精品解析：安徽省合肥市一六八中学2024-2025学年高三上学期10月月考数学试题

合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷 数学 考生注意： 1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，均为单位向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知数列满足，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知实数a，b，c满足，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（）到（）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ） A. （）和（） B. （）和（） C. （）和（） D. （）和（） 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 8. 定义在 上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知O为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 10. 三次函数叙述正确的是（ ） A. 当时，函数无极值点 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 过点的切线有两条 D. 当时，函数有3个零点 11. 已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ） A. B. C. D. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，O为坐标原点），则与夹角为______． 13. 函数在上的最大值为4，则m的取值范围是______． 14. 设，则的最大值是______． 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角A； （2）已知，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求出的面积． 条件①：；条件②：；条件③：AC边上中线的长为． （注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．） 16. 某地区上年度天然气价格为2.8元/，年用气量为．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/至2.75元/之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k）．已知天然气的成本价为2.3元/． （1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y（单位：元）关于实际单价x（单位：元/）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价）） （2）设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%? 17. 已知函数(为常数，且，且是奇函数. （1）求的值； （2）若， 都有成立，求实数的取值范围. 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）求函数在处切线方程； （3）若有两解，，且，求证：． 19. （1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值． （2）①已知，都是正数，求证：； ②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥一六八中学2025届高三10月段考试卷 数学 考生注意： 1．试卷分值：150分，考试时间：120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答案区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．所有答案均要答在答题卡上，否则无效．考试结束后只交答题卡． 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先利用对数函数的性质，求得，再结合集合交集的运算，即可求解. 【详解】由不等式，可得，即， 因为，可得，所以， 则. 故选:D． 2. 设，均为单位向量，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由平面向量的数量积的运算律代入计算，即可判断. 【详解】∵“”，∴平方得， 即，则，即，反之也成立． 故选：C． 3. 已知数列满足，若，则（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据递推式求出的值，可以发现数列为周期数列，从而推出的值. 【详解】因为，所以， 所以数列的周期为3，所以. 故选：C. 4. 已知实数a，b，c满足，则下列不等式中成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由不等式的性质可得A错误，D错误；作差之后通分化简可得B正确；举反例令，，可得C错误； 【详解】对于A，因为，所以，所以，故A错误； 对于B，因为，所以，故B正确； 对于C，当，，时，，，，故C错误； 对于D，因为，，所以，故D错误． 故选：B． 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将已知等式平方后再结合同角的三角函数和二倍角的余弦公式化简计算即可； 【详解】由 两边平方得， 所以， 所以 所以． 故选：A． 6. 名环卫工人在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从（）到（）依次编号，为使每名环卫工人从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ） A. （）和（） B. （）和（） C. （）和（） D. （）和（） 【答案】C 【解析】 【分析】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为，表示出各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和，再由二次函数的性质求出最小值时的取值即可； 【详解】设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为，则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：． 若取最小值， 则函数也取最小值， 由二次函数的性质，可得函数的对称轴为， 又∵为正整数，故或． 故选：C. 7. 设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，利用导数求得的单调性和最小值，得到，得出；再构造函数，求得在上递增，结合，得到，即可求解. 【详解】构造函数，则， 令时，可得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 所以函数在处取最小值，所以，（且）， 可得，所以； 再构造函数，可得， 因为，可得，，所以，在上递增， 所以，可得，即，所以， 综上可得：. 故选：A. 8. 定义在 上的奇函数，且对任意实数x都有，．若，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由是奇函数，可得是偶函数，得到，令，得到，得出在上单调递增，再由，求得的周期为的周期函数，根据，得到，把不等式转化为，结合函数的单调性，即可求解. 【详解】因为是奇函数，可得是偶函数， 又因为，所以， 令，可得，所以在上单调递增， 因为且是奇函数， 可得，则， 所以的周期为的周期函数， 因为，所以， 则不等式，即为，即， 又因为在上单调递增，所以，解得， 所以不等式的解集为． 故选：C． 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分） 9. 已知O为坐标原点，点，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由向量的模及数量积的坐标表示计算后即可判断． 【详解】∵，，，， ∴，，，， ，，则，故A正确； ∵，，∴，故B错误； ，， ∴，故C正确； ，，故D错误． 故选：AC． 10. 三次函数叙述正确的是（ ） A. 当时，函数无极值点 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 过点的切线有两条 D. 当时，函数有3个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】求导后由导数大于零恒成立可得A正确；由可得B正确；设切点，由导数的意义得到切线方程，求解可得C错误；求导后分析单调性，利用极大值大于零，极小值小于零可得D正确； 【详解】对于A，，，，单调递增，无极值点，故A正确； 对于B，因为，所以函数的图象关于点中心对称，故B正确； 对于C：设切点，则切线方程为， 因为过点，所以，，解得， 即只有一个切点，即只有一条切线，故C错误； 对于D：，当时，，， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 又有极大值为，所以若函数有3个零点， 则有极小值为，得到，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知，对任意的，都存在，使得成立，则下列选项中，可能的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】由题意可知，,对任意的，都存在，使得成立，，,进而有再将选项中的值，依次代入验证，即可求解. 【详解】∵，∴，∴， ∵对任意的，都存在，使得成立， ∴，， ∵， ∴，， 在上单调递减．在上单调递增． 当时，，，，故A正确， 当时，，，故B错误， 当时，，，，故C正确， 当时，，．故D错误． 故选：AC． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知复数与在复平面内用向量和表示（其中是虚数单位，O为坐标原点），则与夹角为______． 【答案】 【解析】 【分析】把复数用坐标表示再结合向量的夹角公式计算即可； 【详解】由题知，， ，∴， 所以与夹角为， 故答案为：． 13. 函数在上的最大值为4，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】分，，，利用图像平移的性质结合指数函数计算即可； 【详解】如图①，当时，函数的图象是由向上平移个单位后， 再向下平移个单位，函数图象还是的图象，满足题意， 如图②，当时，函数图象是由向下平移m个单位后， 再把x轴下方的图象对称到上方，再向上平移m个单位，根据图象可知满足题意， 如图③，时不合题意． 故答案为：． 14. 设，则的最大值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】设，去绝对值符号，再根据基本不等式即可得解. 【详解】不妨设，则， ， ∴， 当且仅当，，，即，，时，等号成立， 所以的最大值是． 故答案为：． 【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件： （1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数； （2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值； （3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方. 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，． （1）求角A； （2）已知，从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在，并求出的面积． 条件①：；条件②：；条件③：AC边上中线的长为． （注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．） 【答案】（1） （2） 选条件①，不能构成三角形； 选条件②：可得或； 当时，的面积为，当时，的面积为； 选条件③：的面积为． 【解析】 【分析】（1）将已知等式由正弦定理边化角，再结合两角和的正弦展开式和特殊角的三角函数求解即可； （2）选条件①，由同角的三角函数和正弦定理求出，再用余弦定理求出，此时不能构成三角形；选条件②，在中，由余弦定理求出，再由三角形的面积公式求解即可；选条件③，在中，由余弦定理得，再由三角形的面积公式求解即可； 【小问1详解】 因为， 由正弦定理得． 即：， 所以，所以， 即，因为，所以，得； 【小问2详解】 选条件①，， 由正弦定理可得即，解得， 由余弦定理可得，整理得， 解得，不能构成三角形， （老师，这一问我算了两遍，如果有问题请联系我一下，如果没有请帮我删去，谢谢） 选条件②：． 在中，由余弦定理得：，即． 整理得，解得或． 当时，的面积为：， 当时，的面积为：， 选条件③：AC边上中线的长为， 设AC边中点为M，连接BM，则，， 在中，由余弦定理得， 即． 整理得，解得或（舍）． 所以的面积为． 16. 某地区上年度天然气价格为2.8元/，年用气量为．本年度计划将天然气单价下调到2.55元/至2.75元/之间．经调查测算，用户期望天然气单价为2.4元/，下调单价后新增用气量和实际单价与用户的期望单价的差成反比（比例系数为k）．已知天然气的成本价为2.3元/． （1）写出本年度天然气价格下调后燃气公司的收益y（单位：元）关于实际单价x（单位：元/）的函数解析式；（收益=实际用气量×（实际单价－成本价）） （2）设，当天然气单价最低定为多少时，仍可保证燃气公司的收益比上年度至少增加20%? 【答案】（1）， （2）最低定为2.6元/ 【解析】 【分析】（1）依据收益=实际用气量×（实际单价－成本价）列出函数解析式即可； （2）代入，求解不等式即可； 【小问1详解】 由题意得，； 【小问2详解】 由题意可知要同时满足以下条件：， 化简不等式可得 ∴，即单价最低定为2.6元/． 17. 已知函数(为常数，且，且是奇函数. （1）求的值； （2）若， 都有成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由是奇函数，代入化简可得即得解 （2）转化原式为，，结合函数的单调性分析即得解 【小问1详解】 因为是奇函数 所以， 所以， 所以， 所以， 【小问2详解】 因为， 所以， 所以，， 令 由于在单调递增 所以 18. 已知函数 （1）讨论函数的单调性； （2）求函数在处切线方程； （3）若有两解，，且，求证：． 【答案】（1）在区间内为增函数，在区间为减函数； （2） （3） 先证，由（1）可知：，且在区间为减函数，要证， 即证：， 令，， 则， 所以在区间内单调递增，，即， 即； 再证，由（2）可知曲线在点处的切线方程为， 令， ，∴在处取得极大值为0， 故当时，，， 则，即， 又，， ∴，得证. 【解析】 【分析】（1）计算，求以及，从而求出的单调性； （2）计算以及，点斜式计算可求出切线方程； （3）偏移法证明，结合第（2）问的结论，证明在切线下方，放缩法证明不等式. 【小问1详解】 的定义域为，，当时，，当时，，当时，，故在区间内为增函数，在区间为减函数； 【小问2详解】 ，，所以处切线方程为：， 即； 【小问3详解】 略 19. （1）若干个正整数之和等于20，求这些正整数乘积的最大值． （2）①已知，都是正数，求证：； ②若干个正实数之和等于20，求这些正实数乘积的最大值． 【答案】（1）1458； （2）①证明： 先证：， 令，则， 若，则；若，则； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则，即，当且仅当时，等号成立. 故，其中， 则， 可得，则， 所以． ② 【解析】 【分析】（1）设，利用反证法分析可知取2和3，且2的个数不超过2个，即可得结果； （2）①构建函数，利用导数可证，可得，相乘运算即可；②分析可知，构建函数，利用导数求其最值即可判断. 【详解】（1）将20分成正整数之和，即， 假定乘积已经最大． 若，则将与合并为一个数，其和不变， 乘积由增加到，说明原来的p不是最大， 不满足假设，故， 同理， 将每个大于2的拆成2，之和，和不变， 乘积， 故所有的只能取2，3，4之一，且， 所以将取2和3即可， 如果2的个数大于等于3，将3个2换成两个3，这时和不变，乘积则由8变成9， 故在p中2的个数不超过2个， 可得，最大乘积为； （2）①略； ②让n固定，设n个正实数之和为20， 由①可知，则， 要是最大，最大即可， 令，则， 当时，；当时，； 可知时，单调递增，时，单调递减， 且， 可知的最大值为，所以这些正实数乘积的最大值为． 【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式的基本步骤 （1）作差或变形； （2）构造新的函数； （3）利用导数研究的单调性或最值； （4）根据单调性及最值，得到所证不等式． 特别地：当作差或变形构造的新函数不能利用导数求解时，一般转化为分别求左、右两端两个函数的最值问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $