精品解析：浙江省宁波市鄞州区十二校联考2024-2025学年九年级上学期10月月考数学试题

2024学年第一学期九年级数学学科10月联考测试卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 2. 小宁任意抛掷一枚均匀骰子，六个面上分别刻着“”的整数．抛掷一次正面朝上为2的概率为（　　） A. B. C. D. 3. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 4. 点B把线段AC分成两部分，如果＝k，那么k的值为（ ） A. B. C. ＋1 D. －1 5. 如图，四边形与四边形位似，位似中心点是，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 7. 若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A. k＞﹣1 B. k≤1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k≥﹣1且k≠0 8. 如图，在中，．将沿着点A到点C的方向平移到的位置，若图中阴影部分面积为2，则平移的距离AD为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（　　） A. 4 B. C. D. 6 10. 将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（　　） A. 12 B. C. 或 D. 或 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数y＝2x2的图象开口方向是 __． 12. 不透明袋子里装有仅颜色不同的 4 个白球和2个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出红球”的概率是 _____． 13. 已知三条线段a、b、c，其中，c是a、b的比例中项，则_____cm． 14. 二次函数，当时，的最小值为_________． 15. ⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为_____． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，在坐标轴上有一点，它与,两点形成的三角形与相似，则点的坐标是______． 三、解答题（本大题有8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 若，且，求a的值． 18. 小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排志愿者被随机分到组（体温检测）、组（便民代购）、组（环境消杀）． （1）小红的爸爸被分到组的概率是______； （2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程） 19. 如图，的顶点均为网格中的格点．选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个，使（相似比不为1）． 20. 已知二次函数图像的顶点坐标，且经过点． （1）求这个二次函数表达式； （2）若点在该函数图像上，求点A的坐标． 21. 如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． （1）若，求证：． （2）若，求的长． 22. 如图，是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，，且，与交于点E． （1）求证：E为的中点． （2）若，，求的长度． 23. 2024年9月16日，全国青少年轮滑联赛在北戴河开赛．其中项目之一是“轮滑速降”，依靠路面的倾斜给予动力，人体自由下落，感受风驰电掣般的运动．如图是某轮滑速降比赛场地的横截面示意图，线段表示出发台，表示助滑坡，点表示起跳点，线段表示着陆坡，点表示此轮滑速降的落地点．以水平地面为轴，过点作轴的垂线为轴，建立平面直角坐标系．已知起跳点到水平地面的距离为30米，到轴的距离是10米，米，米． 注：①K点是轮滑速降中打出距离分所用的参照点，此跳台的参照距离是37.5米，即米． ②距离分（跳跃距离）． ③跳跃距离是指起跳点C与着陆点之间的距离． （1）求点的坐标； （2）某运动员从点滑出，在空中飞行的轨迹（与横截面在同一平面内）可以近似的看成一条抛物线，其函数表达式为． ①若该运动员第一跳的距离分S是60分，求此时该抛物线的表达式； ②某运动员在第二次起跳中，发现第二跳的飞行轨迹抛物线的表达式为，求该运动员此跳的距离分S． 24. （1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是　　． （2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长． （3）如图3，在矩形中，，点F，G分别在，上，以为折痕，将四边形翻折，使顶点A落在上的点E处，且，连接，设的面积为，的面积为，的面积为，若，请求出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级数学学科10月联考测试卷 一、选择题（本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数顶点坐标，对于二次函数，其顶点坐标为，据此可得答案． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故选：B． 2. 小宁任意抛掷一枚均匀骰子，六个面上分别刻着“”的整数．抛掷一次正面朝上为2的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了求概率，熟练掌握概率公式是解题的关键，根据任意抛掷一枚均匀骰子，有6种等可能的情况，从而得出抛掷一次正面朝上为2的概率为． 【详解】解：抛掷一次正面朝上为2的概率为． 故选：D． 3. 已知的半径是5，，则点P与的位置关系是（　　） A. 点P在圆上 B. 点P在圆内 C. 点P在圆外 D. 不能确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了点与圆的位置关系，若点与圆心的距离d，圆的半径为，则当时，点在圆外；当时，点在圆上；当时，点在圆内，据此求解即可． 【详解】解：∵半径是5，， ∴， ∴点P在圆外， 故选：C． 4. 点B把线段AC分成两部分，如果＝k，那么k的值为（ ） A. B. C. ＋1 D. －1 【答案】B 【解析】 【分析】设AC=1，由题意得AB=k，BC=，由AC=AB+ BC=1得到关于的一元二次方程，解方程即可． 【详解】设AC=1， ∵=k，且， ∴AB=k，BC=， ∵AC=AB+ BC=1， ∴，即， ∵，，， ， ∴(负值舍去)， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了比例线段，公式法解一元二次方程，由比例线段得到一元二次方程是解题的关键． 5. 如图，四边形与四边形位似，位似中心点是，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接利用位似图形的性质得出△OEF∽△OAB，△OFG∽△OBC，进而得出答案． 【详解】如图所示： ∵四边形ABCD与四边形EFGH位似， ∴△OEF∽△OAB,△OFG∽△OBC， ∴ ∴ 故选C. 【点睛】考查位似图形的性质，掌握位似图形的性质是解题关键. 6. 如图为一座拱形桥示意图，桥身AB（弦AB）长度为8，半径OC垂直AB于点D，，则桥拱高CD为（ ） A. 3 B. 2.5 C. 2 D. 1.5 【答案】C 【解析】 【分析】连接，先根据垂径定理求出，，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论． 【详解】解：连接， 半径弦于点，， ， ， ． 故选：C． 【点睛】本题考查的是垂径定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 7. 若二次函数y＝kx2﹣2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是（　　） A. k＞﹣1 B. k≤1且k≠0 C. k＜﹣1 D. k≥﹣1且k≠0 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的定义得到；根据一元二次方程的根的判别式的符号列出不等式，通过解不等式即可求得k的取值范围． 【详解】解：∵二次函数与x轴有交点， 方程有根的判别式为： ∴且， 解得且， 故选：D． 【点睛】题目二次函数与一元二次方程的关系，理解二者交点与根的关系是解题关键． 8. 如图，在中，．将沿着点A到点C的方向平移到的位置，若图中阴影部分面积为2，则平移的距离AD为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由勾股定理逆定理推出直角三角形，然后可求面积，平移可得相似三角形，相似三角形面积比为相似比的平方，直接求解即可． 【详解】解：设与交点为H， ， ， 是直角三角形，即， ， 沿着点A到点C的方向平移到的， ∴，且即为平移的距离， ， ，解得， ， 平移的距离为． 故选：A． 【点睛】此题考查勾股定理逆定理，平移规律以及相似三角形的性质和判定，解题关键是相似三角形的面积比为相似比的平方，此题技巧为先利用勾股定理逆定理推出直角，而后根据平移规律找出平移的距离． 9. 如图，在中，直径，正方形的四个顶点都分别在半径、及上，且，则（　　） A. 4 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的基本性质、正方形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线，构造与相关的直角三角形．先结合正方形的性质证明为等腰直角三角形，易得，设，则，在中根据勾股定理求得的值，即可获得答案． 【详解】解：连接，如下图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵直径， ∴， 设，则， 在中，可有， 即， 解得或（舍去）， ∴． 故选：B． 10. 将抛物线位于轴左侧的部分沿轴翻折，其余部分不变，翻折得到的图象和原来不变的部分构成一个新图象，若直线与新图象有且只有2个公共点，则的取值范围是（　　） A. 12 B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象的性质、平移的性质、二次函数与二元一次方程的关系等知识点，掌握数形集合思想是解答本题的关键．如图分三段：当直线过点B时，直线与该新图象恰好有一个公共点；当直线过点A时，直线与该新图象恰好有三个公共点；当直线与抛物线相切时，直线与该新图象恰好有三个公共点，据此即可解答． 【详解】解：∵二次函数解析式为：， ∴抛物线的顶点坐标为， 如图：按要求折叠后，新图象的顶点坐标为， 当直线过点时，即，直线与新图象有且只有2个公共点，此时直线； 直线向上移动过程中，与新图象一直有两个公共点，直到过点时有三个公共点，即； 抛物线左侧部分的函数解析式为： ， 当直线与y轴左侧相切时，与新图象有一个公共点， ∴仅有一个解， ∴的， ∴， 解得：． 综上，当或时，直线与新图象有且只有2个公共点． 故选：C． 二、填空题（本大题有6个小题，每小题3分，共18分） 11. 二次函数y＝2x2的图象开口方向是 __． 【答案】向上 【解析】 【分析】根据二次项系数的符号，即可直接判断出抛物线开口方向． 【详解】解：∵二次函数y＝2x2中，a＝2＞0， ∴开口向上， 故答案为：向上 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟知二次函数中，当a＞0，开口向上，当a＜0，开口向下，是解本题的关键． 12. 不透明袋子里装有仅颜色不同的 4 个白球和2个红球，从袋子中随机摸出一球，“摸出红球”的概率是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据概率的公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数． 【详解】解：∵袋子中共有6个球，红球2个， ∴“摸出红球”的概率． 故答案为： 【点睛】本题考查随机事件的概率，属于基础题目，理解随机事件概率的求法是解题的关键． 13. 已知三条线段a、b、c，其中，c是a、b的比例中项，则_____cm． 【答案】2 【解析】 【分析】由c是a、b的比例中项，根据比例中项的定义，列出比例式即可得出线段c的长，注意线段不能为负． 【详解】解：根据比例中项的概念结合比例的基本性质，得：比例中项的平方等于两条线段的乘积． 所以， 解得：（线段是正数，负值舍去）． 则cm． 故答案为：2． 【点睛】此题考查了比例线段；理解比例中项的概念是关键，这里注意线段不能是负数． 14. 二次函数，当时，的最小值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到二次函数的对称轴为，开口方向向下，结合图象的增减性解题即可． 【详解】二次函数中，对称轴，如图， 由图象可知，当时，取最小值是，， 即， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数图象的性质，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 15. ⊙O的半径为2，弦BC＝2，点A是⊙O上一点，且AB＝AC，直线AO与BC交于点D，则AD的长为_____． 【答案】3或1 【解析】 【分析】根据垂径定理推论，得AO⊥BC，由勾股定理得OD=1，分两种情况分别求出AD的值，即可 【详解】如图所示：∵⊙O的半径为2，弦BC=2，点A是⊙O上一点，且AB=AC， ∴， ∴AO⊥BC， ∴BD=BC=， 在Rt△OBD中， ∵BD2+OD2=OB2，即（）2+OD2=22，解得OD=1， ∴当如图1所示时，AD=OA﹣OD=2﹣1=1； 当如图2所示时，AD=OA+OD=2+1=3． 故答案为1或3． 【点睛】本题主要考查垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，在坐标轴上有一点，它与,两点形成的三角形与相似，则点的坐标是______． 【答案】或或或 【解析】 【分析】分两种情形：当点P在x轴上时，时，当点在y轴上时，或，分别求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， 当点P在x轴上时，①当P点与B重合时， ②时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点在y轴上时，， ∵， ∴， ∴， ∴． 当时，有， ∴ ∴ ∴ 综上所述，满足条件的点P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会与分类讨论的射线思考问题． 三、解答题（本大题有8小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 若，且，求a的值． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了比例性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 由已知可设，，代入，求出即可求出a的值． 【详解】解： ∵，设，， 则， ∴， ∴ 18. 小红的爸爸积极参加社区抗疫志愿服务工作．根据社区的安排志愿者被随机分到组（体温检测）、组（便民代购）、组（环境消杀）． （1）小红的爸爸被分到组的概率是______； （2）某中学王老师也参加了该社区的志愿者队伍，他和小红爸爸被分到同一组的概率是多少？（请用画树状图或列表的方法写出分析过程） 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1中，可求出概率． （2）用列表法表示所有可能出现的结果，进而计算“他与小红的爸爸”分到同一组的概率． 【详解】（1）共有3种可能出现的结果，被分到“B组”的有1种， 因此被分到“B组”的概率为， 故答案为：； （2）用列表法表示所有可能出现的结果如下： 小红爸爸 王老师 A B C A AA AB AC B BA BB BC C CA CB CC 共有9种可能出现的结果，其中“他与小红的爸爸”在同一组的有3种， ∴P（他与小红爸爸在同一组）=． 【点睛】本题考查了列表法或树状图法求随机事件发生的概率，列举出所有可能出现的结果情况是正确求解的前提． 19. 如图，的顶点均为网格中的格点．选择合适的格点（包括边界）为点D和点E，请画出一个，使（相似比不为1）． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．根据要求，画出一个，即可；利用勾股定理求出各边长，利用三组对应边对应成比例，证明即可． 【详解】如图所示：即为所求， 设小正方形的边长为：1，由图可知：，， 由勾股定理，得：，，，， ， ， ． 20. 已知二次函数图像的顶点坐标，且经过点． （1）求这个二次函数表达式； （2）若点在该函数图像上，求点A的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、二次函数图像的性质等知识点，运用待定系数法求得函数解析式是解题的关键． （1）直接运用待定系数法求得函数解析式是解题的关键； （2）令代入函数解析式求得m即可解答． 【小问1详解】 解：设该函数解析式为， 由题意可得：，解得：． 所以该函数解析式为：． 【小问2详解】 解：令可得：，解得：或． 所以点A的坐标为或． 21. 如图，是平行四边形的对角线，在边上取一点F，连接交于点E，并延长交的延长线于点G． （1）若，求证：． （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴即； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用． （1）依据等量代换得到，依据可得，进而得出，即　； （2）依据，可得，依据，即可得出，，再根据，可得进而得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵平行四边形中，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 即 ∴，， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴． 22. 如图，是半圆O的直径，C，D是圆上的两点，，且，与交于点E． （1）求证：E为的中点． （2）若，，求的长度． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角定理，平行线的性质，勾股定理，垂径定理等知识点，熟练掌握运用这些知识点是解题关键． （1）根据直径的性质可得，根据平行线的性质可证，根据垂径定理即可得证； （2）设圆O的半径为，在中用勾股定理建立方程，求解即可． 【小问1详解】 证明：∵是半圆O的直径，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即为的中点； 【小问2详解】 解：设圆O的半径为， 则，，． 在中，， ∴， 解得 ， ∴． 23. 2024年9月16日，全国青少年轮滑联赛在北戴河开赛．其中项目之一是“轮滑速降”，依靠路面的倾斜给予动力，人体自由下落，感受风驰电掣般的运动．如图是某轮滑速降比赛场地的横截面示意图，线段表示出发台，表示助滑坡，点表示起跳点，线段表示着陆坡，点表示此轮滑速降的落地点．以水平地面为轴，过点作轴的垂线为轴，建立平面直角坐标系．已知起跳点到水平地面的距离为30米，到轴的距离是10米，米，米． 注：①K点是轮滑速降中打出距离分所用的参照点，此跳台的参照距离是37.5米，即米． ②距离分（跳跃距离）． ③跳跃距离是指起跳点C与着陆点之间的距离． （1）求点的坐标； （2）某运动员从点滑出，在空中飞行的轨迹（与横截面在同一平面内）可以近似的看成一条抛物线，其函数表达式为． ①若该运动员第一跳的距离分S是60分，求此时该抛物线的表达式； ②某运动员在第二次起跳中，发现第二跳的飞行轨迹抛物线的表达式为，求该运动员此跳的距离分S． 【答案】（1）点K的坐标为 （2）①；②该运动员此跳的距离分S为 【解析】 【分析】（1）过点C作轴于点M，过点K作于点H，勾股定理求出米，然后证明出，得到，代数求出米，米，进而求解即可； （2）①设该运动员的着陆点为E，则跳跃距离为，然后根据距离分的定义求得跳跃距离，点E与点K重合，即点E的坐标为，然后运用待定系数法即可解答； ②待定系数法求出的解析式为，设新的着陆点为Q，然后联立求出点Q的坐标为，然后利用勾股定理求出，进而求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，过点C作轴于点M，过点K作于点H， ∵到水平地面的距离为30米，到轴的距离是10米， ∴米，米 ∴米 ∵ ∴米 ∴ ∴ ∴ ∴米，米 ∴米，米 ∴点K的坐标为； 【小问2详解】 解：①设该运动员的着陆点为E，则跳跃距离为 ∵该运动员第一跳的距离分是60分， ∴，即． ∴点E与点K重合，即点E的坐标为，点C的坐标为 由题意可得：， 解得： ∴； ②：由题意可得：点， 设的解析式为：， 则有：，解得：， ∴的解析式为：， 设新的着陆点为Q， 联立 解得：或（与点C重合舍去） ∴点Q的坐标为， 勾股得：跳跃距离为， ∴第二次的距离分为S=． 【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题、二次函数的应用、相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识点，掌握运用待定系数法求函数解析式是解题的关键． 24. （1）如图1，矩形中，，，交于点E，则的值是　　． （2）如图2，中，，，，D为边上一点，连接，，交于点E，若，求的长． （3）如图3，在矩形中，，点F，G分别在，上，以为折痕，将四边形翻折，使顶点A落在上的点E处，且，连接，设的面积为，的面积为，的面积为，若，请求出的值． 【答案】（1）；（2）10；（3） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定，三角形相似的判定和性质，三角函数，勾股定理，熟练掌握三角形的相似，三角函数是解题的关键． （1）由矩形的性质结合，证明，由相似三角形的性质解求解； （2）过点A，D作的垂线，垂足分别为，证明，解直角三角形，求出，得到，进而得到，设，则 ， 解直角三角形即可求解； （3）连接，设 ， 则 ，由勾股定理求出的值，证明相似，设，，根据，求出的值，即可得到，过点作，垂足为Q，证明，推出，由即可求解． 【详解】解：（1） 四边形是矩形，，，， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）过点A，D作的垂线，垂足分别为， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴， 设，则 ， ， ， 又， ， ， ， ， ∴； （3）解：连接 ， 设 ， 则 ， ，即 ， 解得 ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，，， ， ， ， 设， ，， ， ， ，即， （舍去）， ， 过点作，垂足为Q， 由折叠的性质得到， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $