上海市七年级上学期期中真题必刷易错、压轴60题-2024-2025学年七年级数学上学期期中考点大串讲（沪教版2024）

期中真题必刷易错、压轴60题（11个考点专练） 一．合并同类项（共3小题） 1．（2022秋•奉贤区期中）计算：　　． 2．（2023秋•浦东新区期中）计算：　　． 3．（2022秋•静安区校级期中）合并同类项：　　． 二．整式的加减（共7小题） 4．（2021秋•浦东新区校级期中）计算：． 5．（2023秋•合江县期中）已知代数式，． （1）求； （2）若的值与的取值无关，求的值． 6．（蚌埠期中）已知，，当，时，求的值． 7．（2023秋•博白县校级期中）已知：，，求． 8．（2023秋•天长市期中）已知、是系数，且与的差中不含二次项，求的值． 9．（2023秋•临洮县期中）有这样一道题：“计算的值，其中”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 10．（2023秋•潢川县期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下： ． （1）求所捂的二次三项式； （2）若请给选择一个你喜欢的数代入，求所捂二次三项式的值． 三．幂的乘方与积的乘方（共8小题） 11．（2021秋•浦东新区期中）计算的结果是　　 A． B． C． D． 12．（2022秋•嘉定区校级期中）的计算结果是　　 A．2 B． C．4 D． 13．（2022秋•青浦区校级期中）计算：　 　． 14．（2022秋•长宁区校级期中）若，，，那么　　．（用含有、的代数式表示） 15．（2023春•凤城市期中）计算：　　． 16．（2023秋•二道区期中）已知，，那么　　． 17．（2022秋•奉贤区期中）计算：　　． 18．（2023秋•青秀区校级期中）阅读探究题： 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与． 解：，，． （1），求的值． （2）类比解答比较，的大小． （3）拓展拔高比较，，的大小． 四．完全平方公式（共10小题） 19．（2023秋•浦东新区期中）计算：　　． 20．（2022秋•黄浦区期中）计算：　　． 21．（2022秋•闵行区期中）已知，，那么的值为 　　． 22．（2023秋•武山县期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求：和的值． 23．（2023秋•闵行区校级期中）已知，，求： （1）的值； （2）的值． 24．（2022秋•嘉定区期中）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 25．（2022秋•静安区校级期中）阅读并思考： 计算时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：47接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． （1）依此方法计算 第一步：49接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，　　　　　　． （2）请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式． 　　　　　　． （3）利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性． （4）写出利用这个公式计算的过程． （5）计算也有一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：； 第二步： 第三步：前面两步的结果综合起来，的结果是4221． 写出上述过程所依据的计算公式 　　． （6）利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性． 26．（2022秋•嘉定区校级期中）已知， 求下列各式的值（直接写出答案） ①　 　； ②　 　； ③　 　； ④　 　． 27．（2023秋•绿园区校级期中）已知，，求与的值． 28．（2024春•福鼎市校级期中）阅读下列解答过程： 已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足， 求：（1）的值；（2）的值． 五．平方差公式（共14小题） 29．（2022秋•闵行区期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 30．（2021秋•普陀区期中）下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 31．（2023秋•浦东新区校级期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 32．（2022秋•宝山区校级期中）若，，则　　． 33．（2022秋•丹江口市期中）计算　　． 34．（2021秋•浦东新区期中）化简：． 35．（2023秋•青浦区校级期中）计算：． 36．（2023秋•闵行区校级期中）用乘法公式计算：． 37．（2021秋•奉贤区期中）计算：． 38．（2022秋•闵行区期中）计算：． 39．（2022秋•青浦区校级期中）用乘法公式计算：． 40．（2022秋•闵行区期中）计算：． 41．（2023秋•武山县期中）阅读下列材料，完成后面问题 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算： ． 请借鉴该同学的经验，计算： 42．（2022春•双牌县校级期中）观察下列各式 （1）分解因式：　 　； （2）根据规律可得　 　（其中为正整数）； （3）计算：； （4）计算：． 六．整式的除法（共3小题） 43．（2023秋•普陀区校级期中）计算：　　． 44．（2024春•拱墅区校级期中）已知长方形的面积为，长为，则该长方形的周长为 　　． 45．（2023秋•北京期中）一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为，则长为 　　． 七．因式分解的意义（共3小题） 46．（2023秋•浚县期中）阅读理解： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， ， ， 由等式恒等原理可知：①，②， 由①②解得：，， 另一个因式为，的值为． 活学活用： （1）若，则　　； （2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式． 47．（2022秋•恩阳区 期中）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 48．（2020秋•宛城区校级期中）【例题讲解】因式分解：． 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，展开等式右边得：，恒成立． 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得． ． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 （1）若，则　　； （2）若有一个因式是，求的值； （3）请判断多项式能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由． 八．因式分解-提公因式法（共2小题） 49．（2022秋•浦东新区校级期中）因式分解：　　． 50．（2021秋•青秀区校级期中）分解因式　　． 九．因式分解-运用公式法（共3小题） 51．（2023秋•商水县期中）若等式（恒成立），则　　． 52．（2023秋•江海区校级期中）已知多项式：①；②；③；④；其中能运用平方差公式分解因式的是　　．（填序号即可） 53．（2023秋•闵行区期中）分解因式：． 一十．因式分解-分组分解法（共1小题） 54．（2021秋•鲤城区校级期中）已知公式：，，利用或者不利用上述公式，分解因式：　　． 一十一．因式分解-十字相乘法等（共6小题） 55．（2022秋•虹口区校级期中）如果多项式可以用十字相乘法因式分解，那么下列的取值正确的是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 56．（2023秋•祁东县校级期中）若因式分解的结果为，则　　． 57．（2022秋•嘉定区校级期中）阅读下列文字，解决问题． 先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法． 按照这个思路，试把多项式分解因式． 58．（2023秋•商水县期中）对于某些二次三项式可以采用“配方法”来分解因式，阅读下列材料：例如：把分解因式，我们可以这样进行： （加上，再减去 （运用完全平方公式） （运用平方差公式） （化简） 运用此方法解决下列问题： （1）把分解因式． （2）已知：，求多项式的值． 59．（2022秋•青浦区校级期中）分解因式：． 60．（2023秋•道里区校级期中）阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 由得，； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式， 例如：将式子分解因式． 分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以． 解： 请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）分解因式：　 　； （2）分解因式：； （3）填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是　 　． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！学科网（北京）股份有限公司3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 期中真题必刷易错、压轴60题（11个考点专练） 一．合并同类项（共3小题） 1．（2022秋•奉贤区期中）计算：　　． 【分析】利用合并同类项的法则，进行计算即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的的法则是解题的关键． 2．（2023秋•浦东新区期中）计算：　　． 【分析】根据合并同类项的法则进行计算，即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 3．（2022秋•静安区校级期中）合并同类项：　　． 【分析】根据合并同类项的法则，进行计算即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了合并同类项，熟练掌握合并同类项的法则是解题的关键． 二．整式的加减（共7小题） 4．（2021秋•浦东新区校级期中）计算：． 【分析】根据去括号法则：括号前是“”号，去括号时连同它前面的“”号一起去掉，括号内各项不变号；括号前是“”号，去括号时连同它前面的“”号一起去掉，括号内各项都要变号．把括号去掉，再合并同类项． 【解答】解： ． 【点评】本题主要考查了去括号与添括号，掌握根据去括号法则，乘法分配律的熟练应用是解题关键． 5．（2023秋•合江县期中）已知代数式，． （1）求； （2）若的值与的取值无关，求的值． 【分析】（1）将、代入，然后去括号、合并同类项求解； （2）与的取值无关说明的系数为0，据此求出的值． 【解答】解：（1） ； （2）， 的值与的取值无关， 解得：． 【点评】本题考查了整式的加减，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 6．（蚌埠期中）已知，，当，时，求的值． 【分析】根据题意得到算式，根据去括号法则、合并同类项法化简，再代值计算即可． 【解答】解： ； 当，时，原式． 【点评】本题考查的是整式的加减运算，掌握合并同类项法则是解题的关键． 7．（2023秋•博白县校级期中）已知：，，求． 【分析】把、的表达式分别代入所求的式子中，去括号，合并同类项即可求得． 【解答】解： ． 【点评】考查了去括号法则以及合并同类项法则．代入时注意括号的运用． 8．（2023秋•天长市期中）已知、是系数，且与的差中不含二次项，求的值． 【分析】根据题意列出关系式，去括号合并得到结果，根据结果中不含二次项，求出与的值，代入所求式子中计算，即可求出值． 【解答】解： ， 两个多项式的差中不含二次项， ， 解得：， 则． 【点评】此题考查了整式的加减，以及代数式求值，涉及的知识有：去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握法则是解本题的关键． 9．（2023秋•临洮县期中）有这样一道题：“计算的值，其中”．甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的，试说明理由，并求出这个结果． 【分析】首先将原代数式去括号，合并同类项，化为最简整式为，与无关；所以甲同学把“”错抄成“”，但他计算的结果也是正确的． 【解答】解： ， 当时，原式． 因为化简的结果中不含，所以原式的值与值无关． 【点评】整式的加减运算实际上就是去括号、合并同类项．注意去括号时符号的变化． 10．（2023秋•潢川县期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个二次三项式，形式如下： ． （1）求所捂的二次三项式； （2）若请给选择一个你喜欢的数代入，求所捂二次三项式的值． 【分析】（1）根据已知等式，确定出所捂的二次三项式即可； （2）把代入计算即可求出值． 【解答】解：（1）根据题意得：； （2）当时，原式． 【点评】此题考查了整式的加减，以及代数式求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 三．幂的乘方与积的乘方（共8小题） 11．（2021秋•浦东新区期中）计算的结果是　　 A． B． C． D． 【分析】根据积的乘方的性质进行计算即可． 【解答】解：， 故选：． 【点评】本题考查了积的乘方．解题的关键是掌握积的乘方的运算方法，要注意理符号的变化． 12．（2022秋•嘉定区校级期中）的计算结果是　　 A．2 B． C．4 D． 【分析】逆向运用积的乘方运算法则计算即可． 【解答】解： ． 故选：． 【点评】本题考查了积的乘方，掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 13．（2022秋•青浦区校级期中）计算：　　． 【分析】根据即的乘方，即可解答． 【解答】解：， 故答案为： 【点评】本题考查了积的乘方，解决本题的关键是熟记积的乘方的法则． 14．（2022秋•长宁区校级期中）若，，，那么　　．（用含有、的代数式表示） 【分析】把化为，从而可得答案． 【解答】解：，，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查的是幂的乘方运算，同底数幂的乘法运算，掌握“幂的运算法则以及等量代换的思想”是解本题的关键． 15．（2023春•凤城市期中）计算：　　． 【分析】利用幂的乘方与积的乘方法则，进行计算即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方法则是解题的关键． 16．（2023秋•二道区期中）已知，，那么　100　． 【分析】根据幂的乘方与积的乘方法则进行计算，即可解答． 【解答】解：，， ， 故答案为：100． 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘方，熟练掌握幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 17．（2022秋•奉贤区期中）计算：　　． 【分析】逆用同底数幂的乘法法则，先把写成的形式，再逆用积的乘方法则计算求值． 【解答】解： ． 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的运算，掌握同底数幂的乘法法则、积的乘方法则是解决本题的关键． 18．（2023秋•青秀区校级期中）阅读探究题： 比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，如：，． 在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与． 解：，，． （1），求的值． （2）类比解答比较，的大小． （3）拓展拔高比较，，的大小． 【分析】（1）逆用幂的乘方，列出方程进行求解即可； （2）转化为同底数幂，比较指数即可； （3）转化为同指数，比较底数即可． 【解答】解：（1）， 即：， ， ； （2），， ， ， 即：； （3），，， ， ； ． 【点评】本题考查幂的运算，掌握幂的乘方法则是解题的关键． 四．完全平方公式（共10小题） 19．（2023秋•浦东新区期中）计算：　　． 【分析】根据完全平方公式进行计算，即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 20．（2022秋•黄浦区期中）计算：　　． 【分析】原式利用完全平方公式展开即可得到结果． 【解答】解：原式． 故答案为：． 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 21．（2022秋•闵行区期中）已知，，那么的值为 　304　． 【分析】先利用完全平方公式展开合并得到原式，再进行配方得到原式，然后利用整体代入的方法计算即可． 【解答】解：原式 ， 当，，原式． 故答案为：304． 【点评】本题考查了完全平方公式．解题的关键是熟练掌握完全平方公式：． 22．（2023秋•武山县期中）（1）已知，，求的值． （2）已知，，求：和的值． 【分析】（1）利用完全平方公式进行计算，即可解答； （2）利用完全平方公式进行计算，即可解答． 【解答】解：（1），， ； （2），， ，， ，， ，． 【点评】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式的特征是解题的关键． 23．（2023秋•闵行区校级期中）已知，，求： （1）的值； （2）的值． 【分析】（1）运用完全平方公式变形即可求解； （2）利用（1）中结论即可求解． 【解答】解：（1），， ； （2）由（1）可知：，， ， ． 【点评】本题考查完全平方公式与两数的平方和、两数积的关系，灵活运用完全平方公式变形是解题的关键． 24．（2022秋•嘉定区期中）已知，，求下列各式的值： （1）； （2）． 【分析】（1）先利用完全平方公式将等式，的左边展开，然后两式相加即可求得的值； （2）先利用完全平方公式将等式，的左边展开，然后两式相减即可求得的值． 【解答】解：（1），， ； （2），， ． 【点评】本题主要考查的是完全平方公式，能够运用完全平方公式对等式进行变形是解题的关键． 25．（2022秋•静安区校级期中）阅读并思考： 计算时，山桂娜同学发现了一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：47接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，． （1）依此方法计算 第一步：49接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步： 第四步：把第二、三步综合起来，　25　　　　　． （2）请你根据山桂娜同学的方法，填写出一个正确的计算公式． 　　　　　　． （3）利用乘法运算说明第（2）小题中这个公式的正确性． （4）写出利用这个公式计算的过程． （5）计算也有一个简单的口算方法，具体步骤如下： 第一步：； 第二步： 第三步：前面两步的结果综合起来，的结果是4221． 写出上述过程所依据的计算公式 　　． （6）利用乘法运算说明第（5）小题中这个公式的正确性． 【分析】（1）根据材料中的方法计算即可； （2）同理可得结论； （3）根据乘法运算分别计算（2）中等式的左边和右边，从而得结论； （4）代入（2）中的公式可得结论； （5）根据材料中的具体步骤可得计算公式即可； （6）根据多项式乘以多项式法则计算即可． 【解答】解：（1）依此方法计算 第一步：49接近整十数50，； 第二步：取50的一半25，； 第三步：； 第四步：把第二、三步综合起来，． 故答案为：25，1，1； （2）． 故答案为：25，，； （3）左边， 右边， 左边右边， ； （4）． （5）写出上述过程所依据的计算公式：； 故答案为：； （6）左边 ， 右边 ， ． 【点评】本题考查了有理数的乘方和乘法的简便算法，理解材料中计算的方法和运用是解本题的关键． 26．（2022秋•嘉定区校级期中）已知， 求下列各式的值（直接写出答案） ①　68　； ②　 　； ③　 　； ④　 　． 【分析】①根据完全平方公式进行计算即可； ②根据进行计算即可； ③根据多项式的乘法进行计算即可； ④根据完全平方公式进行计算即可． 【解答】解：①原式 ． 故答案为：68； ②原式 ． 故答案为：36； ③原式 ． 故答案为：0； ④原式 ． 故答案为：52． 【点评】本题考查的是完全平方公式，熟记完全平方公式是解答此题的关键． 27．（2023秋•绿园区校级期中）已知，，求与的值． 【分析】已知等式利用完全平方公式化简，相加减即可求出所求式子的值． 【解答】解：①，②， ①②得：，即； ①②得：，即． 【点评】此题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键． 28．（2024春•福鼎市校级期中）阅读下列解答过程： 已知：，且满足．求：的值． 解：， ，即． ． 请通过阅读以上内容，解答下列问题： 已知，且满足， 求：（1）的值；（2）的值． 【分析】（1）根据题意可得，再利用完全平方公式计算即可； （2）根据倒数的定义和完全平方公式计算即可． 【解答】解：（1）， 整理得： ， ； （2）解：的倒数为， ， ． 【点评】此题考查完全平方公式，关键是根据完全平方公式进行变形解答． 五．平方差公式（共14小题） 29．（2022秋•闵行区期中）下列整式乘法能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】根据平方差公式对各选项分别进行判断． 【解答】解：、不能用平方差公式计算，故此选项不符合题意； 、，故此选项符合题意； 、，故此选项不符合题意； 、，故此选项不符合题意． 故选：． 【点评】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是熟练掌握平方差公式：． 30．（2021秋•普陀区期中）下列多项式乘以多项式能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】利用平方差公式的结构特征判断即可． 【解答】解：能用平方差公式计算的是，其它的不能用平方差公式计算． 故选：． 【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 31．（2023秋•浦东新区校级期中）下列各式中不能用平方差公式计算的是　　 A． B． C． D． 【分析】能用平方差公式进行因式分解的式子的特点是：两项平方项，符号相反，对各选项分析判断后利用排除法． 【解答】解：、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意； 、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意； 、，不符合平方差公式的特点，不能用平方差公式计算，故本选项符合题意； 、符合平方差公式的特点，能用平方差公式计算，故本选项不合题意． 故选：． 【点评】本题考查的是应用平方差公式进行计算的能力，掌握平方差公式的结构特征是正确解题的关键． 32．（2022秋•宝山区校级期中）若，，则　2　． 【分析】，即，又，可求出的值． 【解答】解：，， ． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解题的关键．平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，即． 33．（2022秋•丹江口市期中）计算　1　． 【分析】根据平方差公式解答即可． 【解答】解： ． 故答案为：1． 【点评】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式是解决本题的关键． 34．（2021秋•浦东新区期中）化简：． 【分析】先用平方差、完全平方公式去掉括号，再合并同类项就可得结果． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了平方差、完全平方公式，掌握这两个公式的熟练应用，括号前面是负号去括号时注意每一项都变号是解题易出错的地方． 35．（2023秋•青浦区校级期中）计算：． 【分析】原式利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开即可得到结果． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 36．（2023秋•闵行区校级期中）用乘法公式计算：． 【分析】首先把化为这个形式，再用平方差公式计算． 【解答】解： ． 【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握平方差公式，把两数积的形式化为的形式是解题的关键． 37．（2021秋•奉贤区期中）计算：． 【分析】利用完全平方公式和平方差公式展开，合并同类项即可得到结果． 【解答】解：原式 ． 【点评】此题考查了整式的混合运算，涉及的知识有：平方差公式，完全平方公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键． 38．（2022秋•闵行区期中）计算：． 【分析】利用平方差公式和完全平方公式解答即可． 【解答】解： ． 【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握平方差公式、完全平方公式是解本题的关键． 39．（2022秋•青浦区校级期中）用乘法公式计算：． 【分析】将99化为，将101化为，正好构造成平方差公式，再利用公式计算即可． 【解答】解：由平方差公式，得 ． 【点评】本题主要考查了平方差公式的运用，能够正确构造成平方差公式结构形式是解题的关键． 40．（2022秋•闵行区期中）计算：． 【分析】根据平方差公式和完全平方公式解答即可． 【解答】解：原式 ． 【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式的运用，注意：平方差公式为：．完全平方公式：． 41．（2023秋•武山县期中）阅读下列材料，完成后面问题 某同学在计算时，把3写成后，发现可以连续运用平方差公式计算： ． 请借鉴该同学的经验，计算： 【分析】直接利用平方差公式将原式变形分别化简求出答案． 【解答】解： ． 【点评】此题主要考查了平方差公式应用，正确应用平方差公式是解题关键． 42．（2022春•双牌县校级期中）观察下列各式 （1）分解因式：　　； （2）根据规律可得　 　（其中为正整数）； （3）计算：； （4）计算：． 【分析】（1）根据所给出的具有规律的式子，可知． （2）观察所给式子的特点，等号右边的指数比等号左边的最高指数大1，然后写出即可； （3）根据所给式子的规律，把换为3即可，． （4）先计算，然后再计算所给式子． 【解答】解：（1）分解因式：； （2）； （3）． （4）， ， ， ． 【点评】本题考查了平方差公式的推广，要读懂题目信息并总结出规律，具有规律性是特殊式子的因式分解，解题的关键是找出所给范例展示的规律． 六．整式的除法（共3小题） 43．（2023秋•普陀区校级期中）计算：　　． 【分析】利用多项式除以单项式的法则进行计算，即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 44．（2024春•拱墅区校级期中）已知长方形的面积为，长为，则该长方形的周长为 　　． 【分析】先根据长方形的面积公式求出长方形的宽，再根据长方形的周长公式求出结果． 【解答】解：根据题意，得长方形的宽：， 长方形的周长： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的除法，掌握整式的除法法则，根据长方形的面积公式求出长方形的宽是解题关键． 45．（2023秋•北京期中）一个长方形的面积为，若这个长方形的宽为，则长为 　　． 【分析】利用长方形的面积公式进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得： ， 长为， 故答案为：． 【点评】本题考查了整式的除法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 七．因式分解的意义（共3小题） 46．（2023秋•浚县期中）阅读理解： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为，得， ， ， 由等式恒等原理可知：①，②， 由①②解得：，， 另一个因式为，的值为． 活学活用： （1）若，则　147　； （2）若二次三项式有一个因式是，求另一个因式． 【分析】（1）将展开，根据所给出的二次三项式即可求出、的值，代入计算即可； （2）设另一个因式为，得，可知，，继而求出和的值及另一个因式． 【解答】解：（1）， ， ， 由等式恒等原理可知：①，②， 由①②解得：，， ； 故答案为：147； （2）设另一个因式为，得， ， ， 由等式恒等原理可知：①，②， 由①②解得：，， 另一个因式为． 【点评】本题考查因式分解的意义，解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 47．（2022秋•恩阳区 期中）两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式． 【分析】由于含字母的二次三项式的一般形式为（其中、、均为常数，且，所以可设原多项式为．看错了一次项系数即值看错而与的值正确，根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可将运用多项式的乘法法则展开求出与的值；同样，看错了常数项即值看错而与的值正确，可将运用多项式的乘法法则展开求出的值，进而得出答案． 【解答】解：设原多项式为（其中、、均为常数，且． ， ，； 又， ． 原多项式为，将它分解因式，得 ． 【点评】本题主要考查了因式分解与整式的乘法互为逆运算．是中考中的常见题型．本题中注意：如果一个二次三项式，看错了一次项系数，意思是二次项系数与常数项都没有看错． 48．（2020秋•宛城区校级期中）【例题讲解】因式分解：． 为三次二项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次二项式和一个二次多项式的乘积．故我们可以猜想可以分解成，展开等式右边得：，恒成立． 等式两边多项式的同类项的对应系数相等，即解得． ． 【方法归纳】 设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值，这种方法叫待定系数法． 【学以致用】 （1）若，则　1　； （2）若有一个因式是，求的值； （3）请判断多项式能否分解成两个整系数二次多项式的乘积，若能，请直接写出结果，否则说明理由． 【分析】（1）根据题目中的待定系数法原理即可求得结果； （2）根据待定系数法原理先设另一个多项式，然后根据恒等原理即可求得结论； （3）根据待定系数原理和多项式乘以多项式即可求得结论． 【解答】解：（1）， ， ， 故答案为：1； （2）设另一个因式为， ， ， ，， 解得，； 答：的值为； （3）多项式能分解成两个整系数二次多项式的乘积．理由如下： 设多项式能分解成①或②， ① ， ，，， 由得， ② ， ，， 解得． 即， 能分解成两个整系数二次三项式的乘积却不能分解成两个整系数二次二项式与二次三项式的乘积． 答：多项式能分解成两个整系数二次三项式的乘积． 【点评】本题考查了因式分解的应用、多项式乘以多项式，解决本题的关键是理解并会运用待定系数法原理． 八．因式分解-提公因式法（共2小题） 49．（2022秋•浦东新区校级期中）因式分解：　　． 【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握提公因式法是解题的关键． 50．（2021秋•青秀区校级期中）分解因式　　． 【分析】利用提公因式法，进行分解即可解答． 【解答】解： ， 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解提公因式法，熟练掌握因式分解提公因式法是解题的关键． 九．因式分解-运用公式法（共3小题） 51．（2023秋•商水县期中）若等式（恒成立），则　　． 【分析】根据公式法因式分解，即可解答． 【解答】解：因为，而， 所以， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查了因式分解，解决本题的关键是熟记乘法公式． 52．（2023秋•江海区校级期中）已知多项式：①；②；③；④；其中能运用平方差公式分解因式的是　②　．（填序号即可） 【分析】利用平方差公式的特点判断即可得到结果． 【解答】解：①不能运用平方差公式分解因式； ②能运用平方差公式分解因式； ③不能运用平方差公式分解因式； ④不能运用平方差公式分解因式， 则能用平方差公式分解的是②． 故答案为：②． 【点评】此题考查了因式分解运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 53．（2023秋•闵行区期中）分解因式：． 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解即可． 【解答】解： ． 【点评】本题考查因式分解．因式分解的步骤为：一提公因式；二看公式．公式包括平方差公式与完全平方公式，要能用公式法分解必须有平方项．当要分解的因式没有公因式且只有两项时要首先考虑运用平方差公式将其分解． 一十．因式分解-分组分解法（共1小题） 54．（2021秋•鲤城区校级期中）已知公式：，，利用或者不利用上述公式，分解因式：　　． 【分析】根据乘法公式，可知，则有，再根据平方差公式和题中给出的乘法公式分解因式即可． 【解答】解：， 则有 ． 故答案为：． 【点评】本题考查了平方差公式，是一道信息给予题，读懂信息是解题的关键． 一十一．因式分解-十字相乘法等（共6小题） 55．（2022秋•虹口区校级期中）如果多项式可以用十字相乘法因式分解，那么下列的取值正确的是　　 A．2 B．3 C．4 D．5 【分析】，，可以用十字相乘法因式分解． 【解答】解：当时， ． 故选：． 【点评】本题主要考查了因式分解十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法是解题关键． 56．（2023秋•祁东县校级期中）若因式分解的结果为，则　1　． 【分析】先利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出与的值，即可求出所求． 【解答】解：由题意得：， ，， ，， 则． 故答案为：1． 【点评】此题考查了因式分解的意义，以及多项式相等的条件，熟练掌握因式分解的意义是解本题的关键． 57．（2022秋•嘉定区校级期中）阅读下列文字，解决问题． 先阅读下列解题过程，然后完成后面的题目． 分解因式： 解： 以上解法中，在的中间加上一项，使得三项组成一个完全平方式，为了使这个式子的值保持与的值保持不变，必须减去同样的一项．这样利用添项的方法，将原代数式中的部分（或全部）变形为完全平方的形式，这种方法叫做配方法． 按照这个思路，试把多项式分解因式． 【分析】把原式中的第二项的系数1变为，化简后三项结合构成完全平方式，剩下的一项写出完全平方式，然后再利用平方差公式即可分解因式． 【解答】解： ． 【点评】此题考查学生阅读新方法并灵活运用新方法的能力，考查了分组分解法进行分解因式，是一道中档题．本题的思路是添项构成完全平方式． 58．（2023秋•商水县期中）对于某些二次三项式可以采用“配方法”来分解因式，阅读下列材料：例如：把分解因式，我们可以这样进行： （加上，再减去 （运用完全平方公式） （运用平方差公式） （化简） 运用此方法解决下列问题： （1）把分解因式． （2）已知：，求多项式的值． 【分析】（1）根据例题先加上，再减去，运用完全平方公式和平方差公式分解，最后化简即可； （2）根据例题进行配方，由一个数的平方是一个非负数即可求得、的值，代入多项式计算即可． 【解答】解：（1） ； （2） ， ， ， 且， 且， 解得：，， ， 将，代入多项式得： ． 【点评】本题考查了整式的混合运算—化简求值，因式分解，熟练掌握公式法，分组分解法进行因式分解，理解题意是解题的关键． 59．（2022秋•青浦区校级期中）分解因式：． 【分析】因为，，所以可利用十字相乘法分解因式；得到的两个因式，还可以用十字相乘法分解因式． 【解答】解：根据十字相乘法， ， ， ． 【点评】本题考查了十字相乘法分解因式，运用十字相乘法分解因式时，要注意观察、体会它实质是二项式乘法的逆过程；并注意一定要分解完全． 60．（2023秋•道里区校级期中）阅读与思考： 整式乘法与因式分解是方向相反的变形． 由得，； 利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式， 例如：将式子分解因式． 分析：这个式子的常数项，一次项系数，所以． 解： 请仿照上面的方法，解答下列问题： （1）分解因式：　　； （2）分解因式：； （3）填空：若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能的值是　 　． 【分析】（1）利用十字相乘法分解因式即可； （2）将看作整体，利用十字相乘法分解，再利用平方差公式分解可得． （3）找出所求满足题意的值即可． 【解答】解：（1）， 故答案为：； （2）原式 ； （3）若可分解为两个一次因式的积，则整数的所有可能值是；；；， 故答案为：，． 【点评】此题考查了因式分解十字相乘法，弄清题中的分解因式方法是解本题的关键． 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