在中，，，，点P，D分别为，上的动点，则的最小值是 ．    【答案】4 【分析】作点A关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，此时的值最小，且的长度就是的最小值．可证为等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，作点A关于的对称点，过点作于点D，交于点P，连接，此时的值最小，且的长度就是的最小值．    是的垂直平分线， ，， ，， ， 为等边三角形． 又与均为等边三角形的高， ， ， 的最小值是4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了线段和最小值的典型问题，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定及性质，掌握解法是解题的关键． 34．（23-24八年级·四川成都·期中）如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．    【答案】8 【分析】连接，由轴对称的性质可得也是边长为4的等边三角形，从而得到，，从而得到，证明得到，从而得到，由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，   ， 等边三角形的边长为4， ，， 与关于直线对称， 也是边长为4的等边三角形， ，， ， 在和中， ，，， ， ， ， 由“两点之间，线段最短”可知，当与点重合，即点，共线时，取得最小值， ， 的最小值为8， 故答案为：8． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、等边三角形的性质、三角形全等的判定与性质、两点之间，线段最短等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，是解题的关键． 【考点14 格点中作等腰三角形】 35．（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的定义、格点问题等知识点，根据题意画出符合题意的图形是解题的关键． 根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形，然后统计即可解答． 【详解】解：如图:根据等腰三角形的定义画出符合题意的等腰三角形如下： 以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为8个． 故选C． 36．（23-24八年级·辽宁盘锦·期中）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】题目主要考查利用网格作图及等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，熟练掌握这些基础知识点是解题关键． （1）根据等腰三角形的定义及网格作图即可； （2）根据等腰直角三角形的定义及网格作图即可； （3）根据线段垂直平分线的性质及网格作图即可． 【详解】（1）解：如图所示点C即为所求；    （2）如图所示线段，即为所求；    （3）如图所示线段即为所求．    37．（2024·江西抚州·一模）图①、图② 均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中找点D，连接、、，使得． (2)在图②中找点E，连接、，使得． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识： （1）根据网格的特点，找到线段的垂直平分线与线段垂直平分线的交点即为所求点D； （2）根据网格特点得到，根据等腰直角三角形的性质作图即可得到答案； 【详解】（1）解：如图所示，线段的垂直平分线与线段垂直平分线的交点D即为所求， ； （2）解：由图形可得，， 根据格点作等腰直角三角形，， ∴， ∴点E如图所示： ． 【考点15 三角形中的多结论问题】 38．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，在解答时作辅助线的延长线于P，过点G作于Q构造出全等三角形是难点，运用全等三角形的性质是关键，分析题意，根据正方形的性质可得可求出，由“边角边”可得，可判断①是否正确；设、相交于点N，由可得，即可判断②的正确性；根据同角的余角相等求出，再证明，根据全等三角形性质即可判断④是否正确；证明，根据全等三角形的对应边相等即可判断③是否正确，从而完成解答． 【详解】解：在正方形和中，，， ，即， 在和中，，， ， ，故①正确； 设相交于点N， ， ， ， ， ，故②正确； 过点G作于Q，过点E作的延长线于P，如图所示： ， ， ， ， ， 在和中， ，， ， ，故④正确； 同理可得， ， 在和中， ，， ， ， 是的中线，故③正确． 综上所述，①②③④结论都正确，共4个． 故选：D． 39．（23-24八年级·浙江绍兴·期中）如图，已知直线，直线分别交直线，于点，，平分交于点．是射线上一动点（不与点，重合）．平分交于点，设，．现有下列四个式子：①，②，③，④，在这四个式子中，正确的是(   ) A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】分两种情况讨论：当点G在F的右侧时，根据两直线平行同旁内角互补得到，结合角平分线性质解得；或当点G在F的左侧时，两直线平行内错角相等得到，结合三角形外角性质得到，解得． 【详解】解： 当点G在F的右侧时， 平分 平分 设， ， 当点G在F的左侧时， 平分 平分 设， 综上所述，或 故①④正确, ②③错误 故选：B． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角性质、角平分线的性质等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键． 40．（23-24八年级·重庆·阶段练习）如图，在中，，平分，平分，与交于点，为外一点，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 （只需要填写序号）． 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点，①先证，再根据，，即可依据“”判定和全等，由此可对结论①进行判断；②根据等腰三角形性质得，则，再根据角平分线的定义得，，则，，由此可求出的度数，进而可对结论②进行判断；③根据等腰三角形性质得为边上的中线，则，由得，进而得，而是的平分线不是边上的中线，则，据此可对结论③进行判断；④由得，再证和全等得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案，理解等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键． 【详解】①∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 故结论①正确； ②在中，， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， 由①可知：，， ∴， 故结论②正确； ③在中，，平分， ∴是边上的中线， ∴， 由①可知：， ∴， ∴， ∵是的平分线，不是边上的中线， ∴， ∴， 故结论③不正确； ④由①可知：， ∴，，， 又∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 故结论④正确， 综上所述：结论正确的是 ①②④， 故答案为：①②④． 41．（23-24八年级·山东济南·期中）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是 （填序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】①根据等边三角形的性质可得AC=CD，BC=CE，∠ACD=∠BCE=60°，然后求出∠ACE=∠BCD，利用“边角边”证明△ACE和△DCB全等；②通过△ACE和△DCB全等，可得到∠BDC=∠EAC，在△DMP和△ACM中，利用“8”字型可求得∠DPA=∠DCA=60°；③根据三角形外角性质得到∠AMC＞∠MCE，则∠AMC＞∠ACM，所以AC＞AM，又可证得△ACM和△DCN全等，得到AM=DN，从而得到AC＞DN；④根据全等三角形对应边相等可得AM=DN，CM=CN，然后求出EM=BN；⑤△DAC和△EBC均是等边三角形，所以∠ACD=∠BCE=60°，可得到∠DCE=60°，所以∠DCE=∠BEC，再根据内错角相等，两直线平行可得CD∥BE． 【详解】解：∵△DAC和△EBC都是等边三角形， ∴∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠ACE=∠DCB=120°， 在△ACE与△DCB中， ∴△ACE≌△DCB（SAS），故①正确； 在△DMP和△ACM中 ∵△ACE≌△DCB， ∴∠BDC=∠EAC 又∠DMP=∠AMC ∴∠DPA=∠DCA=60°，故②正确； ∵△ACE≌△DCB， ∴∠BDC=∠EAC 又∠ACD=∠BCE=60°，AC=CD 在△ACM和△DCN中 ∴△ACM≌△DCN（ASA） ∴AM=DN 又根据三角形外角性质得到∠AMC＞∠MCE， 则∠AMC＞∠ACM， ∴AC＞AM ∴AC＞DN，故③错误； 由②中△ACM≌△DCN可得AM=DN 又△ACE≌△DCB ∴AE=DB ∴EM=BN，故④正确； ∵△DAC和△EBC均是等边三角形， ∴∠ACD=∠BCE=60°， ∴∠DCE=60°， ∴∠DCE=∠BEC， ∴CD∥BE，故⑤正确． 故答案为：①②④⑤ 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，平行线的判定，综合性较强，但难度不是很大，准确识图找出全等三角形是解题的关键． 【考点16 等腰三角形的存在性问题】 42．（2024上·河南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG，，当的值等于 时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形． 【答案】28°或31° 【分析】首先由轴对称可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B＝∠AFD，AB＝AF，在证明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG＝∠C，就可以求出∠DFG的值；再分两种情况讨论解答即可，当DF＝GF时，当DF＝DG时，从而求出结论． 【详解】解：∵AB＝AC，∠BAC＝124°， ∴∠B＝∠C＝28°． ∵△ABD和△AFD关于直线AD对称， ∴△ADB≌△ADF， ∴∠B＝∠AFD＝28°，AB＝AF，∠BAD＝∠FAD＝θ， ∴AF＝AC． ∵AG平分∠FAC， ∴∠FAG＝∠CAG． ∴△AGF≌△AGC（SAS）， ∴∠AFG＝∠C． ∵∠DFG＝∠AFD+∠AFG， ∴∠DFG＝∠B+∠C＝28°+28°＝56°． ①当DF＝GF时， ∴∠FDG＝∠FGD． ∵∠DFG＝56°， ∴∠FDG＝∠FGD＝62°， ∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ， ∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28+θ+62°， ∴∠ADB＝28°+θ+62°， ∵∠ADB+∠B+θ＝180° ∴28°+θ+62°+28°+θ＝180°， ∴θ＝31°． ②当DF＝DG时， ∴∠DFG＝∠DGF＝56°， ∴∠GDF＝180°﹣56°﹣56°＝68°， ∵∠ADG＝∠B+θ＝28°+θ， ∴∠ADF＝∠ADG+∠GDF＝28°+θ+68°， ∴∠ADB＝28°+θ+68°， ∵∠ADB+∠B+θ＝180°， ∴28°+θ+68°+28°+θ＝180°， ∴θ＝28°． ∴当θ＝28°或31°时，△DFG为等腰三角形． 故答案为：28°或31°． 【点睛】本题考查了轴对称的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，等腰三角形的判定及性质的运用，解答时证明三角形的全等是关键． 43．（2024上·河南三门峡·八年级校考期中）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是 ． 【答案】 或 【分析】过D作，，易证，，再根据四边形内角和即可得到答案． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵点P是等腰的腰上的一点，，D为的中点， ∴， 过D作，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 同理可得， ∴， ∴， 故答案为： 或， 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 44．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，过△ABC的一个顶点，作一条直线把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC= °. 【答案】36或90或108或 【分析】本题要利用三角形内角和定理求解．由于本题中经过等腰三角形顶点的直线没有明确是经过顶角的顶点还是底角的顶点，因此本题要分情况讨论． 【详解】如图1， 当过顶角的顶点的直线把它分成了两个等腰三角形，则AB=AC，AD=CD=BD， 设∠B=x°， 则∠BAD=∠B=x°，∠C=∠B=x°， ∴∠CAD=∠C=x°， ∵∠B+∠BAC+∠C=180°， ∴x+x+x+x=180， 解得x=45， 则顶角是90°； ②如图2， AB=AC=CD，BD=AD， 设∠C=x°， ∵AB=AC， ∴∠B=∠C=x°， ∵BD=AD， ∴∠BAD=∠B=x°， ∴∠ADC=∠B+∠BAD=2x°， ∵AC=CD， ∴∠CAD=∠ADC=2x°， ∴∠BAC=3x°， ∴x+x+3x=180，x=36°，则顶角是108°． ③如图3， 当过底角的角平分线把它分成了两个等腰三角形，则有AB=AC，BC=BD=AD， 设∠A=x°， ∵BD=AD， ∴∠ABD=∠A=x°， ∴∠CDB=∠ABD+∠A=2x°， ∵BC=BD， ∴∠C=∠CDB=2x°， ∵AB=AC， ∴∠ABC=∠C=2x°， ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180， x=36°， 则顶角是36°． ④如图4， 当∠A=x°，∠ABC=∠ACB=3x°时，也符合， AD=BD，BC=DC， ∠A=∠ABD=x，∠DBC=∠BDC=2x， 则x+3x+3x=180°， x= ． 综上所述∠A=36°或90°或108°或° 故答案为36或90或108或 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质及其判定．作此题的时候，首先大致画出符合条件的图形，然后根据等腰三角形的性质、三角形的内角和定理及其推论找到角之间的关系，列方程求解． 【考点17 构成等腰三角形的点的个数】 45．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的判定，根据等角对等边，从右到左依次考虑，即可得到所有构成等腰三角形的情况，得到满足条件的点的个数．熟练掌握等腰三角形的判定是解本题的关键．也考查了三角形内角和定理． 【详解】解：如图， ∵在中，，， ∴， 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当与重合时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 当时，为等腰三角形； 综上，满足条件的点的位置有个． 故选：C． 46．（23-24八年级·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】①以B为圆心，长为半径画弧，交于点D，就是等腰三角形； ②以A为圆心，长为半径画弧，交于点E，就是等腰三角形； ③以C为圆心，长为半径画弧，交于点F，就是等腰三角形； ④作的垂直平分线交于点H，就是等腰三角形； ⑤作的垂直平分线交于G，则是等腰三角形； ⑥作的垂直平分线交于I，则和都是等腰三角形． ⑦作的垂直平分线交于M，则和都是等腰三角形． 【详解】解：作图如下 故选：D 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定的应用；解题的关键是理解能力和动手操作能力． 【考点18 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】 47．（23-24八年级·福建厦门·期中）在中，，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质和判定，正确作出辅助线证明三角形全等是解题的关键． 作，与的延长线交于点G，作，交于点F，证明，得，再证明进而可得的长． 【详解】解：如图，作，与的延长线交于点G，作，交于点F， ， ， ， ， 同理，， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：1． 48．（23-24八年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，，，则 ． 【答案】5 【分析】在上截取，连接，过点作，先证明，得到，，再证明，得到，进而得到，推出，设，则，根据同高三角形的面积比等于底边比，得到，即可得出结果． 【详解】解：在上截取，连接，过点作， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， 在和中 ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴； 故答案为：5． 【点睛】本题考查中垂线的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识点，综合性强，难度大，属于填空题中的压轴题，正确的添加辅助线，构造特殊三角形和全等三角形，是解题的关键． 49．（23-24八年级·山东济南·期中）（1）情境观察： 如图①，中，，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你帮小明求出的长． 【答案】（1）全等；理由见解析；（2）；理由见解析；（3） 【分析】（1）先根据等角对等边证明，再根据证明三角形全等即可； （2）延长，交于点G，证明，得出，证明，得出； （3）过点D作交的延长线于点G，交于点H，证明，得出，证明，得出，求出即可． 【详解】解：全等；理由如下： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）；理由如下： 延长，交于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． （3）过点D作交的延长线于点G，交于点H，如图所示： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，余角的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形全等的判定方法． 50．（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，已知和均为等腰直角三角形，，点M为的中点，过点E与平行的直线交射线于点N．    (1)求证： M为的中点． (2)将图1中的绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时（如图2），求证：为等腰直角三角形； (3)将图1中绕点B旋转到图3位置，当A、B、N三点在同一直线上时（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)成立；理由见解析 【分析】（1）由和点M为的中点可以证得，从而证得M为的中点； （2）证，从而可以证得，进而可以证得，，则有为等腰直角三角形； （3）如图3，证，根据四边形内角和，可得，从而可以证得，进而可以证得，则有 为等腰直角三角形． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵点M为的中点， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴M为的中点； （2）证明：∵和均为等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵A，B，E三点共线， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； （3）解：当A、B、N三点在同一直线上时（2）中的结论仍成立，（如图3）： 证明：∵， ∴． ∵点M为的中点， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在四边形中， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∴． ∴为等腰直角三角形． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、平行线的性质、等腰直角三角形的判定与性质、多边形的内角与外角等知识，在（3）中能够在掌握变中有不变的辩证思想是解决问题的关键． 【考点19 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】 51．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线沿向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于，于．设点的运动时间为 (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上时，求证：． (3)连结，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出值． (4)当与全等时，直接写出的值． 【答案】(1)或 (2)见解析 (3)t的值为或 (4)t的值为1或或 【分析】本题属于三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题． （1）分两种情况情况，点在上，在上，由题意可得出答案； （2）由直角三角形的性质可得出结论； （3）当点在边上，且时，是等边三角形，当点Q在边上，时，是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案； （4）由全等三角形的性质列出方程可得出答案． 【详解】（1）解：当点到点时， 当点到点时， 当时，在上，， ∴； 当时，点在上， ∵， ∴； ∴的长为或； （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵， 当点在边上，且时，是等边三角形， 此时， ∴； 当点Q在边上，时，是等边三角形， 此时， ∴， 综上所述，当图中存在等边三角形时，t的值为或； （4）解：当点到点时， 当点到点时， 当时，点在边上，点Q在边上，，， 此时，，，则有， ∴， ∴ 解得：； 当时，点P，Q都在边上时，，， 点P，Q重合，此时， ∴， ∴， 解得：； 当时，点到终点停止不动，点P在边上此时两个三角形不全等； 当时，点到终点停止不动，点P在边上，，，此时， ∴， ∴， 解得：； 综上所述，当与全等时，t的值为1或或． 52．（23-24八年级·贵州遵义·期中）已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”）． 理由如下，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点E在直线上，点D在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 【答案】(1)＝ (2)＝，见解析 (3)，画图见解析． 【分析】（1）根据等边三角形性质得到，，结合E是中点，得到，根据等腰三角形性质得到，由三角形外角性质得到，得到 ，即得； （2）以下解答为：，根据等边三角形性质得到．得到，得到 为等边三角形，推出．根据等腰三角形性质得到．结合三角形外角性质得到 ．得到．得到．即得； （3）证明，根据，得到，根据，得到，结合，得到，得到，即得． 【详解】（1）∵在等边三角形中，，且E是中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：＝； （2）以下解答过程为： ∴， ∵为等边三角形， ∴． ∴， ∴ 为等边三角形， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴． 在和中， ， ∴． ∴． ∴． 故答案为：＝； （3）如图． ∵等边的边长为1，， ∴, ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边三角形．熟练掌握等边三角形的判定和性质 ，等腰三角形的判定和性质，含的直角三角形性质，三角形外角性质，全等三角形的判定和性质，是解决问题的关键． 53．（23-24八年级·陕西西安·开学考试）在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则______°； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2)①等边三角形，证明见解析；②，证明见解析 【分析】（1）利用线段的垂直平分线的性质以及三角形内角和定理，四边形内角和定理解决问题即可； （2）①证明即可推出为等边三角形；②作点D关于直线的对称点，连接．当点P在的延长线上时，的值最大，此时，再利用全等三角形的性质证明，可得结论． 【详解】（1）解：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）解：①证明：∵点E为线段的垂直平分线的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； ②． 证明：∵为等边三角形, ∴,, 如图，作点D关于直线的对称点，连接． ∴, ∴，则点P在的延长线上时，的值最大，此时． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∴． ∴， ∴． ∵,, ∴， ∴． 【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型． 54．（23-24八年级·福建福州·单元测试）如图，在等边三角形中，，P是边上的任意一点，（点P可以与点A重合，不与点B重合）过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设． (1)请将用含的式子表示出来； (2)当的长等于多少时，点P与点Q重合？ (3)当时，求的长． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】本题主要考查了等边三角形和含直角三角形．熟练掌握等边三角形性质，含直角三角形的性质，一元一次方程应用，是解决问题的关键． （1）根据．，得到，根据，得到，得到，得到，得到，得到，即得； （2）当点P与点Q重合时，，得，解得，即得； （3）当点P在点Q右侧时，，得，解得，即得；当点P在点Q左侧时，，得， 解得 ，即得． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴； 在中， ∵， ∴； 在中， ∵， ∴， 故； （2）解：当点P与点Q重合时，， ∴， 解得：   故； （3）解：当点P在点Q右侧时，，， 有， 解得：，   ∴； 当点P在点Q左侧时，， 有， 解得： ， ∴， 综上所述，当时，的长为：或． 55．（23-24八年级·重庆渝北·期中）在中，，为的中线，的角平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)如图1，若，请直接写出线段，间的数量关系：__ ； (2)如图2，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，在的外部作，使，过点作交于点，点在上，连接，，若与互余，的面积为18，求的长． 【答案】(1) (2) (3)6 【分析】 （1）先判断出是等边三角形，设，表示出、，根据两直线平行，内错角相等求出，表示出，然后相比即可； （2）取的中点，连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰直角三角形的对称性可得，然后求出，再求出，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，根据两直线平行，内错角相等可得，再求出，根据等角对等边可得，从而得到，，整理即可得证； （3）过点作于，过点作于，先求出，根据直角三角形两锐角互余求出，然后求出，再求出，根据等角对等边可得，根据等腰三角形三线合一的性质可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，从而得到，再利用“角边角”证明和全等，根据全等三角形对应边相等可得，再根据等腰直角三角形的面积求出，然后求解即可． 【详解】（1） 解：，， 是等边三角形， ∴， 设， 为的中线，为的角平分线， ∴，， ， ，为的中线， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ， ∴， ∵， ， ； 故答案为：； （2） 证明：取的中点，连接、， ，， 是等腰直角三角形， ∴， ∵为中线， ∴， ∴垂直平分， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ， ， 故； （3） 解：过点作于，过点作于， ， ， ， 与互余， ， ， 是的平分线， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为18， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形角所对的直角边等于斜边的一半的性质，平行线的性质，熟记各性质并理解题目信息是解题的关键，难点在于作辅助线构造出全等三角形和等腰三角形． 【考点20 与三角形有关的新定义问题】 56．（23-24八年级·湖南衡阳·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【概念理解】 (1)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°； (2)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°； (3)已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由； 【应用拓展】 (4)如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是开心中的一个开心角，设，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或 【分析】（1）根据开心三角形的定义结合三角形的内角和定理即可得到答案； （2）根据开心三角形的概念分两种情况求解即可； （3）由是开心中最小的内角，则与互为开心角的内角只能为，列出不等式求解即可； （4）分 与互为开心角和与互为开心角两种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：设最小角为， ∵为开心三角形，， ∴， ∴， ∴这个三角形中最小的内角为． 故答案为：； （2）∵， 当与互为“开心角”时，则最小角为； 当与互为“开心角”时，设最小角为， ∴， ∴， 综上：为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为； 故答案为：40； （3）∵是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角， ∴另一个开心角是， ∴第三个内角是， ∵是最小内角， ∴， ∴； （4）∵平分的内角，平分的外角， ∴，， ∵， ∴， 即， 又∵，则， ∵，， ∴，即， ∴， ∴ ①当与互为开心角时， 或， ∴或， 解得或； ②当与互为开心角， 或， ∴或， 解得； 综上所述：或或． 【点睛】本题为新定义题型，主要考查了角平分线，三角形内角和定理，三角形外角的性质以及开心角和开心三角形的概念，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，涉及到了分类讨论的思想方法，其中熟练掌握相关概念和性质是解答本题的关键． 57．（23-24八年级·江苏盐城·期中）定义：若是同旁内角，并且满足，则称是的内联角． (1)如图1，已知是的内联角． ① 当时， _____； ② 当直线时，求的度数． (2)如图2，已知是的内联角，点O是线段上一定点． ①是的内联角吗？请说明理由； ② 过点O的直线分别交直线于点P、Q，若且是图中某个角的内联角．请直接写出是哪个角的内联角，以及此时的度数． 【答案】(1)①；② (2)①是，理由见解析；②当是的内联角时，；当是的内联角时，；当是的内联角时， 【分析】本题考查同旁内角，平行线的性质，几何图形中角度的计算，三角形的外角，掌握内联角的定义，是解题的关键： （1）①根据内联角的定义进行求解即可；②根据平行线的性质和内联角的定义，进行求解即可； （2）①根据邻补角求出和的度数，再根据内联角的定义进行判断即可；②分三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：①∵是的内联角， ∴， ∵， ∴； 故答案为：80； ②∵是的内联角， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①是，理由如下： ∵是的内联角， ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵是同旁内角， ∴是的内联角； ②∵是的内联角，， ∴， 当直线位于如下图所示位置时： ∴当是的内联角时，则：， 当是的内联角时，，解得： 当直线位于如下图所示位置时： ∵， ∴， ，    若是的内联角，则 ， ∵， ∴（舍去）． 若是的内联角，则 ， 得， 综上：当是的内联角时，；当是的内联角时，；当是的内联角时，． 58．（23-24八年级·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．    (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和； ①如图（2），当时，求证：； ②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由． (2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值． 【答案】(1)①见解析；②相等，理由见解析 (2)变化，最大值为18 【分析】（1）①由正方形的性质可以得出，，，即可得出而得出结论； ②如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点，通过证明就有而得出结论； （2）根据（1）可以得出，要使最大，就要使最大，当时最大，即可求出结论． 【详解】（1）解：①证明：正方形和正方形， ，，， ， ， ． 在和中， ， ． ， ． ②． 理由如下： 如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点．      ． 四边形，四边形均为正方形， ，， ，． ． 在和中， ， ， ． ， ，， ； （2）的值发生变化；的最大值为18；理由如下： 由（1）得，是面积的三倍， 要使最大，只需的面积最大， 当是直角三角形，即时，有最大值． 此时，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式；本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键． 59．（23-24八年级·福建福州·期中）定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 【答案】(1)9 (2)见解析 (3)能，当点Q是的费马点时，的值最小．证明该位置满足设计要求见解析 【分析】（1）根据证明得，从而点O是三边垂直平分线的交点，延长交于点D，根据30度角的性质求出即可求解； （2）作于M，于N，设与交点为G．根据证明得，，然后证明平分，可得，进而可证结论成立； （3）分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，该点即为所求的点，根据证明得，从而可判断当D、K、Q、C四点共线时，为最小值，进而可证结论成立． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵点O是等边的费马点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点O是三边垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴． ∴延长交于点D，如图1， ∴， ∴． 故答案为：9． （2）如图2，作于M，于N，设与交点为G． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴，． 又∵ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分 ∴ ∴ ∴点P是的费马点． （3）能，如第（2）小题那样，分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，由（2）小题知该点是的费马点，即为所要建的污水处理站Q的位置． 证明如下：如图3，设点Q是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 当D、K、Q、C四点共线时，为最小值， 又∵， ∴这时， ∴， ∴点Q是的费马点 即当点Q是的费马点时，的值最小． 【点睛】本题考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 60．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）；（5）且；理由见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由和均为等边三角形，可证，可得，，由点、、在同一条直线上，可求即可； （2）延长到，使得，由，可证为等边三角形，可得，由，，可证为等边三角形，可证，可得即可； （3）由，由与都是等边三角形，可证，可得，，可证是直角三角形且即可； （4）将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．先证，再证，最后证，可得； （5）由两个等腰直角三角形和中，，，，可证，可得，再求即可； 【详解】解：（1）如图， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ．， 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：，． （2）证明：如图中，延长到，使得． ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ． （3）解：以为边构造等边，连接，如图3所示： 与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （4）解：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、． 由（1）可知， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ． （5）且； 理由如下：， ． ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：且． 【考点21 勾股定理与网格问题】 61．（23-24八年级·天津北辰·阶段练习）如图，顶点在格点上，为上的一个动点．    （Ⅰ）的长为 ； （Ⅱ）平分，在上求一点，使的值最小，用无刻度的直尺，在网格中画出、点和点，简要说明、点、点如何找到的 ． 【答案】 5 图见解析，取格点H，G，连接交于M，则为所求作；取格点K，连接，交于D，交于P，则的值最小（理由充分即可） 【分析】（Ⅰ）根据网格特点和勾股定理求解即可； （Ⅱ）利用网格特点和全等三角形的性质以及两点之间线段最短、垂线段最短解答即可． 【详解】解：（Ⅰ）， 故答案为：5； （Ⅱ）如图，取格点H，G，连接交于M，则为所求作；取格点K，连接，交于D，交于P，则的值最小；    理由：如图，取格点H，G，连接交于M， ∵，，， ∴, ∴ ∴平分，即即为所求； 取格点K，连接，交于D，交于P， 根据角是轴对称图形，且，则， ∴，当D、P、G共线时取等号， 当时，最小，此时最小； 如图，根据网格特点，， ∴， ∵， ∴，即， 故点D、P即为所求作． 故答案为：取格点H，G，连接交于M，则为所求作；取格点K，连接，交于D，交于P，则的值最小（理由充分即可）． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，涉及到全等三角形的判定与性质、最短距离、勾股定理等知识，灵活运用所学知识解决作图问题是解答的关键，属于中考常考题型． 62．（2024·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积． 【答案】见解析；；    ； 【分析】根据全等三角形的性质，勾股定理，角的分类去求解即可 【详解】解：钝角三角形时，如图， ∵BC⊥BD，BC=5， ∴△ABC是钝角三角形， 根据平行线间的距离处处相等，得BC边上高为BD=4, ∴； 直角三角形时，如图， 取格点F使得BF=4，FC=3， 根据勾股定理，得BC==5， ∵AE=BF=4，EB=FC=3，∠AEB=∠BFC=90°， ∴△AEB≌△BFC， ∴∠EAB=∠FBC， ∵∠EAB+∠EBA=90°， ∴∠FBC+∠EBA=90°， ∴∠ABC =90°， ∴△ABC是直角三角形， 根据勾股定理，得AB==5， ∴ ； 锐角三角形时，如图，取格点M使得BM=3，CM=4， 根据勾股定理，得BC==5， 根据直角三角形时的作图，知道∠ABN=90°， ∴∠ABC＜∠ABN， ∴∠ABC＜90° ∵AB=BC， ∴△ABC是等腰三角形， ∴∠A=∠C＜90°， ∴△ABC是锐角三角形， ∴=12； 【点睛】本题考查了网格上的作图，等腰三角形的性质，勾股定理，三角形全等的性质和判定，平行线间的距离处处相等，根据题意，运用所学构造符合题意的格点线段是解题的关键． 63．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图： (1)在图1中，作的高； (2)在图2中作图： ①找一格点使，且； ②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分． 【答案】(1)见解析； (2)①见解析；②见解析． 【分析】（1）根据三角形的高的定义画出图形即可； （2）①结合勾股定理和网格图即可；②在上取格点，使，再取线段的中点，即可． 【详解】（1）如图1，线段为所求； 证明：取网格点M、N、P，连接PN、PB、AM，如图， 结合网格易得：△BNP≌△APM，即有∠PAM=∠PBN， ∵∠PAM+∠MPA=90°， ∴∠PBN+∠MPA=90°， ∴在△PBH中，∠PHB=90°， 即AH⊥BC， AH符合要求； （2）①如图2，点为所求； ②如图2，点为所求． ①证明：结合网格图和勾股定理，可得，， 即，， 即△ACD是直角三角形，∠CAD=90°， 即有：AC⊥AD，，即D点满足要求； ②证明：由割补法，可求得的面积为， 根据，则的面积， ∴与的面积相等， 根据网格作图可知，线段的中点为， ∴， ∴， 则线段平分四边形的面积． 【点睛】本题考查作图−应用与设计作图，三角形的高，中线等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【考点22 利用勾股定理证明线段平方关系】 64．（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 【答案】(1) (2)不变，，证明见详解 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． （1）通过证明，得到，在中，有，即； （2）作，且截取，连接，连接，先证明，再证明，则，在 中，，即． 【详解】（1）解：， ∵中，， ∴， 将沿折叠，得，连接 ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，有，即． （2）解：结论不变， 作，且截取，连接，连接， ∵ ， ∴，， 又， ， ， ， ， 又， ， ，， ， ， 在 中，，即． 65．（23-24八年级·江苏扬州·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得，再证，得到，然后由三角形内角和定理求解即可； （2）由等腰三角形的性质得出，再由推出，得出，由（1）得，，从而即可得出结论； （3）由全等三角形的性质可得，由三角形外角的性质可得，然后由勾股定理得，，即可得出结论． 【详解】（1）解： 是等腰直角三角形，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）证明：，是的中点， ， 在和中， ， ， ， 由（1）得，， ； （3）证明：由（2）得：， ， ，，， ， 在中，， 是等腰直角三角形，， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质、三角形内角和定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 66．（2024·北京海淀·一模）如图，在等腰直角中，，D是线段上一点（），连接，过点C作的垂线，交的延长线于点E，交的延长线于点F. （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）若点G在线段上，，连接. ①判断与的位置关系并证明； ②用等式表示之间的数量关系.    【答案】（1）补全图形，如图见解析；（2）；（3）①DG与BC的位置关系: DG⊥BC.见解析；②2CG2=DG2+AB2. 【分析】（1）根据题意画出图形解答即可； （2）根据等腰直角三角形的性质进行解答即可； （3）①根据全等三角形的判定和性质以及垂直的判定解答即可；如图：构造等腰Rt△BPD得PD2=2BD2．利用三角形全等证明△PGD为直角三角形，PG=AB即可得到结论. 【详解】解：（1）补全图形，如图所示：    （2），， ， ， ， 交BD的延长线于点E， ， ， ， ； （3）①与BC的位置关系：，证明如下： 连接BG交AC于点M，延长GD交BC于点H，如图2，    ，，， ≌， ， ， ，， ， ， ， ， ； ②如图：作等腰Rt△BPD，连接PG、PD，    由①得BG⊥AC，∠PBD=90°， ∴∠ADB+∠DBM=90°，∠DBM+∠GBP=90°， ∴∠ADB=∠GBP， 在△ADB和△GBP中， , ∴△ADB≌△GBP（SAS）， ∴AB=PG，∠PGB=∠DAB=45°， 由①得， ∴∠PGB+∠MGD=90°，即△PGD为直角三角形， ∴PD2+DG2=PD2 ∵PD2=2BD2,BD=CG ∴ 【点睛】此题是三角形综合题，主要根据等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，构造出全等三角形解答． 【考点23 利用勾股定理求图形面积】 67．（23-24八年级·全国·单元测试）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】已知八个全等的直角三角形，则设出三边，根据勾股定理可知三边的关系，然后用三边分别将三个正方形的面积表示出来，直接求和即可． 【详解】设中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D 【点睛】此题考查勾股定理，解题关键是找到三个正方形边长之间的关系，直接列方程求解． 68．（23-24八年级·浙江温州·期中）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图：以AB为直径作半圆，点C从点A出发，沿着圆弧向点B方向运动（与点A、B不重合），连接AC、BC，以AC、BC为直径分别向外作半圆，将围成两个月牙形（阴影部分），面积分别为和，在点C的运动过程中，与之和的变化情况是（    ） A．一直增大 B．一直减少 C．一直不变 D．先增大后减小 【答案】D 【分析】利用+两个半圆的面积作为总面积，则=总面积 – 大半圆面积，设的半径分别为，将所求面积用总面积 – 大半圆面积表示出来后，再变形为与圆半径关系最简的式子即可判断． 【详解】如图： 设的半径分别为， 总面积为：， 是直角三角形， ， ， =总面积 – 大半圆面积= （h为三角形AB边上的高） 在C运动过程中有：h先增大后减小， 故与之和的变化情况是先增大后减小， 故选：D 【点睛】本题考查用规则图形表示不规则图形的面积的方法，能灵活用各规则图形表示总面积，再用总体面 69．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查数学文化与几何概型，涉及到全等三角形的性质，勾股定理，完全平方公式变形求值．根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示后计算即可． 【详解】如图， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴，， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴，， ∴，， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴， 即阴影部分的面积为， 故答案为：． 70．（23-24八年级·江苏泰州·期末）我国古代伟大的数学家刘徽将一个直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，图中所示的长方形就是由两个这样的图形拼成.若（m、n为常数，且），则该长方形的面积是 ．（用含有m、n的代数式表示）    【答案】 【分析】本题考查勾股定理的证明、矩形的面积、完全平方公式，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．先设出小正方形的边长为，然后根据题意和勾股定理，可以得到，然后再根据，可以得到的值，从而可以求得该长方形的面积． 【详解】解：设小正方形的边长为，则图中最大的直角三角形的斜边为，一条直角边为，另一条直角边为， ， ， ， ， 即， 解得， 大长方形的面积为， 长方形的面积为， 故答案为： 【考点24 确定构成直角三角形的点的个数】 71．（23-24八年级·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 【答案】C 【分析】此题主要考查了勾股定理逆定理，正确进行讨论，把每种情况考虑全，是解决本题的关键，当是斜边时有四个，当是直角边时有2个． 【详解】解：当是斜边时，则第三个顶点所在的位置有：C、D、E、H四个； 当是直角边，A是直角顶点时，第三个顶点是F点； 当是直角边，B是直角顶点时，第三个顶点是G． 因而共有6个满足条件的顶点． 故选C． 72．（23-24八年级·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【答案】或或． 【分析】设运动时间为然后分当、和三种情况运用勾股定理解答即可． 【详解】解：设运动时间为 则， 当时，如图1所示， 过点作于点 ， 中有， ， 中，， 中，， ， ， 解得：； 当时，如图2所示， 由可知， 又 ； 当时，如图3所示， 过点作于点 由知， 中有， 中有， ， 又 当点移动秒或秒或秒时，与边垂直． 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理列方程以及分类讨论思想是解答本题的关键． 【考点25 判断直角三角形】 73．（23-24八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ． 【答案】直角三角形 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，难度较大，注意掌握旋下列情形常实施旋转变换：（1）图形中出现等边三角形或正方形，把旋转角分别定为、；(2)图形中有线段的中点，将图形绕中点旋转，构造中心对称全等三角形；（3）图形中出现有公共端点的线段，将含有相等线段的图形绕公共端点，旋转两相等线段的夹角后与另一相等线段重合． 把绕点逆时针旋转，得，这样就集中成一个与 相等的角，在一条直线上的、、集中为，只需判定的形状即可． 【详解】解：如图：把绕点逆时针旋转，得， 则， ， 又， ∴， ， 又， ， ∴以、、为边长的三角形的形状是直角三角形．故答案为：直角三角形． 74．（23-24八年级·江苏泰州·期中）已知：如图，△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F． (1)求证：AE＝BF； (2)若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判断△ABC的形状，并证明； (3)设AB=c， BC=a，AC=b(b>a)，若∠ACB=90°，且△ABC的周长与面积都等于30，求CE的长． 【答案】（1）见解析；（2）直角三角形；（3）8.5 【分析】（1）连接AD，根据垂直平分线的性质可得AD=BD，根据角平分线定理可得DE=DF，可证Rt△AED≌Rt△BFD，可得AE=BF； （2）根据Rt△CED≌Rt△CFD可得CE=CF，进而求得AC的长，利用勾股定理的逆定理即可判断△ABC的形状； （3）利用三角形的面积及周长为30以及勾股定理，求得a、b、c的长，再利用CE=CF，AE=BF，即可解答. 【详解】（1）证明：连接AD ∵DE⊥AC，DF⊥BC，CD平分∠ACB ∴DE=DF，∠AED=∠BFD=90° ∵DM垂直平分AB ∴AD=BD 在Rt△AED和Rt△BFD中 ∴Rt△AED≌Rt△BFD（HL） ∴AE＝BF （2）∵AE=BF ∴CF=CB+BF=CB+AE=10+7=17 在Rt△CED和Rt△CFD中 ∴Rt△CED≌Rt△CFD（HL） ∴CE=CF ∴AC=AE+EC=7+17=24 BC2+AC2=102+242=262=AB ∴△ABC是直角三角形 （3）∵△ABC的周长与面积都等于30 ∴ 由勾股定理得： ∴ 解得： ∵CE=CF，AE=BF 设，则 ∴ 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定及性质，还涉及了勾股定理、角平分线定理、线段垂直平分线定理等，熟练掌握各个性质定理是解题关键. 75．（23-24八年级·浙江温州·期中）如图有一块等腰三角形菜地，其中，点E为的中点．现需要开辟一块三角形的空地用于堆肥，已知． (1)你能确定的形状吗，请说明理由． (2)计算阴影部分的面积． 【答案】(1)能，是直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的判定和性质等知识． （1）利用勾股定理的逆定理即可证明结论； （2）连接，利用等腰三角形的判定和性质得到，由勾股定理得到，再利用即可求出答案． 【详解】（1）解：能，是直角三角形， 理由如下：∵点E为的中点．， ∴， ∵． ∴， ∴是直角三角形，为斜边； （2）连接， ∵点E为的中点． ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积． 【考点26 勾股定理的应用】 76．（23-24八年级·山西太原·阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 【答案】（1）监测点A与监测点B之间的距离是500 km；（2）海港会受到此次台风的影响，见解析；（3）台风影响该海港8小时 【分析】（1）利用勾股定理直接求解； （2）利用等面积法得出CE的长，进而得出海港C是否受台风影响； （3）利用勾股定理得出受影响的界点P与Q离点E的距离，进而得出台风影响该海港持续的时间． 【详解】解：在中，， 由勾股定理得 答：监测点A与监测点B之间的距离是500 km． （2）海港C会受到此次台风的影响，理由如下： ∵， ∴ 解得：． ∵ ∴海港会受到此次台风的影响． （3）如图，海港C在台风中心从Q点移动到P点这段时间内受影响． ∵ ∴在中，，即 解得：PE=100 同理得： ∵台风的速度为25km/h ∴台风影响该海港的时长为： 答：台风影响该海港8小时． 【点睛】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是将实际问题中的各个条件转化为几何语言． 77．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 【答案】小试牛刀：；；；； 知识运用：（1）41； （2）（千米）； 知识迁移：20． 【分析】小试牛刀：根据三角形的面积和梯形的面积可以表示出相应部分面积； 知识运用：（1）连接，过点作的垂线，根据垂直得到边长之间的关系，再用勾股定理即可求得． （2）作的垂直平分线，交于点，分别在和中用勾股定理表示出与联立方程求解即可． 知识迁移：运用数形结合根据“轴对称-最短路径问题”求解即可． 【详解】解：小试牛刀： ，     ，         ，     则它们满足的关系式为：． 知识运用： （1）如图2①，连接，作于点E，   ， ， ， 有勾股定理得到： （千米） ∴两个村庄相距41千米． （2）连接，作的垂直平分线交于点，    设千米，则千米， 在中， ， 在中，， ∵， ∴， 解得，， 即千米． 知识迁移： 如图3，过作点的对称点，连接交于点， 过作，    根据对称性：， 设，则，有勾股定理得， ， ． ∴代数式的最小值为： ． 【点睛】本题考查了四边形综合以及用数形结合方式来证明勾股定理，解答本题的关键在于勾股定理的应用、最短线路问题、线段的垂直平分线以及用面积法证明勾股定理，本题是一道综合型较强的题目． 78．（23-24八年级·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)． (1) 求线段BG的长； (2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计) 【答案】（1）BG＝5 dm；（2）答案见解析过程． 【分析】（1）直接根据勾股定理可得出BG的长； （2）将正方体展开，联想到“两点之间，线段最短”性质，通过对称、考查特殊点等方法，化曲为直． 【详解】解：（1）如图，连接BG． 在直角△BCG中，由勾股定理得到：BG＝＝＝5（dm）， 即线段BG的长度为5dm； （2）①把ADEH展开，如图此时总路程为＝ ②把ABEF展开，如图 此时的总路程为＝＝ ③如图所示，把BCFGF展开， 此时的总路程为＝ 由于＜，所以第三种方案路程更短，最短路程为． 【考点27 与三角形有关的新定义问题】 79．（23-24八年级·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．    (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和； ①如图（2），当时，求证：； ②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由． (2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值． 【答案】(1)①见解析；②相等，理由见解析 (2)变化，最大值为18 【分析】（1）①由正方形的性质可以得出，，，即可得出而得出结论； ②如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点，通过证明就有而得出结论； （2）根据（1）可以得出，要使最大，就要使最大，当时最大，即可求出结论． 【详解】（1）解：①证明：正方形和正方形， ，，， ， ， ． 在和中， ， ． ， ． ②． 理由如下： 如图3，过点作于点，过点作交的延长线于点．      ． 四边形，四边形均为正方形， ，， ，． ． 在和中， ， ， ． ， ，， ； （2）的值发生变化；的最大值为18；理由如下： 由（1）得，是面积的三倍， 要使最大，只需的面积最大， 当是直角三角形，即时，有最大值． 此时，． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定及性质、直角三角形的性质、三角形的面积公式；本题难度较大，综合性强，证明三角形全等是解决问题的关键． 80．（23-24八年级·福建福州·期中）定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 【答案】(1)9 (2)见解析 (3)能，当点Q是的费马点时，的值最小．证明该位置满足设计要求见解析 【分析】（1）根据证明得，从而点O是三边垂直平分线的交点，延长交于点D，根据30度角的性质求出即可求解； （2）作于M，于N，设与交点为G．根据证明得，，然后证明平分，可得，进而可证结论成立； （3）分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，该点即为所求的点，根据证明得，从而可判断当D、K、Q、C四点共线时，为最小值，进而可证结论成立． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴， ∴． ∵点O是等边的费马点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点O是三边垂直平分线的交点， ∴． ∵， ∴． ∴延长交于点D，如图1， ∴， ∴． 故答案为：9． （2）如图2，作于M，于N，设与交点为G． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴，． 又∵ ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴平分 ∴ ∴ ∴点P是的费马点． （3）能，如第（2）小题那样，分别以为边向外作等边与等边，线段交于一点，由（2）小题知该点是的费马点，即为所要建的污水处理站Q的位置． 证明如下：如图3，设点Q是内一点，连接，并在同侧作等边与等边，连接． ∵与都是等边三角形 ∴， ∴ ∴ ∴ ∴． 当D、K、Q、C四点共线时，为最小值， 又∵， ∴这时， ∴， ∴点Q是的费马点 即当点Q是的费马点时，的值最小． 【点睛】本题考查了费马点，等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的判定与性质，角平分线的判定，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键． 81．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 【答案】（1），；（2）见解析；（3）；（4）；（5）且；理由见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）由和均为等边三角形，可证，可得，，由点、、在同一条直线上，可求即可； （2）延长到，使得，由，可证为等边三角形，可得，由，，可证为等边三角形，可证，可得即可； （3）由，由与都是等边三角形，可证，可得，，可证是直角三角形且即可； （4）将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、．先证，再证，最后证，可得； （5）由两个等腰直角三角形和中，，，，可证，可得，再求即可； 【详解】解：（1）如图， 和均为等边三角形， ，，． ． 在和中， ， ． ．， 为等边三角形， ． 点，，在同一直线上， ． ． ． 故答案为：，． （2）证明：如图中，延长到，使得． ，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ． ． （3）解：以为边构造等边，连接，如图3所示： 与都是等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 是直角三角形， ， ， ， 故答案为：； （4）解：如图中，将绕点逆时针旋转得到，连接、、、，延长到，使得，连接、． 由（1）可知， ，， ，，， ， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， ． （5）且； 理由如下：， ． ． 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 综上所述：且． 82．（23-24八年级·江苏苏州·期中）定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (2)如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识，理解题意、灵活运用勾股定理进而数形结合思想是解题的关键． （1）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）先求出，，，，，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是类勾股三角形 ， ， 是等腰直角三角形， ， （2）解：如图：以在上找一点使得，再作，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 【考点28 不等式中的整数解问题】 83．（23-24八年级·重庆北碚·阶段练习）已知关于x的方程的解是非负数，且关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．27 B．28 C．35 D．36 【答案】A 【分析】表示出关于的方程的解，由方程有非负数解确定出的取值范围，再表示出不等式组的解集，由不等式组至多有3个整数解，得到的取值范围．再根据为整数，即可得出结果． 【详解】解：解关于x的方程，得， 当时，原等式不成立， ， ， 解得：； 解不等式，得， 解不等式，得， ∵原不等式组至多有3个整数解， ，得， 故的取值范围是， 为整数， ， 符合条件的所有整数的和为， 故选：A． 【点睛】本题考查了方程、不等式及不等式组的解法，解得的关键是熟记求不等式组解集口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了． 84．（2024八年级·全国·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， ，得：， 解得， ，得：， 解得， ∵， ∴， 解得， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴， 解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了解二元一次方程组、解不等式组，求不等式的整数解等知识点，掌握解方程组和不等式组的方法是解题的关键． 85．（23-24八年级·重庆忠县·期末）若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为(   ) A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12 【答案】B 【分析】根据不等式组求出的范围，然后再根据关于，的方程组的解为正整数得到或或，从而确定所有满足条件的整数的值的和． 【详解】不等式组整理得：， 由不等式组至少有1个整数解，得到， 解得：， 解方程组，得， 关于，的方程组的解为正整数， 或或， 解得或或， 所有满足条件的整数的值的和是． 故选：B． 【点睛】本题考查解一元一次不等式组，学生的计算能力以及推理能力，解题的关键是根据不等式组以及二元一次方程组求出的范围，本题属于中等题型． 86．（23-24八年级·安徽合肥·期中）如果关于x的不等式组的整数解仅有7，8，9，设整数a与整数b的和为M，则M的值的个数为（　　） A．3个 B．9个 C．7个 D．5个 【答案】D 【分析】先求出不等式组的解集，再得出关于a、b的不等式组，求出a、b的值，即可得出选项． 【详解】 ∵解不等式①得：x＞， 解不等式②得：x≤， ∴不等式组的解集为， ∵x的不等式组的整数解仅有7，8，9， ∴6≤＜7，9≤＜10， 解得：15≤a＜17.5，21≤b＜23， ∴a=15或16或17，b=21或22或23， ∴M=a+b=36、37、38、39或40，共5种情况. 故选D 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的整数解的应用，解此题的关键是能求出a、b的值，难度适中． 87．（23-24八年级·云南红河·期末）若不等式组的解集中的整数和为-5，则整数的值为 ． 【答案】或2/2或-1 【分析】由不等式组的解集中的整数和为-5，可确定整数解为：或，即可得出整数的值． 【详解】解：∵， ∴， ∵不等式组的解集中的整数和为-5， ∴或， ∴或， 则整数的值为：或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解决本题的关键是求不等式组的整数解，再确定参数的范围． 88．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ． 【答案】/3≥a＞2 【分析】设两个整数为n，n+1，利用a这个量交叉传递，得到n的值，从而求解． 【详解】解：由①与②进行如下运算： ①×3+②得到：4x+4y＝12， ∴x+y＝3， ∴， ∵，， ∴， 故， ∵x只能取两个整数， 故令整数的值为n，n+1， 则，， 故， ∴，且， ∴， ∴， ∴ ∴ 【点睛】本题考查二元一次方程组，不等式组的解集，能够熟练地进行等量代换是解决本题的关键． 【考点29 不等式中的含参问题】 89．（23-24八年级·浙江宁波·期末）已知正整数，，均小于5，存在整数满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】首先根据正整数a，b，c均小于5，得出2a+2b+2c≤24+24+24=48，2a+2b+2c≥2+2+2=6，即6≤2022+1000m≤48，解不等式组求出m的范围，根据m为整数，得出m=-2，那么2022+1000m=22．观察得只有2+4+16=22，求出a+b+c=1+2+4=7，进而得到m（a+b+c）=-2×7=-14． 【详解】解：∵正整数a，b，c均小于5， ∴2a+2b+2c≤24+24+24=48， 2a+2b+2c≥2+2+2=6， ∴6≤2022+1000m≤48， ∴-2.016≤m≤-1.974， ∵m为整数， ∴m=-2， ∴2022+1000m=22． ∵2a，2b，2c，的取值只能为2，4，8，16， 观察得只有2+4+16=22， ∴a+b+c=1+2+4=7， ∴m（a+b+c）=-2×7=-14． 故答案为：-14． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，不等式的性质，一元一次不等式组的解法，求出m与a+b+c的值是解题的关键． 90．（23-24八年级·湖北黄石·期末）已知实数，，满足，且有最大值，则的值是 ． 【答案】8 【分析】把变形得，故可求出有最大值时，a，b的值，代入故可求解． 【详解】设= ∴a-2b=（m+n）a+(m-n)b ∴，解得 ∴= ∵， ∴， ∴ ∴有最大值1 此时， 解得a=1，b=0 ∴=8 故答案为：8． 【点睛】此题主要考查不等式组的应用与求解，解二元一次方程组，解题的关键是根据题意把把变形得，从而求解． 91．（23-24八年级·全国·单元测试）关于x的不等式组的解集为-3<x<3， 则a，b的值分别为 . 【答案】-3,3 【详解】,, 所以, 解得. 92．（23-24八年级·浙江丽水·期中）若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查求一元一次不等式的整数解，解一元一次方程，先求出不等式的解集，再求出最大整数解，代入得到关于a的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：解不等式，得， 不等式的最大整数解是1， 将代入，得， 解得， 故答案为：1． 93．（23-24八年级·广东江门·期中）已知关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和是 ． 【答案】15 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解答本题的关键是求出a的值． 首先求出不等式组的解集为，然后根据，可以求得a的值，从而可以得到所有满足条件的a的值之和． 【详解】解：由不等式组得：， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得：， ∵a是正整数， ∴，，，，5 ∴所有满足条件的正整数a的值之和为：． 故答案为：15． 94．（23-24八年级·重庆·期中）已知关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有自然数的值的和是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，先根据等式的性质求出方程的解，根据方程的解为非负整数得出关于的一元一次不等式，求出的取值，然后根据题意即可求解，熟练掌握解一元一次方程和解一元一次不等式时解题的关键． 【详解】解：， ， ， ∵关于的方程的解为非负整数， ∴， 则， 又∵为自然数， ∴， ∴符合条件的所有自然数的值的和是， 故答案为：． 95．（23-24八年级·安徽淮北·期中）如图是一种计算流程图，输入数，每次运算结果是否大于作为一次运算，若大于，则输出结果；若小于或等于，将计算结果重新赋给，重新运算． (1)若，，最终输出的值为 ； (2)若，程序进行了次运算后停止，则可取的最大整数为 ．    【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，一元一次不等式组的应用； （1）根据程序运行规则，将，，代入，进行计算即可求解； （2）根据运算进行了3次才停止，可列出关于的一元一次不等式组，解之即可求出的取值范围． 【详解】解：（1）当，， ， 继续计算：，输出； 故答案为：． （2）依题意， 解得： ∴可取的最大整数为， 故答案为：． 96．（23-24八年级·安徽阜阳·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，那么称该一元一次方程为该不等式组的子集方程． （1）在方程x﹣3＝0①，2x+1＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组的子集方程的序号：　 　； （2）写出不等式组的一个子集方程，使得它的解是整数：　 　； （3）若方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程，求m的取值范围． 【答案】（1）①③；（2）2x﹣2＝0；（3）0≤m＜1． 【分析】（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）解不等式组求得其整数解，根据子集方程的定义写出一个解为1的方程即可； （3）先求出方程的解和不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】（1）解方程x﹣3＝0，得：x＝3， 解方程2x+1＝0，得：x＝﹣， 解方程x﹣（3x+1）＝﹣5，得：x＝2， 解不等式组：， 得：＜x＜， 所以不等式组：， 子集方程是①③， 故答案为：①③； （2）解不等式2x﹣1＜3，得：x＜2， 解不等式3x+1＞﹣x﹣5，得：x＞﹣， 则不等式组的解集为：﹣＜x＜2， ∴其整数解为：﹣1、0、1， 则该不等式组的一个子集方程为：2x﹣2＝0． 故答案为：2x﹣2＝0； （3）解关于x的不等式组的得：m＜x≤m+2， ∵方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程， ∴0≤m＜1． 【点睛】本题考查了新定义，解一元一次方程和一元一次不等式组，理解子集方程的定义是解题的关键． 【考点30 不等式（组）的应用】 97．（23-24八年级·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务． 信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类． 信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元． 信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品． 任务1：求A奖品和B奖品的单价； 任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案； 任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案． 【答案】任务1：A奖品单价50元，B奖品单价为40元； 任务2：此次购买A奖品共有3种购买方案； 任务3：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品． 【分析】本题考查了二元一次方程组和不等式的实际应用，解答本题的关键是读懂题意，列出方程组或不等式． 任务1：设A奖品单价x元，B奖品单价y元．根据题意列方程组解答即可； 任务2：设获A奖品的人数为a人，则获B奖品的人数为人，根据题意列不等式组解答即可； 任务2：设购买A奖品m份，C奖品n份，则B奖品份，根据题意列出不等式组，解得关于m、n的不等式，由m、n都是正整数，即可得到答案． 【详解】任务1：设A奖品单价为x元，B奖品单价为y元，得： 解得： 答：A奖品单价为50元，B奖品单价为40元． 任务2：设购买A奖品a份，则购买B奖品份，得 解得：， a为正整数， a可取的值有11，12，13． 答：此次购买A奖品共有3种购买方案． 任务3： 设购买A奖品m份，C奖品n份， 则B奖品份数为：，依题意得： ， 解得：，即， m、n均为正整数， 可以取的值有：，，，，，，，，，，， 当时，，即，无解 当时，，即，所以 ，，此时奖品人数最多 方案为：购买A奖品11份，C奖品6份，B奖品12份，此时预算为（元），符合题意． 故答案为：购买11份A奖品，12份B奖品，6份C奖品． 98．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？ 【答案】(1)甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元 (2)四种方案：方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部；方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部． 【分析】（1）先设甲型号手机每台售价为x元，乙型号手机的每部进价为y元，根据题意列出方程组，解出x及y的值； （2）设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部，根据题意列出不等式组，求出a的取值范围，即可得出进货方案． 【详解】（1）解：设甲型号手机的每部进价为x元，乙型号手机的每部进价为y元， 根据题意，得：， 解得：， 答：甲型号手机的每部进价为元，乙型号手机的每部进价为元； （2）解：设购进甲型号手机a部，则购进乙型号手机部， 根据题意，得： ， 解得：， 为整数， 取或或或， 则进货方案有如下四种： 方案一：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部； 方案二：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部； 方案三：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部； 方案四：购进甲型号手机部，购进乙型号手机部． 99．（23-24八年级·河南郑州·期末）为确保学生进出校园安全，学校安装了人脸识别系统，设立了若干个验证通道供学生通行．七年级学生中午放学时间为，学校在分时打开验证通道，此时已有60位同学在排队等候，此后每分钟又有30位同学到达，已知每人通过时间为5秒（其它时间忽略）且每个通道通行人数相同． (1)若只开一个验证通道，打开验证通道3分钟后正在门口排队等候的人数为______人． (2)若同时打开两个验证通道，几分钟后正在排队人数恰为96人？ (3)请用不等式的知识说明至少同时打开几个通道，能够让以后到达的同学无需排队？ 【答案】(1)114 (2)6 (3)4 【分析】（1）根据，计算求解即可； （2）设分钟后正在排队人数恰为96人，依题意得，，计算求解即可； （3）由题意知，从到，共5分钟，设至少同时打开个通道，能够让以后到达的同学无需排队，依题意得，，计算求解并根据为正整数，求值即可． 【详解】（1）解：由题意知， ， ∴若只开一个验证通道，打开验证通道3分钟后正在门口排队等候的人数为114人， 故答案为：114； （2）解：设分钟后正在排队人数恰为96人， 依题意得，， 解得，， ∴若同时打开两个验证通道，6分钟后正在排队人数恰为96人； （3）解：由题意知，从到，共5分钟， 设至少同时打开个通道，能够让以后到达的同学无需排队， 依题意得，， 解得，， ∵为正整数， ∴的最小值为4， ∴至少同时打开4个通道，能够让以后到达的同学无需排队． 【点睛】本题考查了有理数混合运算的应用，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于理解题意，正确的列等式或不等式． 100．（2020·黑龙江·中考真题）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元． （1）该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元．求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案 （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值． 【答案】（1）、的值分别为和；（2）共3种方案分别为：方案一购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；方案二购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；方案三购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克；（3）的最大值为 【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以求得m、n的值； （2）根据题意，列出一元一次不等式组，解方程组即可得到购买方案； （3）分别求出三种方案的利润，然后列出不等式，即可求出答案． 【详解】解：（1）由题意得 ， 解得：； 答：、的值分别为和； （2）根据题意， 解得：， 因为是整数 所以为、、； ∴共3种方案，分别为： 方案一购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克； 方案二购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克； 方案三购甲种蔬菜千克，乙种蔬菜千克； （3）方案一的利润为：元， 方案二的利润为：元， 方案三的利润为：元， 利润最大值为元，甲售出，乙售出， ∴ 解得： 答：的最大值为； 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用二元一次方程组，以及不等式组的知识解答． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6.3 期中压轴题专项复习【30大考点100题】 （考试范围：第1~3章） 【浙教版】 【考点1 三角形的三边关系的应用】 2 【考点2 由三角形的中线求面积最值】 3 【考点3 与平行线有关的三角形的内角和问题】 3 【考点4 与折叠有关的三角形的内角和问题】 4 【考点5 与角平分线有关的三角形的内角和问题】 5 【考点6 三角形的外角与三角形的内角和的综合求值】 6 【考点7 不规则多边形的内角和】 8 【考点8 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】 9 【考点9 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】 11 【考点10 倍长中线模型】 12 【考点11 旋转模型】 13 【考点12 垂线模型】 14 【考点13 轴对称中的最短路径问题】 15 【考点14 格点中作等腰三角形】 16 【考点15 三角形中的多结论问题】 17 【考点16 等腰三角形的存在性问题】 19 【考点17 构成等腰三角形的点的个数】 19 【考点18 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】 20 【考点19 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】 21 【考点20 与三角形有关的新定义问题】 24 【考点21 勾股定理与网格问题】 26 【考点22 利用勾股定理证明线段平方关系】 28 【考点23 利用勾股定理求图形面积】 29 【考点24 确定构成直角三角形的点的个数】 30 【考点25 判断直角三角形】 31 【考点26 勾股定理的应用】 32 【考点27 与三角形有关的新定义问题】 33 【考点28 不等式中的整数解问题】 35 【考点29 不等式中的含参问题】 36 【考点30 不等式（组）的应用】 37 【考点1 三角形的三边关系的应用】 1．（23-24八年级·安徽安庆·期中）已知△ABC的两条高分别为4和12，第三条高也为整数，则第三条高所有可能值为（    ） A．3和4 B．1和2 C．2和3 D．4和5 2．（23-24八年级·江苏南京·期中）现有长分别为4，5，7，9，22（单位：cm）的五根直木条，从中选出四根围一个四边形木框，则该木框的对角线最长可以取到的整数是 ． 3．（23-24八年级·北京朝阳·期中）若三边均不相等的三角形三边a，b，c满足（a为最长边，c为最短边），则称它为“不均衡三角形”．例如，一个三角形三边分别为7，5，4，因为，所以这个三角形为“不均衡三角形”． （1）以下两组长度的小木棚能组成“不均衡三角形”的为 （填序号）． ①，，；    ②，，． （2）已知“不均衡三角形”三边分别为，16，直接写出x的整数值为 ． 【考点2 由三角形的中线求面积最值】 4．（23-24八年级·福建莆田·期中）如图，中，，的角平分线于，为的中点，则图中两个阴影部分面积之差的最大值（   ） A． B．3 C． D．9 5．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·期中）如图，三角形，点D在上且，点E在上且，与交点F，点G为的中点，连接，，若和的面积的和为19，则四边形的面积 ． 【考点3 与平行线有关的三角形的内角和问题】 6．（23-24八年级·辽宁沈阳·期中）在中，点在线段上，交于点，点在线段上（点不与点重合），连接，过点作交射线于点． (1)如图，当点在线段上时： ①求证：； ②求证：； (2)当点在线段上时，请直接用等式表示与的数量关系． 7．（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，直线CD//EF，点A、B分别在直线CD、EF上（自左向右分别为点C、A、D和点E、B、F），∠ABF=60°，射线AM自射线AB的位置开始，绕点A以每秒1°的速度沿逆时针方向旋转，同时，射线BN自射线BE开始以每秒5°的速度绕点B沿顺时针方向旋转，当射线BN旋转到BF的位置时，两者均停止运动，设旋转时间为x秒． (1)如图1，直接写出下列答案： ①∠BAD的度数是 ； ②当旋转时间x= 秒时，射线BN过点A． (2)如图2，若AMBN，求此时对应的旋转时间x的值． (3)若两条射线AM和BN所在直线交于点P， ①如图3，若点P在CD与EF之间，且∠APB=126°，求旋转时间x的值； ②若旋转时间x<24，求∠APB的度数（用含x的代数式表示）． 【考点4 与折叠有关的三角形的内角和问题】 8．（23-24八年级·山东青岛·期中）直线与直线垂直相交于，点在射线上运动，点在射线上运动，连接． （1）如图1，已知，分别是和角的平分线， ①点，在运动的过程中，的大小是否发生变化？若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出的大小． ②如图2，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则_______；如图3，将沿直线折叠，若点落在直线上，记作点，则________． （2）如图4，延长至，已知，的角平分线与的角平分线交其延长线交于，，在中，如果有一个角是另一个角的倍，求的度数． 9．（23-24八年级·安徽安庆·期中）在中，于点 （1）如图1，若的角平分线交于点，，，求的度数； （2）如图2，点分别在线段上，将折叠，点落在点处，点落在点处，折痕分别为和，且点，点均在直线上，若，试猜想与之间的数量关系，并加以证明； （3）在（2）小题的条件下，将绕点逆时针旋转一个角度（），记旋转中的为（如图3），在旋转过程中，直线与直线交于点，直线与直线交于点，若，是否存在这样的两点，使为直角三角形？若存在，请直接写出旋转角的度数；若不存在，请说明理由.    【考点5 与角平分线有关的三角形的内角和问题】 10．（23-24八年级·河南信阳·期中）【情景引入】： （1）如图，、分别是的内角、的平分线，说明的理由． 【深入探究】： （2）①如图，、分别是的两个外角、的平分线，与之间的等量关系是______ ； ②如图，、分别是的一个内角和一个外角的平分线，与之间的等量关系是______ ． 【拓展应用】： （3）请用以上结论解决下列问题：如图，在中，、分别平分、，、、分别在、、的延长线上，、分别平分、，、分别平分、． ①，则的度数为______ ； ②，则的度数为______ ．    11．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知线段AB与CD相交于点O，连接AD，BC．    (1)如图1，试说明：∠A+∠D＝∠B+∠C； (2)请利用（1）的结论探索下列问题： ①如图2，作AP平分∠DAB，交DC于点M，交∠BCD的平分线于点P，PC交AB于点N，若∠B+∠D＝80°，求∠P的大小； ②如图3，若∠B＝α，∠D＝β，∠P＝γ，且∠BAP∠BAD，∠BCP∠BCD，试探索α，β，γ之间的数量关系，并说明理由． 【考点6 三角形的外角与三角形的内角和的综合求值】 12．（23-24八年级·辽宁大连·期中）在四边形中，，，E是直线上一点，连接，． (1)如图1，当点E在线段上时，若，，则________； (2)已知，平分，平分，直线、交于点H，请画出图形，并求的度数（用含α的式子表示） 13．（23-24八年级·辽宁大连·期中）如图1，在中，点D是边上一点，过点D作，连接，若． (1)求证：； (2)若，点G是边上的一点，过点G作，点H在左侧，连接． ①如图2，当时，与的角平分线交于点M，求的度数； ②若，请直接写出 ． 14．（23-24八年级·浙江湖州·期中）已知：点在直线上，点都在直线上（点在点的左侧），连接，，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点为线段上一动点，连接，且始终满足． ①当时，在直线上取点，连接，使得，求此时的度数； ②在点的运动过程中，与的度数之比是否为定值，若是，求出这个值；若不是，说明理由． 【考点7 不规则多边形的内角和】 15．（23-24八年级·云南·阶段练习）（概念学习） 在平面中，我们把大于且小于的角称为优角，如果两个角相加等于，那么称这两个角互为组角，简称互组． （1）若、互为组角，且，则_____°； （理解运用） 习惯上，我们把有一个内角大于的四边形俗称为镖形． （2）如图①，在镖形中，优角与钝角互为组角，试探索内角、、与钝角之间的数量关系， （拓展延伸） （3）如图②，______；（用含α的代数式表示） （4）如图③，已知四边形中，延长、交于点Q，延长、交于P，的平分线交于点M，；直接运用（2）中的结论，试说明：． 16．（23-24八年级·江苏宿迁·期中）如图1，线段AB、CD相交于点O，连结AD、CB，我们把这个图形称为“8字型”根据三角形内角和容易得到：∠A+∠D=∠C+∠B. (1)用“8字型” 如图2,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=___________； (2)造“8字型” 如图3,∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G=_____________; (3)发现“8字型” 如图4，BE、CD相交于点A，CF为∠BCD的平分 线，EF为∠BED的平分线. ①图中共有________个“8字型”； ②若∠B：∠D：∠F=4：6：x，求x的值. 【考点8 分类讨论思想与全等三角形的综合运用】 17．（23-24八年级·贵州黔东南·期中）如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 (     ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（       ） A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16 18．（23-24八年级·河南周口·期中）如图，直线PQ经过Rt△ABC的直角顶点C，△ABC的边上有两个动点D、E，点D以1cm/s的速度从点A出发，沿AC→CB移动到点B，点E以3cm/s的速度从点B出发，沿BC→CA移动到点A，两动点中有一个点到达终点后另一个点继续移动到终点．过点D、E分别作DM⊥PQ，EN⊥PQ，垂足分别为点M、N，若AC=6cm，BC=8cm，设运动时间为t，则当t= s时，以点D、M、C为顶点的三角形与以点E、N、C为顶点的三角形全等． 19．（23-24八年级·重庆沙坪坝·期中）如图①，在中，，，，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当 时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 20．（23-24八年级·福建泉州·期中）如图，在中，是边上的高，是边上的高，相交于点，且．    (1)求证：． (2)动点从点出发，沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动，动点从点出发沿射线以每秒4个单位长度的速度运动，两点同时出发，当点到达点时，两点同时停止运动．设点的运动时间为秒 ①点是线段上的一点（不与点重合），当时，__________（用含的代数式表示）；设，则__________（用含的代数式表示） ②点是直线上的一点且．是否存在值，使以点为顶点的三角形与以点为顶点的三角形全等？若存在，请求出符合条件的值；若不存在，请说明理由． 【考点9 利用全等三角形的判定于性质证明一条线段等于两条线段的和差】 21．（23-24八年级·山西大同·阶段练习）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形． (1)如图1．已知：在中，，，直线l经过点A，直线l，直线l，垂足分别为点D、E．证明：． (2)组员小明对图2进行了探究，若，，直线l经过点A．直线l，直线l，垂足分别为点D、E．他发现线段、、之间也存在着一定的数量关系，请你直接写出段、、之间的数量关系， (3)数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题： 如图3，过的边、向外作正方形和正方形（正方形的4条边都相等，4个角都是直角），是边上的高，延长交于点，若，，求的长． 22．（23-24八年级·河南新乡·期中）已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，∠MBN绕B点旋转，它的两边分别交AD，DC（或它们的延长线）于E，F． （1）当∠MBN绕B点旋转到AE＝CF时（如图1），求证：△ABE≌△CBF． （2）当∠MBN绕点B旋转到AE≠CF时，如图2，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． （3）当∠MBN绕点B旋转到图3这种情况下，猜想线段AE，CF，EF有怎样的数量关系，并证明你的猜想． 23．（23-24八年级·江苏扬州·期中）我们知道，利用三角形全等可以证明两条线段相等．但是我们会碰到这样的“和差”问题： （1）如图1，CD为△ABC的高，∠ABC＝2∠A，证明：AD＝CB+BD （2）如图2，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠ADB，AB=3，CD=5，求AC的长度 （3）如图3，在四边形ABCD中，CB＝CD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是边AB，边AD上的两点，且∠ECF＝∠BCD，求证：BE+DF＝EF． （4）如图4，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝60°，点D是△ABC外角平分线上一点，DE⊥AC交CA延长线于点E，F是AC上一点，且DF＝DB．请直接写出AC、AE、AF之间的数量关系 【考点10 倍长中线模型】 24．（23-24八年级·江苏南通·期中）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，中，若，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1所示，延长到点，使，连接．请根据小明的思路继续思考： (1)由已知和作图能证得，得到，在中求得的取值范围，从而求得的取值范围是______________． 方法总结：上述方法我们称为“倍长中线法”．“倍长中线法”多用于构造全等三角形和证明边之间的关系； (2)如图2，是的中线，，试判断线段与的数量关系，并加以证明； (3)如图3，在中，是的三等分点．求证：． 25．（23-24八年级·浙江台州·期中）已知，在中，，点为边的中点，分别交，于点，． （1）如图1，①若，请直接写出______； ②连接，若，求证：； （2）如图2，连接，若，试探究线段和之间的数量关系，并说明理由． 【考点11 旋转模型】 26．（23-24八年级·山东济南·期中）在中，，点D是直线上一点（不与B、C重合），E是外一点，连接，已知，，连接 (1)如图1，点D在线段上，如果，则______度： (2)如图2，当点D在线段上，试判断与之间的数量关系，并说明理由； (3)当点D在线段的延长线上时，（2）中的结论是否成立？若不成立，请写出新的结论并说明理由． 27．（23-24八年级·湖北武汉·开学考试）【基本模型】    如图，是正方形，，当在边上，在边上时，如图1，、与之间的数量关系为__________． 【模型运用】当点在的延长线上，在的延长线上时，如图2，请你探究、与之间的数量关系，并证明你的结论：__________． 【拓展延伸】如图3，已知，，在线段上，在线段上，，请你直接写出、与之间的数量关系． 【考点12 垂线模型】 28．（23-24八年级·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知：四边形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=90°，三角形ABC的面积为1，则线段AC的长度是 . 29．（23-24八年级·浙江·期中）如图，Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AC＝BC，E点为射线CB上一动点，连结AE，作AF⊥AE且AF＝AE． （1）如图1，过F点作FD⊥AC交AC于D点，求证：FD＝BC； （2）如图2，连结BF交AC于G点，若AG＝3，CG＝1，求证：E点为BC中点． （3）当E点在射线CB上，连结BF与直线AC交子G点，若BC＝4，BE＝3，则　 　．（直接写出结果） 【考点13 轴对称中的最短路径问题】 30．（23-24八年级·浙江宁波·期中）如图，已知，平分，，在上，在上，在上．当取最小值时，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 31．（2024·贵州毕节·一模）如图，在等边△ABC中，BF是AC边上的中线，点D在BF上，连接AD，在AD的右侧作等边△ADE，连接EF，当△AEF周长最小时，∠CFE的大小是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 32．（23-24八年级·辽宁营口·阶段练习）如图，在中，，，，平分，点分别是，边上的动点，则的最小值是 ． 33．（23-24八年级·全国·课后作业）如图，在中，，，，点P，D分别为，上的动点，则的最小值是 ．    34．（23-24八年级·四川成都·期中）如图，等边三角形的边长为4，过点的直线，且与关于直线对称，为线段上一动点，则的最小值为 ．    【考点14 格点中作等腰三角形】 35．（23-24八年级·湖南长沙·阶段练习）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A，B是格点，以A、B、C为等腰三角形顶点的所有格点C的个数为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 36．（23-24八年级·辽宁盘锦·期中）如图，在的方格纸中，线段的端点均在格点上，请用无刻度直尺按要求画图．    (1)如图1，画出一条线段，使．，且点C在格点上； (2)如图2，画两线段，使是等腰直角三角形，且点C在格点上； (3)如图3，画线段，使它垂直平分线段，且点E，点F都在格点上． 37．（2024·江西抚州·一模）图①、图② 均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹． (1)在图①中找点D，连接、、，使得． (2)在图②中找点E，连接、，使得． 【考点15 三角形中的多结论问题】 38．（23-24八年级·江苏宿迁·阶段练习）如图，在锐角三角形中，是边上的高，分别以为一边，向外作正方形和（正方形四条边都相等，四个角都是直角），连接和与的延长线交于点，下列结论：①；②；③是的中线；④．其中正确结论的个数是（  ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 39．（23-24八年级·浙江绍兴·期中）如图，已知直线，直线分别交直线，于点，，平分交于点．是射线上一动点（不与点，重合）．平分交于点，设，．现有下列四个式子：①，②，③，④，在这四个式子中，正确的是(   ) A．①② B．①④ C．①③④ D．②③④ 40．（23-24八年级·重庆·阶段练习）如图，在中，，平分，平分，与交于点，为外一点，，连接．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是 （只需要填写序号）． 41．（23-24八年级·山东济南·期中）如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A、C、B三点共线，AE与BD相交于点P，AE与BD分别与CD、CE交于点M、N，有如下结论：①△ACE≌△DCB；②∠DPA＝60°；③AC＝DN；④EM＝BN；⑤DC∥EB，其中正确结论是 （填序号） 【考点16 等腰三角形的存在性问题】 42．（2024上·河南省直辖县级单位·八年级统考期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝124°，点D在BC边上，△ABD、△AFD关于直线AD对称，∠FAC的角平分线交BC边于点G，连接FG，，当的值等于 时，△DFG是以DF为腰的等腰三角形． 43．（2024上·河南三门峡·八年级校考期中）如图，在等腰三角形中，，，D为的中点，点E在上，，若点P是等腰三角形的腰上的一点，则当为等腰三角形时，的度数是 ． 44．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）在△ABC中，AB=AC，过△ABC的一个顶点，作一条直线把△ABC分成两个等腰三角形，则∠BAC= °. 【考点17 构成等腰三角形的点的个数】 45．（23-24八年级·陕西西安·期中）如图，在中，，．点为直线上一动点，若点与三个顶点中的两个顶点构造成等腰三角形，那么满足条件的点的位置有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 46．（23-24八年级·浙江嘉兴·期中）如图，在中，，，以的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【考点18 利用等腰三角形的判定与性质进行求值或证明】 47．（23-24八年级·福建厦门·期中）在中，，点在上，，在上找一点，使得，连接，若，则的长度为 ． 48．（23-24八年级·重庆沙坪坝·开学考试）如图，在中，于点D，过点A作，且，上有一点F，连接，若，，，则 ． 49．（23-24八年级·山东济南·期中）（1）情境观察： 如图①，中，，，，垂足分别为B、F，与交于点E，与全等吗？请说明理由； （2）问题探究： 如图②，中，，，平分，，与交于点E．猜想与之间的数量关系，并说明理由； （3）拓展延伸： 如图③，中，，，受图②结论的启发，小明在上取了一点D，作，，交于点E，若，请你帮小明求出的长． 50．（23-24八年级·福建泉州·阶段练习）如图，已知和均为等腰直角三角形，，点M为的中点，过点E与平行的直线交射线于点N．    (1)求证： M为的中点． (2)将图1中的绕点B旋转，当A、B、E三点在同一直线上时（如图2），求证：为等腰直角三角形； (3)将图1中绕点B旋转到图3位置，当A、B、N三点在同一直线上时（2）中的结论是否仍成立？若成立，试证明之，若不成立，请说明理由． 【考点19 利用等边三角形的判定与性质进行求值或证明】 51．（23-24八年级·吉林长春·阶段练习）如图，在中，，，，点在直线上，点是直线上点左边的一点，且，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线向终点匀速运动；同时动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿折线沿向终点匀速运动．两点到达相应的终点就分别停止运动，分别过点、点作于，于．设点的运动时间为 (1)用含的代数式表示的长． (2)当点在边上时，求证：． (3)连结，在不添加辅助线和连结其它线段的条件下，当图中存在等边三角形时，直接写出值． (4)当与全等时，直接写出的值． 52．（23-24八年级·贵州遵义·期中）已知在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． (1)【特殊情况，探索结论】 如图①，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：______（填“＞”“＜”或“＝”）． (2)【特例启发，解答题目】 如图②，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论，______（填“＞”“＜”或“＝”）． 理由如下，过点E作，交于点F（请你完成以下解答过程）． (3)【拓展结论，设计新题】 在等边三角形中，点E在直线上，点D在的延长线上，且，若的边长为1，，求的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）． 53．（23-24八年级·陕西西安·开学考试）在中，，D为延长线上一点，点E为线段的垂直平分线的交点，连接． (1)如图1，当时，则______°； (2)当时， ①如图2，连接，判断的形状，并证明； ②如图3，直线与交于点F，满足，．P为直线CF上一动点．当的值最大时，请探究表示与之间的数量关系并说明理由． 54．（23-24八年级·福建福州·单元测试）如图，在等边三角形中，，P是边上的任意一点，（点P可以与点A重合，不与点B重合）过点P作，垂足为E，过点E作，垂足为F，过点F作，垂足为Q，设． (1)请将用含的式子表示出来； (2)当的长等于多少时，点P与点Q重合？ (3)当时，求的长． 55．（23-24八年级·重庆渝北·期中）在中，，为的中线，的角平分线交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)如图1，若，请直接写出线段，间的数量关系：__ ； (2)如图2，若，求证：； (3)在（2）的条件下，如图3，在的外部作，使，过点作交于点，点在上，连接，，若与互余，的面积为18，求的长． 【考点20 与三角形有关的新定义问题】 56．（23-24八年级·湖南衡阳·期中）定义：在一个三角形中，如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为“开心角”，这个三角形叫做“开心三角形”．例如：在中，，，则与互为“开心角”，为“开心三角形”． 【概念理解】 (1)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°； (2)若为开心三角形，，则这个三角形中最小的内角为________°； (3)已知是开心中最小的内角，并且是其中的一个开心角，试确定的取值范围，并说明理由； 【应用拓展】 (4)如图，平分的内角，交于点E，平分的外角，延长和交于点P，已知，若是开心中的一个开心角，设，求的度数． 57．（23-24八年级·江苏盐城·期中）定义：若是同旁内角，并且满足，则称是的内联角． (1)如图1，已知是的内联角． ① 当时， _____； ② 当直线时，求的度数． (2)如图2，已知是的内联角，点O是线段上一定点． ①是的内联角吗？请说明理由； ② 过点O的直线分别交直线于点P、Q，若且是图中某个角的内联角．请直接写出是哪个角的内联角，以及此时的度数． 58．（23-24八年级·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．    (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和； ①如图（2），当时，求证：； ②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由． (2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值． 59．（23-24八年级·福建福州·期中）定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 60．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 【考点21 勾股定理与网格问题】 61．（23-24八年级·天津北辰·阶段练习）如图，顶点在格点上，为上的一个动点．    （Ⅰ）的长为 ； （Ⅱ）平分，在上求一点，使的值最小，用无刻度的直尺，在网格中画出、点和点，简要说明、点、点如何找到的 ． 62．（2024·浙江宁波·一模）如图，在的正方形网格中，按的形状要求，分别找出格点C，且使，并且直接写出对应三角形的面积． 63．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上.请用无刻度尺按要求作图： (1)在图1中，作的高； (2)在图2中作图： ①找一格点使，且； ②连接，在上画出一点，连，使将四边形的面积平分． 【考点22 利用勾股定理证明线段平方关系】 64．（23-24八年级·湖北孝感·期中）如图1，中，，D，E是直线上两动点，且．探究线段、、三条线段之间的数量关系：小明的思路是：如图2，将沿折叠，得，连接，看能否将三条线段转化到一个三角形中，…请你参照小明的思路，探究并解决下列问题： (1)猜想、、三条线段之间的数量关系，并证明； (2)如图3，当动点在线段上，动点运动在线段延长线上时，其它条件不变，（1）中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明． 65．（23-24八年级·江苏扬州·期中）在中，，是的中点，以为腰向外作等腰直角，，连接，交于点，交于点．    (1)若，求的度数； (2)求证：； (3)求证：． 66．（2024·北京海淀·一模）如图，在等腰直角中，，D是线段上一点（），连接，过点C作的垂线，交的延长线于点E，交的延长线于点F. （1）依题意补全图形； （2）若，求的大小（用含的式子表示）； （3）若点G在线段上，，连接. ①判断与的位置关系并证明； ②用等式表示之间的数量关系.    【考点23 利用勾股定理求图形面积】 67．（23-24八年级·全国·单元测试）如图是由“赵爽弦图”变化得到的，它由八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形、正方形、正方形的面积分别为，，．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 68．（23-24八年级·浙江温州·期中）有一个著名的希波克拉蒂月牙问题，如图：以AB为直径作半圆，点C从点A出发，沿着圆弧向点B方向运动（与点A、B不重合），连接AC、BC，以AC、BC为直径分别向外作半圆，将围成两个月牙形（阴影部分），面积分别为和，在点C的运动过程中，与之和的变化情况是（    ） A．一直增大 B．一直减少 C．一直不变 D．先增大后减小 69．（23-24八年级·四川成都·阶段练习）青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 70．（23-24八年级·江苏泰州·期末）我国古代伟大的数学家刘徽将一个直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，图中所示的长方形就是由两个这样的图形拼成.若（m、n为常数，且），则该长方形的面积是 ．（用含有m、n的代数式表示）    【考点24 确定构成直角三角形的点的个数】 71．（23-24八年级·广西玉林·期末）如图，在方格中作以为一边的，要求点C也在格点上，这样的能作出（    ） A．2个 B．4个 C．6个 D．7个 72．（23-24八年级·四川·阶段练习）如图，在中，，点在线段上以每秒个单位的速度从向移动，连接，当点移动 秒时，与的边垂直． 【考点25 判断直角三角形】 73．（23-24八年级·吉林白城·阶段练习）如图，在等腰直角的斜边上任取两点，使，记，则以为边长的三角形的形状是 ． 74．（23-24八年级·江苏泰州·期中）已知：如图，△ABC中∠ACB的平分线与AB的垂直平分线交于点D，DE⊥AC于点E，DF⊥BC交CB的延长线于点F． (1)求证：AE＝BF； (2)若AE＝7，BC＝10，AB＝26，判断△ABC的形状，并证明； (3)设AB=c， BC=a，AC=b(b>a)，若∠ACB=90°，且△ABC的周长与面积都等于30，求CE的长． 75．（23-24八年级·浙江温州·期中）如图有一块等腰三角形菜地，其中，点E为的中点．现需要开辟一块三角形的空地用于堆肥，已知． (1)你能确定的形状吗，请说明理由． (2)计算阴影部分的面积． 【考点26 勾股定理的应用】 76．（23-24八年级·山西太原·阶段练习）台风是一种自然灾害，它在以台风中心为圆心，一定长度为半径的圆形区域内形成极端气候，有极强的破坏力．如图，监测中心监测到一台风中心沿监测点B与监测点A所在的直线由东向西移动，已知点C为一海港，且点C与A， B两点的距离分别为300km、 400km，且∠ACB=90°，过点C作CE⊥AB于点E，以台风中心为圆心，半径为260km的圆形区域内为受影响区域． （1）求监测点A与监测点B之间的距离； （2）请判断海港C是否会受此次台风的影响，并说明理由； （3）若台风的速度为25km/h，则台风影响该海港多长时间？ 77．（23-24八年级·江苏无锡·阶段练习）背景介绍：勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．千百年来，人们对它的证明门庭若市，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者．向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 小试牛刀：把两个全等的直角三角形如图1放置，其三边长分别为a、b、c．显然，，．请用a、b、c分别表示出梯形、四边形、的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理： ______， ______， ______， 则它们满足的关系式为______，经化简，可得到勾股定理． 知识运用： （1）如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，C、D为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为A、B，千米，千米，则两个村庄的距离为______千米（直接填空）； （2）在（1）的背景下，若千米，千米，千米，要在上建造一个供应站P，使得，求出的距离． 知识迁移：借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值． 78．（23-24八年级·江苏无锡·期末）现有一个长、宽、高分别为5dm、4dm、3dm的无盖长方体木箱(如图,AB=5dm,BC=4dm,AE=3dm)． (1) 求线段BG的长； (2) 现在箱外的点A处有一只蜘蛛，箱内的点C处有一只小虫正在午睡，保持不动．请你为蜘蛛设计一种捕虫方案，使得蜘蛛能以最短的路程捕捉到小虫．(木板的厚度忽略不计) 【考点27 与三角形有关的新定义问题】 79．（23-24八年级·重庆江津·期中）定义：如图（1），若分别以的三边，，为边向三角形外侧作正方形，和，则称这三个正方形为的外展三叶正方形，其中任意两个正方形为的外展双叶正方形．    (1)作的外展双叶正方形和，记，的面积分别为和； ①如图（2），当时，求证：； ②如图（3），当时，与是否仍然相等，请说明理由． (2)已知中，，，作其外展三叶正方形，记，，的面积和S，请利用图（1）探究：当的度数发生变化时，的值是否发生变化？若不变，求出的值；若变化，求出的最大值． 80．（23-24八年级·福建福州·期中）定义：若P为内一点，且满足，则点P叫做的费马点． (1)如图1，若点O是等边的费马点，且，则这个等边三角形的高的长度为______； (2)如图2，已知，分别以为边向外作等边与等边，线段交于点P，连接，求证：点P是的费马点； (3)应用探究：已知有A、B、C三个村庄的位置如图3所示，能否在合适的位置建一个污水处理站Q，使得该处理站分别连接这三个村庄的水管长度之和最小？如果能，请你说明该如何确定污水处理站Q的位置，并证明该位置满足设计要求． 81．（2024·辽宁大连·一模）【模型定义】 它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．他们得知这种模型称为“手拉手模型”如果把小等腰三角形的腰长看作是小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角形有公共顶点，类似大手拉着小手． 【模型探究】 （1）如图，若和均为等边三角形，点、、在同一条直线上，连接，则的度数为 ；线段与之间的数量关系是 ． 【模型应用】 （2）如图，，，求证：； （3）如图，为等边内一点，且，以为边构造等边，这样就有两个等边三角形共顶点，然后连接，求的度数是 ． 【拓展提高】 （4）如图，在中，，，点为外一点，点为中点，，，求的度数．（用含有m的式子表示） （5）如图，两个等腰直角三角形和中，，，，连接，，两线交于点，请证明和的数量关系和位置关系． 82．（23-24八年级·江苏苏州·期中）定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (2)如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程． 【考点28 不等式中的整数解问题】 83．（23-24八年级·重庆北碚·阶段练习）已知关于x的方程的解是非负数，且关于的不等式组至多有3个整数解，则符合条件的所有整数的和为（    ） A．27 B．28 C．35 D．36 84．（2024八年级·全国·专题练习）若存在一个整数m，使得关于x，y的方程组的解满足，且让不等式只有3个整数解，则满足条件的所有整数m的和是（　　） A．12 B．6 C． D． 85．（23-24八年级·重庆忠县·期末）若整数a使关于x的不等式组至少有1个整数解，且使关于x，y的方程组的解为正整数，那么所有满足条件的a值之和为(   ) A．﹣17 B．﹣16 C．﹣14 D．﹣12 86．（23-24八年级·安徽合肥·期中）如果关于x的不等式组的整数解仅有7，8，9，设整数a与整数b的和为M，则M的值的个数为（　　） A．3个 B．9个 C．7个 D．5个 87．（23-24八年级·云南红河·期末）若不等式组的解集中的整数和为-5，则整数的值为 ． 88．（23-24八年级·福建泉州·期中）已知，同时满足，，若，，且x只能取两个整数，则a的取值范围是 ． 【考点29 不等式中的含参问题】 89．（23-24八年级·浙江宁波·期末）已知正整数，，均小于5，存在整数满足，则的值为 ． 90．（23-24八年级·湖北黄石·期末）已知实数，，满足，且有最大值，则的值是 ． 91．（23-24八年级·全国·单元测试）关于x的不等式组的解集为-3<x<3， 则a，b的值分别为 . 92．（23-24八年级·浙江丽水·期中）若不等式的最大整数解是方程的解，则a的值是 ． 93．（23-24八年级·广东江门·期中）已知关于x的不等式组的解集为，那么所有满足条件的正整数a的值之和是 ． 94．（23-24八年级·重庆·期中）已知关于的方程的解为非负整数，则符合条件的所有自然数的值的和是 ． 95．（23-24八年级·安徽淮北·期中）如图是一种计算流程图，输入数，每次运算结果是否大于作为一次运算，若大于，则输出结果；若小于或等于，将计算结果重新赋给，重新运算． (1)若，，最终输出的值为 ； (2)若，程序进行了次运算后停止，则可取的最大整数为 ．    96．（23-24八年级·安徽阜阳·期中）如果一元一次方程的解是一元一次不等式组的一个解，那么称该一元一次方程为该不等式组的子集方程． （1）在方程x﹣3＝0①，2x+1＝0②，x﹣（3x+1）＝﹣5③中，写出是不等式组的子集方程的序号：　 　； （2）写出不等式组的一个子集方程，使得它的解是整数：　 　； （3）若方程x＝1，x＝2都是关于x的不等式组的子集方程，求m的取值范围． 【考点30 不等式（组）的应用】 97．（23-24八年级·江苏南通·期中）【综合与实践】根据以下信息，探索完成设计购买方案的任务． 信息1：某校初一举办了科技比赛，学校为获奖的40名同学每人购买一份奖品，奖品分为，，三类． 信息2：若购买2份A奖品和3份B奖品共需220元；购买3份A奖品和2份B奖品共需230元．单独购买一份C奖品需要15元． 信息3：计划获A奖品的人数要少于获B奖品的人数．购买时有优惠活动：每购买1份A奖品就赠送一份C奖品． 任务1：求A奖品和B奖品的单价； 任务2：若获A奖品的人数等于获C奖品的人数，且获得A奖品的人数超过10人，求此次购买A奖品有几种方案； 任务3：若购买奖品的总预算不超过1150元，要让获A奖品的人数尽量多，请你直接写出符合条件的购买方案． 98．（23-24八年级·湖北武汉·阶段练习）某手机经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的手机，若购进2部甲型号手机和1部乙型号手机，共需要资金2800元；若购进3部甲型号手机和2部乙型号手机，共需要资金4600元． (1)求甲、乙型号手机每部进价为多少元？ (2)该店计划购进甲、乙两种型号的手机销售，预计用不多于1.8万元且不少于1.74万元的资金购进这两种型号的手机共20台，请问有几种进货方案？ 99．（23-24八年级·河南郑州·期末）为确保学生进出校园安全，学校安装了人脸识别系统，设立了若干个验证通道供学生通行．七年级学生中午放学时间为，学校在分时打开验证通道，此时已有60位同学在排队等候，此后每分钟又有30位同学到达，已知每人通过时间为5秒（其它时间忽略）且每个通道通行人数相同． (1)若只开一个验证通道，打开验证通道3分钟后正在门口排队等候的人数为______人． (2)若同时打开两个验证通道，几分钟后正在排队人数恰为96人？ (3)请用不等式的知识说明至少同时打开几个通道，能够让以后到达的同学无需排队？ 100．（2020·黑龙江·中考真题）某农谷生态园响应国家发展有机农业政策，大力种植有机蔬菜，某超市看好甲、乙两种有机蔬菜的市场价值，经调查甲种蔬菜进价每千克元，售价每千克元；乙种蔬菜进价每千克元，售价每千克元． （1）该超市购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元；购进甲种蔬菜千克和乙种蔬菜千克需要元．求，的值． （2）该超市决定每天购进甲、乙两种蔬菜共千克，且投入资金不少于元又不多于元，设购买甲种蔬菜千克，求有哪几种购买方案 （3）在（2）的条件下，超市在获得的利润取得最大值时，决定售出的甲种蔬菜每千克捐出元，乙种蔬菜每千克捐出元给当地福利院，若要保证捐款后的利润率不低于，求的最大值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$