专题10 动角专题（期末真题汇编，福建专用）七年级数学上学期

专题10 动角专题 4大高频考点概览 考点01 三角板旋转 考点02 单条射线旋转 考点03 双射线同速旋转 考点04 双射线不同速旋转 地 城 考点01 三角板旋转 1．（24-25七年级上·福建三明·期末）如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板．，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)当 秒时，平分； (2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与满足的数量关系为 ； ②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)若当三角板旋转到与重合的同时，另一个三角板也开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请说明在旋转过程中，与满足的数量关系． 4．（24-25七年级上·福建莆田·期末）一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°． (1)求图1中∠BOD的度数． (2)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即∠AOE＝），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方． ①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度的值； ②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由． 地 城 考点02 单条射线旋转 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动： 已知，是一条射线，射线分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 地 城 考点03 双射线同速旋转 1．（24-25七年级上·福建漳州·期末）已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 2．（24-25七年级上·福建南平·期末）如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 地 城 考点04 双射线不同速旋转 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 2．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，同时射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当射线未到达射线时，达到，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）旋转与角度： （1）已知点A、O、B在同一直线上，是直角，平分，求的度数． （2）填空：时钟在5点_____________分，时针和分针夹角是． （3）如图，，射线OM从OA出发绕点O顺时针旋转，每秒转，同时，射线ON从OB出发绕点O逆时针旋转，每秒转转到出发位置时均停止转动．①几秒后OM平分？②几秒后ON平分？ 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 动角专题 9大高频考点概览 考点01 三角板旋转 考点02 单条射线旋转 考点03 双射线同速旋转 考点04 双射线不同速旋转 地 城 考点01 三角板旋转 1．（24-25七年级上·福建三明·期末）如图，将直角三角板的直角顶点O放在直线上，射线平分，，将三角板绕点O旋转（旋转过程中与均大于且小于）一周，的度数为 （用含的代数式表示）． 【答案】或 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角板中角度的计算，余角和补角，熟练掌握角平分线定义是解题的关键．分两种情况：当点C在上方时以及当点在下方时，根据补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，结合三角板的度数计算即可． 【详解】解：当点C在上方时，如图， ， ， 平分， ， ； 当点在下方时，如图， 同理可得， ， ， 故答案为：或． 2．（24-25七年级上·福建福州·期末）综合探究 如图1，把一副直角三角板的直角边放在直线l上，两个直角三角板分别在直线l的两侧，且，，． (1)如图， ； (2)如图，把三角板绕点旋转，使刚好落在的平分线上．此时，是否平分？请说明理由； (3)如图，把三角板绕点旋转，使得落在内部， 当时，则 ； 当时，则 ； 设，，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)是的平分线； (3)，，，见解析． 【分析】本题主要考查了角的和与差、角平分线的定义、三角板中角度的计算，解决本题的关键是根据角的位置关系找到角度之间的关系． 根据可知，根据计算即可； 根据平分可知，根据求出的度数，再根据平角的定义求出的度数，根据两个角的度数之间的关系即可判断平分； 根据的度数求出的度数，再根据求解即可； 根据的度数即可求出的度数，再根据即可求出的度数； 根据，，可知． 【详解】（1）解：, ， ， ， 故答案为：； （2）解：是的平分线， 理由如下： 落在的平分线上，， ， ， ， ， ， 平分； （3）解：当时， ， ， ； 当时， ， ； 猜想：， ， 又， 故答案为：，． 3．（24-25七年级上·福建厦门·期末）将一副直角三角板如图1摆放在直线上（直角三角板和直角三角板．，，，），保持三角板不动，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转直至边第一次重合在直线上，旋转时间记为秒． (1)当 秒时，平分； (2)①如图2，旋转三角板，使得、同时在直线的异侧，则与满足的数量关系为 ； ②如图3，继续旋转三角板，使得、同时在直线的右侧，猜想与满足怎样的数量关系？并说明理由． (3)若当三角板旋转到与重合的同时，另一个三角板也开始绕点以每秒的速度顺时针旋转，当旋转至直线上时同时停止．请说明在旋转过程中，与满足的数量关系． 【答案】(1) (2)①②，证明见解析 (3)或，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系求出角的度数是解题的关键． （1）根据角平分线的定义得到，计算即可求解； （2）根据题意得，求得，计算即可得到答案； 根据题意得，求得，计算即可得到答案； （3）分和两种情况计算即可． 【详解】（1）解：，平分， ， ， 故答案为：； （2）解：①由图2可知，， ， ， ， 故答案为：； ②，理由如下， 如图3，，， ， ， ； （3）解：或，理由如下， 秒， 秒， 当时， 当时， ， ， ， ， ， ； 当时，如图5， ， 优角， 优角， ， ． 4．（24-25七年级上·福建莆田·期末）一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边OA、OC与直线EF重合，∠AOB＝45°，∠COD＝60°． (1)求图1中∠BOD的度数． (2)如图2，三角板COD固定不动，将三角板AOB绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即∠AOE＝），在转动过程中两个三角板一直处于直线EF的上方． ①当OB平分OA、OC、OD其中的两边组成的角时，求满足要求的所有旋转角度的值； ②在转动过程中是否存在∠BOC＝2∠AOD？若存在，求此时α的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)75 (2)①旋转角α的值为30°，90°，105°；②当α=105°或125°时，存在∠BOC=2∠AOD． 【分析】（1）根据平平角的定义即可得到结论； （2）①根据已知条件和角平分线的定义即可得到结论； ②当OA在OD的左侧时，当OA在OD的右侧时，列方程即可得到结论． 【详解】（1）解：∵∠AOB=45°，∠COD=60°， ∴∠BOD=180°-∠AOB-∠COD=75°， 故答案为：75； （2）解：①当OB平分∠AOD时， ∵∠AOE=α，∠COD=60°， ∴∠AOD=180°-∠AOE-∠COD=120°-α， ∴∠AOB=∠AOD=60°-α=45°， ∴α=30°， 当OB平分∠AOC时， ∵∠AOC=180°-α， ∴∠AOB=90°-α=45°， ∴α=90°； 当OB平分∠DOC时， ∵∠DOC=60°， ∴∠BOC=30°， ∴α=180°-45°-30°=105°， 综上所述，旋转角度α的值为30°，90°，105°； ②当OA在OD的左侧时，则∠AOD=120°-α，∠BOC=135°-α， ∵∠BOC=2∠AOD， ∴135°-α=2（120°-α）， ∴α=105°； 当OA在OD的右侧时，则∠AOD=α-120°，∠BOC=135°-α， ∵∠BOC=2∠AOD， ∴135°-α=2（α-120°）， ∴α=125°， 综上所述，当α=105°或125°时，存在∠BOC=2∠AOD． 【点睛】本题考查了角的计算，特殊角，角平分线的定义，正确的理解题意是解题的关键． 地 城 考点02 单条射线旋转 1．（24-25七年级上·福建泉州·期末）【问题情境】在综合与实践课上，老师想让同学们探究与角度有关的数学问题，进行了以下数学活动： 已知，是一条射线，射线分别是和的平分线． 【初步感知】（1）如图1，若射线在的内部，且，则______________． 【探究发现】（2）如图2，当射线在的内部绕点O旋转至任一位置，则的度数是否发生变化．请说明理由． 【拓展延伸】（3）若射线从出发，绕着点O按顺时针方向旋转，旋转的角度不超过，其余条件不变，设，当时，请借助备用图探究的大小，并直接写出的度数．（不写探究过程） 【答案】（1）60；（2）的度数不会发生变化，始终为，理由见解析；（3）或． 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中的角度计算，一元一次方程的应用，利用分类讨论和数形结合的思想解决问题是关键． （1）根据角平分线的定义求解即可； （2）根据角平分线的定义求解即可； （3）分两种情况讨论：①当在的内部；②当在的外部，根据角平分线的定义表示出，再根据列方程分别求解即可． 【详解】解：（1）因为，， 所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， 所以， 故答案为：60． （2）的度数不发生变化，理由如下： 因为射线分别是和的平分线， 所以， 所以， 所以的度数不会发生变化，始终为． （3）为或，分析如下： 射线绕点O按顺时针方向旋转，分两种情况： ①如图析1，当在的内部， 因为，所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， ， 因为，所以， 解得，； 所以； ②如图析2，当在的外部， 因为，所以， 因为射线分别是和的平分线， 所以， ， 因为，所以， 解得， 所以， 综上所述，所以为或． 地 城 考点03 双射线同速旋转 1．（24-25七年级上·福建漳州·期末）已知：，，，是从点O引出的三条射线． (1)如图1，若平分，平分，当时， ；当射线绕点O在内部旋转时， ． (2)如图2，若，平分，平分，当绕点O在内旋转时，试说明：与互余． (3)如图3，当射线在外，若，平分，平分． ①当小于时，猜想与的关系，并说明理由． ②当大于而小于时，直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)①互余，理由见解析；② 【分析】本题考查了角平分线的定义、余角等知识，熟练掌握角平分线的计算是解题关键． （1）先根据角的和差可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得；先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据求解即可得； （2）先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得； （3）①先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，由此即可得； ②先求出，再根据角平分线的定义可得，，然后根据角的和差可得，最后根据求解即可得． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴； 故答案为：；． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． （3）解：①与互余，理由如下： 如图，当小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴与互余． ②如图，当大于而小于时， ∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． 2．（24-25七年级上·福建南平·期末）如图1，点为直线上一点，过点作射线、、．始终在的右侧，，．       (1)如图1，当．平分时，求的度数： (2)如图2、当与边重合，在的下方时，，将绕点按每秒的速度沿逆时针方向旋转、使射线与的角平分线形成夹角为，求此时旋转一共用了多少秒： (3)当在直线上方时，若，点在射线上，射线绕点顺时针旋转度，恰好使得，平分，，请直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)旋转一共用了或 (3)n为或 【分析】本题主要考查角度的和差计算，涉及角平分线的性质，分类讨论思想等，根据射线ON的位置不确定，进行分类讨论是解题关键． （1）由角平分线的性质可得的度数，再根据可得结论； （2）需要分两种情况进行讨论，①当点在的右侧时；②当点在的左侧时，画出图形，根据角度之间的和差关系计算即可； （3）根据题意分两种情况，当和时，画出图形，根据角度的和差运算进行计算即可． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴； （2）解：由（1）知， 设旋转时间为， ①当点在的右侧时，， ∴， ∴； ∴； ②当点在的左侧时，， ∴； ∴； 综上，旋转一共用了或； （3）解：当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴，解得； 综上，n为或． 地 城 考点04 双射线不同速旋转 1．（24-25七年级上·福建厦门·期末）已知，是内部的一条射线，且． (1)如图1所示，若，平分，平分，求的度数； (2)如图2所示，是直角，从点O出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； (3)如图3所示，，射线，射线分别从出发，并分别以每秒和每秒的速度绕着点O逆时针旋转，和分别只在和内部旋转，运动时间为t秒． ①直接写出和的数量关系； ②若，当，求t的值． 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，正确理解题意是解题的关键． （1）先求出，再根据角平分线的定义得到，由此即可得到答案； （2）先求出，则，进一步求出，由角平分线的定义得到，进而可得； （3）①先求出，，根据题意可得，由此求出，，则；②求出，再由，，得到，把代入方程求出t的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分平分， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：①∵， ∴， ∴ 由题意得：， ∴，， ∴； ②由①知， ∵， ∴， ∵，， ∴， 把代入得： 解得， ∴若，当时，． 2．（24-25七年级上·福建龙岩·期末）如图1，已知，射线以每秒的速度，从射线开始逆时针向射线旋转，到达射线之后又以同样的速度顺时针返回，直到到达射线停止，同时射线从射线开始，以每秒的速度顺时针向射线旋转，直到到达各自的目的地才停止．设旋转时间为t秒． (1)当秒时，求出的度数． (2)在运动过程中，当射线未到达射线时，达到，求t的值． (3)在旋转过程中是否存在这样的t，使得射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)6或14 (3)存在，运动时间t的值为秒或12秒或20秒时，射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线 【分析】本题考查了角平分线的意义，角的和差，一元一次方程的应用等知识，分类讨论、数形结合是解题的关键． （1）当秒时，，的度数，由即可求解； （2）结合题意用t表示，的度数，分射线与射线重合之前，与射线与射线重合之后，两种情况建立方程求解，即可求得t的值； （3）分三种情况：当时，射线平分；当时，射线平分；当时，射线平分；表示出相关角，利用角平分线的性质即可求解． 【详解】（1）解：当秒时，，， ∵， ∴ ； （2）解：当运动t秒，且当射线未到达射线时， 当射线重合时，则； ，； 射线与射线重合之前， 有， ∴， 解得：； 射线与射线重合之后， 有， ∴， 解得：； 综上所述，或； （3）解：存在； 当射线首次相遇时，则有， 解得：； 当射线重合时，则； 当射线与重合后返回，与重合时，则有， 解得：； 此时两射线同时到达终点； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴； ∴， 解得：； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴； ∴， 解得：； 当时，射线平分，如图； 则； ∵，， ∴， 解得：； 综上，当运动时间t的值为秒或12秒或20秒时，射线、射线、射线其中一条射线是另外两条射线组成的角的角平分线． 3．（24-25七年级上·福建福州·期末）旋转与角度： （1）已知点A、O、B在同一直线上，是直角，平分，求的度数． （2）填空：时钟在5点_____________分，时针和分针夹角是． （3）如图，，射线OM从OA出发绕点O顺时针旋转，每秒转，同时，射线ON从OB出发绕点O逆时针旋转，每秒转转到出发位置时均停止转动．①几秒后OM平分？②几秒后ON平分？ 【答案】（1）（2）或（3）①5秒②11秒． 【分析】本题主要考查角平分线的定义、角的和差倍分关系，同时考查了分类讨论思想；（1）根据角的和差得到的度数，再根据角平分线的定义得到的度数，再根据角的和差即可求解；（2）时针分针以5点整为起点，根据分针的速度是每秒，时针速度是每秒，设时间为，列出等量关系即可；（3）根据题意，设时间为，再根据角平分线的定义和角的和差列出等量关系即可． 【详解】（1）∵，是直角； ∴，； ∴； ∵平分； ∴； ∴． （2）时针分针以5点整为起点，设时间为； ①当分针未追及时针时，由题意可得； ； 解得； ②当分针超过时针时，由题意可得； ； 解得； 故答案为或． （3）设时间为，由题意可得； ，； ①∵平分； ∴； 又∵； ∴； 解得； ②∵平分； ∴，； 又∵； ∴； 解得． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $