专题5.3 函数的单调性（十个重难点突破）-2024-2025学年高一数学重难点突破及易错点分析（苏教版2019必修第一册）

专题5.3 函数的单调性 一、单调性定义的理解 六、利用单调性解不等式 二、利用函数图象求单调区间 七、利用单调性比较大小 三、判断或证明函数的单调性 八、利用函数的单调性求最值 四、复合函数的单调性 九、根据函数的最值求参数 五、由函数的单调性求参数的取值范围 十、函数不等式恒成立、能成立问题 知识点1 函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定； （3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 知识点2 最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 重难点一 单调性定义的理解 1．已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 2．若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 3．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 4．已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．函数在上是严格增函数，对于任意的，下列结论中正确的有 ． ①；②； ③；④． 重难点二 利用函数图象求单调区间 6．如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 7．（多选）如图是函数的图象，则函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 8．如图是定义在区间的函数，则的增区间是 . 9．函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 . 10．已知函数， (1)在所给的坐标系中画出的图象； (2)根据图象，写出的单调区间和值域； 求函数单调区间的注意点：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． 重难点三 判断或证明函数的单调性 11．下列函数在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 12．已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 13．已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 14．判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论． 15．证明：函数在上是严格增函数． 16．已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 证明或判断函数单调性的方法步骤： ①取值：且 ②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形 ③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论 ④结论：根据定义得出结论 重难点四 复合函数的单调性 17．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 18．已知函数，对于满足的任意，给出下列结论：①，②，③，④，其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 19．（多选）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（     ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递减 20．求函数的单调递减区间． 21．函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 将复合函数分解为若干个常见函数，分别判断每个常见函数的单调性，然后根据复合函数的单调性规律（同增异减）来确定整个复合函数的单调性 重难点五 由函数的单调性求参数的取值范围 22．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 23．函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 24．如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围（    ） A． B． C． D． 25．已知函数，若在区间I上恒负，且是严格减函数，则区间I可以是（    ） A． B． C． D． 26．已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 27．设函数，当为增函数时，实数的值可能是（    ） A．2 B． C．0 D．1 28．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围． 重难点六 利用单调性解不等式 29．若函数在R上单调递减，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ． 31．定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 32．已知函数对任意满足，任意，且，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 33．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 34．若函数是定义在上的增函数，且对一切，满足，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 35．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立. (1)证明函数是上的减函数； (2)若，求的取值范围. 重难点七 利用单调性比较大小 36．定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（    ） A． B． C． D． 37．已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不确定 38．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 39．若函数在上是增函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 40．已知函数的定义域为，且，对定义域内任意的，，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 重难点八 利用函数的单调性求最值 41． 在上的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 42．若，则的最小值为 . 43．函数的值域为 ． 44．若函数的值域为的子集，则满足条件的实数的最小值为 . 45．设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 函数的最值与单调性的关系： （1）如果函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数,在区间上是增函数,则函数在处有最小值． （3）如果函数在区间上是增(减)函数,则在区间的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值． 重难点九 根据函数的最值求参数 46．函数，的最小值为0，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 47．已知函数在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 48．函数在区间上的最大值为4，则 . 49．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 50．函数在上的最小值为，最大值是3，则的最大值为 . 51．已知函数. (1)若函数在上单调递增，求实数m的取值范围； (2)若函数在的最小值为7，求实数m的值. 重难点十 函数不等式恒成立、能成立问题 52．已知是定义在区间上的奇函数，且，若，均属于，当时，都有．若对所有，恒成立，则实数的取值范围是 . 53．已知不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 54．用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若时，不等式恒成立，则实数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 55．已知函数. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 56．已知函数.若对，都有，求实数的取值范围. 57．已知函数，且满足，. (1)求和的值 (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 58．设，若对，使得成立，求的取值范围. (1)若在集合中恒成立,即集合是不等式的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围); (2)转化为函数值域问题,即已知函数的值域为, 则恒成立,即;恒成立,即. 一、单选题 1．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 2．函数在区间上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 6．已知定义域为的函数满足对于任意，，，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 三、填空题 7．函数的单调递减区间为 . 8．如图是函数的图象，则函数的最大值点与单调减区间分别是 ， . 9．已知函数. （1）若，则在上的最小值为 . （2）若函数在区间上存在最小值，则给出一个的可能值为 . 二、多选题 10．已知，下列说法正确的有（    ） A．在区间单调递减 B．在区间单调递增 C．有最大值 D．有最小值 11．若函数满足对，当时，不等式恒成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中，在上是“平方差减函数”有（    ） A． B． C． D． 四、解答题 12．已知函数. (1)若，求在上的最小值； (2)若函数在区间上的最大值为9，最小值为1，求实数的值. 13．已知函数，且. (1)求的值; (2)判断函数在上是增函数还是减函数，并证明. 14．已知函数，且， (1)求的解析式； (2)已知，：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数.若p，q一真一假，求实数的取值范围. 15．已知定义在上函数对任意正数都有，当时，，且 (1)求的值； (2)解关于的不等式：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.3 函数的单调性 一、单调性定义的理解 六、利用单调性解不等式 二、利用函数图象求单调区间 七、利用单调性比较大小 三、判断或证明函数的单调性 八、利用函数的单调性求最值 四、复合函数的单调性 九、根据函数的最值求参数 五、由函数的单调性求参数的取值范围 十、函数不等式恒成立、能成立问题 知识点1 函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定； （3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间D上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 知识点2 最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为I,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 重难点一 单调性定义的理解 1．已知函数的定义域为，“”是“函数在区间是严格增函数”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分又非必要 【答案】B 【详解】显然由推不出函数单调，个别情况推不出整体的单调性，不满足充分性； 反之函数在区间是严格增函数，可知，满足必要性. 即“”是“函数在区间是严格增函数”的必要不充分条件. 故选:B 2．若定义在上的函数对任意两个不相等的实数、，总有成立，则必有（    ） A．在上是严格增函数 B．在上是严格减函数 C．函数是先增后减函数 D．函数是先减后增函数 【答案】B 【详解】因为，所以和异号， 所以当时，，当时，， 故在上是严格减函数，故B正确. 故选：B 3．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于A项，因为在上是增函数， 所以对于任意的，（）， 当时，，所以，，所以， 当时，，所以，，所以， 综述：，故A项正确； 对于B项，因为在上是增函数， 所以对于任意的，（）， 当时，，所以，，所以， 当时，，所以，，所以， 综述：，故B项不成立； 对于C项、D项，由于，的大小关系不确定，所以与的大小关系不确定，故C项不成立，D项不成立. 故选：A. 4．已知函数在上单调递增，则对实数，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递增，且， 由增函数的定义可知，当时，有， 充分性成立；当时，若，由函数定义可知矛盾， 若，由函数单调性的定义可知矛盾，则，必要性成立. 即对实数，“”是“”的充要条件. 故选：C 5．函数在上是严格增函数，对于任意的，下列结论中正确的有 ． ①；②； ③；④． 【答案】①② 【详解】因为函数在上是严格增函数， 所以和同号，故①，②正确， 因为的大小关系无法判断，所以的大小关系也无法判断，故③④错误. 故答案为：①② 重难点二 利用函数图象求单调区间 6．如图是函数的图象，则函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，结合函数图象可得函数的单调递减区间为：. 故选：. 7．（多选）如图是函数的图象，则函数的单调递增区间是（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】若函数单调递增，则对应图象上升趋势， 由图知：的递增区间为，， 故选：AC． 8．如图是定义在区间的函数，则的增区间是 . 【答案】和 【详解】由图可知：在、上都单调递增，在上单调递减， 故答案为：和 9．函数在区间上的图象如图所示，则此函数的增区间是 . 【答案】 【详解】由的图象看，图象在是上升的，在上是下降的， 所以此函数的增区间是. 故答案为： 10．已知函数， (1)在所给的坐标系中画出的图象； (2)根据图象，写出的单调区间和值域； 【答案】(1)图象见解析 (2)答案见解析 【详解】（1）作出的图象如图所示： （2）由图知：的单调减区间为，单调增区间为，值域为. 求函数单调区间的注意点：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． 重难点三 判断或证明函数的单调性 11．下列函数在区间上是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A中函数是减函数，B中函数若，，满足，但，而，，不是增函数， C中函数为，对称轴为，因此在上不是增函数， D中函数，在上，是增函数，是减函数，因此是增函数． 故选：D． 12．已知函数是上的增函数，函数是上的减函数，则下列函数一定是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：因为函数是上的增函数，函数是上的减函数， 所以函数是上的增函数， 函数是上的减函数， 函数，的单调性无法判断. 故选：B. 13．已知，． (1)求证：函数在区间上是增函数； (2)求函数在区间上的值域. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）令，则 ， 又，，，即， 所以函数在区间上是增函数. （2）由（1）知函数在区间上是增函数，又， 所以函数在区间上的值域为. 14．判断函数在区间上的单调性，并证明你的结论． 【答案】函数在上是严格增函数，证明见解析 【详解】当时，在上是严格增函数． 任取，且， 则 ． ∵，∴，，． ∵，∴，∴，∴， ∴时，函数在上是严格增函数． 15．证明：函数在上是严格增函数． 【答案】证明见解析 【详解】任取，且， 则 ． ∵，∴，， ∴，即， ∴函数在上是严格增函数． 16．已知函数的定义域为，判断在上的单调性，并用定义证明； 【答案】在上单调递增，证明见解析 【详解】在上单调递增，证明如下：设， ； 因为，，，，所以， 所以是在上单调递增. 证明或判断函数单调性的方法步骤： ①取值：且 ②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形 ③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论 ④结论：根据定义得出结论 重难点四 复合函数的单调性 17．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数中，，解得， 又的开口向下，对称轴方程为， 函数在上单调递减，在上单调递增，又在上单调递增， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：A 18．已知函数，对于满足的任意，给出下列结论：①，②，③，④，其中正确的是（    ） A．①③ B．①④ C．②③ D．②④ 【答案】C 【详解】根据题意在上为减函数， 由复合函数的单调性法则可知在上为减函数， 又， 故②正确； 又由，得   故③正确． 故选C． 【点睛】本题主要考查判断复合函数的单调性，以及运用函数单调性判断结论正误。 19．（多选）已知函数在R上单调递增，函数在上单调递增，在上单调递减，则（     ） A．函数在R上单调递增 B．函数在上单调递增 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递减 【答案】AB 【详解】因为在R上单调递增，所以在R上单调递增，故A正确； 因为在R上单调递增，在上单调递增，所以在上单调递增，故B正确； 因为在上单调递增，所以在上单调递减，因为的值域是否在上无法判断， 所以在上的单调性无法判断，故C错误； 因为在R上单调递减，在上单调递减，因的值域是否在上无法判断，所以在上的单调性无法判断，故D错误. 故选：AB. 20．求函数的单调递减区间． 【答案】 【详解】由题意可知，解得或． 易知函数由，复合而成， 且在单调递减，在单调递减，在上单调递增； 利用复合函数单调性可得的单调递减区间为. 21．函数在上是单调递减函数，则的单调递增区间是 【答案】 【详解】函数的定义域为，故函数的定义域为，即的定义域为. 由于在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故单调递增区间是. 故答案为：. 将复合函数分解为若干个常见函数，分别判断每个常见函数的单调性，然后根据复合函数的单调性规律（同增异减）来确定整个复合函数的单调性 重难点五 由函数的单调性求参数的取值范围 22．已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得在上单调递减，在上单调递减， 且分段处左端点值大于等于右端点值， 故，解得. 故选：C 23．函数在上是单调函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数开口向上，对称轴为， 所以函数在上单调递减， ，解得，所以的取值范围是. 故选：A. 24．如果函数，满足对任意，都有成立，那么的取值范围（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若函数对于任意的实数，都有成立， 则在上单调递增， 则有：，解得：， 故选：A． 25．已知函数，若在区间I上恒负，且是严格减函数，则区间I可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数， 则， 即， 如图所示： 所以在区间I上恒负，且是严格减函数，区间I可以是，. 故选：B. 26．已知函数，则“”是“函数在区间上单调递增”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 【答案】A 【详解】函数的对称轴为， 当函数在区间上单调递增时，有， 因此“”是“函数在区间上单调递增”的充分不必要条件， 故选：A 27．设函数，当为增函数时，实数的值可能是（    ） A．2 B． C．0 D．1 【答案】D 【详解】在上单调递增，则， 在上单调递增， 由于对称轴为，开口向上，显然满足在上单调递增， 还需满足，解得， 结合，故， 所以实数的值可能是内的任意实数，ABC不满足，D满足 故选：D． 28．若函数在上是增函数，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 令，故，， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，在上单调递增，满足要求， 当，即时，由对勾函数性质得到在上单调递增， 故，解得， 综上，实数的取值范围是. 故选：C 已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围． 重难点六 利用单调性解不等式 29．若函数在R上单调递减，且，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在单调递减，且， 所以，即，解得. 故选：C. 30．函数的定义域为，且在定义域内是增函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由得， 因为函数的定义域为，且在定义域内是增函数， 所以，解得， 所以的取值范围是. 故答案为：. 31．定义在上的函数满足，且，有，且，，则不等式的解集为（    ）. A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解： ， 即， ， ，可转化为：， 即， 即， 满足，且，有， 在上单调递增， 即 ， 解得：， 即不等式的解集为：. 故选：C. 32．已知函数对任意满足，任意，且，都有，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对任意满足，所以的对称轴为直线， 因为函数对任意，都有， 又，所以对任意，都有， 所以函数在上单调递增，则有在上单调递减， 因为，所以，即，解得． 所以不等式的解集是. 故选：D. 33．定义在上的函数满足：对，且，都有成立，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】令， 因为对，且，都有成立， 不妨设，则，故，则，即， 所以在上单调递增， 又因为，所以，故可化为， 所以由的单调性可得，即不等式的解集为. 故选：A. 34．若函数是定义在上的增函数，且对一切，满足，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：因为对一切，满足， 所以令，得，即， 则不等式可化为， 又因为函数是定义在上的增函数， 所以，即，解得， 故选：C 35．已知函数的定义域为，且对任意，都有，且当时，恒成立. (1)证明函数是上的减函数； (2)若，求的取值范围. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）设，则， 当时，恒成立，则， ，即 函数是上的减函数． （2）易知，则． ，所以，解得或 故x的取值范围是. 重难点七 利用单调性比较大小 36．定义域为R的函数满足:对任意的，有，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】定义域在上的函数满足：对任意的，，有， 可得函数是定义域在上的增函数， 所以（1）（3）． 故选：． 37．已知函数是区间内的减函数，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【详解】因为， 又是区间内的减函数， 所以. 故选：B． 38．已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令函数， 因为函数在上单调递减， 所以函数在区间上单调递减， 又因为，所以，即. 故选：C. 39．若函数在上是增函数，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数在上是增函数，，解得：； 则， 故选：B. 40．已知函数的定义域为，且，对定义域内任意的，，当时，，若，，，则a，b，c的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，即， 所以为上的增函数． 令，因为，所以为上的增函数． 因为，故，所以． 故选：D 重难点八 利用函数的单调性求最值 41． 在上的最大值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】A 【详解】， 因为在上单调递减， ∴当时，取得最大值，最大值为. 故选：A 42．若，则的最小值为 . 【答案】 【详解】， ， ， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，. 即的最小值为. 故答案为：. 43．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】因为，得到，所以， 故答案为：. 44．若函数的值域为的子集，则满足条件的实数的最小值为 . 【答案】3 【详解】由题意知，函数定义域为，且是严格增函数，则值域为， 因为函数的值域为的子集， ，即. 则满足条件的实数的最小值为3. 故答案为：3. 45．设函数 (1)判断函数在上的单调性，并证明； (2)求在区间上的值域． 【答案】(1)单调递减，证明见解析 (2) 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 设任意的且，则 ， 因为且，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减； （2）由（1）可得在上单调递减， 又，， 所以，即在区间上的值域为 函数的最值与单调性的关系： （1）如果函数在区间上是增函数,在区间上是减函数,则函数在处有最大值． （2）如果函数在区间上是减函数,在区间上是增函数,则函数在处有最小值． （3）如果函数在区间上是增(减)函数,则在区间的左、右端点处分别取得最小(大)值、最大(小)值． 重难点九 根据函数的最值求参数 46．函数，的最小值为0，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】， 因为，故， 若，则在为减函数， 故的最小值为，解得， 故. 若，则在为减函数， 故的最小值为，解得，矛盾. 故选：D. 47．已知函数在区间[0，2]上的最大值是1，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将函数的图象向左平移一个单位，得到函数.则在区间[0，2]上的最大值是1，只需函数在区间[-1，1]上的最大值是1. 由，， 当，时，，此时函数的最小值为1，不合题意； 当，时，，符合题意； 当，时，，化简得 又由当时，根据二次函数的性质，的值域为， 当时，，必有，可得. 综上，实数a的取值范围是. 故选：B. 48．函数在区间上的最大值为4，则 . 【答案】1 【详解】显然， 若,则函数在区间上是减函数, 并且在区间的左端点处取得最大值,即,解得,不满足,舍去; 若,则函数在区间上是增函数,并且在区间的右端点处取得最大值, 即,解得. 综上,. 故答案为：1. 49．已知函数的最小值为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【详解】当时，，当且仅当时取等号，即取等号；此时函数的最小值为； 当时，， 当时，， 要想函数的最小值为，只需，而，所以； 当时，，显然，符合题意， 综上所述：实数的取值范围为， 故答案为： 【点睛】关键点睛：利用二次函数的性质分类讨论是解题的关键. 50．函数在上的最小值为，最大值是3，则的最大值为 . 【答案】 【详解】解：函数的图象如下， 当时，令，得舍，， 当时，令，得，舍， 结合图象可得 故答案为： 51．已知函数. (1)若函数在上单调递增，求实数m的取值范围； (2)若函数在的最小值为7，求实数m的值. 【答案】(1) (2)或 【详解】（1），即在上单调递减，在上单调递增，若函数在上单调递增，则，所以实数m的取值范围是； （2）, ①当时，在上单调递增，故，解得：或3（舍去）； ②当时，，解得：（舍去）； ③当时，在上单调递增，在上单调递减，且更靠近1，所以，解得：或（舍去）； ④当时，在上单调递增，在上单调递减，且更靠近2，所以，解得：（舍去）或3（舍去）； ⑤当时，在上单调递增，故，解得：（舍去）或3（舍去）； 综上：或 重难点十 函数不等式恒成立、能成立问题 52．已知是定义在区间上的奇函数，且，若，均属于，当时，都有．若对所有，恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】或 【详解】由题知，在上递增. 所以. 由可得， 即对任意恒成立. 构造函数，则， 即，解得或. 故答案为:或 53．已知不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 【详解】二次函数的对称轴是直线，所以该函数在上单调递减， 所以，同样可知函数在上单调递减， 所以，所以在上单调递减， 所以由得到， 即在上恒成立，所以，所以， 所以实数的取值范围是． 54．用表示a，b两个数中的最大值，设函数，若时，不等式恒成立，则实数m的最大值是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】当时，若，则，解得或（舍去）， 若，则，解得， 所以，作出函数图象，如图： 当时，函数单调递增，所以当时，有最小值为1； 当时，函数单调递减，所以； 综上，的最小值为1，因为不等式恒成立，所以， 所以，所以实数m的最大值是2. 故选：B 55．已知函数. (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)7 (2) 【详解】（1）， 因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为7. （2）由（1）知函数的最小值为7， 因为恒成立，所以，解得， 所以的取值范围是. 56．已知函数.若对，都有，求实数的取值范围. 【答案】 【详解】因为对，都有，所以恒成立， 设对于任意的，且， 则， 因为，所以，，所以， 所以，即，则在上是增函数， 所以， 故的取值范围是. 57．已知函数，且满足，. (1)求和的值 (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3). 【详解】（1）由函数满足，，可得，解之得; （2），在上单调递增， 证明如下： 设任意，且，则 ， 由，可得， 又，，， 则，则， 则在上单调递增. （3）对任意的，由在上单调递增， 可得，即， 则在上的值域为 对称轴， 当时，在上为增函数， 值域为， 由题意可得，则，解之得； 综上，实数的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：解题的关键点是把对任意的，总存在，使得成立，转化为列不等式组解题. 58．设，若对，使得成立，求的取值范围. 【答案】 【详解】， 令，则， 设，由对勾函数性质可知函数在上单调递增， 所以的值域为，即的值域为， 又因为，且， 所以的值域为， 由题意得，即 ，解得， 故的取值范围为. (1)若在集合中恒成立,即集合是不等式的解集的子集,可以先求解集,再由子集的含义求解参数的值(或范围); (2)转化为函数值域问题,即已知函数的值域为, 则恒成立,即;恒成立,即. 一、单选题 1．下列函数中，在上单调递增的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由二次函数性质可知，函数在上单调递减，A选项错误； 反比例函数定义域为，不合题意，B选项错误； 一次函数在上单调递增，C选项正确； 时，函数，在上单调递减，D选项错误. 故选：C 2．函数在区间上是减函数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】二次函数的对称轴为， 因为函数在区间上是减函数， 所以，即． 故选：C 3．设，函数，若的最小值为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 当且仅当时，即时等号成立； 即当时，函数的最小值为， 当时，， 要使得函数的最小值为， 则满足，解得，即实数的取值范围是. 故选：B. 4．当时，恒成立，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】记，则． 而， 当时，， 所以实数a的取值范围是. 故选C． 5．已知函数，记该函数在区间上的最大值与最小值的差值为，则的最小值为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【详解】因为在单调递减，在单调递增， 若，即 时，则在上单调递减， 所以，此时的最小值为1． 若，即 ，则在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即， 则在上单调递减，在上单调递增， 所以，此时的最小值为． 若且，即 ，则在上单调递减， 在上单调递增，所以，此时的最小值为． 综上，的最小值为． 故选：D 6．已知定义域为的函数满足对于任意，，，都有，且，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知对于任意，，，不妨设，则， 由得，即， 结合得，即， 设，则该函数在上单调递增，且， 则即，即， 故，即不等式的解集为， 故选：C 三、填空题 7．函数的单调递减区间为 . 【答案】 【详解】 画出函数图象，如图可知， 当时，函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数在上单调递增， 综上所述函数的单调递减区间为. 故答案为： 8．如图是函数的图象，则函数的最大值点与单调减区间分别是 ， . 【答案】 2 和. 【详解】由图象可知：在时取最大值，所以最大值点为； 由图象可知：的单调递减区间为和， 故答案为：；和. 9．已知函数. （1）若，则在上的最小值为 . （2）若函数在区间上存在最小值，则给出一个的可能值为 . 【答案】 （答案不唯一） 【详解】（1）若，则， 因为在上单调递增，则； （2）当时，由双勾函数的性质知， 当时，在上单调递减，在上单调递增， 当时，则函数在上取得最小值， 所以当，即时，函数在区间上存在最小值， 所以的可能值为. 故答案为：；（答案不唯一） 二、多选题 10．已知，下列说法正确的有（    ） A．在区间单调递减 B．在区间单调递增 C．有最大值 D．有最小值 【答案】AC 【详解】当时，解得， 于是有，函数图象由下图所示： 显然在区间单调递减，因此选项A正确； 显然在区间单调递增，在单调递减，所以选项B不正确； 当时，函数有最大值，没有最小值，因此选项C正确，选项D不正确， 故选：AC 11．若函数满足对，当时，不等式恒成立，则称在上为“平方差减函数”，则下列函数中，在上是“平方差减函数”有（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】由题意知函数为“平方差减函数”， 则满足对，当时，不等式恒成立， 即， 而，则， 令，则， 即在上单调递减， 对于A，，则，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 在上单调递减，故为“平方差减函数”，A正确； 对于B，，则，其图象为开口向下的抛物线，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减， 则不是“平方差减函数”，B错误； 对于C，，则在上单调递减， 故为“平方差减函数”，C正确； 对于D，，则在上单调递增， 故不是“平方差减函数”，D错误； 故选：AC 四、解答题 12．已知函数. (1)若，求在上的最小值； (2)若函数在区间上的最大值为9，最小值为1，求实数的值. 【答案】(1)最小值； (2). 【详解】（1）当时，函数，， 当，即时，原函数在上单调递减，当时，； 当时，原函数在上单调递增，当时，； 当时，， 所以在上的最小值. （2）原函数的图象开口向上，且对称轴方程为，则原函数在上单调递增， 则当时，y取得最小值；当时，y取得最大值， 依题意，，解得 ， 所以实数的值分别为1，0. 13．已知函数，且. (1)求的值; (2)判断函数在上是增函数还是减函数，并证明. 【答案】(1)1 (2)增函数，证明见解析 【详解】（1）， （2）函数为增函数，证明如下： 设是上的任意两个实数，且， 则 当时，，， 从而，即， ∴函数在上为增函数. 14．已知函数，且， (1)求的解析式； (2)已知，：当时，不等式恒成立；：当时，是单调函数.若p，q一真一假，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或. 【详解】（1）由，则的对称轴是，解得，又， 所以的解析式是. （2）若为真，不等式，即对任意的恒成立， 而函数的图象开口向上，对称轴为，在上单调递减，且，则； 函数的图象开口向上，对称轴为， 若为真，即在内是单调函数，则或，解得或； 由p，q一真一假，得真假，即，或假真，即， 所以实数的取值范围为或. 15．已知定义在上函数对任意正数都有，当时，，且 (1)求的值； (2)解关于的不等式：. 【答案】(1) (2) 【详解】（1），所以，解得 （2）任取，且，则 因为，所以，则， 所以在上是增函数，因为 所以 即   所以，解得 2 学科网（北京）股份有限公司 $$