3.3指数函数（2知识点+12题型+巩固训练）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（北师大版2019必修第一册）

3.3指数函数 课程标准 学习目标 1.通过指数函数的图象和性质的探究，培养直观想象等核心素养.2.通过求指数函数的定义域、值域，提升数学运算等核心素养. 1.理解指数函数的概念，能画出指数函数的图象. 2.初步掌握指数函数的性质，并能解决与指数函数有关的定义域、值域问题。 知识点01 指数函数的定义 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量． 【结构特征】 (1) 底数：大于零且不等于1的常数； (2) 指数：仅有自变量； (3)系数：的系数是1. 【即学即练1】（23-24高一·全国·课堂例题）下列函数是指数函数吗？ ①；②；③；④. 【即学即练2】（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数（且）． (1)求证：若，则； (2)求的值． 知识点02指数函数的图像与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 【即学即练3】（23-24高一·全国·课堂例题）观察同一直角坐标系中函数的图象如图所示，能得到什么规律？ 【即学即练4】（21-22高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数. (1)在平面直角坐标系中画出函数的； (2)根据函数的指出其单调递增区间和最大值与最小值. 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若对，都存在，使得，求的取值范围. 【题型1：指数函数的判断与求解】 例1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 变式4（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知关于x的不等式的解集为，函数（且）为指数函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式5．（23-24高一·上海·课堂例题）下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数中a的取值范围是 . 变式7．（23-24高一上·浙江宁波·期中）若指数函数的图象过点，则的解析式为 ． 变式8．（23-24高一上·北京·期中）函数且的图象经过点，则 . 【方法技巧与总结】判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求； (2)ax前的系数是否为1； (3)指数是否符合要求 【题型2：指数函数求值】 例2．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 变式1．（2024高二下·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 变式2．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中，若，则实数a的值等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式4．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 变式5．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 变式6．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数型函数，满足，，则 ． 变式7．（24-25高一上·上海·课后作业）若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 变式8．（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数（且）的图像过点，若时，；时，，则 ． 【题型3：指数函数的图像】 例3．（23-24高一下·全国·课后作业）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 变式3．（21-22高一上·全国·课后作业）指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 变式4．(多选)（22-23高一上·广东·阶段练习）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 变式5．（多选）（23-24高一上·四川·期中）已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（    ） A． B． C． D． 变式6．（24-25高一上·上海·单元测试）如果且，那么函数的图像在第 象限． 变式7．（22-23高一上·山东淄博·期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为 . 变式8．（23-24高一·上海·课堂例题）若函数的图象不经过第二象限，求实数m的取值范围. 【方法技巧与总结】处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 【题型4：指数函数过定点问题】 例4．（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．1 C． D． 变式2．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（ ） A． B．9 C． D．8 变式3．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 变式4．（23-24高一上·天津·期末）函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 变式5．（24-25高一上·上海·单元测试）若函数（且）经过的定点是P，则P点的坐标是 ． 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）的图像恒过定点P，则点P的坐标为 ；若点P在直线上，其中，则的最小值为 ． 变式7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象恒过定点，则函数的图象不经过第 象限． 变式8．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的图象经过定点，则 . 【方法技巧与总结】形如指数型函数求定点： ①求x，令f(x)=0求解x; ②求y=A+B 【题型5：指数函数的定义域】 例5．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 变式2．（21-22高一上·广西河池·阶段练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式3．（21-22高一上·山东枣庄·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 变式4．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为 ． 变式5．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的定义域为 ． 变式6．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的定义域为 ． 变式7．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数的定义域为 . 变式8．（21-22高一·全国·课后作业）函数若函数的定义域是，则的取值范围是 ． 变式9．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)． 变式10．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数在区间上有意义，求的取值范围. 【方法技巧与总结】形如的函数的定义域就是的定义域． 【题型6：指数函数比较大小】 例6．（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 变式1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则m，n的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 变式2．（23-24高一上·四川乐山·期中）在，，，这四个数中，最大的数为（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24高一上·云南昆明·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式4．（23-24高一上·河南郑州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 变式5．（23-24高一上·山西·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，函数，若实数、满足，则、的关系为 ． 变式7．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 变式8．（23-24高一上·广东东莞·期中）设，，，则，，从小到大排序是 ．（用“”连接） 变式9．（24-25高一上·全国·课堂例题）比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【方法技巧与总结】比较幂的大小的方法: 1同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较. 2指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小. 3底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较. 4当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论. 【题型7：指数方程与指数不等式】 例7．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 变式2．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知，则的取值范围 ． 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知不等式，且，则实数x的取值范围为 ． 变式4．（24-25高一上·上海·课后作业）若存在满足，则的取值范围是 ． 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 变式6．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 ． 变式7．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知（，且），求x的取值范围． 变式8．（24-25高一上·上海·随堂练习）解不等式． (1)； (2)（其中且）． 变式9．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若时，的最小值为，求的值． 【方法技巧与总结】解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解． 【题型8：指数函数的值域】 例8．（20-21高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 变式1．（23-24高一下·广东茂名·期中）定义运算：，则函数的值域为 ． 变式2．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 . 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在上的最小值是 ． 变式4．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ． 变式5．（23-24高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 . 变式6．（23-24高一下·湖南·期中）已知，函数的值域为，则的取值范围是 ． 8．（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 变式8．（23-24高一上·北京大兴·期末）指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于 . 变式9．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数. (1)若函数是上的奇函数，求实数的值； (2)若函数在上的最小值是4，救实数的值. 变式10．（23-24高一下·全国·随堂练习）已知函数，求的值域； 【方法技巧与总结】（1）复合函数的值域求法，从内到外，依次换元，变为求基本初等函数的值域问题； （2）换元一定要求新变元的范围，它是外层函数的定义域。 【题型9：指数函数的单调性】 例9．（23-24高一上·贵州·阶段练习）下列函数为奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 变式1．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列选项中满足在定义域上单调递增的函数为（    ） A． B． C． D． 变式2．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知函数，则函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 变式3．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式4．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 变式5．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6．(多选)（23-24高一上·陕西榆林·期中）下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 变式7．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）函数的单调递增区间是 变式8.（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则的单调递减区间为 . 【方法技巧与总结】复合函数求单调区间 第一步∶将原函数分解为内外函数 第二步∶分别判断内外函数的单调性 第三步∶根据“同增异减”口诀，得出单调区间 【题型10：指数函数的最值】 例10．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 变式1．（23-24高三上·北京·阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2．（23-24高一下·河南新乡·期末）函数的最大值为 . 变式3．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值为 ． 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数在内是严格增函数，则 . 变式5．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值是7，则 . 变式6．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数（，且）. (1)若函数的图象过和两点，求在上的值域； (2)若，且函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 变式7．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 变式8．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 变式9．（23-24高一·上海·课堂例题）已知指数函数（且）在区间上的最大值与最小值之和等于6，求实数a的值． 变式10．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 变式11．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）设函数是定义在上的奇函数. (1)求的值，并判断的单调性（不证明）； (2)若，且在上的最小值为，求的值. 【题型11：指数函数的奇偶性与对称性】 例11．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于原点对称 D．关于轴对称 变式1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 变式3．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知定义域为R的函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围． 变式4．（22-23高一上·河南郑州·期中）已知不等式的解集为. (1)求的值， (2)若，，，求的最大值. 变式5.（22-23高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数． (1)求证：函数在R上单调递增； (2)求关于的不等式的解集． 变式6．（23-24高一上·西藏那曲·期末）已知函数． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求的值域． 变式7．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知偶函数的定义域为，. (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并给出证明. 变式8．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明： (3)求不等式的解集. 变式9．（23-24高一下·甘肃兰州·开学考试）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； 变式10．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数． (1)设，判断并证明函数的奇偶性； (2)求关于的不等式的解集． 变式11．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)解不等式. 【题型12：指数函数恒成立与存在成立问题】 例12．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为 . 变式1．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 变式2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)若的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． (2)当时，是否存在实数m，使得对任意的成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 变式3．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，且满足． (1)求； (2)当时，判断和的大小关系． 变式4．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数的图像过原点，且． (1)求实数的值； (2)若，写出的最大值； (3)设，直接写出的解集． 变式5．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数． (1)当时，不等式总成立，求a的取值范围； (2)试求函数（）在的最大值． 变式6．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 变式7．（23-24高一上·北京通州·期末）函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 变式8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求实数的值，使得为偶函数； (2)当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围. 变式9．（23-24高一上·广东揭阳·期末）已知定义在上的奇函数，且对定义域内的任意x都有，当时，． (1)用单调性的定义证明在上单调递减； (2)若，对任意的，存在，使得成立，求a的取值范围． 【方法技巧与总结】恒成立和存在性问题类型 （1）单变量的恒成立问题 ①x∈D，f（x）<a恒成立，则f（x）max<a ②x∈D，f（x）>a恒成立，则f（x）min >a ③x∈D， f（x）< g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）max<0 ④x∈D， f（x）> g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）min>0 （2）单变量的存在性问题 ①xo∈D，使得 f（xo）< a 成立，则 f（x）min<a ②xo∈D，使得f（xo）>a成立，则f（x）max>a ③xo∈D，使得 f（xo）<g（xo）恒成立，则F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）min<0 ④xo∈D，使得 f（xo）> g（xo）恒成立，则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）max>0 （3）双变量的恒成立与存在性问题 ①x1∈D，x2∈ E，使得 f（x1）<g（x2）恒成立，则 f（x）max<g（x）max ； ②x1∈D，x2∈ E，使得f（x1）>g（x2）恒成立，则f（x）min>g（x）min ； ③x1∈D，x2∈ E，f（x1）< g（x2）恒成立，则 f（x）max<g（x）min ； ④x1∈D，x2∈ E，使得f（x1）<g（x2）恒成立，则f（x）min<g（x）max . （4）相等问题 ①x1∈D，x2∈ E，使得f（x1）= g（x2），则两个函数的值域的交集不为空集； ②x1∈D，x2∈ E，使得f（x1）= g（x2），则 f（x）的值域 g（x）的值域. 一、单选题 1．（23-24高一·上海·课堂例题）若指数函数（且）在上是严格减函数，则下列不等式中，一定能成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 2．（21-22高一上·广东湛江·期末）已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 3．（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数图象经过点，那么这个指数函数可能经过（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 5．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 6．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 7．（23-24高一上·江西景德镇·期末）当且时，函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 8．（23-24高一上·北京石景山·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数（），则下列说法错误的是（    ） A．，使得 B．，都有 C．是偶函数 D．有最小值 10．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 11．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．方程在上有解 C．函数的图象过定点 D．当时，函数在其定义域上为增函数 三、填空题 12．（23-24高一上·天津·期中）函数的定义域为 ． 13．（22-23高一下·上海静安·开学考试）不等式的解集为 ． 14．（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为 . 四、解答题 15．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数（，且）． (1)若函数的图象过和两点，求的解析式； (2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值． 16．（23-24高一上·云南昭通·期末）对于函数. (1)探索函数的单调性并用定义证明； (2)是否存在实数a使函数为奇函数？ 17．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知定义在上的函数，是奇函数，且． (1)求实数a，b的值； (2)判断函数在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明． 18．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知函数是R上的奇函数. (1)求m的值； (2)比较与0的大小，并说明理由. 19．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知函数（），函数为奇函数 (1)求出的值，判断函数的单调性，并予以证明； (2)若对，不等式恒成立，求的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.3指数函数 课程标准 学习目标 1.通过指数函数的图象和性质的探究，培养直观想象等核心素养.2.通过求指数函数的定义域、值域，提升数学运算等核心素养. 1.理解指数函数的概念，能画出指数函数的图象. 2.初步掌握指数函数的性质，并能解决与指数函数有关的定义域、值域问题。 知识点01 指数函数的定义 一般地，函数（且）叫做指数函数，其中是自变量． 【结构特征】 (1) 底数：大于零且不等于1的常数； (2) 指数：仅有自变量； (3)系数：的系数是1. 【即学即练1】（23-24高一·全国·课堂例题）下列函数是指数函数吗？ ①；②；③；④. 【答案】答案见解析． 【分析】利用指数函数的定义判断. 【详解】因为形如（且）的函数为指数函数， 所以它们都不满足指数函数的定义，所以都不是指数函数． 【即学即练2】（24-25高一上·全国·单元测试）已知函数（且）． (1)求证：若，则； (2)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）直接根据函数的定义、的关系代入运算即可求解； （2）利用（1）中结论配对运算即可求解. 【详解】（1）由， 得， 则 ． （2）原式 ． 知识点02指数函数的图像与性质 图象 性质 定义域 值域 过定点 单调性 在上是增函数 在上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 【即学即练3】（23-24高一·全国·课堂例题）观察同一直角坐标系中函数的图象如图所示，能得到什么规律？ 【答案】答案见解析 【详解】（1）当时，a的值越大，图象越靠近y轴，递增速度越快． （2）当时，a的值越小，图象越靠近y轴，递减的速度越快． （3）底数互为倒数时，图象关于y轴对称，即与图象关于y轴对称． 【即学即练4】（21-22高一上·重庆璧山·阶段练习）已知函数. (1)在平面直角坐标系中画出函数的； (2)根据函数的指出其单调递增区间和最大值与最小值. 【答案】(1)画图见解析 (2)单调递增区间为，最大值为1，无最小值 【分析】（1）将表示为分段函数的形式，由此画出的图象. （2）根据图象可得函数的单调增区间和最值. 【详解】（1）， 所以的图象如下图所示： （2）根据的图象可知： 的单调递增区间为， 最大值为，无最小值. 难点：分类讨论思想的运用 示例1：（23-24高一上·浙江宁波·期中）已知函数，函数. (1)若，求函数的最小值； (2)若对，都存在，使得，求的取值范围. 【答案】(1)2 (2) 【分析】（1）首先利用指数运算，化简函数，再利用换元，结合对勾函数的单调性，即可求解函数的最值； （2）首先将函数和在定义域的值域设为，由题意可知，，确定的取值范围，再讨论去绝对值，求集合，根据子集关系，比较端点值，即可求解. 【详解】（1）若， ， 因为，令，则， 又因为在上单调递增， 当，即时，函数取得最小值2； （2）设在上的值域为，在上的值域为， 由题意可知，，由（1）知， 因为，解得：或， 当时，且，则， 可得， 可得的最大值为，最小值为， 即，可得，解得：， 当时，且，， 可得， 可知，的最大值为，最小值为， 即，可得，解得：， 综上可知，的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是求函数的值域，根据，缩小的取值范围，再讨论去绝对值. 【题型1：指数函数的判断与求解】 例1．（24-25高一上·全国·随堂练习）下列各函数中，是指数函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数概念判定. 【详解】形如的函数为指数函数. 故是指数函数，其他选项函数都不是指数函数. 故选：D. 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）下列函数中，指数函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数的定义即可求解. 【详解】指数函数的概念：函数且叫做指数函数，其中指数是自变量，定义域是R. 对A,选项不满足形式； 对B，符合定义； 对C,系数为,不满足定义； 对D，指数为,不满足定义. 故选：B. 变式2．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设，（且），代入点运算求解即可. 【详解】设，（且）， 因为函数的图象过点，则，解得， 所以. 故选：B. 变式3．（23-24高一上·陕西西安·阶段练习）若指数函数的图象过点，则的解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出解析式，用待定系数法可得结果. 【详解】设，因的图象过点， 则，得，所以， 故选：C. 变式4（23-24高一上·河北邯郸·期中）已知关于x的不等式的解集为，函数（且）为指数函数，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由不等式的解集为，可得，再由为指数函数可得，代入运算可得解. 【详解】因为不等式的解集为，所以，即， 又为指数函数， ，所以，，且， . 故选：A. 变式5．（23-24高一·上海·课堂例题）下列函数是指数函数的序号为 ．（请填入全部正确的序号） ①；    ②；    ③；    ④；    ⑤． 【答案】②③⑤ 【分析】根据指数函数的定义判断即可. 【详解】形如且的函数叫做指数函数， 因此②③⑤对. 故答案为：②③⑤. 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数中a的取值范围是 . 【答案】且 【分析】根据指数函数的定义填写即可. 【详解】根据指数函数的定义，知，且. 故答案为：且. 变式7．（23-24高一上·浙江宁波·期中）若指数函数的图象过点，则的解析式为 ． 【答案】 【分析】设出函数解析式，待定系数法求出解析式. 【详解】设（且），故，解得， 故. 故答案为： 变式8．（23-24高一上·北京·期中）函数且的图象经过点，则 . 【答案】 【分析】代入点的坐标求出的值，从而求出函数解析式. 【详解】因为函数且的图象经过点， 所以，解得，所以. 故答案为： 【方法技巧与总结】判断一个函数是否为指数函数的方法 (1)底数的值是否符合要求； (2)ax前的系数是否为1； (3)指数是否符合要求 【题型2：指数函数求值】 例2．（22-23高一上·广东东莞·期中）若函数是指数函数，则的值为（    ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】根据指数函数的概念可得且且，解之可得，进而求解. 【详解】函数是指数函数， 且且，解得， ，. 故选：A． 变式1．（2024高二下·安徽·学业考试）若函数是指数函数，则有（    ） A． B． C．或 D．，且 【答案】A 【分析】根据指数函数定义求参. 【详解】因为是指数函数， 所以，且 所以. 故选：A. 变式2．（24-25高一上·全国·课堂例题）若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数的定义即可求解. 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数，所以，解得：且； 故选：C 变式3．（24-25高一上·上海·单元测试）已知函数，其中，若，则实数a的值等于（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据分段函数的解析式即可求解. 【详解】，， ∴， ∴. 故选：B. 变式4．（多选）（24-25高一上·全国·课后作业）（多选）若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则实数m的值为（    ） A．2 B．3 C．－1 D．1 【答案】AC 【分析】运用指数函数概念可解. 【详解】若函数（a＞0，且a≠1）是指数函数，则满足， 解得或. 故选：AC． 变式5．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知指数函数，则的值为 . 【答案】27 【分析】根据指数函数定义求得，进而代入求解即可. 【详解】因为为指数式，则，解得或， 又因为且，可得，即， 所以. 故答案为：27. 变式6．（24-25高一上·全国·课后作业）若指数型函数，满足，，则 ． 【答案】 【分析】由，，代入函数解析式，结合指数型函数的性质，解出的值即可得. 【详解】指数型函数，有且， 由，解得，所以. 故答案为：. 变式7．（24-25高一上·上海·课后作业）若指数函数（且）的图象经过点，当时， ． 【答案】/0.015625 【分析】先根据已知求出参数的值，然后将代入函数表达式即可求解. 【详解】由题意，注意到且，所以解得， 所以指数函数解析式为， 当时，. 故答案为：. 变式8．（24-25高一上·上海·随堂练习）指数函数（且）的图像过点，若时，；时，，则 ． 【答案】64 【分析】将点代入解析式得出，进而由解析式得出. 【详解】因为指数函数（且）的图像过点， 所以或（舍）. 若时，；时，， 因此. 故答案为：64. 【题型3：指数函数的图像】 例3．（23-24高一下·全国·课后作业）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数奇偶性以及指数函数性质，利用排除法即可得出结论． 【详解】易知函数定义域为， 且满足，可得其为偶函数，图象关于轴对称； 又当时，，因此排除A， 又， 利用指数函数图象性质可知其在上单调递增，且增长速度越来越快，即排除CD， 故选：B. 变式1．（24-25高一上·上海·随堂练习）在下图中，二次函数与指数函数的图像只可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用排除法，根据指数函数和二次函数的图象与性质分析判断即可 【详解】因为为指数函数，所以，且， 所以， 因为二次函数的对称轴为直线，所以排除BD， 由指数函数的图象可知，所以， 所以二次函数图象顶点的横坐标在内，所以C错误， 故选：A 变式2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）的图象在第二、三、四象限内，则（　　） A． B．且 C．且 D． 【答案】C 【分析】根据满足条件的指数型函数的图象，列不等式求结果． 【详解】如图所示，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上（纵截距小于零），即，且， ，且． 故选：． 变式3．（21-22高一上·全国·课后作业）指数函数与的图象如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数的性质即可得答案. 【详解】解：因为函数的图象是下降的，所以； 又因为函数的图象是上升的，所以. 故选：C. 变式4．(多选)（22-23高一上·广东·阶段练习）函数的图象如图所示，其中为常数，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据函数与的图象，利用图像平移即可求解. 【详解】由的图象可以观察出函数在定义域上单调递减，所以， 函数的图象是在的图象的基础上向左平移得到的，所以. 故选：AC 变式5．（多选）（23-24高一上·四川·期中）已知函数（且的图象如图所示，则函数的大致图象不可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】由指数函数的图象特征，结合幂函数在第一象限的图象特征可得答案. 【详解】根据题意可得， 的图象是向上平移a个单位得到的， 结合幂函数的性质可知在上为单调递增函数， 当a为奇数时，图象如C选项所示；当a为偶数时，图象如B选项所示， 选项A，D不符合题意． 故选：AD. 变式6．（24-25高一上·上海·单元测试）如果且，那么函数的图像在第 象限． 【答案】一、三、四 【分析】根据指数函数图像性质及函数的平移可得解. 【详解】如图所示， 由，可知经过一、二象限，且恒过点，函数值域为 当时，，当时，， 函数使由向下平移个单位，且， 所以图象过，而在y轴负半轴上，如图 即存在，使，且函数的值域为， 所以函数过第一、三、四象限， 故答案为：一、三、四. 变式7．（22-23高一上·山东淄博·期末）若函数的图象不经过第一象限,则的取值范围为 . 【答案】 【分析】图象不经过第一象限,只需,代入解析式,解出不等式即可. 【详解】解:由题知, 若函数单调递减，其图象不经过第一象限,必有图象与y轴交点不在y轴正半轴上， 只需即可, 即, 解得: . 故答案为: 变式8．（23-24高一·上海·课堂例题）若函数的图象不经过第二象限，求实数m的取值范围. 【答案】 【分析】利用指数型函数的性质即可得解. 【详解】因为函数单调递增，又过点， 若的图象不经过第二象限，则，即， 即实数的取值范围为. 【方法技巧与总结】处理函数图象问题的策略 (1)抓住特殊点：指数函数的图象过定点(0,1)，求指数型函数图象所过的定点时，只要令指数为0，求出对应的y的值，即可得函数图象所过的定点． (2)巧用图象变换：函数图象的平移变换(左右平移、上下平移)． (3)利用函数的性质：奇偶性与单调性． 【题型4：指数函数过定点问题】 例4．（23-24高一上·新疆·期末）函数（且）的图像过定点，则定点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据且恒成立可解决此题． 【详解】由函数（且） 令，即， 可得， 所以函数的图象恒过定点． 故选：A． 变式1．（23-24高一上·江苏南京·阶段练习）已知函数的图像恒过定点，且点在直线上，则的最小值为（    ） A．4 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】利用代换1法,结合均值不等式来求最小值. 【详解】由函数的图像恒过定点， 再由点在直线上，则， 而， 取等号条件是,此时， 故选：C. 变式2．（2024高三·全国·专题练习）函数的图象过定点，且定点的坐标满足方程，其中，，则的最小值为（ ） A． B．9 C． D．8 【答案】B 【分析】先利用指数函数的性质求得定点，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解. 【详解】对于函数，令，得，， 所以函数的图象恒过定点， 又定点的坐标满足方程，所以，即， 又，，所以， 当且仅当，即，时取等号， 的最小值为. 故选：B. 变式3．（23-24高一下·辽宁抚顺·开学考试）已知函数的图象恒过定点P，则P点的坐标为（    ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数型函数所过的定点求解即可. 【详解】令，解得，则，即过定点. 故选：B 变式4．（23-24高一上·天津·期末）函数（且）无论取何值，函数图像恒过一个定点，则定点坐标为 . 【答案】 【分析】根据题意，令，求得和，即可求解. 【详解】由函数（且）， 令，解得，则，所以函数恒经过定点. 故答案为：. 变式5．（24-25高一上·上海·单元测试）若函数（且）经过的定点是P，则P点的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据的图象过点可得答案. 【详解】的图象过点， 图象由的图象右移3个单位、上移7个单位得到， 故过定点． 故答案为：． 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数（且）的图像恒过定点P，则点P的坐标为 ；若点P在直线上，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】令指数部分为0解得定点横坐标为4，则可求得指数函数过的定点；由前面的解析可得，结合基本不等式中的乘“1”法即可求得的最小值. 【详解】因为恒过定点， 所以（且）过定点P（4，1）所以，即， 所以 ， 当且仅当即时等号成立， 所以的最小值为9． 故答案为：. 变式7．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的图象恒过定点，则函数的图象不经过第 象限． 【答案】三 【分析】令可得的图象恒过定点，则，结合指数型函数的图象与性质即可下结论. 【详解】令，得，，所以的图象恒过定点， 所以，则，为减函数，且其图象过点， 所以的图象不经过第三象限． 故答案为：三 变式8．（23-24高一下·上海·阶段练习）已知函数的图象经过定点，则 . 【答案】1 【分析】根据指数函数过定点的性质，列出相应方程，即可求得答案. 【详解】由题意知函数的图象经过定点， 故,解得,故, 故答案为；1 【方法技巧与总结】形如指数型函数求定点： ①求x，令f(x)=0求解x; ②求y=A+B 【题型5：指数函数的定义域】 例5．（25-26高一上·全国·课后作业）函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数的单调性，结合分母不为零、交集思想进行求解即可. 【详解】函数的定义域满足，解得且． 则函数定义域为， 故选：D 变式1．（24-25高一上·全国·课后作业）函数的定义域是（    ） A．R B． C． D．且 【答案】C 【分析】由题意可知：要有意义，进而可得定义域. 【详解】由题意可知：要有意义，可得， 所以函数的定义域是. 故选：C. 变式2．（21-22高一上·广西河池·阶段练习）设函数，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出的定义域，再令满足的定义域范围求出的范围即可得的定义域. 【详解】由即可得 所以的定义域为， 令，可得，所以函数的定义域为， 故选：A． 变式3．（21-22高一上·山东枣庄·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抽象函数的定义域求解，要注意两点，一是定义域是x的取值范围；二是同一对应法则下，取值范围一致. 【详解】的定义域为，，即， ，解得：且， 的定义域为. 故选：. 变式4．（23-24高一上·内蒙古赤峰·期末）函数的定义域为 ． 【答案】． 【分析】根据指数函数定义域及根号下大于等于0且分母不等于0得到不等式，解出即可. 【详解】由题意得，解得，则其定义域为. 故答案为：. 变式5．（23-24高一上·黑龙江哈尔滨·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】函数的定义域满足，解得答案. 【详解】函数的定义域满足：，解得且. 故答案为： 变式6．（24-25高一上·全国·随堂练习）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】利用分母不为0即可求解. 【详解】由，解得：，所以函数的定义域为. 故答案为： 变式7．（23-24高一上·安徽阜阳·期末）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据偶次根式被开方数大于等于、中求解出的范围，则定义域可知. 【详解】由题意可知，解得且， 故函数的定义域为． 故答案为：. 变式8．（21-22高一·全国·课后作业）函数若函数的定义域是，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】结合指数函数性质可得． 【详解】∵，∴，∴当时，．故函数定义域为时，． 故答案为：． 变式9．（23-24高一·上海·课堂例题）求下列函数的定义域： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数定义域即可得到答案； （2）根据分母不等于0即可得到答案. 【详解】（1）因为，所以其定义域为. （2）由题得，则其定义域为. 变式10．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）函数在区间上有意义，求的取值范围. 【答案】. 【分析】将问题转化为不等式在区间上恒成立，然后参变分离，利用单调性即可求解. 【详解】因为函数在区间上有意义， 所以，不等式在区间上恒成立， ∵，∴，∴. 记， ∵与是上的减函数， ∴函数在上的单调递增. ∴时，恒成立. ∴，即的取值范围是. 【方法技巧与总结】形如的函数的定义域就是的定义域． 【题型6：指数函数比较大小】 例6．（24-25高一上·四川眉山·阶段练习）已知，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据指数函数性质以及中间量“1”即可比较大小. 【详解】根据指数函数性质知，即， 又因为，则. 故选：D. 变式1．（24-25高一上·全国·随堂练习）已知，则m，n的大小关系为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用指数函数单调性比较大小即可. 【详解】函数是R上的减函数，由，得. 故选：B 变式2．（23-24高一上·四川乐山·期中）在，，，这四个数中，最大的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据指数函数和幂函数的单调性比大小即可. 【详解】由函数与在上单调递减，可知，， 只需比较与的大小，由于幂函数在上单调递增， 所以，所以这四个数中，最大的数为. 故选：C. 变式3．（23-24高一上·云南昆明·期末）若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据指数函数性质判断即可. 【详解】因为在R上单调递增，所以， 因为在R上单调递减，所以， 所以，即. 故选：B. 变式4．（23-24高一上·河南郑州·期中）设，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据幂指数函数的单调性判断指数幂的大小. 【详解】由为减函数，故 ， 由为增函数，故 ， 所以. 故选：C 变式5．（23-24高一上·山西·期中）设，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数的单调性即可求解. 【详解】因为，所以． 故选：A 变式6．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知，函数，若实数、满足，则、的关系为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性，比较大小. 【详解】因为，所以，所以， 所以函数在R上单调递减， 又，所以， 故答案为：. 变式7．（24-25高一上·上海·单元测试）已知，，，则、、三者的大小关系是 ． 【答案】 【分析】利用中间量，再结合指数函数的单调性即可判断. 【详解】因为，所以； 因为，所以； 所以， 故答案为：. 变式8．（23-24高一上·广东东莞·期中）设，，，则，，从小到大排序是 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性和指数幂的运算性质依次判断a、b、c的取值范围即可求解. 【详解】由题意知， ，即， ，即， ，即， 所以. 故答案为：. 变式9．（24-25高一上·全国·课堂例题）比较下列各组数的大小： (1)，； (2)，； (3)，； (4)，； (5)，． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】（1）（2）利用指数函数单调性质比较大小. （3）利用幂函数单调性比较大小即得. （4）利用指数函数单调性，结合媒介数比较大小. （5）利用指数函数、幂函数单调性比较大小. 【详解】（1）因为是增函数，，所以． （2）因为是减函数，，所以． （3）因为在上递增，，所以． （4）因为，，所以. （5）函数是减函数，则； 函数在上递增，则， 所以. 【方法技巧与总结】比较幂的大小的方法: 1同底数幂比较大小时构造指数函数，根据其单调性比较. 2指数相同底数不同时分别画出以两幂底数为底数的指数函数图象，当x取相同幂指数时可观察出函数值的大小. 3底数、指数都不相同时，取与其中一底数相同与另一指数相同的幂与两数比较，或借助“1”与两数比较. 4当底数含参数时，要按底数a>1和0<a<1两种情况分类讨论. 【题型7：指数方程与指数不等式】 例7．（24-25高三上·江苏徐州·开学考试）已知函数，则使得成立的正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析函数的奇偶性，单调性，利用函数的单调性求解不等式即可. 【详解】由题意可知的定义域为，且， 所以为偶函数． 当时，，可知函数在上单调递减，且． 对于不等式成立，则，解得或， 又因为，所以，即正实数的取值范围是． 故选：C． 变式1．（23-24高一上·安徽·期末）已知函数，则（    ） A．4047 B．4048 C．4049 D．4050 【答案】C 【分析】由已知，得，则，即可求得结果. 【详解】因为函数，所以， 所以， 所以. 故选：C. 变式2．（23-24高一上·贵州·阶段练习）已知，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性解不等式即可. 【详解】原不等式等价于, 因为指数函数在R上单调递增， 所以, 解得, 所以原不等式的解集为. 故答案为： 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）已知不等式，且，则实数x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性将原不等式化为，然后解一元二次不等式即可. 【详解】因为不等式，且， 所以，，解得， 所以实数x的取值范围为. 故答案为： 变式4．（24-25高一上·上海·课后作业）若存在满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】由题意得的最大值，然后构造函数，利用函数的单调性可求出其最大值，从而可求出的取值范围. 【详解】因为存在满足， 所以的最大值，令， 因为和在上单调递增， 所以在上是严格增函数， 所以当时，取最大值1，所以， 即的取值范围. 故答案为： 变式5．（24-25高一上·上海·随堂练习）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】对进行分类讨论，结合幂函数、指数函数的单调性即可求解. 【详解】当时，，当时，， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 变式6．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数，则满足不等式的实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】利用函数性质解决不等式恒等问题 【详解】因为，则，可知函数的图象关于点对称，且单调递增， 不等式，化为，所以，则． 故答案为： 变式7．（24-25高一上·全国·课堂例题）已知（，且），求x的取值范围． 【答案】答案见解析 【分析】分类讨论，利用指数函数单调性求解不等式即得. 【详解】当时，函数在R上是减函数， 则不等式化为：，即，解得或； 当时，函数在R上是增函数， 则不等式化为：，即，解得， 综上所述，当时，x的取值范围是或； 当时，x的取值范围是． 变式8．（24-25高一上·上海·随堂练习）解不等式． (1)； (2)（其中且）． 【答案】(1)； (2)答案见解析 【分析】（1）令，则原不等式化为，求出的范围，从而可求出的范围； （2）分和两种情况利用指数函数的单调性求解. 【详解】（1）；令， 所以； 所以（舍）或，即， 所以，所以不等式的解集为． （2）当时，因为，且在R上严格递增， 所以， 即，解得或， 当时，因为， 且在R上严格递减， 所以， 即，解得， 综上：当时，； 当时，． 变式9．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数． (1)若，求不等式的解集； (2)若时，的最小值为，求的值． 【答案】(1) (2)． 【分析】（1）当时，将不等式转化为，并用指数函数的单调性求解； （2）先使用换元法，将函数转化为，并分3类讨论函数的最小值即可. 【详解】（1）当时，不等式即为， 所以， 则有，则， 故不等式的解集为． （2）令，，则， 开口向上，对称轴方程为， ①当，即时，，则，不符合题意； ②当，即时，，则； ③当，即时，，则，不满足条件． 综上所述，的值为． 【方法技巧与总结】解简单指数不等式问题的注意点 (1)形如ax>ay的不等式，可借助y＝ax的单调性求解．如果a的值不确定，需分0<a<1和a>1两种情况进行讨论． (2)形如ax>b的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助y＝ax的单调性求解． (3)形如ax>bx的不等式，可借助图象求解． 【题型8：指数函数的值域】 例8．（20-21高一上·全国·单元测试）函数（且）的值域是，则实数（    ） A．3 B． C．3或 D．或 【答案】C 【分析】由指数函数的性质分别对和的情况讨论单调性并求值域，从而列方程组即可得到答案. 【详解】函数（且）的值域为， 又由指数函数的单调性可知， 当时，函数在上单调递减，值域是 所以有，即 ，解得； 当时，函数在上单调递增，值域是 所以有，即 ，解得. 综上所述，或. 故选：C. 变式1．（23-24高一下·广东茂名·期中）定义运算：，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】首先求解函数的解析式，再根据指数函数的性质求函数的值域. 【详解】当时，，当时，， 所以， 当时，，当时，， 所以函数的值域是. 故答案为： 变式2．（23-24高一上·江苏镇江·阶段练习）函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据结合指数函数性质分析求解即可. 【详解】因为，且在单调递减， 则，且， 所以的值域为. 故答案为：. 变式3．（24-25高一上·上海·随堂练习）函数在上的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性即可求得函数在给定区间上的最小值. 【详解】因函数是R上的增函数，且， 则时，函数取得最小值为. 故答案为：. 变式4．（24-25高三上·重庆涪陵·开学考试）函数的值域为 ． 【答案】 【分析】设，由的取值范围及指数函数的性质即可求解． 【详解】设，由得，， 所以，则， 因为在上单调递减，所以， 故答案为：． 变式5．（23-24高一上·广东深圳·期末）将函数的值域为 . 【答案】 【分析】根据指数函数的性质，即可求得答案. 【详解】由于，故且， 故函数的值域为， 故答案为： 变式6．（23-24高一下·湖南·期中）已知，函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数解析式，求出在对应区间上的值域，分类讨论解不等式即可求出的取值范围. 【详解】当时，在上单调递增，所以时，； 当时，， 当时，在上单调递减，所以时， 即时，， 因为函数的值域为， 所以时，且. 由不等式，解得 不等式等价于时，， 设， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增，又， 所以时，等价于，即， 由不等式，解得， 所以时，的解集为， 综上，的取值范围是， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题关键在于根据指数函数和二次函数单调性求得该分段函数值域，再利用值域间的包含关系解不等式可得结果. 8．（22-23高一下·青海西宁·开学考试）若函数的值域为，则a的取值范围是 . 【答案】 【分析】对分类讨论可知，只有当且函数的值域包含时满足题意，由此即可列出不等式组求解. 【详解】若，则，不满足题意； 若，则， 当，即时，的值域为，满足题意. 故答案为：. 变式8．（23-24高一上·北京大兴·期末）指数函数在区间上最大值与最小值的差为2，则等于 . 【答案】2 【分析】分与两种情况，结合函数单调性得到方程，求出. 【详解】当时，单调递增，故，解得或（舍去）， 当时，单调递减，故，无解， 综上，等于2. 故答案为：2 变式9．（23-24高一上·黑龙江牡丹江·期末）已知函数. (1)若函数是上的奇函数，求实数的值； (2)若函数在上的最小值是4，救实数的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数奇偶性的性质即可得解； （2）利用换元法，分类讨论的取值范围，结合基本不等式即可得解. 【详解】（1）若函数是上的奇函数， 则，即，此时， 经检验满足，符合题意，故； （2）令，则，原函数可化为， 因为函数在上的最小值是4， 即在时的最小值为4，故， 当时，在上单调递增，此时没有最小值，不符合题意； 当时，，当且仅当，即时取等号， 所以，即. 变式10．（23-24高一下·全国·随堂练习）已知函数，求的值域； 【答案】 【分析】利用换元法,借助二次函数单调性来求得的值域. 【详解】，令， 则在区间上单调递增，， 所以的值域为. 【方法技巧与总结】（1）复合函数的值域求法，从内到外，依次换元，变为求基本初等函数的值域问题； （2）换元一定要求新变元的范围，它是外层函数的定义域。 【题型9：指数函数的单调性】 例9．（23-24高一上·贵州·阶段练习）下列函数为奇函数且在上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】对选项中的函数的定义域以及奇偶性、单调性逐一判断即可得出结论. 【详解】对于A，函数的定义域为，不关于原点对称，不是奇函数，即A错误； 对于B，函数的定义域为，关于原点对称，满足奇函数定义， 且在上为增函数，即B正确； 对于C，函数的定义域为，关于原点对称， 由对勾函数性质可知其在单调递减，在上单调递增，可知C错误； 对于D，函数的定义为，关于原点对称，但不能满足奇函数定义，可得D错误. 故选：B 变式1．（23-24高一上·贵州安顺·期末）下列选项中满足在定义域上单调递增的函数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 A选项，不满足在上单调递增；BCD选项，结合函数解析式可直接判断出函数单调性，得到答案. 【详解】A选项，在上单调递增， 而的定义域为，故不满足在定义域上单调递增，A错误； B选项，在上单调递减，在上单调递增，故B错误； C选项，的定义域为R，且， 故在R上单调递增，满足要求，C正确； D选项，在R上单调递减，D错误. 故选：C 变式2．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）已知函数，则函数的增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复合函数的单调性结合指数函数单调性分析判断. 【详解】令，可得， 可知在内单调递减，在内单调递增， 且在定义域内单调递增， 则在内单调递减，在内单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故选：A. 变式3．（23-24高一下·广东河源·期中）设函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性，结合二次函数的单调性列式求解即可. 【详解】因为函数在上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减， 因此，解得，所以实数的取值范围是. 故选：D. 变式4．（24-25高一上·全国·课后作业）若函数（，且）满足，则的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数值求参数，再根据复合函数单调性法则求单调递减区间. 【详解】因为， 所以，即，解得或（舍）， 所以， 令，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 由指数函数知，在定义域上单调递减， 所以在上单调递增，在上单调递减. 故选：B. 变式5．（23-24高一上·四川乐山·期中）已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】令，则， 随的增大而增大，要使在上单调递增， 只需在上单调递增，则有，所以． 故选：A. 变式6．(多选)（23-24高一上·陕西榆林·期中）下列函数既是偶函数，又在上是减函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据题意，利用函数的奇偶性的定义及判定方法，结合初等函数的性质，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 又由幂函数的性质，可得在，所以在上是减函数，所以A正确； 对于B中，由函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 又由时，可得在减函数，所以B正确； 对于C中，由函数的定义域为，关于原点对称，且，所以函数为偶函数， 由二次函数的性质，可得函数在减函数，所以C正确； 对于D中，由函数的定义域为关于原点对称，且，所以函数为奇函数，不符合题意，所以D错误. 故选：ABC. 变式7．（24-25高三上·四川广安·阶段练习）函数的单调递增区间是 【答案】 【分析】利用指数函数、二次函数的单调性，结合复合函数单调性求解即得. 【详解】函数的定义域为R，令， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在定义域上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递增区间是. 故答案为： 变式8.（23-24高二下·福建福州·期末）已知函数，则的单调递减区间为 . 【答案】 【分析】将原函数视为复合函数，利用复合函数的性质求解即可. 【详解】令，， 则是由和构成的复合函数， 由指数函数性质得在上单调递减， 由二次函数性质得的单调递增区间为， 由复合函数性质得的单调递减区间为. 故答案为： 【方法技巧与总结】复合函数求单调区间 第一步∶将原函数分解为内外函数 第二步∶分别判断内外函数的单调性 第三步∶根据“同增异减”口诀，得出单调区间 【题型10：指数函数的最值】 例10．（23-24高二上·贵州铜仁·阶段练习）函数在区间上的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】分析可知函数在区间上单调递增，结合单调性求最值. 【详解】因为在区间上单调递增，则函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上的最小值为. 故选：A. 变式1．（23-24高三上·北京·阶段练习）若函数有最小值，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，将转化为关于的函数，讨论开口方向与对称轴判断即可. 【详解】设，则，，有最小值. 当时，二次函数开口向下，无最小值； 当时，无最小值； 当时，若在上有最小值，则对称轴，解得. 故选：A 变式2．（23-24高一下·河南新乡·期末）函数的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据二次函数的性质得，再由指数函数的性质即可求解. 【详解】因为，所以， 故函数的最大值为4. 故答案为：4. 变式3．（24-25高一上·上海·课后作业）函数的最大值为 ． 【答案】16 【分析】首先求函数的值域，再根据外层函数的单调性，求函数的最大值. 【详解】设，， 所以，单调递减， 所以当时，即时，函数取得最大值. 故答案为：16 变式4．（24-25高一上·上海·随堂练习）若函数（且）在区间上的最大值是4，最小值为m，且函数在内是严格增函数，则 . 【答案】/ 【分析】首先由一次函数的单调性得，再讨论指数函数的单调性，根据最值求解参数的取值. 【详解】若函数在内是严格增函数， 则，， 若， 因为函数在区间上单调递增，最大值是4，最小值为m， 所以，，解得，，不满足， 若， 因为函数在区间上单调递减，最大值是4，最小值为m， 所以，，解得，，满足， 所以. 故答案为：. 变式5．（23-24高一上·重庆·阶段练习）已知函数在区间上的最大值是7，则 . 【答案】或 【分析】设，把函数化为关于的一元二次函数，分离讨论的范围，根据函数最大值建立方程，解出即可. 【详解】设，又， 若，则， 函数 ， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 若时，， 函数 ， 对称轴为， 则，即时，， 解得或（舍）； 故答案为：或. 变式6．（24-25高一上·吉林·阶段练习）已知函数（，且）. (1)若函数的图象过和两点，求在上的值域； (2)若，且函数在区间上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1) (2). 【分析】（1）将点坐标代入解析式，列出方程组求出，再根据函数的单调性求出值域； （2）根据函数单调性求出最大值和最小值，列出方程，求解的值. 【详解】（1）由题意，，， 又，解得，，所以. 因为在上单调递增，所以，即， 所以值域为. （2）当时，在区间上单调递减， 所以，， 因此，解得或（舍去）， 所以. 变式7．（24-25高一上·上海·课后作业）已知，求函数的最大值与最小值. 【答案】最小值，最大值3. 【分析】首先换元，转化为关于的二次函数求最值. 【详解】， 令，因为，所以， 代入原函数后得， 所以当即时，取得最小值. 当即时，取得最大值3. 综上，当时，取得最小值，当时，取得最大值3. 变式8．（23-24高一上·内蒙古巴彦淖尔·期末）已知（且）是偶函数. (1)求的值； (2)若在上的最大值比最小值大，求的值. 【答案】(1)0. (2)或. 【分析】（1）根据偶函数的定义建立方程，根据方程恒成立得解； （2）分和两种情况讨论，由指数函数的单调性求最值即可得解. 【详解】（1）若为偶函数，则恒成立， 所以，即恒成立，解得. 故的值为0. （2）由（1）可得（且）. 当时，在上单调递增，，解得. 当时，在上单调递减，，解得. 故的值为或. 变式9．（23-24高一·上海·课堂例题）已知指数函数（且）在区间上的最大值与最小值之和等于6，求实数a的值． 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性有，即可求得实数a的值. 【详解】因为指数函数（且）在区间上单调， 又在区间上的最大值与最小值之和等于6， 则，即，解得或（舍去）， 即实数a的值为． 变式10．（23-24高一上·云南昆明·阶段练习）已知函数. (1)当时，求在上的最值； (2)设函数，若存在最小值，求实数的值. 【答案】(1)最小值为，最大值为8 (2)6 【分析】（1）根据题意，设，由换元法，结合二次函数的值域，代入计算，即可得到结果； （2）根据题意，令，结合二次函数的最值，分类讨论，即可得到结果. 【详解】（1）当时，， 设，则，开口向上，对称轴， 所以函数在上单调递减，上单调递增， 所以，， 所以在上的最小值为，最大值为8. （2） ， 设，当且仅当，即时取得等号， 所以，，对称轴. 当，即时，，在上单调递增， 则当时，，解得，不满足题意； 当，即时，在上单调递减，上单调递增， 所以时，，解得或（舍去）， 综上，实数的值为6. 变式11．（23-24高一上·江苏连云港·阶段练习）设函数是定义在上的奇函数. (1)求的值，并判断的单调性（不证明）； (2)若，且在上的最小值为，求的值. 【答案】(1)，R上单调递增； (2) 【分析】（1）根据奇函数的定义可求的值，结合指数函数的单调性可直接判定的单调性； （2）先根据条件计算，利用换元法结合二次函数的性质计算即可. 【详解】（1）由题意可知， 此时，符合题意，即； 因为均在R上单调递增，故在R上单调递增； （2）因为，即 所以 ， 令，由（1）可知时，， 则， 由二次函数的性质可知，若时，， 若时，，与前提矛盾舍去； 综上. 【题型11：指数函数的奇偶性与对称性】 例11．（22-23高一上·云南红河·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于直线对称 C．关于原点对称 D．关于轴对称 【答案】D 【分析】根据题意可得，并结合图象分析判断. 【详解】因为，且函数与的图象如图所示： 所以函数与的图象关于轴对称. 故选：D. 变式1．（23-24高一下·浙江杭州·期末）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】由，列出方程，求出的值，再检验定义域是否关于原点对称即可. 【详解】由得：， 解得，. 当时，，定义域为关于原点对称， 故符合题意， 故选：B. 变式2．（24-25高一上·上海·课后作业）已知函数在上是严格增函数，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据分段函数是增函数，转化为每段函数在对应区间单调递增，且在分界点处满足单调函数的定义，列式求解. 【详解】在上是严格增函数， ,解得． 故答案为： 变式3．（22-23高一上·广东惠州·阶段练习）已知定义域为R的函数是奇函数． (1)求实数a的值； (2)判断函数的单调性，并用定义加以证明； (3)若对任意的，不等式成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)函数在R上单调递增，证明见详解 (3) 【分析】（1）根据题意，由求出即可； （2）根据单调性的定义证明即可； （3）对不等式进行变形，结合单调性可以列出不等式，进而转化为一元二次不等式在R上恒成立问题. 【详解】（1）因为函数的定义域为R，且为奇函数， 所以， 解得． 经检验当时，有， 所以． （2）， 函数在定义域内单调递增，证明如下： 设， ， 因为在R上单调递增，所以， 所以，即， 所以函数在R上单调递增． （3）因为是奇函数，由已知可得． 由（2）知在R上单调递增， 所以， 则在R上恒成立， 所以， 解得． 所以实数m的取值范围为． 变式4．（22-23高一上·河南郑州·期中）已知不等式的解集为. (1)求的值， (2)若，，，求的最大值. 【答案】(1)，· (2)· 【分析】（1）利用指数函数单调性解不等式即可. （2）结合“1”的代换，利用基本不等式求得，然后利用不等式性质求解即可. 【详解】（1）由及函数在定义域上单调递减， 得，解得，因此，，· （2） 由已知可得， 又因为且，则， 当且仅当时，等号成立，故， 所以，故的最大值为· 变式5.（22-23高一下·江苏盐城·开学考试）已知函数． (1)求证：函数在R上单调递增； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）定义法判定函数单调性步骤：取值，作差，变形，判号，下结论； （2）变形得到，构造，结合（1）可知函数的单调性，从而得到不等式，求出解集. 【详解】（1），， ， 因为在R上单调递增，， 所以， 因为，所以， 故， 故， 故在R上单调递增； （2）， 令， 由（1）知，在R上单调递增，故在R上单调递增， 故， 故，解得， 的解集为， 变式6．（23-24高一上·西藏那曲·期末）已知函数． (1)若，求实数x的取值范围； (2)求的值域． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据指数函数单调性可得，结合二次不等式运算求解即可； （2）根据二次函数分析可知，结合指数函数性质求值域. 【详解】（1）因为，且在定义域上单调递增， 则，解得， 所以实数x的取值范围为. （2）因为，当且仅当时等号成立， 且在定义域上单调递增，则， 又因为，所以的值域为. 变式7．（23-24高一下·内蒙古鄂尔多斯·开学考试）已知偶函数的定义域为，. (1)求实数的值； (2)判断的单调性，并给出证明. 【答案】(1) (2)在R上单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据函数为偶函数，得到，结合定义域关于原点对称，得到方程，求出实数的值； （2）利用定义法求解函数的单调性步骤：取值，作差，判号，下结论. 【详解】（1）偶函数的定义域为， 有，解得， 且，即， 故，解得； （2）单调递增，证明如下： 由（1）知，，定义域为R， 设， 则 ， 易得，，，则， 即，所以在R上单调递增. 变式8．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·开学考试）已知函数为奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数的单调性，并用定义法证明： (3)求不等式的解集. 【答案】(1) (2)在R上单调递增，证明见详解； (3) 【分析】（1）利用奇函数定义计算即可； （2）利用单调性定义作差计算证明即可； （3）根据奇函数的性质结合（2）的结论计算解不等式即可. 【详解】（1）由题意可知， 故； （2）在R上单调递增，证明如下： 由上可知， 令，则， 由指数函数的性质可知，且， 所以，故在R上单调递增. （3）由（1），（2）可知不等式等价于， 解不等式得 变式9．（23-24高一下·甘肃兰州·开学考试）已知函数. (1)判断的奇偶性； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； 【答案】(1)偶函数； (2)单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据函数奇偶性定义即可得出是偶函数； （2）由函数单调性定义，按照标准步骤化简整理即可得出结论. 【详解】（1）易知的定义域为R， 易知，可得， 所以是偶函数； （2）在上单调递增， 证明如下：任取，则， 因为，所以， 另外，因此， 可得，即， 所以在上单调递增. 变式10．（23-24高一上·安徽蚌埠·期末）已知函数． (1)设，判断并证明函数的奇偶性； (2)求关于的不等式的解集． 【答案】(1)函数为奇函数，证明见解析 (2) 【分析】（1）通过求出的表达式即可得出函数的奇偶性； （2）求出的值进而化简不等式，即可求出不等式的解集. 【详解】（1）由题意，函数为奇函数， 证明如下： 在中， ， 的定义域为， ， ∴为奇函数． （2）由题意及（1）得， 在中， ， ， 所以，又，所以， 由，解得：， ∴原不等式的解集为． 变式11．（23-24高一上·山西朔州·期末）已知函数. (1)证明：函数是奇函数； (2)解不等式. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，得到，结合函数奇偶性的定义和判定方法，即可得证； （2）根据题意，得到函数是奇函数且是减函数，把不等式转化为，结合一元二次不等式的解法，即可求解. 【详解】（1）证明：由函数， 可得，且的定义域为， 因为， 所以函数是定义域上的奇函数. （2）解：根据指数函数的性质，可得为减函数，则也为减函数， 所以函数是奇函数且是减函数， 由不等式，可得， 所以，即，解得或， 解得不等式的解集为. 【题型12：指数函数恒成立与存在成立问题】 例12．（23-24高一下·黑龙江大庆·开学考试）已知定义在上的偶函数和奇函数满足，且在上恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】由函数的奇偶性求出，不等式变为在上恒成立问题，求出的最大值即可. 【详解】因为，① 得，又和分别为偶函数和奇函数， 所以，② 由①②相加得， 又在上恒成立即在上恒成立， 设，则只需， 易知在上为增函数， ， 所以， 故答案为：. 变式1．（23-24高一上·广东湛江·期末）已知函数是定义在上的偶函数，当时，，且． (1)求的值，并求出的解析式； (2)若在上恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)． 【分析】（1）由，求得，再结合函数的奇偶性，求得时，，进而求得函数的解析式； （2）由（1），把在上恒成立，转化为，结合基本不等式，即可求解. 【详解】（1）解：因为是偶函数，所以，解得， 当时，可得，可得， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知，当时，， 因为在上恒成立， 即， 又因为， 当且仅当时，即时等号成立， 所以，即的取值范围是． 变式2．（23-24高一上·浙江杭州·期中）已知函数． (1)若的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． (2)当时，是否存在实数m，使得对任意的成立？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由条件可得，然后可求出的范围； （2）由可得，然后分离变量求解即可. 【详解】（1）因为的图象经过第一、二、三象限，所以． 因为在R上单调递增，在R上单调递增，所以在R上单调递增， 因为，所以， 即的取值范围为． （2）因为，所以， 则对任意的成立等价于对任意的成立． 由，得， 则即 因为，所以，，， 因为， 所以． 故存在满足条件的实数m，且． 变式3．（23-24高一上·江西景德镇·期末）已知函数为偶函数，为奇函数，且满足． (1)求； (2)当时，判断和的大小关系． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）先由函数和的奇偶性得出函数和的解析式， （2）利用作差法判断化简可得，进而判断可得出结果. 【详解】（1）由题设可知，由于为偶函数，为奇函数， 则，则， 解得，． （2） ， 由于， 则，即． 变式4．（23-24高一上·北京平谷·期末）已知函数的图像过原点，且． (1)求实数的值； (2)若，写出的最大值； (3)设，直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】 （1）待定系数解方程组即可求解. （2）由即可得解. （3）在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象，观察即可得解. 【详解】（1）由题意，解得. （2）由（1）可知，若，则， 所以的最大值为. （3）由题意不等式等价于，且注意到， 在同一平面直角坐标系中画出函数的图象和的图象如图所示：    由图可知：不等式的解集为. 变式5．（23-24高一上·广东茂名·期末）已知函数． (1)当时，不等式总成立，求a的取值范围； (2)试求函数（）在的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数单调性得到，恒成立，结合函数开口方向，得到不等式组，求出答案； （2）换元后得到，，分，，和分类讨论，得到函数最大值，求出. 【详解】（1）函数在定义域R上单调递增， 不等式， 依题意，，恒成立， 由于开口向上，故只需，无解， 所以的取值集合是． （2）函数，， 令，，， 当时，函数在上单调递增，； 当时，，， 当，即时，开口向上，函数在上单调递增， 所以； 当即时，开口向下，； 当即时，开口向下，函数在上单调递增， ． 综上. 变式6．（23-24高一上·江苏苏州·期末）已知函数（且）在上的最大值与最小值之积等于8，设函数. (1)求的值，并证明为奇函数； (2)若不等式对恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)；证明见解析 (2) 【分析】（1）根据题意，利用指数函数的单调性，得到，得出，再由函数奇偶性的定义和判定方法，即可求解； （2）根据题意，化简得到，利用基本不等式，求得的最大值，结合题意，即可求得实数的取值范围. 【详解】（1）解：当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 所以函数在上的最大值与最小值之积等于，解得， 可得，则，其定义域为， 又由，所以函数为上的奇函数. （2）解：由 ， 因为，当且仅当时，即时，等号成立， 所以， 因为对恒成立，所以， 即，所以实数的取值范围为. 变式7．（23-24高一上·北京通州·期末）函数，. (1)若为偶函数，求的值及函数的最小值； (2)当时，函数的图象恒在轴上方，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用偶函数定义，带入函数计算，利用换元法，结合基本不等式进行最小值的求解即可. （2）由于函数图像恒在轴上方，所以函数，进行参数分离，得到恒成立，结合换元法进行讨论即可. 【详解】（1）因为函数为偶函数. 所以恒成立，即恒成立. 即恒成立，解得， 所以，令， ，当且仅当，即时，等号成立. 所以函数的最小值为. （2）当时，函数的图象恒在轴上方， 故当时恒成立. 即恒成立. 令，令，. 因为，对称轴为， 故当即时，取最大值4，故. 变式8．（23-24高一上·江苏盐城·期末）已知函数. (1)求实数的值，使得为偶函数； (2)当为偶函数时，设，若，都有成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，结合，化简得到恒成立，即可求解； （2）根据题意，求得，令，结合指数函数的性质，求得，，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）解：由函数为上的偶函数，则， 即， 即，即恒成立， 所以. （2）解：由（1）知， 可得， 令，因为函数在都是增函数， 所以函数在上为递增函数，则， 所以， 因为函数的对称轴为，所以函数在递增， 所以，当时，， 要使得，都有成立，则，即实数的取值范围. 变式9．（23-24高一上·广东揭阳·期末）已知定义在上的奇函数，且对定义域内的任意x都有，当时，． (1)用单调性的定义证明在上单调递减； (2)若，对任意的，存在，使得成立，求a的取值范围． 【答案】(1)证明见解析； (2)或 【分析】（1）直接利用函数单调性定义按照步骤证明即可； （2）根据为奇函数可得的周期为，利用换元法令可得，对参数进行分类讨论解不等式即可求得a的取值范围. 【详解】（1）取，且， 由 ； 因为，所以， 即，可得； 所以在上单调递减； （2）由奇函数可知， 又得，即； 所以函数的周期为，由（1）可知在上单调递减，所以，且； 由可得，即； 由于在上为奇函数， 当时，，所以，； 又因为对任意的，存在，使得成立，即； 故当时，； 令，可化为，即； 当时，函数在上单调递增，即， 解得或，可得； 当时，函数在上单调递减，即， 解得或，可得； 当时，，解得，此时无解； 综上可得：a的取值范围或 【点睛】方法点睛：函数不等式恒（能）成立求参数取值范围问题，一般将问题转化为利用函数单调性求函数值域，再利用分类讨论构建不等式即可求得结果. 【方法技巧与总结】恒成立和存在性问题类型 （1）单变量的恒成立问题 ①x∈D，f（x）<a恒成立，则f（x）max<a ②x∈D，f（x）>a恒成立，则f（x）min >a ③x∈D， f（x）< g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）max<0 ④x∈D， f（x）> g（x）恒成立， 则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）min>0 （2）单变量的存在性问题 ①xo∈D，使得 f（xo）< a 成立，则 f（x）min<a ②xo∈D，使得f（xo）>a成立，则f（x）max>a ③xo∈D，使得 f（xo）<g（xo）恒成立，则F（x）=f（x）-g（x）<0，∴F（x）min<0 ④xo∈D，使得 f（xo）> g（xo）恒成立，则 F（x）=f（x）-g（x）>0，∴F（x）max>0 （3）双变量的恒成立与存在性问题 ①x1∈D，x2∈ E，使得 f（x1）<g（x2）恒成立，则 f（x）max<g（x）max ； ②x1∈D，x2∈ E，使得f（x1）>g（x2）恒成立，则f（x）min>g（x）min ； ③x1∈D，x2∈ E，f（x1）< g（x2）恒成立，则 f（x）max<g（x）min ； ④x1∈D，x2∈ E，使得f（x1）<g（x2）恒成立，则f（x）min<g（x）max . （4）相等问题 ①x1∈D，x2∈ E，使得f（x1）= g（x2），则两个函数的值域的交集不为空集； ②x1∈D，x2∈ E，使得f（x1）= g（x2），则 f（x）的值域 g（x）的值域. 一、单选题 1．（23-24高一·上海·课堂例题）若指数函数（且）在上是严格减函数，则下列不等式中，一定能成立的是（    ） A．； B．； C．； D．. 【答案】C 【分析】利用指数函数的单调性得到的取值范围，从而逐一分析各选项即可得解. 【详解】指数函数且在上是严格减函数， 则，故AB错误， 则，故C正确，D错误. 故选：C. 2．（21-22高一上·广东湛江·期末）已知函数且的定义域和值域都是，则（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】由函数解析式知，需对分类讨论，根据函数的单调性列出等式求解. 【详解】当时，单调递增，有，无解； 当时，单调递减，有， 解得； 所以； 故选：B. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）指数函数图象经过点，那么这个指数函数可能经过（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】首先根据已知得出，进一步结合指数函数性质即可逐一判断各个选项. 【详解】∵，∴，， 若设指数函数，（且），则易知：， 所以当时，；当时，； 故只有才可能是该指数函数经过的点． 故选：C． 4．（23-24高一上·安徽亳州·期末）函数，则的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由指数函数单调性即可得出答案。 【详解】因为在上单调递减，所以在上的值域为. 故选：C 5．（23-24高一上·四川乐山·期中）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的性质判断函数图象 【详解】依题意，可得，则为奇函数，且当时，，则A，B，C均不正确， 故选：D． 6．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）函数与的图象（    ） A．关于轴对称 B．关于轴对称 C．关于原点对称 D．关于直线对称 【答案】C 【分析】根据函数的变换规则判断即可. 【详解】因为，即，所以函数与的图象关于原点对称. 故选：C． 7．（23-24高一上·江西景德镇·期末）当且时，函数恒过定点（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由指数函数的性质即可求解. 【详解】当时，，与无关， 则函数恒过定点． 故选：B. 8．（23-24高一上·北京石景山·期末）下列函数中，在区间上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据各选项中的函数直接判断单调性即可. 【详解】函数在R上单调递减，A不是； 函数在上单调递减，在上单调递增，则在上不单调，B不是； 函数的R上单调递减，C不是； 函数在R上单调递增，在上单调递增，D是. 故选：D 二、多选题 9．（22-23高一上·福建泉州·期中）已知函数（），则下列说法错误的是（    ） A．，使得 B．，都有 C．是偶函数 D．有最小值 【答案】AD 【分析】利用奇偶性定义判断出的奇偶性可判断AB；令，判断出的奇偶性可判断C；根据的单调性可判断D. 【详解】对于A，，定义域关于原点对称，， 所以是奇函数，又函数单调递增，所以不存在，使得，故A错误； 对于B，，定义域关于原点对称，，所以是奇函数，故B正确； 对于C，令，因为，定义域关于原点对称， ，所以是偶函数，故C正确； 对于D，因为，都是单调递增函数， 所以是单调递增函数，所以无最小值，故D错误. 故选：AD. 10．（23-24高一上·河北邯郸·期中）若函数的图象过第一，三，四象限，则（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】作出函数大致图象，结合指数函数性质可构造不等式求得结果. 【详解】由题意可知：函数大致图象如下图所示， 若，则的图象必过第二象限，不符合题意，所以． 当时，要使的图象过第一、三、四象限，，解得． 故选：BC． 11．（25-26高一上·全国·课后作业）（多选）函数，其中且，则下列结论正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．方程在上有解 C．函数的图象过定点 D．当时，函数在其定义域上为增函数 【答案】ABD 【分析】根据函数单调性的性质，结合奇函数的定义、指数的运算法则、指数函数的单调性逐一判断即可. 【详解】对于A，的定义域为，且，故为奇函数，A正确； 对于BC，，故方程0在上有解，B正确，C错误； 对于D，当时，函数在上单调递增，在上单调递减，故在上单调递增，D正确． 故选：ABD 三、填空题 12．（23-24高一上·天津·期中）函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据根式的性质得到不等式，解二次不等式，得到定义域. 【详解】令，解得，故定义域为. 故答案为： 13．（22-23高一下·上海静安·开学考试）不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】根据指数函数的单调性求解. 【详解】由，即， 又在R上单调递增， . 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．（24-25高一上·全国·随堂练习）不等式的解集为 . 【答案】 【分析】利用指数函数的单调性求解不等式即得. 【详解】不等式，化为，即，解得， 所以原不等式的解集为. 故答案为： 四、解答题 15．（23-24高一上·广东潮州·期末）已知函数（，且）． (1)若函数的图象过和两点，求的解析式； (2)若函数在区间上的最大值比最小值大，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）待定系数法求解函数解析式； （2）分与两种情况，结合函数单调性得到最值，列出方程，求出答案. 【详解】（1），，又， 解得，， 所以. （2）当时，在区间上单调递减， 此时，， 所以，解得：或0（舍去）； 当时，在区间上单调递增， 此时，，， 所以，解得：或0（舍去）. 综上：或 16．（23-24高一上·云南昭通·期末）对于函数. (1)探索函数的单调性并用定义证明； (2)是否存在实数a使函数为奇函数？ 【答案】(1)单调递增，证明见解析 (2)存在 【分析】（1）先利用复合函数与指数函数的单调性判断得的单调性，再利用函数单调性的定义，结合作差法即可得解； （2）利用奇函数的性质，结合指数的运算列式求得，从而得解. 【详解】（1）易得的定义域为， 而为增函数，则为减函数， 故是增函数，证明如下： 任取，，且，则， 则， ，故在上为增函数. （2）假设存在实数a，使为奇函数，则， ， 则，， 经检验，当时，满足题意， 故存在实数，使函数为奇函数. 17．（23-24高一上·河北邯郸·期末）已知定义在上的函数，是奇函数，且． (1)求实数a，b的值； (2)判断函数在R上的单调性，并用函数单调性的定义证明． 【答案】(1)实数a的值为，实数b的值为1 (2)函数在上单调递减，证明见解析 【分析】（1）根据题意，结合和，联立方程组，即可求解； （2）根据题意，利用函数单调性的定义和判定方法，即可得证. 【详解】（1）解：因为定义在上的函数是奇函数，可得，即， 又因为，所以， 联立方程组，可得，，所以， 又由，符合题意， 所以的值分别为和. （2）解：函数在上单调递减， 证明：在上任取， 则， 因为，所以，又，， 所以，即， 所以函数在上单调递减． 18．（23-24高一下·云南曲靖·阶段练习）已知函数是R上的奇函数. (1)求m的值； (2)比较与0的大小，并说明理由. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇函数的性质列式求解； （2）先判断函数的单调性，利用单调性与奇偶性即可解题. 【详解】（1）因为是上的奇函数， 所以，得， 时，， 满足为奇函数，所以. （2）设，则， 因为，所以， 所以，即， 所以函数在上为增函数，又因为为上的奇函数， 所以函数在上为增函数． ， 即，即， 因为是上的奇函数，则， 即． 19．（23-24高一下·陕西安康·期中）已知函数（），函数为奇函数 (1)求出的值，判断函数的单调性，并予以证明； (2)若对，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)，单调递增，证明见解析； (2). 【分析】（1）利用奇函数的定义求出，判断函数单调性，再利用单调性定义推理即得. （2）利用（1）的结论，脱去法则，转化为恒成立的不等式求解. 【详解】（1）由函数为奇函数，得，即， 于是，解得， 函数在定义域上单调递增， ，且，， 由，得，则，因此， 所以函数在上单调递增. （2）由是R上的奇函数， 得， 又在上单调递增，则，对恒成立， 显然，则，即恒有，因此， 所以的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$