第六章 几何图形初步知识归纳与题型突破（单元复习 14类题型清单）-2024-2025学年七年级数学上册单元速记·巧练（人教版2024）

第六章 几何图形初步知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、几何体的特征与分类 1、常见几何体的特征 常见几何体 名称 特征 圆柱 由三个面组成，上、下两个底面是大小相等的圆，侧面是曲面． 棱柱 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，一般只讨论直棱柱，其上、下两个面为形状、大小相同的多边形，其余各面为长方形，底面为n边形的棱柱叫n棱柱． 圆锥 由两个面围成，底面是圆形，侧面为曲面． 棱锥 由底面与侧面组成，底面为多边形，侧面为三角形，底面为n边形的棱锥叫n棱锥． 球体 由一个曲面围成． 2、几何体的分类 分类标准 按柱、锥、球分类 柱体 圆柱、棱柱 锥体 圆锥、棱锥 球体 球体 按面是否有曲面 直面体 棱柱、棱锥 曲面体 圆柱、圆锥、球体 按是否有顶点 是 棱柱、棱锥、圆锥 否 圆柱、球体 注意：在对几何体分类时首先确定分类的标准，分类标准不同，结果也就不同，不论选择哪种分类标准，都要做到不重、不漏. 二、点、线、面、体之间的关系 （点、线、面、体之间的关系:点动成线,线动成面，面动成体） 三、直线相关概念 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点． 四、线段相关概念 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 注：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 五、射线相关概念 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 注： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线． (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 六、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 注：（1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 七、角的相关概念 1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边． 角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的． 如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形． 如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角. 2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）． 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°． 3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种： (1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置． (2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆． (3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α． 4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）． 5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的为1分，记作“1′”，即l°＝ 60′.1′的为1秒，记作“1″”，即1″＝60″． 八、角的比较 1）角的比较方法 (1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2． (2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC. 提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”. 2）角的和、差 由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1． 3）角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA. 4）方向的表示 方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。 注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.如图4-4-2所示，OA是表示北偏东30°的一条射线．特别地，射线OC表示北偏西45。或写成西北方向． 仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 九、余角、补角 1）余角定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示：如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β余角；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° 2）补角定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示：如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° 03 题型归纳 题型一　常见的几何体 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列实物，抽象出的几何图形为长方体的是（    ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列学习或生活中的物品，它的形状可以近似的看作圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）下列几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下列实物图中，其形状类似圆柱的是（   ） A．   B．   C．   D．   题型二　几何体中的点、棱、面 例题：（23-24六年级上·山东烟台·期中）五棱柱是由 个面围成的，有 个顶点，共有 条棱． 巩固训练 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）一个七棱柱有 个面； 个顶点． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图，这是一个五直棱柱，若它的底面边长都是，侧棱长都是，回答下列问题： (1)它有________个侧面，________个底面． (2)它的所有侧面的面积之和是多少？ 3．（23-24六年级上·山东泰安·期中）推理猜测： (1)三棱锥有________条棱，________个面；四棱锥有________条棱，________个面． (2)________棱锥有30条棱，________棱锥有101个面； (3)有没有一个多棱锥，其棱数是2024，若有，求出它有多少个面；若没有，说明为什么？ 4．（23-24七年级上·四川达州·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 四面体棱数是_；正八面体顶点数是_． 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 题型三　点、线、面、体四者之间的关系 例题：（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 巩固训练 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是一种折叠灯笼，压扁的时候，它看起来是平面的，提起来却变成了美丽的圆柱形灯笼．这个过程中蕴含的数学原理是（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．垂线段最短 2．（23-24七年级上·辽宁本溪·期末）下雨时汽车的雨刷会把玻璃上的雨水刷干净，运用数学知识解释这一现象为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 3．（23-24七年级上·山东青岛·期中）下面现象能说明“面动成体”的是（    ） A．流星从空中划过留下的痕迹 B．扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线 C．时钟秒针旋转时扫过的痕迹 D．将一枚硬币竖立在桌面，击打一侧使其快速旋转，就会看到一个“球” 题型四　平面图形旋转后所得的立体图形 例题：（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 巩固训练 1．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级上·四川成都·专题练习）观察图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是（ ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留） 题型五　直线、射线、线段的联系与区别 例题：下列各图中直线的表示方法正确的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 巩固训练 1.下列说法错误的是（    ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与线段都是直线的一部分 2.如图，点A，B，C在直线l上，下列说法中正确的有（　　） ①只有一条直线；②能用字母表示的射线共有3条；③一共有三条线段；④延长直线；⑤延长线段和延长线段的含义是相同的；⑥点B在线段上．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，A，B在直线l上，下列说法正确的是（    ）    A．射线和射线是同一条射线 B．图中以点A为端点的射线有两条 C．直线和直线不是同一条直线 D．延长线段和延长线段的含义是相同的 题型六　画直线、射线、线段 例题：（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知点、、、，请按下列要求作图并解答． (1)连接； (2)画射线； (3)在射线上取点，使得（尺规作图，保留作图痕迹）； 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，在平面内有A，B，C三点．请按照要求画图． (1)分别画出直线，线段，射线； (2)过点A画，垂足为点D； (3)尺规作图：在射线上作出点E，使（要求保留作图痕迹）． 2．（23-24七年级上·重庆荣昌·期末）如图，平面上有三个点，，，利用尺规按要求作图；    (1)作直线； (2)作射线； (3)在线段上作线段，使不写作法，保留作图痕迹． 3．（23-24七年级上·山东德州·期末）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹． 如图，平面上有四个点A，B，C，D． 请按下列语句画出图形： ①作直线、射线，线段； ②延长，在的延长线上截取线段，使． 题型七　两点确定一条直线、两点之间线段最短 例题：生活中有下列现象如图所示．对于这个现象，请你用数学知识解释 ．    巩固训练 1.在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．    2.如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，你认为应该走第 条路线（只填编号），理由是 ． 3.如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是： ，    题型八　线段中点的有关计算 例题：（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，C是线段上一点，且，D是的中点，E是的中点，． (1)求线段的长； (2)求． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 2．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 3．（22-23七年级上·广东东莞·期末）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 题型九　角的概念及表示方法 例题：下列说法中，正确的是（   ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为 巩固训练 1．（23·24上·全国·课时练习）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．图中有三个角 2.如图所示，回答下列问题： (1)写出能用一个字母表示的角：________________； (2)写出以点B为顶点的角________________； (3)图中共有______________个小于平角的角． 3.根据给出的图回答下列问题：    (1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)以为顶点的角有几个？请表示出来． (4)与是同一个角吗？请说明理由． (5)图中共有几个小于平角的角？ 题型十　角的单位与角度制 例题：计算： （1） ′； （2） ； （3） ． 巩固训练 1.（1）1周角 平角 直角； （2） ′= ″； （3） ′， ． 2.计算： （1） ；         （2） ； （3） ；             （4） ． 题型十一　求一个角的余角、补角 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）一个角的补角是，则这个角的余角是 ． 巩固训练 1．（23-24六年级下·全国·单元测试）如果一个角是，那么这个角的补角是 度． 2．（23-24七年级上·全国·期末）已知的余角是，的补角是，则和的大小关系是 ． 3．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）一个角的余角的倍比这个角的补角小，则这个角的度数为 ． 题型十二　三角板中角度计算问题 例题：将一副直角三角尺如图放置，若，则等于 ．    巩固训练 1.如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时， _________（用含α的式子表示）． 2.如图所示，以直线上的一点O为端点，在直线的上方作射线，使．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（）在直线的上方．设．    (1)当时，求的大小； (2)若时，求的值． 题型十三　角平分线的有关计算 例题：（23-24七年级下·四川自贡·开学考试）如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别平分和． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 巩固训练 1．（23-24七年级上·云南昭通·期末）如图，点在直线上，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知平分，平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，列式表示的大小． 3．（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）如图（1）所示， 已知：，平分，ON平分． (1) ． (2)如果 ，其它条件不变，那么 （用含α，β的式子表示）． (3)如图（2），若将条件变成O 是直线上一点，为一条射线，平分，平分，那么 ，并给出理由． 题型十四　与余角、补角、角平分线有关角的计算问题 例题：（23·24上·全国·课时练习）如图，平分平分． (1)求出及其补角的度数； (2)请求出和的度数，并判断与是否互补，并说明理由． 巩固训练 1．（23·24上·呼和浩特·阶段练习）如图，O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处．    (1)当三角尺一边在的内部（图①），且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由； (2)当三角尺一边在的内部（图②），求的值． 2．如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，． (1)如图1，若，则______°，______°，______°； (2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．    原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第六章 几何图形初步知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、几何体的特征与分类 1、常见几何体的特征 常见几何体 名称 特征 圆柱 由三个面组成，上、下两个底面是大小相等的圆，侧面是曲面． 棱柱 棱柱分为直棱柱和斜棱柱，一般只讨论直棱柱，其上、下两个面为形状、大小相同的多边形，其余各面为长方形，底面为n边形的棱柱叫n棱柱． 圆锥 由两个面围成，底面是圆形，侧面为曲面． 棱锥 由底面与侧面组成，底面为多边形，侧面为三角形，底面为n边形的棱锥叫n棱锥． 球体 由一个曲面围成． 2、几何体的分类 分类标准 按柱、锥、球分类 柱体 圆柱、棱柱 锥体 圆锥、棱锥 球体 球体 按面是否有曲面 直面体 棱柱、棱锥 曲面体 圆柱、圆锥、球体 按是否有顶点 是 棱柱、棱锥、圆锥 否 圆柱、球体 注意：在对几何体分类时首先确定分类的标准，分类标准不同，结果也就不同，不论选择哪种分类标准，都要做到不重、不漏. 二、点、线、面、体之间的关系 （点、线、面、体之间的关系:点动成线,线动成面，面动成体） 三、直线相关概念 1．概念：直线是最简单、最基本的几何图形之一，是一个不作定义的原始概念，直线常用“一根拉得紧的细线”、“一张纸的折痕”等实际事物进行形象描述． 2. 表示方法：（1）可以用直线上的表示两个点的大写英文字母表示，如图1所示，可表示为直线AB(或直线BA)．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图2所示，可以表示为直线． 3.基本性质：经过两点有一条直线，并且只有一条直线．简单说成：两点确定一条直线． 直线的特征：（1）直线没有长短，向两方无限延伸．（2）直线没有粗细．（3）两点确定一条直线．（4）两条直线相交有唯一一个交点． 四、线段相关概念 1.概念：直线上两点和它们之间的部分叫做线段． 2.表示方法：（1）线段可用表示它两个端点的两个大写英文字母来表示，如图所示，记作：线段AB或线段BA．（2）线段也可用一个小写英文字母来表示，如图5所示，记作：线段a． 3. “作一条线段等于已知线段”的两种方法： 法一：用圆规作一条线段等于已知线段．例如：下图所示，用圆规在射线AC上截取AB＝a． 法二：用刻度尺作一条线段等于已知线段．例：可以先量出线段a的长度，再画一条等于这个长度的线段． 4.基本性质：两点的所有连线中，线段最短．简记为：两点之间，线段最短． 如图所示，在A，B两点所连的线中，线段AB的长度是最短的． 注：（1）线段是直的，它有两个端点，它的长度是有限的，可以度量，可以比较长短． （2）连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离． （3）线段的比较：①度量法：用刻度尺量出两条线段的长度，再比较长短．②叠合法：利用直尺和圆规把线段放在同一条直线上，使其中一个端点重合，另一个端点位于重合端点同侧，根据另一端点与重合端点的远近来比较长短． 5.线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如图所示，点C是线段AB的中点，则，或AB＝2AC＝2BC． 若点C是线段AB的中点，则点C一定在线段AB上． 五、射线相关概念 1.概念：直线上一点和它一侧的部分叫射线，这个点叫射线的端点． 如图所示，直线l上点O和它一旁的部分是一条射线，点O是端点． 2.特征：是直的，有一个端点，不可以度量，不可以比较长短，无限长． 3.表示方法：（1）可以用两个大写英文字母表示，其中一个是射线的端点，另一个是射线上除端点外的任意一点，端点写在前面，如图8所示，可记为射线OA．（2）也可以用一个小写英文字母表示，如图8所示，射线OA可记为射线l． 注： (1)端点相同，而延伸方向不同，表示不同的射线．如图中射线OA，射线OB是不同的射线． (2)端点相同且延伸方向也相同的射线，表示同一条射线．如图中射线OA、射线OB、射线OC都表示同一条射线． 六、直线、射线、线段的区别与联系 1.直线、射线、线段之间的联系 （1）射线和线段都是直线上的一部分，即整体与部分的关系．在直线上任取一点，则可将直线分成两条射线；在直线上取两点，则可将直线分为一条线段和四条射线． （2）将射线反向延伸就可得到直线；将线段一方延伸就得到射线；将线段向两方延伸就得到直线． 2．三者的区别如下表 注：（1） 联系与区别可表示如下： （2）在表示直线、射线与线段时，勿忘在字母的前面写上“直线”“射线”“线段”字样． 七、角的相关概念 1）角的定义：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点，这两条射线叫做角的边，构成角的两个基本条件：一是角的顶点，二是角的边． 角的另一种定义：角也可以看成是由一条射线绕着它的端点旋转而成的． 如图4-3-7所示，∠BAC可以看成是以A为端点的射线，从AB的位置绕点A旋转到AC的位置而成的图形． 如图4-3-8所示，射线OA绕点O旋转，当终止位置OC和起始位置OA成一直线时，所成的角叫做平角；如图4-3-9所示，射线OA绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角. 2）角的分类：小于平角的角可按大小分成三类：当一个角等于平角的一半时，这个角叫直角；大于零度角小于直角的角叫锐角（0°<锐角<90°）；大于直角而小于平角的角叫钝角（90°<钝角<180°）． 1周角＝2平角＝4直角＝360°，1平角＝2直角＝180°，1直角＝90°． 3）角的表示方法：角用几何符号“∠”表示，角的表示方法可归纳为以下三种： (1)用三个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，记作∠AOB或∠BOA，其中，O是角的顶点，写在中间；A和B分别是角的两边上的一点，写在两边，可以交换位置． (2)用一个大写英文字母表示，如图4-3-3所示，可记作∠O．用这种方法表示角的前提是以这个点作顶点的角只有一个，否则不能用这种方法表示，如图4-3-4所示，∠AOC就不能记作∠O．因为此时以O为顶点的角不止一个，容易混淆． (3)用数字或小写希腊字母来表示，用这种方法表示角时，要在靠近顶点处加上弧线，注上阿拉伯数字或小写希腊字母α、β、γ等．如图4-3-4所示，∠AOB记作∠l，∠BOC记作∠2；如图4-3-5所示，∠AOB记作∠β，∠BOC记作∠α． 4）度量角的方法：度量角的工具是量角器，用量角器量角时要注意：(1)对中（顶点对中心）；(2)重合（一边与刻度尺上的零度线重合） (3)读数（读出另一边所在线的刻度数）． 5）角的换算：在量角器上看到，把一个平角180等分，每一份就是1°的角．1°的为1分，记作“1′”，即l°＝ 60′.1′的为1秒，记作“1″”，即1″＝60″． 八、角的比较 1）角的比较方法 (1)度量法：如图4-4-4所示，用量角器量得∠1＝40°，∠2＝30°，所以∠1＞∠2． (2)叠合法：比较∠ABC与∠DEF的大小，先让顶点B、E重合，再让边BA和边ED重合，使另一边EF和BC落在BA(DE)的同侧．如果EF和BC也重合(如图4-4-5(1)所示），那∠DEF等于∠ABC．记作∠DEF＝∠ABC;如果EF落在∠ABC的外部(如图4-4-5(2)所示），那么∠DEF大于∠ABC，记作∠DEF＞∠ABC;如果EF落在∠ABC的内部(如图4-4-5(3)所示），那么∠DEF小于∠ABC，记作∠DEF＜∠ABC. 提示：叠合法可归纳为“先重合，再比较”. 2）角的和、差 由图4-4-7(1)、(2)，已知∠1，∠2，图4-4-7(3)中，∠ABC＝∠1+∠2；图4-4-7(4)中，∠GEF＝∠DEG-∠1． 3）角的平分线 从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线． 如图4-4-9所示，射线OC是∠BOA的平分线，则∠BOC＝∠COA＝∠BOA,∠BOA＝2∠BOC＝2∠COA. 4）方向的表示 方位角：是指南北方向线与目标方向所成的小于900的水平角。 注意表示方向时要先写北或南，再写偏东或偏西，最后写多少度.如图4-4-2所示，OA是表示北偏东30°的一条射线．特别地，射线OC表示北偏西45。或写成西北方向． 仰角和俯角：如图：在用上标上仰角和俯角 九、余角、补角 1）余角定义：如果两个角的和是一个直角，这两个角叫做互为余角，简称互余，其中一个角是另一个角的余角。 用数学语言表示：如果∠α+∠β=90°，那么∠α与∠β余角；反过来，如果∠α与∠β互余，那么∠α+∠β=90° 2）补角定义：如果两个角的和是一个平角，这两个角叫做互为补角，简称互补，其中一个角是另一个角的补角。 用数学语言表示：如果∠α+∠β=180°，那么∠α与∠β互补；反过来如果∠α与∠β互补，那么∠α+∠β=180° 03 题型归纳 题型一　常见的几何体 例题：（24-25七年级上·全国·随堂练习）观察下列实物，抽象出的几何图形为长方体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】常见的几何体 【分析】此题主要考查了简单几何体，准确地识别球、长方体、圆柱、圆台是解决问题的关键．根据各选项中的实物所抽象出的几何图形逐一进行判断即可得出答案． 【详解】解：选项A中的实物抽象出的几何图形为球，故选项A不符合题意； 选项B中的实物抽象出的几何图形为长方体，故选项B符合题意； 选项C中的实物抽象出的几何图形为圆柱，故选项C不符合题意； 选项D中的实物抽象出的几何图形为圆台，故选项D不符合题意， 故选：B． 巩固训练 1．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）下列学习或生活中的物品，它的形状可以近似的看作圆柱体的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了立体图形的识别，注意几何体的分类，一般分为柱体、锥体和球，柱体又分为圆柱和棱柱，锥体又分为圆锥和棱锥．依次从观察图形，即可得出答案． 【详解】解：A、形状类似圆柱，故符合题意； B、形状类似长方体，故不符合题意； C、形状类似圆锥，故不符合题意； D、形状类似球，故不符合题意． 故选：A． 2．（23-24七年级上·四川达州·期末）下列几何体中，是圆柱的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】常见的几何体 【分析】根据三棱柱、球、圆柱、四棱柱的定义逐一判断即可．本题主要考查认识立体图形，熟练掌握三棱柱、球、圆柱、四棱柱的定义是解题的关键． 【详解】解：A．本图是圆柱，故本选项符合题意； B．本图是三棱柱，故本选项不符合题意； C．本图是球，故本选项不符合题意； D．本图是四棱柱，故本选项不符合题意； 故选：A． 3．（23-24七年级上·贵州贵阳·期末）下列实物图中，其形状类似圆柱的是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【知识点】常见的几何体 【分析】本题主要考查了立体图形．根据个选项实物特征，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、其形状类似圆，故本选项不符合题意； B、其形状类似棱柱，故本选项不符合题意； C、其形状类似棱柱，故本选项不符合题意； D、其形状类似圆柱，故本选项符合题意； 故选：D 题型二　几何体中的点、棱、面 例题：（23-24六年级上·山东烟台·期中）五棱柱是由 个面围成的，有 个顶点，共有 条棱． 【答案】 7 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题主要考查立体图形的认识，解答此题首先要理解五棱柱的概念和特性，柱体中，面与面相交成棱，棱与棱相交成顶点．根据五棱柱的概念和特性即可解． 【详解】解：五棱柱如图所示：    五棱柱是由7个面围成的，有个顶点，共有条棱． 故答案为：7；10；15． 巩固训练 1．（23-24七年级上·重庆沙坪坝·期中）一个七棱柱有 个面； 个顶点． 【答案】 9 14 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了棱柱的面，顶点，一个七棱柱是由两个七边形的底面和7个四边形的侧面组成，根据其特征进行填空即可． 【详解】解：一个七棱柱有9个面，14个顶点， 故答案为：9，14． 2．（23-24七年级上·陕西西安·期中）如图，这是一个五直棱柱，若它的底面边长都是，侧棱长都是，回答下列问题： (1)它有________个侧面，________个底面． (2)它的所有侧面的面积之和是多少？ 【答案】(1)5；2． (2)． 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】（1）根据棱柱的特征回答即可； （2）根据矩形的面积公式，先算一个侧面的面积，再算所有侧面积之和． 本题考查了棱柱的特征：n棱柱有n个侧面，2个底面，每个侧面都是长方形． 【详解】（1）五棱柱有5个侧面，2个底面。 故答案为：5；2． （2）一个侧面的面积为， 侧面积之和为． 答：它的所有侧面的面积之和是． 3．（23-24六年级上·山东泰安·期中）推理猜测： (1)三棱锥有________条棱，________个面；四棱锥有________条棱，________个面． (2)________棱锥有30条棱，________棱锥有101个面； (3)有没有一个多棱锥，其棱数是2024，若有，求出它有多少个面；若没有，说明为什么？ 【答案】(1)6，4，8，5 (2)十五，一百 (3)有，它有1013个面 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了立体图形，掌握棱锥的特征和命名规则是解题的关键． （1）根据三棱锥、四棱锥的特征，数出其棱数和面数即可； （2）总结出n棱锥条棱，个面，即可解答； （3）根据（2）中的规律，先确定这是几棱锥，再确定其面数即可． 【详解】（1）解：三棱锥有6条棱，4个面；四棱锥有8条棱，5个面． 故答案为：6，4，8，5； （2）解：根据题意可得： 三棱锥有6条棱，4个面， 四棱锥有8条棱，5个面， 五棱锥有10条棱，6个面， …… n棱锥条棱，个面， 当时， 解得， ∴十五棱锥有30条棱， 当时， 解得， ∴一百棱锥有101个面， 故答案为：十五，一百； （3）解：当时， 解得：， ∴， 即：有，它有1013个面． 4．（23-24七年级上·四川达州·阶段练习）十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型，回答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格： 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 30 四面体棱数是_；正八面体顶点数是_． 你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是_． (2)一个多面体的面数比顶点数小8，且有30条棱，则这个多面体的面数是_． (3)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表面是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有24个顶点，每个顶点出都有3条棱，设该多面体外表三角形的个数为个，八边形的个数为个，求的值． 【答案】(1)6；6； (2)12 (3) 【知识点】几何体中的点、棱、面 【分析】本题考查了欧拉公式和数学常识，注意多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用． （1）观察可得顶点数面数棱数； （2）代入（1）中的式子即可得到面数； （3）得到多面体的棱数，求得面数即为的值． 【详解】（1）解：四面体的棱数为6； 正八面体的顶点数为6； 关系式为：； 故答案为：6；6；； （2）一个多面体的面数比顶点数小8， ， ，且， ， 解得； 故答案为：12； （3）有24个顶点，每个顶点处都有3条棱，两点确定一条直线； 共有条棱， 那么， 解得， ． 题型三　点、线、面、体四者之间的关系 例题：（24-25七年级上·山西吕梁·阶段练习）中国扇文化有着深厚的文化底蕴，历来中国有“制扇王国”之称．如图，打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不对 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了线、面的关系，根据题意，结合线动成面的数学原理：某一条线在运动过程中留下的运动轨迹会组成一个平面图形，这个平面图形就是一个面，即可得出答案．熟练掌握线动成面的数学原理是解本题的关键． 【详解】解：打开折扇时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为线动成面， 故选：B 巩固训练 1．（2024·陕西西安·模拟预测）如图是一种折叠灯笼，压扁的时候，它看起来是平面的，提起来却变成了美丽的圆柱形灯笼．这个过程中蕴含的数学原理是（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．垂线段最短 【答案】C 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体的相关知识．根据点、线、面、体相关的知识进行解答即可． 【详解】解：由平面图形变成立体图形的过程是面动成体， 故选：C． 2．（23-24七年级上·辽宁本溪·期末）下雨时汽车的雨刷会把玻璃上的雨水刷干净，运用数学知识解释这一现象为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．面面相交成线 【答案】B 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了图形的运动，熟练掌握从图形运动变化的角度感悟到点动成线是解决本题的关键，根据图形运动变化的角度思考即可得出答案． 【详解】解：下雨时汽车的雨刷会把玻璃上的雨水刷干净，运用数学知识解释这一现象为线动成面， 故选：B． 3．（23-24七年级上·山东青岛·期中）下面现象能说明“面动成体”的是（    ） A．流星从空中划过留下的痕迹 B．扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线 C．时钟秒针旋转时扫过的痕迹 D．将一枚硬币竖立在桌面，击打一侧使其快速旋转，就会看到一个“球” 【答案】D 【知识点】点、线、面、体四者之间的关系 【分析】本题考查了点、线、面、体的知识；根据点动成线，线动成面，面动成体对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：A. 流星从空中划过留下的痕迹，说明“点动成线”，故该选项不正确，不符合题意； B. 扔一块小石子，小石子在空中飞行的路线，说明“点动成线”，故该选项不正确，不符合题意； C. 时钟秒针旋转时扫过的痕迹，说明“线动成面”，故该选项不正确，不符合题意； D. 将一枚硬币竖立在桌面，击打一侧使其快速旋转，就会看到一个“球”， 说明“面动成体”，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型四　平面图形旋转后所得的立体图形 例题：（24-25七年级上·山东菏泽·阶段练习）如图，由所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题主要考查了面动成体，根据立体图形的形状，平面图形旋转的性质即可求解． 【详解】解：所给的平面图形绕虚线旋转一周，可得到的几何体是D， 故选：D． 巩固训练 1．（24-25七年级上·黑龙江大庆·阶段练习）将如图所示的平面图形绕直线旋转一周，得到的立体图形是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查的知识点是点、线、面、体，解题关键熟悉常见图形的旋转得到立体图形． 根据面动成体，所得图形是两个圆锥体的复合体确定答案即可． 【详解】解：由图可知，可将平面图形分成矩形和直角三角形两部分， 根据面动成体，矩形绕一边所在直线旋转一周可得圆柱，直角三角形绕直角边所在直线旋转一周可得圆锥， 则图中绕直线旋转一周所得立体图形为上边圆柱下边圆锥的组合． 故选：． 2．（2024七年级上·四川成都·专题练习）观察图，把左边的图形绕着给定的直线旋转一周后可能形成的立体图形是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查了点、线、面、体，关键要注意观察，培养空间想象力，解题的关键是要掌握面动成体的原理；根据面动成体的原理以及空间想象力即可得到答案． 【详解】解：由图形可以看出，左边的长方形的竖直的两个边与已知的直线平行，因而这两条边旋转形成两个柱形表面，因而旋转一周后可能形成的立体图形是一个管状的物体． 故选：D． 3．（23-24七年级上·陕西榆林·期中）如图是一张长方形纸片，长方形的长为，宽为，若将此长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到一个几何体． (1)这个几何体的名称是 ，这个现象用数学知识解释为 ； (2)求得到的这个几何体的体积（结果保留） 【答案】(1)圆柱，面动成体； (2)得到的几何体的体积为或 【知识点】平面图形旋转后所得的立体图形 【分析】本题考查几何体的体积以及面动成体； （1）根据面动成体可知，将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱； （2）分两种情况确定出圆柱的底面半径和高，再根据圆柱的体积公式计算即可求解． 【详解】（1）解：将长方形纸片绕它的一边所在直线旋转一周，得到的几何体是圆柱，这个现象用数学知识解释为面动成体， 故答案为：圆柱，面动成体； （2）①若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； ②若绕的边所在直线旋转一周，得到的是底面半径为，高为的圆柱， 它的体积为：； 综上：得到的几何体的体积为或． 题型五　直线、射线、线段的联系与区别 例题：下列各图中直线的表示方法正确的是（    ）    A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【分析】根据直线的表示方法作答即可． 【详解】解：由题意知，图中直线的表示方法正确的是直线， 故选：A． 【点睛】本题考查了直线的表示方法．解题的关键在于熟练掌握：直线有两种表示方法： ①可以用一个小写字母表示，如直线a； ②用直线上任意两点的大写字母表示，如直线或直线． 巩固训练 1.下列说法错误的是（    ） A．直线与直线是同一条直线 B．线段与线段是同一条线段 C．射线与射线是同一条射线 D．射线与线段都是直线的一部分 【答案】C 【分析】直线是无端点，向两边无限延伸，取直线上的两个点，用大写字母表示该直线；射线是有一个端点，向一边无限延伸，端点不同，射线不同；线段有两个端点，线段与线段是同一条线段，可度量长度，由此即可求解． 【详解】解：、直线与直线是同一条直线，正确，不符合题意； 、线段与线段是同一条线段，正确，不符合题意； 、射线与射线不是同一条射线，端点不同，射线不同，原选项错误，符合题意； 、射线与线段都是直线的一部分，正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查直线，射线，线段的概念及表示，掌握其概念及表示方法是解题的关键． 2.如图，点A，B，C在直线l上，下列说法中正确的有（　　） ①只有一条直线；②能用字母表示的射线共有3条；③一共有三条线段；④延长直线；⑤延长线段和延长线段的含义是相同的；⑥点B在线段上．    A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据直线、射线、线段的定义与表示：直线是从客观事物中抽象出来的，直线没有尽头，是向两方无限延伸的，用直线上任意两点的大写字母表示，可用一个小写字母表示；直线上的一点和它一旁的部分叫做射线，用两个大写字母表示，一条射线可用它的端点和射线上另一点来表示，也可用一个小写字母表示；直线上两个点和它们之间的部分叫做线段，可用表示端点的两个大写字母表示，也可用一个小写字母表示．观察图形，逐项判断，选择答案即可． 【详解】①直线没有尽头，是向两方无限延伸的，即图中只有一条直线，故原说法正确； ②能用字母表示的射线有射线、射线、射线、射线，共4条，故原说法错误； ③线段有线段、线段、线段，一共有三条，故原说法正确； ④直线是向两方无限延伸的，没有长度，不能再延长，故原说法错误； ⑤延长线段和延长线段的延长方向不同，含义不同，故原说法错误； ⑥观察图形，点B在线段上，该说法正确． 综上，说法中正确的有①、③、⑥这3个． 故选：B． 【点睛】本题考查了直线、射线、线段的定义与表示，理解直线、射线、线段的定义与表示是解题的关键． 3．（23·24上·聊城·阶段练习）如图，A，B在直线l上，下列说法正确的是（    ）    A．射线和射线是同一条射线 B．图中以点A为端点的射线有两条 C．直线和直线不是同一条直线 D．延长线段和延长线段的含义是相同的 【答案】B 【分析】根据直线，射线，线段延长线的定义依次进行判断即可得． 【详解】解：A、射线和射线是不同的射线，选项说法错误，不符合题意； B、图中以点A为端点的射线有两条，选项说法正确，符合题意； C、直线和直线是同一条直线，选项说法错误，不符合题意； D、延长线段和延长线段，延长方向不同，含义不同，选项说法错误，不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了直线，射线，延长线，解题的关键是掌握这些知识点． 题型六　画直线、射线、线段 例题：（23-24七年级上·山东滨州·阶段练习）如图，已知点、、、，请按下列要求作图并解答． (1)连接； (2)画射线； (3)在射线上取点，使得（尺规作图，保留作图痕迹）； 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、作线段(尺规作图) 【分析】本题主要考查了画线段，画射线，线段的尺规作图： （1）根据线段的画法画图即可； （2）根据射线的画法画图即可； （3）根据线段的尺规作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）解；如图所示，即为所求． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东广州·期末）如图，在平面内有A，B，C三点．请按照要求画图． (1)分别画出直线，线段，射线； (2)过点A画，垂足为点D； (3)尺规作图：在射线上作出点E，使（要求保留作图痕迹）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【知识点】画出直线、射线、线段、画垂线、作线段(尺规作图) 【分析】（1）根据直线、线段和射线的定义进行作图即可； （2）先延长，然后过点A作于点D，即可； （3）以点A为圆心，为半径画弧，交于点M，以点M为圆心为半径画弧，交射线于点E，则即为所求． 【详解】（1）解：如图：直线，线段，射线即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图：点E即为所求作的点． 2．（23-24七年级上·重庆荣昌·期末）如图，平面上有三个点，，，利用尺规按要求作图；    (1)作直线； (2)作射线； (3)在线段上作线段，使不写作法，保留作图痕迹． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 (3)见详解 【知识点】作线段(尺规作图)、画出直线、射线、线段 【分析】本题考查作图-复杂作图，直线，射线线段的定义等知识，解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． （1）过点和点画直线即可； （2）连接并延长即可； （3）以为圆心，长为半径画弧，交射线于，则点即为所求． 【详解】（1）如图，直线即为所求： （2）如图，射线即为所求； （3）如图，线段即为所求．    3．（23-24七年级上·山东德州·期末）尺规作图：用无刻度的直尺和圆规作图，不写作法，保留作图痕迹． 如图，平面上有四个点A，B，C，D． 请按下列语句画出图形： ①作直线、射线，线段； ②延长，在的延长线上截取线段，使． 【答案】见解析 【知识点】画出直线、射线、线段 【分析】本题主要考查了画直线、射线、线段，截取线段等于已知线段． ①依据直线、射线、线段的定义，画出图形即可． ②依据延长，在的延长线上截取线段，使作图即可． 【详解】解 ∶ ①如图所示，直线、射线，线段即为所求， ②如图所示，线段即为所求． 题型七　两点确定一条直线、两点之间线段最短 例题：生活中有下列现象如图所示．对于这个现象，请你用数学知识解释 ．    【答案】两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质即可得解． 【详解】解：木匠师傅锯木料时，一般先在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，利用了“两点确定一条直线”； 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了“两点确定一条直线”，解题的关键是从实际应用中找到数学原理． 巩固训练 1.在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是： ．    【答案】两点确定一条直线 【分析】根据直线的性质解答即可． 【详解】解：这样做的依据是：两点确定一条直线． 故答案为：两点确定一条直线． 【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解答本题的关键． 2.如图，学生要去博物馆参观，从学校A处到博物馆B处的路线共有（1）（2）（3）三条．假设行走的速度不变，为了节约时间，尽快从A处赶到B处，你认为应该走第 条路线（只填编号），理由是 ． 【答案】 （2） 两点之间，线段最短 【分析】根据两点之间线段最短原理解答即可． 【详解】根据两点之间线段最短， ∴选择第（2）条路线， 故答案为：（2），两点之间，线段最短． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短原理，熟练掌握原理是解题的关键． 3.如图：“小草青青，足下留情”，为抄近路践踏草坪是一种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是： ，    【答案】两点之间线段最短 【分析】根据两点之间线段最短即可求解． 【详解】解：依题意，为抄近路践踏草坪是因为两点之间线段最短， 故答案为：两点之间线段最短． 【点睛】本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键． 题型八　线段中点的有关计算 例题：（23-24七年级上·湖北荆门·单元测试）如图，C是线段上一点，且，D是的中点，E是的中点，． (1)求线段的长； (2)求． 【答案】(1) (2) 【知识点】两点间的距离、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了两点间的距离，线段中点的定义和等量代换，熟练掌握线段的代换是解答本题的关键． （1）设，则，根据D是的中点，E是的中点，可得，然后根据列方程求解即可； （2）先求出，然后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴设，则， 因为D是的中点，E是的中点， 所以， 所以， ∴， ∴； （2）解：由（1）知，，，， ∴， ∴． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·单元测试）如图，是线段的中点，点在线段上，是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段的和与差 【分析】本题考查了与线段中点有关的计算、线段的和差，熟练掌握以上知识点，找准线段之间的关系是解此题的关键． （1）由线段中点的定义得出，再结合计算即可得解； （2）设，则．由线段中点的定义得出，根据求出，再结合即可得解． 【详解】（1）解：是线段的中点，， ． ， ∴． （2）解：∵， ∴设，则． 是线段的中点， ∴． ∵，即， 解得． ∵， ． 2．（23-24七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，线段，点为线段上的一点，点是线段的中点，点是线段的中点， (1)求的长； (2)如果，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【知识点】线段中点的有关计算、线段之间的数量关系、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点，一元一次方程与线段数量关系的计算，掌握线段中点，一元一次方程的运用是解题的关键． （1）根据中点的性质可得，由即可求解； （2）设，则，根据题意可得，，解得，由此即可求解的长． 【详解】（1）解：∵点是线段的中点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， ∴； （2）解：设，则， ∵点是的中点， ∴，则， ∵， ∴， 解得，，即， ∴． 3．（22-23七年级上·广东东莞·期末）如图，C是线段上一点，M是线段的中点，N是线段的中点． (1)若，，求的长； (2)若，求的长； (3)若，求的长； (4)指出与之间的大小关系． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查线段中点的有关计算，线段的和差关系： （1）根据中点的定义求出，，则； （2）根据中点的定义得出，，进而可得； （3）根据（2）中结论求解； （4）根据（2）中结论求解． 【详解】（1）解：∵，，M是线段的中点，N是线段的中点， ∴，， ∴； （2）解：∵M是线段的中点，N是线段的中点，， ∴，， ∴； （3）解：由（2）可知：， ∴； （4）解：由（2）可知：． 题型九　角的概念及表示方法 例题：下列说法中，正确的是（   ） A．一个周角就是一条射线 B．平角是一条直线 C．角的两边越长，角就越大 D．也可以表示为 【答案】D 【分析】根据平角，周角的概念，角的大小及表示分别判断即可． 【详解】解：A、周角的两边在同一射线上，不是一条射线，故错误，不合题意； B、平角的两边在同一直线上，平角有顶点，而直线没有，故错误，不合题意； C、角的大小和两边的长度没有关系，故错误，不合题意； D、也可以表示为，故正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了平角，周角的概念，角的大小及表示，属于几何基础知识，要熟练掌握，比较简单． 巩固训练 1．（23·24上·全国·课时练习）如图，下列说法中不正确的是（    ）    A．与是同一个角 B．也可以用表示 C． D．图中有三个角 【答案】B 【分析】根据角的表示方法即可得出结果． 【详解】解：与是同一个角，说法正确，故不符合题意． 也可以用表示，说法错误，故符合题意． ，说法正确，故不符合题意． 图中有三个角，说法正确，故不符合题意． 故选： 【点睛】本题主要考查了角的表示方法，熟练掌握角的表示方法是解此题的关键． 2.如图所示，回答下列问题： (1)写出能用一个字母表示的角：________________； (2)写出以点B为顶点的角________________； (3)图中共有______________个小于平角的角． 【答案】(1) (2) (3)7 【分析】（1）确定以这个字母为顶点的角只有1个，从而可得答案； （2）根据角的定义分别确定以B为顶点的角即可； （3）分别确定以A，B，C，E为顶点的小于平角的角即可． 【详解】（1）解：能用一个字母表示的角有：，． 故答案为：，． （2）以为顶点的角有：，，． 故答案为：，，． （3）图中共有7个小于平角的角，分别是： ，，，，，，． 故答案为：7． 【点睛】本题考查的是角的表示方法，熟记角的含义与角的表示方法是解本题的关键． 3.根据给出的图回答下列问题：    (1)表示成，这样的表示方法是否正确？如果不正确，应该怎样改正？ (2)图中哪个角可以用一个字母来表示？ (3)以为顶点的角有几个？请表示出来． (4)与是同一个角吗？请说明理由． (5)图中共有几个小于平角的角？ 【答案】(1)不正确，可表示为 (2) (3)3个，见解析 (4)见解析 (5)11个 【分析】（1）、（2）根据角的表示方法求解即可；（3）、（4）、（5）根据角的定义和表示方法回答即可． 【详解】（1）不正确，因为以为顶点的角不止一个，所以这样的表示方法不正确，可表示为； （2）图中可以用一个字母表示； （3）以A为顶点的角有3个，分别是、、； （4）因为这两个角的顶点不同，所以不是同一个角． （5）图中小于平角的角有：，，，，，，，，，，，共有11个小于平角的角． 【点睛】本题考查的是角的定义和角的表示方法，掌握角的定义和角的表示方法是解题的关键． 题型十　角的单位与角度制 例题：计算： （1） ′； （2） ； （3） ． 【答案】 【分析】（1）把转化成即可得到答案； （2）转化成即可得到答案； （3）按照秒、分的顺序分别求和，满60进一，即可得到答案． 【详解】解：（1）， 故答案为：， （2）， 故答案为： （3）， 故答案为： 【点睛】此题考查了度分秒之间的转换和角度的运算，熟练掌握度分秒之间的换算关系是解题的关键． 巩固训练 1.（1）1周角 平角 直角； （2） ′= ″； （3） ′， ． 【答案】 2 4 60 3600 75 1.5 【分析】根据度、分、秒之间的关系直接换算即可． 【详解】解：（1）1周角平角直角； （2）； （3），． 故答案为：2；4；60；3600；75；1.5． 【点睛】本题考查周角、平角、直角，度、分、秒的换算，解题的关键是掌握． 2.计算： （1） ；         （2） ； （3） ；             （4） ． 【答案】 【分析】根据度、分、秒的运算法则进行计算即可． 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 故答案为：，，，． 【点睛】本题主要考查了度、分、秒的运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． 题型十一　求一个角的余角、补角 例题：（24-25七年级上·全国·单元测试）一个角的补角是，则这个角的余角是 ． 【答案】 【知识点】与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查了求一个角的补角与余角．设这个角为度，先根据补角的度数求得这个角，再求得这个角的余角即可． 【详解】解：设这个角为度，则， 解得， 则这个角的余角是， 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24六年级下·全国·单元测试）如果一个角是，那么这个角的补角是 度． 【答案】 【知识点】求一个角的补角 【分析】本题主要考查了求一个角的补角度数，根据度数之和为180度的两个角互补进行求解即可． 【详解】解：∵一个角是， ∴这个角的补角是， 故答案为：． 2．（23-24七年级上·全国·期末）已知的余角是，的补角是，则和的大小关系是 ． 【答案】 【知识点】角的单位与角度制、与余角、补角有关的计算、角的度数大小比较 【分析】本题考查余角和补角的知识以及角的大小比较及角度的换算，需根据余角与补角的定义来解答；首先根据互余两角之和为，互补两角之和为，由此求出和的值，再根据角度制换算，比较即可． 【详解】解：根据题意得：， ， ， ， ，即， ， 故答案为：． 3．（22-23七年级上·重庆九龙坡·期末）一个角的余角的倍比这个角的补角小，则这个角的度数为 ． 【答案】/65度 【知识点】与余角、补角有关的计算、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查了一元一次方程的几何应用，设这个角的度数为，根据题意列出方程即可求解，掌握余角、补角定义是解题的关键． 【详解】解：设这个角的度数为， 由题意得，， 解得， ∴这个角的度数为， 故答案为：． 题型十二　三角板中角度计算问题 例题：将一副直角三角尺如图放置，若，则等于 ．    【答案】/20度 【分析】根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查的是角的和差计算，明确图形中相关角之间的和差关系是解题的关键． 巩固训练 1.如图，直角三角板的直角顶点O在直线上，线段，是三角板的两条直角边，射线是的平分线．    (1)当时，求的度数； (2)当时， _________（用含α的式子表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用已知求得，利用角平分线的性质得到，再利用平角的定义，可求； （2）利用（1）中方法可求． 【详解】（1）解：，， ． ∵平分， ， ， ； （2）解：，， ， ∵平分， ，， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角的计算，角平分线的性质，平角的定义，正确使用角平分线的性质和平角的性质是解题的关键． 2.如图所示，以直线上的一点O为端点，在直线的上方作射线，使．将一块直角三角尺的直角顶点放在点O处，且直角三角尺（）在直线的上方．设．    (1)当时，求的大小； (2)若时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的和差运算求解即可； （2）首先根据题意表示出，，然后作差求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴． ∵， ∴． （2）解：当时， ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查角的加减运算，能够熟练根据要求列角的等量关系是解题关键． 题型十三　角平分线的有关计算 例题：（23-24七年级下·四川自贡·开学考试）如图，点A，O，B在同一条直线上，，分别平分和． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，以及角度的和差计算． （1）利用平角的定义得出，再利用角平分线的定义可得出，，进而可得出． （2）利用角平分线的定义，再根据角的和差关系即可得出，． 【详解】（1）解：∵点A，O，B在同一条直线上， ∴， ∵，分别平分和． ∴，， ∴， 即． （2）∵，，平分， ∴， ∵ ∴， ∴ 巩固训练 1．（23-24七年级上·云南昭通·期末）如图，点在直线上，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查角度的计算及角平分线的计算，结合图形求解是解题关键． （1）根据角平分线得出，结合图形求解即可； （2）由（1）得，结合图形作差即可． 【详解】（1）解：是的平分线，是的平分线． ； （2）由（1）得 ． 2．（23-24七年级上·湖北襄阳·期末）如图，已知平分，平分． (1)若是直角，，求的度数； (2)若，，列式表示的大小． 【答案】(1) (2) 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查角的计算，角平分线的定义， （1）利用角的和表示出的度数，利用角平分线的定义分别求得和，利用角的差即可求得结论； （2）利用角平分线的定义分别表示出和的度数，再利用角的差即可求得结论； 结合图形，正确利用角的和差表示出角的度数是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是直角即，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为； （2）∵平分，， ∴， ∵平分，， ∴， ∴， ∴的大小为． 3．（23-24七年级下·宁夏固原·开学考试）如图（1）所示， 已知：，平分，ON平分． (1) ． (2)如果 ，其它条件不变，那么 （用含α，β的式子表示）． (3)如图（2），若将条件变成O 是直线上一点，为一条射线，平分，平分，那么 ，并给出理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见详解． 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算以及角的和差关系． （1）利用角平分线的定义求得，，再利用角的和与差即可求解； （2）利用角平分线的定义求得，，再利用角的和与差即可求解； （3）利用角平分线的定义求得，，再利用角的和与差即可求解． 【详解】（1）解：∵，，平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：； （2）∵，， ∴； 故答案为：； （3），理由如下： ∵O 是直线上一点， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：． 题型十四　与余角、补角、角平分线有关角的计算问题 例题：（23·24上·全国·课时练习）如图，平分平分． (1)求出及其补角的度数； (2)请求出和的度数，并判断与是否互补，并说明理由． 【答案】(1)， (2)，与互补，理由见解析 【分析】（1）利用角的和差关系即可得到的度数，利用补角的定义即可得到的补角； （2）利用角平分线定义可求出和的度数，再求出的度数，即可得到与互补． 【详解】（1）解：， 的补角为． （2）∵平分平分． ∴． 与互补．理由如下： ∴． 故与互补． 【点睛】此题考查了角平分线的相关计算、补角的定义、几何图形中的角度计算，数形结合和准确计算是解题的关键． 巩固训练 1．（23·24上·呼和浩特·阶段练习）如图，O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角尺的直角顶点放在O处．    (1)当三角尺一边在的内部（图①），且恰好平分，此时直线是否平分？请说明理由； (2)当三角尺一边在的内部（图②），求的值． 【答案】(1)直线平分，理由见详解； (2) 【分析】（1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解； （2）根据已知条件，，即可得到、，然后作差即可． 【详解】（1）直线平分，理由如下： 设的反向延长线为，    ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， （2）∵，， ∴、， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键． 2．如图，过点O在内部作射线．，分别平分和，与互补，． (1)如图1，若，则______°，______°，______°； (2)如图2，若平分．试探索：是否为定值，若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由．    【答案】(1)、、； (2)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据给出的关系，依次求出、、、等度数，进而求得结果； （2）根据，从而表示出分子，根据，进而得出结果． 【详解】（1）解：∵和互补， ， ∴， ∴， ∵，分别平分和， ∴，， ∴，， 故答案为：、、； （2）是定值， 理由如下： ∵平分， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了互补、角平分线的定义、角和差之间的关系等知识，解决问题的关键是弄清角之间数量关系． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$