第二章：直线与圆的方程（单元测试，提升卷）-【上好课】2024-2025学年高二数学同步精品课堂（人教A版2019选择性必修第一册）

第二章：直线与圆的方程章末综合检测（提升卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·山西运城·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽六安·期末）设，则“”是“直线与直线”平行的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 3．（23-24高二上·天津南开·月考）方程所表示的圆的最大面积为（    ） A． B． C． D． 4．（23-24高二上·福建宁德·月考）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 5．（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 6．（23-24高二上·山东日照·月考）直线过点且与以点、为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（23-24高二上·江苏南通·月考）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 8．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·河北邯郸·月考）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 10．（23-24高二上·河南·月考）已知圆，直线，则（    ） A．恒过定点 B．圆心位于第二象限 C．与圆恒有两个交点 D．被圆截得的最短弦长为 11．（23-24高二上·湖北十堰·月考）下列结论正确的是（    ） A．若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B．直线被圆所截得的最长弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·安徽合肥·月考）直线的倾斜角的取值范围是 ． 13．（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ． 14．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·湖南长沙·月考）已知直线，. （1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程； （2）若坐标原点到直线的距离为，判断与的位置关系. 16．（23-24高二上·四川德阳·月考）已知直线过点和，直线：． (1)若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． (2)已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程. 17．（23-24高二上·安徽·月考）已知两点，直线． (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 18．（23-24高二上·重庆沙坪坝·月考）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为.经过坐标原点的直线与圆交于，两点. (1)求圆的方程； (2)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值. 19．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为． (1)求圆的方程； (2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章：直线与圆的方程章末综合检测（提升卷） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1．（23-24高二上·山西运城·期中）已知直线的倾斜角为，方向向量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为直线的倾斜角为，则直线的斜率，故.故选：B. 2．（23-24高二上·安徽六安·期末）设，则“”是“直线与直线”平行的（    ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】C 【解析】当时，直线，直线， 此时，所以直线//， 当//时，， 得，解得， 所以“”是“直线与直线”平行的充要条件，故选：C 3．（23-24高二上·天津南开·月考）方程所表示的圆的最大面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】方程即， 则所给圆的半径， 所以当时，半径r取最大值，此时最大面积是.故选：C 4．（23-24高二上·福建宁德·月考）经过直线和的交点，且在两坐标轴上的截距之和为0的直线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】联立方程，解得， 所以直线和的交点为， 由题意可知所求直线的斜率存在且不为0，设为， 可知所求直线方程为， 令，可得；令，可得； 可知直线在x，y轴上的截距分别为，， 由题意可得，整理得，解得或， 所以所求直线方程为或.故选：C. 5．（23-24高二上·陕西宝鸡·月考）已知圆与圆相交，则相交的公共弦长为（    ） A． B． C．5 D．2 【答案】D 【解析】圆的圆心为，半径， 圆圆心，半径， 而，则两圆相交， 于是得两圆的公共弦所在的直线方程为， 圆心到此直线距离， 所以公共弦长为.故选：D 6．（23-24高二上·山东日照·月考）直线过点且与以点、为端点的线段恒相交，则的斜率取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 如图，直线与以点、为端点的线段恒相交时，直线从到， 直线从到时，倾斜角增大，斜率增大，，斜率范围为， 直线从到时，倾斜角增大，斜率增大，，斜率范围为， 综上，的斜率取值范围为，故选：D 7．（23-24高二上·江苏南通·月考）过定点A的直线与过定点B的直线交于点与A、B不重合，则面积的最大值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【解析】由题意可知，动直线经过定点， 动直线即，经过点定点， 过定点A的直线与过定点B的直线始终垂直， P又是两条直线的交点，有， 故，当且仅当时取等号， 所以面积的最大值为故选: 8．（23-24高二上·山东淄博·期中）已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可知，由得，圆心为，半径为 因，故根据题意圆的圆心到直线即的距离小于或等于2， 所以得， 即得，可得，故选：D 二、多选选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．（23-24高二上·河北邯郸·月考）满足下列条件的直线与，其中的是（    ） A．的倾斜角为，的斜率为 B．的斜率为，经过点， C．经过点，，经过点， D．的方向向量为，的方向向量为 【答案】BCD 【解析】对A，，，，所以A不正确； 对B，，，故B正确； 对C，，，，故C正确； 对D，因为，所以两直线的方向向量互相垂直，故，故D正确. 故选：BCD 10．（23-24高二上·河南·月考）已知圆，直线，则（    ） A．恒过定点 B．圆心位于第二象限 C．与圆恒有两个交点 D．被圆截得的最短弦长为 【答案】BCD 【解析】对于A，由整理得， 令，解得：，故直线恒过定点，故A错误； 对于B，由整理得， 所以圆心的坐标为，位于第二象限，故B正确； 对于C，因为直线恒过定点，且， 所以定点在圆的内部，所以直线与圆相交，即与圆恒有两个交点，故C正确； 对于D，因为直线恒过定点，该定点与圆心的距离为， 所以圆心到直线的距离， 所以圆被直线截得的弦长为， 当且仅当时，等号成立，所以被圆截得的最短弦长为，故D正确.故选：BCD. 11．（23-24高二上·湖北十堰·月考）下列结论正确的是（    ） A．若直线：与圆：相交，则点在圆的外部 B．直线被圆所截得的最长弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆：的切线只有一条，则切线方程为 【答案】AD 【解析】对于A项，由题意可得，所以， 从而点在圆的外部，故A项正确； 对于B项，直线恒过定点，， 点在圆的内部，所以直线与圆相交，则最长的弦为直径4，故B项错； 对于C项，圆心到直线的距离为，如图，直线与圆相交， ，与平行，且与直线的距离为1，故可以看出，圆的半径应该满足，故C项错误； 对于D项，过点作圆：的切线只有一条，则点在圆上， 又，故切线的斜率为， 所以切线方程为，即，故D项正确.故选：AD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．（23-24高二上·安徽合肥·月考）直线的倾斜角的取值范围是 ． 【答案】 【解析】，故. 故答案为：. 13．（24-25高二上·江苏徐州·月考）已知点，，平面内的动点满足，则点的轨迹形成的图形周长是 ． 【答案】 【解析】设平面内的动点，由得， 所以， 化简得，整理得， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以周长是，故答案为：. 14．（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知曲线与直线有两个不同的交点，则实数的取值范围是 . 【答案】 【解析】曲线整理得， 则该曲线表示圆心为，半径为1的圆的上半部分， 直线，即， 令解得则其过定点，如图所示： 当时，曲线与直线有两个不同的交点， 由，得或， 所以，， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（23-24高二上·湖南长沙·月考）已知直线，. （1）当时，直线过与的交点，且它在两坐标轴上的截距相反，求直线的方程； （2）若坐标原点到直线的距离为，判断与的位置关系. 【答案】（1）或；（2）或 【解析】（1）联立解得即与的交点为（-21，-9）. 当直线过原点时，直线的方程为； 当直线不过原点时，设的方程为，将（-21，-9）代入得， 所以直线的方程为，故满足条件的直线方程为或. （2）设原点到直线的距离为， 则，解得：或， 当时，直线的方程为，此时； 当时，直线的方程为，此时. 16．（23-24高二上·四川德阳·月考）已知直线过点和，直线：． (1)若直线关于直线的对称直线为，求直线的方程． (2)已知直线是过点的直线，点到直线的距离为，求直线的方程. 【答案】(1)；(2)或． 【解析】（1）直线的方程为，即， 取直线上的一点，设关于直线的对称点为， 则，解得. 由解得， 所以直线过点和点， 所以直线的方程为，即. （2）直线斜率不存在时，可得， 点与直线的距离为，符合题意. 当直线斜率存在时，设直线斜率为， 故可得直线的方程为，即， 因为点到直线的距离为，即，解得， 故可得直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为：或． 17．（23-24高二上·安徽·月考）已知两点，直线． (1)若直线经过点P，且，求直线的方程； (2)若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程． 【答案】(1)；(2) 【解析】（1）直线的斜率为2， 设直线的斜率为k，由，得，解得， 又直线经过点， 所以直线的方程为，即． （2）方法一：，所以的中垂线的斜率为， 又的中点为，所以的中垂线的方程为，即． 因为两点在圆C上，所以圆心C在的中垂线上， 又圆心C在直线l上，由得即圆心C的坐标为， 又圆C的半径， 所以圆C的方程为． 方法二：因为圆C的圆心在直线l上，所以可设圆心C的坐标为，半径为r， 所以圆C的方程为， 又P，Q两点在圆C上， 所以，解得 所以圆C的方程为． 18．（23-24高二上·重庆沙坪坝·月考）在平面直角坐标系中，已知圆心在轴上的圆经过点，且被轴截得的弦长为.经过坐标原点的直线与圆交于，两点. (1)求圆的方程； (2)若点，直线与圆的另一个交点为，直线与圆的另一个交点为，分别记直线、直线的斜率为，，求证：为定值. 【答案】(1)；(2)证明见解析 【解析】（1）由已知圆的圆心在轴上，设圆， 又圆经过点，且被轴截得的弦长为， 所以，解得，所以圆. （2）设， 则直线的方程为，其中，与联立得： ，由韦达定理知， 所以，，所以， 同理， 所以 ， 所以，所以为定值. 19．（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圆过点，圆心在直线上，截轴弦长为． (1)求圆的方程； (2)若圆半径小于，点在该圆上运动，点，记为过、两点的弦的中点，求的轨迹方程； (3)在（2）的条件下，若直线与直线交于点，证明：恒为定值． 【答案】(1)或；(2)；(3)证明见解析 【解析】（1）设圆心为，设圆的半径为， 圆心到轴的距离为，且圆轴弦长为，则，① 且有②， 联立①②可得或， 所以，圆的方程为或. （2）因为半径小于，则圆的方程为， 由圆的几何性质得即，所以， 设，则， 所以，即的轨迹方程是. （3）设直线与直线交于点，由、可知直线的斜率是， 因为直线的斜率为，则，则，， 所以，，因此，， 又E到的距离，， 所以，，故恒为定值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$