第二十八章 圆知识归纳与题型突破（单元复习 10类题型清单）-2024-2025学年九年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第二十八章 圆知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1.圆及与的相关的概念 1）圆： 描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 2）基本概念 ①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径） ②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦） ③直径：经过圆心的弦（如AB） ④弧：圆上任意两点间的部分（如） ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） 2.圆的确定 经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 3.圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 4.垂径定理及推论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 5.圆周角定理及推论 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 6.弧长公式与扇形面积公式 正变形的圆心角为度. 弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为. 如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为. 如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为. 03 题型归纳 题型一　求过圆内一点的最长弦 例题：若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 巩固训练 1．已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（    ） A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm 2．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 3.已知是半径为3的圆中的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．5 C．4 D．1 题型二　利用弧、弦、圆心角的关系求解 例题：（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知的一条弦把圆的周长分成的两个部分，则弦所对的弧的度数为 ． 巩固训练 1．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是直径，，，的度数是 ． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ． 3．（2024·甘肃武威·三模）如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ． 题型三　利用垂径定理求值 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为直径，弦，垂足为点，则长为 ．    巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为 ． 2．（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，已知的直径，点是弦上一点，连接，，，则弦的长为 ． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为 ． 题型四　垂径定理的推论 例题：某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为 米． 巩固训练 1．如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起 厘米． 2．《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是 寸． 题型五　利用圆周角定理求角度 例题：（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，A、B、C在上，若，则 ． 巩固训练 1．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是 ． 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，过、、三点的圆的圆心为点，过、、三点的圆的圆心为点．如果，那么 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，是的外接圆，点是上一动点（不与A、C重合），过点作的垂线，交直线于点，若，则的度数是 ． 题型六　同弧或等弧所对的圆周角相等 例题：如图，为⊙O的直径，，则的度数为 ． 巩固训练 1．如图，为的外接圆的直径，若，则    2．如图，是的直径，点，在上，且，的延长线与的延长线交于点，连接，若，则的度数是 ．    题型七　半圆(直径)所对的圆周角是直角 例题：如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则 ．    巩固训练 1．如图，是的直径，是的弦，如果．    (1)求的度数． (2)若，求的长． 2．如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．    (1)求证：点D为弧的中点； (2)若，，求的直径． 题型八　已知圆内接四边形求角度 例题：（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，四边形内接于，延长交于点E，连接，若，，则的大小为 °． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是 ． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于 ． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于 度．    题型九　求四边形外接圆的直径 例题：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 巩固训练 1．如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 2．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 题型十　求弧长、扇形的面积 例题：（23-24九年级下·广西河池·开学考试）如图，在扇形中，，，则的长为 ． 巩固训练 1．（2023·河南·模拟预测）已知扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为 ． 3．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 4．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，平分，若，，则的长为 ． 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点C，D分别为，的中点，则花窗的面积为 ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二十八章 圆知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 1.圆及与的相关的概念 1）圆： 描述性定义：在平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一端点A所形成的轨迹。记作：“O”，读作：“圆O”，其中端点O叫作圆心 集合性定义：圆是平面内所有到定点的距离等于定长的点的集合，定点是圆心，定长是半径。 2）基本概念 ①半径：线段OA叫作圆的半径（OB、OC也是圆的半径） ②弦：圆上任意两点间的线段（半径是特殊的弦） ③直径：经过圆心的弦（如AB） ④弧：圆上任意两点间的部分（如） ⑤半圆：圆的任一直径的两个端点将圆分成两条弧，每条弧叫作半圆 ⑥等圆：两个圆能完全重合（即全等，即半径r相等） 2.圆的确定 经过两点可作无数个圆，这些圆的圆心在这两点连线的垂直平分线上. 不在同一条直线上的三个点确定一个圆. 3.圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距关系 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弦、两条弧、两条弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等. 4.垂径定理及推论 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分这条弦所对的两条弧. 垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧. 5.圆周角定理及推论 圆周角定理：圆周角的度数等于它所对的弧上的圆心角的一半. 推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等. 推论2：直径所对的圆周角是直角；圆周角所对的弦是直径. 推论3：圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角. 6.弧长公式与扇形面积公式 正变形的圆心角为度. 弧长计算公式：在半径为的圆中，的圆心角所对的弧长计算公式为. 如果扇形的半径为，圆心角为，那么扇形面积的计算公式为. 如果扇形的半径为，弧长为，那么扇形面积的计算公式为. 03 题型归纳 题型一　求过圆内一点的最长弦 例题：若的直径长为，点，在上，则的长不可能是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据直径是最长的弦即可求解． 【详解】解：∵若的直径长为，点，在上， ∴的长不可能是， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的相关概念，掌握直径是最长的弦是解题的关键． 巩固训练 1．已知的半径是3cm，则中最长的弦长是（    ） A．3cm B．6cm C．1.5cm D．3cm 【答案】B 【分析】利用圆的直径为圆中最长的弦求解． 【详解】解：圆的直径为圆中最长的弦， 中最长的弦长为． 故选：B． 【点睛】本题考查了圆的认识：需要熟练掌握与圆有关的概念（弦、直径、半径、弧、半圆、优弧、劣弧、等圆、等弧等）． 2．已知是半径为6的圆的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】D 【分析】根据半径求得直径的长，然后利用圆内最长的弦是直径作出判断即可． 【详解】解：∵圆的半径为6， ∴直径为12， ∵AB是一条弦， ∴AB的长应该小于等于12，不可能为14， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆的认识，解题的关键是了解圆内最长的弦是直径，难度较小． 3.已知是半径为3的圆中的一条弦，则的长不可能是（    ） A．8 B．5 C．4 D．1 【答案】A 【分析】根据圆中最长的弦为直径求解． 【详解】解：由题意圆的半径为3，则该圆的直径为6， 因为圆中最长的弦为直径， ∴． 观察选项，的长不可能是8，只有选项A符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了圆的认识，基本概念，掌握“圆中最长的弦是直径”是解本题的关键． 题型二　利用弧、弦、圆心角的关系求解 例题：（24-25九年级上·江苏宿迁·阶段练习）已知的一条弦把圆的周长分成的两个部分，则弦所对的弧的度数为 ． 【答案】或 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题考查弧，弦，角之间的关系，分优弧和劣弧两种情况，结合比例关系进行求解即可． 【详解】解：∵的一条弦把圆的周长分成的两个部分， ∴弦对应的圆心角的度数为：， ∴弦所对的劣弧的度数为，所对的优弧的度数为：， 故答案为：或． 巩固训练 1．（23-24九年级上·江苏常州·阶段练习）如图，是直径，，，的度数是 ． 【答案】/度 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解 【分析】本题主要考查了弧与圆心角之间的关系，根据同圆中，等弧所对的圆心角相等得到，再根据平角的定义可得答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 2．（23-24九年级下·全国·课后作业）如图，经过五边形的四个顶点，若，所对的圆心角的度数为 ． 【答案】40 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、等边对等角 【分析】本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．连接，如图，利用等腰三角形的性质得，则根据三角形内角和定理得到，则，于是得到的度数为． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， 即所对的圆心角的度数为， 故答案为：40． 3．（2024·甘肃武威·三模）如图，已知为的直径，点C为半圆上的四等分点，在直径所在的直线上找一点P，连接交于点Q（异于点P），使，则 ． 【答案】或或 【知识点】利用弧、弦、圆心角的关系求解、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题主要考查了圆心角与弧之间的关系，等边对等角，三角形内角和定理，分当点P在线段延长线上时，当点P在线段上时，当点P在线段延长线上时，三种情况讨论求解即可． 【详解】解：如图所示，当点P在线段延长线上时，连接， ∵点C为半圆上的四等分点， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在线段上时， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在线段延长线上时， ∵， ∴， 设，则 ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或． 题型三　利用垂径定理求值 例题：（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，为直径，弦，垂足为点，则长为 ．    【答案】10 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 根据垂径定理得到，再由勾股定理即可求出，即可解答． 【详解】解：连接，    ∵为直径，弦， ∴， ∴在中，， ∴的半径为5， ∴． 故答案为：10． 巩固训练 1．（24-25九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，是的直径，是的弦，，垂足为E．若，，则的长为 ． 【答案】2 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 根据垂径定理求得，再对运用勾股定理即可求，最后即可求解． 【详解】解：∵，是的直径， ∴，， ∴在中，， ∵， ∴． 故答案为：2 2．（22-23九年级上·广东汕头·期中）如图，已知的直径，点是弦上一点，连接，，，则弦的长为 ． 【答案】 【知识点】利用垂径定理求值、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了垂径定理，等腰三角形的判定和勾股定理，能熟记垂直于弦的直径平分这条弦是解此题的关键．过作于，求出，根据等腰三角形的判定得出，设，则根据垂径定理得出，然后根据勾股定理求出即可． 【详解】解：过作于，则， ， ， ， 设， 直径， ， ，过圆心， ， ， ， 在中，由勾股定理得：，即， 解得：或（不符合题意，舍去）， ， ， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，，是半径为的的两条弦，，，是直径，于点，于点，为上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、利用垂径定理求值 【分析】本题考查的是轴对称-最短路线问题，垂径定理，勾股定理，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．由于A、B两点关于对称，因而，即当B、C、P在一条直线上时，的最小，即的值就是的最小值． 【详解】解：连接，作垂直于于H． ∵，，是直径，，， ∴，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ， 在中根据勾股定理得到， 即的最小值为． 故答案为：． 题型四　垂径定理的推论 例题：某公路隧道的截面为圆弧形，设圆弧所在圆的圆心为O，测得其同一水平线上A、B两点之间的距离为12米，拱高为4米，则的半径为 米． 【答案】 【分析】连接，设的半径为R，利用垂径定理以及勾股定理求解即可． 【详解】解：连接， 设的半径为R，则， 由题意得，， ∴， 在中，由勾股定理得， 解得， 则的半径为米． 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，由勾股定理得出方程是解题的关键． 巩固训练 1．如图是一位同学从照片上前切下来的海上日出时的画面，“图上”太阳与海平线交于A，B两点，他测得“图上”圆的半径为10厘米，厘米．则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起 厘米． 【答案】16 【分析】连接，作于点D，交优弧于点C，利用垂径定理求得厘米．在中，利用勾股定理求得的长，据此求解即可． 【详解】解：连接，作于点D，交优弧于点C，则厘米． 由题意得厘米， 在中，厘米， ∴厘米， 则“图上”太阳从目前所处位置到完全跳出海平面，升起16厘米． 故答案为：16． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，利用垂径定理构造直角三角形是解题的关键． 2．《九章算术》中卷九勾股篇记载：今有圆材埋于壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺．问径几何？转化为数学语言：如图，为的半径，弦，垂足为，寸，尺尺寸，则此圆材的直径长是 寸． 【答案】 【分析】连接，依题意，得出，设半径为，则，在中，，解方程即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，，，为的半径， ∴， 设半径为，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴直径为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂径定理的应用，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 题型五　利用圆周角定理求角度 例题：（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，A、B、C在上，若，则 ． 【答案】 【知识点】圆周角定理 【分析】本题考查圆周角定理，根据同弧所对的圆周角是圆心角的一半，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 巩固训练 1．（23-24九年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，四边形为的内接四边形，，则的大小是 ． 【答案】/度 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆的内接四边形互补，以及圆周角定理，由题意得，根据即可求解． 【详解】解：∵四边形为的内接四边形， ∴， ∴ 故答案为： 2．（24-25九年级上·江苏南京·阶段练习）如图，过、、三点的圆的圆心为点，过、、三点的圆的圆心为点．如果，那么 【答案】18 【知识点】圆的基本概念辨析、圆周角定理、等边对等角 【分析】连接、，过，，三点的圆的圆心为，且过，，三点的圆的圆心为，，可知，，，根据圆周角定理可得，由即可求解．本题主要考查了三角形外接圆与外心，圆周角定理知识点，熟练掌握圆周角定理并巧妙使用是解决问题的关键． 【详解】解：如图，连接、， 过，，三点的圆的圆心为，且过，，三点的圆的圆心为， ， ，，， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·江苏泰州·阶段练习）在中，，是的外接圆，点是上一动点（不与A、C重合），过点作的垂线，交直线于点，若，则的度数是 ． 【答案】/25 度 【知识点】圆周角定理、三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握在同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角等于圆心角的一半是解题关键．由圆周角定理可知，再由等边对等角的性质，得到，然后结合三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 题型六　同弧或等弧所对的圆周角相等 例题：如图，为⊙O的直径，，则的度数为 ． 【答案】65°/65度 【分析】先根据圆周角定理得到 ， ，然后利用互余计算出 的度数； 【详解】为⊙O的直径， 故答案为： 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半；半圆（或直径）所对的圆周角是直角， 的圆周角所对的弦是直径． 巩固训练 1．如图，为的外接圆的直径，若，则    【答案】/40度 【分析】连接，根据圆周角定理的推论得出，，然后根据角的和差计算即可． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题考查了圆周角定理的推论，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等；半圆（或直径）所对的圆周角是直角是解题的关键． 2．如图，是的直径，点，在上，且，的延长线与的延长线交于点，连接，若，则的度数是 ．    【答案】/43度 【分析】连接，根据圆周角定理得出，根据同弧所对的圆周角相等，可得，再根据等边对等角得出，最后根据三角形的外角的性质即可得出答案． 【详解】解：连接，    ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查圆周角定理，等边对等角，三角形的外角，正确理解题意是解题的关键． 题型七　半圆(直径)所对的圆周角是直角 例题：如图，是的直径，弦交于点，连接，．若，则 ．    【答案】/61度 【分析】如图，连接，证明，求出，可得结论． 【详解】解：如图，连接．    ∵是直径， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握圆周角定理，属于中考常考题型． 巩固训练 1．如图，是的直径，是的弦，如果．    (1)求的度数． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据圆周角定理得到，，然后利用互余可计算出的度数； （2）利用含30度的直角三角形三边的关系求解． 【详解】（1）解：是的直径， ， ， ； （2）∵， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，的圆周角所对的弦是直径． 2．如图，是的直径，点C，D是上的点，且，分别与，相交于点E，F．    (1)求证：点D为弧的中点； (2)若，，求的直径． 【答案】(1)见解析 (2)20 【分析】（1）根据圆周角定理可得，再由平行线的性质可得，从而可得，再根据垂径定理即可得出结论； （2）根据垂径定理可得，再利用勾股定理进行计算即可． 【详解】（1）证明：∵是直径 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点D为的中点； （2）解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的直径为20． 【点睛】本题考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理，熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键． 题型八　已知圆内接四边形求角度 例题：（23-24九年级上·黑龙江大庆·期中）如图，四边形内接于，延长交于点E，连接，若，，则的大小为 °． 【答案】50 【知识点】半圆（直径）所对的圆周角是直角、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．根据圆周角定理得到，求出，根据圆内接四边形的性质得到，计算即可． 【详解】解：∵是的直径， ∴， 又， ∴， ∵四边形内接于，， ∴， ∴， 故答案为：50． 巩固训练 1．（23-24九年级上·山东济南·期末）如图，四边形内接于，是的直径，，则的度数是 ． 【答案】/110度 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题考查了圆周角定理、圆内接四边形的性质，由圆周角定理得出，从而求出，再由圆内接四边形对角互补计算即可得出答案． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·全国·单元测试）如图，已知四边形是的内接四边形，为延长线上一点，，则等于 ． 【答案】/度 【知识点】圆周角定理、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆内接四边形的性质等，灵活运用以上知识点是解题的关键．根据圆周角定理先求出，再根据圆内接四边形的性质求出的度数，最后根据邻补角的定义即可求出答案． 【详解】解：， ， 四边形是的内接四边形， ， ． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）如图，四边形内接于，过点作，交于点．若，则等于 度．    【答案】 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、已知圆内接四边形求角度 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，平行线的性质，先由两直线平行，同位角相等得到，再根据圆内接四边形对角互补进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：． 题型九　求四边形外接圆的直径 例题：如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，∠C=120°．若AD=2，则AB的长为（　　） A． B．2 C．2 D．4 【答案】D 【分析】连接OD，根据圆内接四边形的性质求出∠A=60°，得出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的性质得出OD=OA=AD=2，求出直径AB即可． 【详解】解：连接OD， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180°， ∵∠C=120°， ∴∠A=60°， ∵OD=OA， ∴△AOD是等边三角形， ∴AD=OD=OA， ∵AD=2， ∴OA=OD=OB=2， ∴AB=2+2=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质和等边三角形的性质和判定，能根据圆内接四边形的性质得出∠A+∠C=180°是解此题的关键． 巩固训练 1．如图，为正方形的外接圆，若，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，得出，，再根据勾股定理，得出，再根据正方形的性质，得出，进而得出的半径为，再根据圆的面积公式，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴的半径为， ∴的面积为：． 故选：A 【点睛】本题考查了求正方形外接圆的直径、正方形的性质、勾股定理、圆的面积，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理． 2．如图，四边形ABCD内接于， ，点C为的中点，延长AB、DC交于点E，且，则 的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】连接BD，根据圆内接四边形的外角等于其内对角可得∠D＝∠CBE＝60°，根据等边对等角以及三角形内角和定理求出∠BCE＝60°，可得∠A＝60°，点C为的中点，可得出∠BDC＝∠CBD＝30°，进而得出∠ABD=90°，AD为直径，可得出AD=2AB=4，再根据面积公式计算得出结论； 【详解】解：连接BD， ∵ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠CBE＝∠ADC，∠BCE＝∠A ∵ ∴ ∴∠CBE＝∠ADC=60°，∠CBA＝120° ∵ ∴△CBE为等边三角形 ∴∠BCE＝∠A=60°， ∵点C为的中点， ∴∠CDB＝∠DBC=30° ∴∠ABD=90°，∠ADB=30° ∴AD为直径 ∵AB=2 ∴AD=2AB=4 ∴的面积是= 故答案选：D 【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理，掌握相关性质及公式是解题的关键． 题型十　求弧长、扇形的面积 例题：（23-24九年级下·广西河池·开学考试）如图，在扇形中，，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】此题考查求弧长，把已知数据代入弧长公式计算即可，掌握弧长公式的应用是解题的关键． 【详解】解：的长=， 故答案为：． 巩固训练 1．（2023·河南·模拟预测）已知扇形的面积是，圆心角，则这个扇形的半径是 ． 【答案】2 【知识点】求扇形半径、求扇形面积 【分析】本题考查的是扇形面积的计算，设该扇形的半径是，再根据扇形的面积公式即可得出结论． 【详解】解：设该扇形的半径是，则 ， 解得． 故答案为：2． 2．（24-25九年级上·江苏淮安·阶段练习）一圆锥的底面半径为3，母线长为6，则这个圆锥的侧面积为 ． 【答案】 【知识点】求圆锥侧面积 【分析】本题考查了圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积公式（L为底面圆的周长，R为圆锥的母线长度）成为解题的关键． 直接运用圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径为3， ∴底面圆的周长， ∴圆锥侧面积． 故答案为：． 3．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）已知一个扇形的圆心角为，其弧长为，则该扇形的面积为 ． 【答案】/ 【知识点】求弧长、求扇形面积 【分析】本题考查了弧长公式，扇形面积的计算等知识点，注意：圆心角为，半径为的扇形的面积弧长．设扇形的半径为，根据弧长公式和已知条件得出，求出，再根据扇形的面积公式求出面积即可． 【详解】解：设扇形的半径为， 扇形的圆心角为，弧长为， ， 解得：， 扇形的面积为， 故答案为：． 4．（2024·福建莆田·模拟预测）如图，四边形内接于为的直径，平分，若，，则的长为 ． 【答案】 【知识点】求弧长、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形、圆周角定理 【分析】根据圆周角定理结合角平分线性质可推出是等腰直角三角形，先根据勾股定理求出的长，再根据弧长公式即可求出的长． 【详解】解：连接， ∵四边形内接于为的直径， ， 平分， ， ， ， ， ∴是等腰直角三角形， 在中，， ， ∴， 则的长， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，等腰三角形性质和判定，弧长公式等知识点，解题的关键是熟练掌握并运用相关知识． 5．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图①是小区围墙上的花窗，其形状是扇形的一部分，图②是其几何示意图（阴影部分为花窗）．通过测量得到扇形的圆心角为，，点C，D分别为，的中点，则花窗的面积为 ． 【答案】 【知识点】求其他不规则图形的面积 【分析】本题考查了扇形的面积．正确表示花窗的面积是解题的关键． 由题知意，，，根据花窗的面积为，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵点C，D分别是的中点， ∴， ∴， ∴花窗的面积为， 故答案为：． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$