第十七章 特殊三角形知识归纳与题型突破（单元复习 13类题型清单）-2024-2025学年八年级数学上册单元速记·巧练（冀教版）

第十七章 特殊三角形知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、等腰三角形 1.等腰三角形 （1）等腰三角形定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质：①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 2.等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 二、直角三角形的性质定理 （1）直角三角形中，两个锐角互余； （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半; （3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. （4）两个直角三角形中，直角边和斜边相等的两个三角形全等. 三、勾股定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. （2）勾股数：满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形. 四、勾股定理的逆定理 (1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. （2）判定三角形是否是直角三角形：首先确定最大边（如）；验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 03 题型归纳 题型一　利用等腰三角形的定义求解 例题：（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它的顶角是 ． 巩固训练 1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 2．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）在中，． (1)求长度的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 题型二　根据等腰三角形中三线合一求解 例题：如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点M，N在边上，．若，则的长为 ． 3．（23-24八年级上·四川泸州·开学考试）如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为 ． 题型三　等腰三角形的性质与判定 例题：如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E． (1)求证：BD＝BC； (2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 巩固训练 1．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE． (1)求证：AC＝CD； (2)若AC＝AE，求∠ACB的度数． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 3．（23-24七年级下·山东东营·开学考试）如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)当时，求的度数． 4．如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E． (1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °； (2)当∠BAD＝____°时，△ABD ≌△DCE？请说明理由； (3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由． 题型四　等边三角形的性质与判定 例题：如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，． (1)求证； (2)连接，若，，求的长． 巩固训练 1．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，且． (1)证明：是等边三角形； (2)请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，点在边上，，点在延长线上，连结，点在上，交于点，，． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)当，时，求的长． 题型五　直角三角形的性质求解 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则 ． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点若，则的长为 ． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为 ． 3．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则 ． 题型六　直角三角形中的全等证明（HL） 例题：（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形中，，是的中点，平分． (1)求证：平分； (2)若，，求和的面积之和． 巩固训练 1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，点在边上，于点，点在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求线段的长． 3．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，平分，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，过点E作，，垂足分别为M，N，若，，求的长． 4．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，已知，垂直平分线段，平分，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求； (3)试探索线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 题型七　勾股树(数)问题 例题：（23-24八年级下·广东惠州·期中）下列各组数据不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．7，8，9 D．6，8，10 2．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．0.6，0.8，1 D．6，8，10 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数据为勾股数的是（   ） A．1，， B．2，3，4 C．，， D．3，4，5 题型八　用勾股定理解三角形 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业），． （1）如图①，若，则 °； （2）如图①，若，，则 ； （3）如图②，是边上的中线，若，则 ； （4）如图③，于点，若，，则的长为 ． 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中，，，，则 ． 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在等边中，于点． （1） ， ； （2）若的周长为12，则的长为 ，的长为 ； （3）若，则的面积为 ． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图①，在中，，平分． （1）若中的一个内角是，则 ； （2）若，则 ， ； （3）若，，则 ， ； （4）如图②，于点，若，则 ； （5）若的一边长为8，周长为28，则的长度为 ． 题型九　以直角三角形三边为边长的图形面积 例题：（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 巩固训练 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 2．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边），分别以直角三角形的三边为直径，向外作半圆，已知，那么（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 3．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，分别以直角三角形的三边为边、斜边和直径，向外作正方形、等腰直角三角形和半圆，则阴影部分的面积关系满足的图形有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型十　判断三边能否构成直角三角形 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，，，的对边分别是，，，下列条件：①；②；③，，．其中可以判定是直角三角形的是 （填序号）． 巩固训练 1．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，，．    求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中，A，B，C，D都在小正方形的顶点上，连接，交于点P． (1)求的长； (2)求的度数． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中．于点，，，．    (1)求的长； (2)判断的形状并说明理由． 题型十一　利用勾股定理的逆定理求解 例题：（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）在中，，，，则的面积是 ． 巩固训练 1．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．    3．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 题型十二　勾股定理的证明方法 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）取两个同样的直角三角板，按如图所示摆放（B，C，D三点在一条直线上）． (1)连接，则是________三角形，四边形是________形； (2)设，，，试用两种不同的方法表示出四边形的面积； (3)由（2）你能得到什么结论？ 巩固训练 1．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理，这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：    (1)请你用文字叙述一下勾股定理； (2)选择下边图1或图2中任一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯外离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁且与蜂蜜C相对的点A处，点A离杯口．则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？    2．（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 题型十二　勾股定理的实际应用 例题：（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，过点C作于点E，测得，（图中的点A，B，O，C在同一平面内）． (1)猜想此时与的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，将他从A处摆动后的坐板记为． (1)当时，求到的距离； (2)当距地面最近时，求到地面的距离（结果精确到0.1，）． 2．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，李师傅在两墙，之间施工（两墙与地面垂直），他架了一架长为的梯子，此时梯子底端距离墙角点． (1)此时梯子的顶端点距离地面有多高？ (2)若梯子底端点没有固定好，向后滑动到墙角处，使梯子顶端沿墙下滑了到点处，求梯子底端向后滑动的距离． 3．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 题型十三　勾股定理逆定理的实际应用 例题：（22-23八年级下·重庆长寿·期中）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了． (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 巩固训练 1．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 2．（23-24八年级下·天津西青·期末）如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库无法直达，A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C．为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，，，． (1)请通过计算说明新公路是村庄A到高速公路的最短路线； (2)求村庄A到县城C的距离的长． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）实践探索：检测某雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直与底边． 素材及工具只：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺分别测量边，边和的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有更科学的方法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十七章 特殊三角形知识归纳与题型突破（题型清单） 01 思维导图 02 知识速记 一、等腰三角形 1.等腰三角形 （1）等腰三角形定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形. （2）等腰三角形性质：①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角”；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°. （3）等腰三角形的判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）. 2.等边三角形 （1）等边三角形的定义：三条边都相等的三角形，叫做等边三角形. （2）等边三角形的性质：等边三角形的三个角相等，并且每个角都等于60°.　　 （3）等边三角形的判定：①三条边都相等的三角形是等边三角形；②三个角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形. 二、直角三角形的性质定理 （1）直角三角形中，两个锐角互余； （2）在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半; （3）直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半. （4）两个直角三角形中，直角边和斜边相等的两个三角形全等. 三、勾股定理 （1）勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么. （2）勾股数：满足不定方程x2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x,y,z为三边长的三角形一定是直角三角形. 四、勾股定理的逆定理 (1)勾股定理的逆定理：如果三角形的三条边长，满足，那么这个三角形是直角三角形. （2）判定三角形是否是直角三角形：首先确定最大边（如）；验证与是否具有相等关系.若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，则△ABC不是直角三角形. 03 题型归纳 题型一　利用等腰三角形的定义求解 例题：（23-24八年级上·河南商丘·阶段练习）等腰三角形的一个角是，则它的顶角是 ． 【答案】或 【知识点】三角形内角和定理的应用、等边对等角 【分析】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理，若题目中没有明确顶角或底角的度数，做题时要注意分情况进行讨论，这是十分重要的，也是解答问题的关键． 分两种情况讨论：①当角为顶角；②当为底角，根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：①当角为顶角时，顶角度数为； ②当为底角时，顶角：， 故答案为：或． 巩固训练 1．（2024·江苏镇江·中考真题）等腰三角形的两边长分别为6和2，则第三边长为 ． 【答案】6 【知识点】三角形三边关系的应用、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形三边关系，熟练掌握分类讨论思想是解题的关键．分两种情况讨论：当6为一腰长时；当2为一腰长时；分别求出第三条边长，并根据三角形三边关系判断是否能构成三角形，即可得出答案． 【详解】解：当6为一腰长时，则另一腰长为6，底边长为2， ， 能构成三角形， 第三边长为6； 当2为一腰长时，则另一腰长为2，底边长为6， ， 不能构成三角形，舍去； 综上，第三边长为6， 故答案为：6． 2．（23-24八年级上·湖北襄阳·期末）（1）等腰三角形的两边长分别为、，其周长为 ； （2）若等腰三角形的两条边长分别为和，则它的周长为 ． 【答案】 32 13或14 【知识点】构成三角形的条件、等腰三角形的定义 【分析】本题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键． （1）根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为时，②当腰长为时，解答出即可． （2）根据等腰三角形的性质，分为当腰长为时，腰长为时，解答出即可． 【详解】解：（1）由题意知，应分两种情况： 当腰长为时，三角形三边长为，不能构成三角形； 当腰长为时，三角形三边长为6，13，13，能构成三角形，周长． 故答案为：32． （2）∵三角形是等腰三角形，两条边长分别为和， ∴三角形三边可以是、或、， ∴三角形的周长为或， 故答案为：13或14． 3．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，，平分，如果射线上的点满足是等腰三角形，的度数为 ． 【答案】或或 【知识点】与角平分线有关的三角形内角和问题、等腰三角形的定义 【分析】本题考查了角平分线定义，等腰三角形性质，三角形的内角和定理的应用，用了分类讨论思想．求出，根据等腰得出三种情况，，，，根据等腰三角形性质和三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：如图， ∵，平分， ∴， ①当E在时，， ∵， ∴， ； ②当E在点时，， 则 ； ③当E在时，， 则 ； 故答案为：或或． 4．（23-24八年级上·安徽合肥·单元测试）在中，． (1)求长度的取值范围； (2)若的周长为偶数，求的周长，并判断此时的形状． 【答案】(1) (2)的周长为16，是等腰三角形 【知识点】确定第三边的取值范围、等腰三角形的定义 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的分类： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）根据（1）中的范围，结合的周长为偶数，得到，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中， ∴， ∴； （2）∵的周长为偶数，为奇数， ∴的长为奇数， ∵， ∴， ∴的周长为，是等腰三角形． 题型二　根据等腰三角形中三线合一求解 例题：如图，中，，于点D，，若，则的度数为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】 如图（见详解），根据等腰三角形的三线合一性质，过点A作于点E，可证，即可求出的度数． 【详解】 解：如图，过点A作于点E， ∵AB=AC， ∴E是BC的中点，且AE平分． ∵， ∴BD=BE． 在和中， ， ∴． ∴． 故答案为：． 【点睛】 本题考查等腰三角形的三线合一性质以及直角三角形全等的判定定理，正确运用定理进行判定是解题的关键． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，平分，点E在边上，且．若，则的大小为 ． 【答案】/20度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的等边对等角的性质，三线合一的性质，以及三角形内角和问题，由等腰三角形的性质和三角形三角和定理分别求出，，由等腰三角形三线合一的性质得出，再根据角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴． ∵， ∴． ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 2．（24-25八年级上·全国·课后作业）如图，已知，点M，N在边上，．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形，解题的关键是熟练的掌握等腰三角形的性质及含30度角的直角三角形． 首先过点P作于点D，利用直角三角形中所对边等于斜边的一半得出的长，再利用等腰三角形的性质求出的长． 【详解】如图，过点P作于点D， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵，，， ∴， ∴． 3．（23-24八年级上·四川泸州·开学考试）如图，在等边中，，是延长线上一点，且，是上一点，且，则的长为 ． 【答案】3 【分析】过点作于，先根据含的直角三角形的性质求出，再根据等腰三角形的三线合一性质求出，即可得出．本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质以及含的直角三角形的性质等知识；熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点作于；如图所示： 则， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ，， ， ； 故答案为：3． 题型三　等腰三角形的性质与判定 例题：如图，已知在四边形ABCD中，ADBC，∠A＝90°，AD＝BE，CE⊥BD，垂足为E． (1)求证：BD＝BC； (2)若∠DBC＝50°，求∠DCE的度数． 【答案】(1)见解析； (2)25° 【解析】 【分析】 （1）由AD∥BC得到∠ADB＝∠CBE，∠A＝90°，CE⊥BD，则∠BEC＝∠A＝90°，又由已知AD＝BE，根据ASA可证明△ABD≌△ECB，可得结论； （2）由（1）知BD＝BC，根据等边对等角可求得∠BDC的度数，再根据外角的性质求得∠DCE的度数． (1) 证明：∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBE， ∵∠A＝90°，CE⊥BD， ∴∠BEC＝∠A＝90°， 在△ABD和△ECB中， ， ∴△ABD≌△ECB（ASA）， ∴BD＝CB； (2) 解：∵BD＝CB， ∴△BCD是等腰三角形， ∴∠BCD＝∠BDC＝（180°﹣∠DBC）＝（180°﹣50°）＝65°， ∵∠BEC＝∠BDC＋∠DCE＝90°， ∴∠DCE＝90°－∠BDC ＝90°﹣65°＝25°． 【点睛】 此题主要考查了三角形全等的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形外角的性质，证明△ABD≌△ECB是解题的关键． 巩固训练 1．如图，已知在四边形ABCD中，点E在AD上，∠BCE＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠D，BC＝CE． (1)求证：AC＝CD； (2)若AC＝AE，求∠ACB的度数． 【答案】(1)见解析 (2)∠ACB的度数为22.5° 【解析】 【分析】 （1）利用同角的余角相等得∠ACB＝∠DCE，再根据AAS证明△ABC≌△DEC，即可证明结论； （2）由AC＝CD，知△ACD是等腰直角三角形，得∠CAD＝45°，再根据AC＝AE，得∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°，从而得出答案． (1) 证明：∵∠BCE＝∠ACD＝90°， ∴∠ACB＝∠DCE， 在△ABC和△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（AAS）， ∴AC＝CD； (2) 解：由（1）知，AC＝CD， ∵∠ACD＝90°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴∠CAD＝45°， ∵AC＝AE， ∴∠ACE（180°﹣∠CAD）（180°﹣45°）＝67.5°， ∴∠ACB＝∠BCE﹣∠ACE＝90°﹣67.5°＝22.5°， ∴∠ACB的度数为22.5°． 【点睛】 本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形内角和定理等知识，证明△ABC≌△DEC是解题的关键． 2．（2024八年级上·江苏·专题练习）如图，在中，，点为的中点，边的垂直平分线交，，于点，，，连接、． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)15° 【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题主要考查等腰三角形的判定及性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角的性质，牢记等腰三角形的性质（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合）是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的性质，先求得，根据等腰三角形三线合一的性质，可求得． （2）根据等腰三角形三线合一的性质，可求得，根据三角形内角和定理可求得的度数，结合即可求得答案． 【详解】（1）证明：为线段的垂直平分线， ． ，点为的中点， 为线段的垂直平分线． ． ． 为等腰三角形． （2）解：，点为的中点， 为的平分线． ． ． ． 为等腰三角形， ． ． 3．（23-24七年级下·山东东营·开学考试）如图，在中，，点D，E，F分别在边上，且，． (1)求证：是等腰三角形； (2)求证：； (3)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边对等角 【分析】本题主要考查的是全等三角形的性质和判定，等腰三角形的判定与性质，熟知等腰三角形的两个底角相等是解答此题的关键． （1）首先根据条件证明，根据全等三角形的性质可得，进而可得到是等腰三角形； （2）根据，可知，即可得出结论； （3）由（2）知，再根据等腰三角形的性质即可得出的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）证明：∵， ∴， ∴； （3）解：由（2）知， ∵， ∴． 4．如图，△ABC中，∠B＝∠C＝50°．点D在线段BC上运动（点D不与B、C重合），连接AD，作∠ADE＝50°，DE交线段AC于E． (1)当∠BAD＝20°时，∠EDC＝ °； (2)当∠BAD＝____°时，△ABD ≌△DCE？请说明理由； (3)△ADE能成为等腰三角形吗？若能，请直接写出∠BAD的度数；若不能，请说明理由． 【答案】(1)20 (2)15，理由见解析 (3)能，∠BAD＝15°或∠BAD＝30°，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）先利用平角的意义求出∠CDE，再用三角形外角的性质求出∠AED，最后用三角形的内角和定理求出∠DAE； （2）利用三角形内角和定理得出∠BAC＝80°，再由三角形外角的性质及等量代换确定∠AED＝∠DAE＝65°，AD＝DE，结合图形利用全等三角形的判定即可证明； （3）先求出∠BAC＝80°，再分三种情况，利用等腰三角形的性质求出∠DAE，即可得出结论． (1) ∵∠BAD＝20°，∠B＝50°， ∴∠ADC＝70°， ∵∠ADE＝50°， ∴∠EDC＝70°﹣50°＝20°， 故答案为：20； (2) 解：∠BAD＝15°时，△ABD ≌△DCE，理由如下： 在△ABC中，∠B＝∠C＝50°， ∴∠BAC＝80°， ∵∠BAD＝15°， ∴∠DAE＝65°， 又∵∠ADE＝50°， ∴∠AED＝∠DAE＝65°， ∴AD＝DE， 在△ABD中， ∠BAD＋∠ADB＝130°， ∵∠CDE＋∠ADB＝180°－∠ADE＝130°， ∴∠BAD＝∠CDE， ∵∠B＝∠CAD＝DE， ∴△ABD≌△DCE； (3) 能，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形． 理由：在△ABC中，∠B＝∠C＝50°， ∴∠BAC＝80°， ①当DA＝DE时， ∵∠ADE＝50°， ∴∠CAD＝（180°﹣∠ADE）＝65°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠CAD＝15°， ②当EA＝ED时， ∴∠DAC＝∠ADE＝50°， ∴∠BAD＝∠BAC﹣∠DAC＝30°， ③当AD＝AE时，∠AED＝∠ADE＝50°， ∴∠DAE＝180°﹣∠ADE﹣∠AED＝80°，此时，点D与点B重合，不符合题意， 综上所述，当∠BAD＝15°或30°时，△ADE能成为等腰三角形． 【点睛】 此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定，平角的意义，三角形外角的性质，等腰三角形的性质与判定，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 题型四　等边三角形的性质与判定 例题：如图，是上一点，点，分别在两侧，，且，． (1)求证； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【解析】 【分析】 （1）由平行线的性质，结合条件可证明，即可得出； （2）证明是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案． (1)证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； (2)解： 由（1）知，， 又∵， ∴是等边三角形， ∵， ∴． ∴的长为． 【点睛】 本题主要考查全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质、平行线的性质．掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解题的关键． 巩固训练 1．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，在中，，为的中点，于点，于点，且，连接，点在的延长线上，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、含30度角的直角三角形、根据等边对等角证明、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，根据等边三角形的判定定理即可得到结论； （2）由（1）知，是等边三角形，求得，易得，得到，求得，根据直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：于点，于点， ， 为的中点， ， 在与中， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2）解：由（1）知，是等边三角形， ， ， ， ， ， ∴， ， ， ，， ， ， ． 【点睛】本题考查了直角三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，含的直角三角形性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 2．（23-24八年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，已知点、、在同一条直线上，和都是等边三角形．交于，交于． (1)求证：； (2)求证：； (3)判断的形状并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)是等边三角形；理由见解析 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质及等边三角形的判定和性质； （1）利用等边三角形的性质得出条件，可证明：； （2）利用得出，再运用平角定义得出进而得出因此． （3）由和根据有一个角是的三角形是等边三角形可得是等边三角形． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ； （2）， ． ， ． ， 在和中， ， ， ； （3），， 是等边三角形． 3．（23-24八年级上·山东临沂·期末）如图，在中，，，于，点是线段上一点，点是延长线上一点，且． (1)证明：是等边三角形； (2)请写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)；理由见解析 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，等边三角形的判定与判定，三角形全等的判定及性质． （1）由，得到，从而，，由得到，从而，根据三角形的内角和定理可求得，而可得，得证是等边三角形； （2）在线段上取点，使，由，，得到，从而是等边三角形，得到，通过“”证得，得到，从而． 【详解】（1）∵，， ∴点是的中点， ∴是的重直平分线， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形； （2）．理由如下： 在线段上取点，使， ∵，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 4．（23-24八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，中，，点在边上，，点在延长线上，连结，点在上，交于点，，． (1)求证：； (2)求证：为等边三角形； (3)当，时，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）先由得，再由得，，进而得，据此可得出结论； （2）连接，设与交于点，先证，再证，进而可得，则，据此可得出结论； （3）在上取一点，是，连接，先证和全等得，，据此可证，，由此可得，则，进而可求出的长． 【详解】（1）证明：如图所示： ， ， ， ，， ， ； （2）证明：连接，设与交于点，如图2所示： 由（1）可知：； 又，， ， ，， ， ， 在中，， 在中，， ， ， ， ， 又， ， 在中，，则， 又， 为等边三角形． （3）解：在上取一点，是，连接，如图3所示： 在和中， ， ， ，， ，， ， 由（2）可知：为等边三角形， ， ， ， 又， ， ， ， ， 又， ． 【点睛】此题主要考查了等腰三角形的性质，直角三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，理解等腰三角形和直角三角形的性质，熟练掌握等边三角形的判定和性质，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 题型五　直角三角形的性质求解 例题：（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在中，，，，则 ． 【答案】6 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、含30度角的直角三角形 【分析】本题主要考查含30度直角三角形的性质，熟练掌握含30度直角三角形的性质是解题的关键；因此此题可根据含30度直角三角形的性质进行求解． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为6． 巩固训练 1．（24-25八年级上·山东滨州·阶段练习）如图，在中，，，的垂直平分线交于点，交于点若，则的长为 ． 【答案】 【知识点】线段垂直平分线的性质、含30度角的直角三角形、等边对等角 【分析】本题考查了含30度角的直角三角形，垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握30度角所对的直角边等于斜边一半是解题关键．由三角形内角和定理可得，由垂直平分线可得，进而得到，推出，再根据30度角所对的直角边等于斜边一半求解即可． 【详解】解：如图，连接， 在中，，， ， 垂直平分， ， ， ， 在中，， ， ， 故答案为：6． 2．（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，中，，，平分交于点，点为的中点，连接，则的周长为 ． 【答案】16 【知识点】三线合一、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质及直角三角形斜边中线的性质．由题意易得，，进而问题可求解． 【详解】解：∵，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴的周长为； 故答案为：16． 3．（24-25八年级上·河南新乡·阶段练习）如图，在中，，，点P为边上一点，沿折叠使得点A的对应点D落在边上，则的度数为 ．    【答案】 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、三角形的外角的定义及性质、折叠问题 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、轴对称图形的性质、三角形外角的性质，解题的关键是能够熟练运用这些性质． 根据直角三角形的锐角互补、轴对称图形对应角相等、三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角之和等性质即可求解． 【详解】∵ ∴， ∵点A与点D关于直线对称， ∴ ∵是的一个外角， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，垂直平分．若，，垂足分别为点，，连接，则 ． 【答案】/45度 【知识点】线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、斜边的中线等于斜边的一半 【分析】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质与判定，根据三线合一证明，直角三角形斜边中线性质，运用等腰三角形三线合一证明是解题关键．根据题意可证是等腰直角三角形，，根据等腰三角形三线合一可得，根据同角的余角相等可得，根据直角三角形斜边中线性质可证是等腰三角形，进而求出其外角的度数． 【详解】解：∵垂直平分，， ∴，是等腰直角三角形， ∴． ∵，， ∴，， ∵在直角和直角中，和都和互余， ∴， ∵， ∴点F是中点，是直角的中线， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型六　直角三角形中的全等证明（HL） 例题：（24-25八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，四边形中，，是的中点，平分． (1)求证：平分； (2)若，，求和的面积之和． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，： （1）（）过点作于点，根据角平分线的性质得出，根据证明得出，即可得出结论； （2）同理可证明得到，再推出，则，据此求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴平分； （2）解：同理可证明， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 巩固训练 1．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，，D为延长线上一点，点E在边上，且，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】三角形的外角的定义及性质、全等的性质和HL综合（HL）、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先证明出，再利用证明即可； （2）由全等三角形的性质可得，，证明出为等腰直角三角形，得出，再由三角形外角的定义及性质得出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，，点在边上，于点，点在边上，，，连接． (1)求证：平分； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的判定定理 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的判定定理； （1）证明，进而根据角平分线的判定定理，即可得证； （2）证明，可得，进而根据已知条件可得，即可求解． 【详解】（1）证明： 又， 在中， ∴， ∴， 又， ∴平分； （2）解： ,在与中, 3．（24-25八年级上·辽宁大连·阶段练习）如图，在中，平分，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，过点E作，，垂足分别为M，N，若，，求的长． 【答案】(1)23° (2)6 【知识点】三角形的外角的定义及性质、与角平分线有关的三角形内角和问题、全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理 【分析】本题考查角平分线的定义及性质，三角形外角的性质，全等三角形的判定与性质； （1）根据角平分线的性质结合三角形的外角可得，代入计算即可； （2）连接，作于F，根据角平分线的性质可得，再证明，得到，同理得到，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵平分，平分 ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：连接，作于F， ∵平分，，， ∴， 同理，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理，， ∴． 4．（22-23八年级上·河南南阳·阶段练习）如图，已知，垂直平分线段，平分，于点，于点． (1)求证：； (2)若，求； (3)试探索线段、、三者之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)，理由见解析 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、角平分线的性质定理、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线性质、线段垂直平分线性质及三角形内角和定理等知识，熟练运用全等三角形的判定与性质、角平分线性质、线段垂直平分线性质及三角形内角和定理是解题的关键． （1）根据角平分线性质得到，根据线段垂直平分线性质得到，利用即可判定； （2）根据全等三角形的性质及等腰三角形的性质推出，，根据三角形内角和定理推出，根据邻补角定义求解即可； （3）根据全等三角形的性质及线段的和差求解即可． 【详解】（1）证明：平分，于点，于点， ， 垂直平分线段， ， 在和中， ， ； （2）解：由（1）得，， ， ， ， ， ，， ， ， ； （3）解：，理由如下： 在和中， ， ， ， ， ， ． 题型七　勾股树(数)问题 例题：（23-24八年级下·广东惠州·期中）下列各组数据不是勾股数的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】勾股树（数）问题、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理逆定理，根据“一组正整数，且满足两个较小的数的平方和等于最大数的平方，这样的一组数叫做勾股数”，进行判断即可，理解勾股数的定义及熟练掌握勾股定理逆定理的应用是解题的关键． 【详解】解：、∵， ∴不是勾股数，故此选项符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 、∵， ∴是勾股数，故此选项不符合题意； 故选：． 巩固训练 1．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中，下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，4 B．3，4，6 C．7，8，9 D．6，8，10 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数的知识．判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方． 【详解】解：A、，2，3，4不是勾股数，故本选项不符合题意． B、，3，4，6不是勾股数，故本选项不符合题意． C、，7，8，9不是勾股数，故本选项不符合题意． D、，6，8，10是勾股数，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（23-24八年级下·云南昆明·期末）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．1，2，3 B．，， C．0.6，0.8，1 D．6，8，10 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查了勾股数，熟记勾股数的概念是解题关键． 根据勾股数的定义（能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数）逐项判断即可得． 【详解】解：A、，故此项不是勾股数，不符合题意； B、，，，这三个数不是正整数，故此项不是勾股数，不符合题意； C、0.6，0.8，1，都是小数，不是正整数，不符合题意； D、且这三个数均为正整数，则此项是勾股数，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级下·福建福州·期末）下列各组数据为勾股数的是（   ） A．1，， B．2，3，4 C．，， D．3，4，5 【答案】D 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】本题考查勾股数．根据股勾股数的定义：可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，进行判断即可． 【详解】解：A、不是正整数，不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； B、不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； C、，，不是正整数，不是勾股数，故该选项不正确，不符合题意； D、，3，4，5是勾股数，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 题型八　用勾股定理解三角形 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业），． （1）如图①，若，则 °； （2）如图①，若，，则 ； （3）如图②，是边上的中线，若，则 ； （4）如图③，于点，若，，则的长为 ． 【答案】 70 12 10 9.6 【知识点】直角三角形的两个锐角互余、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形 【分析】（1）直角三角形的两个锐角互余，据此列式计算，即可作答． （2）运用勾股定理列式计算，即可作答． （3）斜边上的中线等于斜边的一半，据此列式计算，即可作答． （4）先运用勾股定理列式计算，再结合等面积法进行列式计算，即可作答． 本题考查了直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余、斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴ 故答案为：70； （2）∵ ∴， 故答案为：12 （3）∵，是边上的中线， ∴ ∴ 故答案为：10； （4）∵，， ∴ ∵于点 ∴ 则 ∴ 则的长为 故答案为： 巩固训练 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图，在 中，，，，则 ． 【答案】 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查的是含30度角的直角三角形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，过作于，求解，证明，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为： 2．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图，在等边中，于点． （1） ， ； （2）若的周长为12，则的长为 ，的长为 ； （3）若，则的面积为 ． 【答案】 60 30 4 2 【知识点】等边三角形的性质、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质．根据等边三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质作答即可． 【详解】解：（1）∵等边，， ∴，， 故答案为：60；30； （2）∵等边的周长为12， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4；2； （3）∵等边，， ∴， ∴， 由勾股定理得，即， 解得， ∴， ∴的面积为， 故答案为：． 3．（24-25九年级上·全国·课后作业）如图①，在中，，平分． （1）若中的一个内角是，则 ； （2）若，则 ， ； （3）若，，则 ， ； （4）如图②，于点，若，则 ； （5）若的一边长为8，周长为28，则的长度为 ． 【答案】 或 40 50 3 4 40 8或10 【知识点】等边对等角、用勾股定理解三角形、三线合一 【分析】本题考查等腰三角形的性质，勾股定理； （1）根据等边对等角求解即可； （2）根据等边对等角求解即可； （3）根据三线合一求出，再根据勾股定理求出； （4）根据等边对等角求解即可； （5）根据等腰三角形的定义求解即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵中的一个内角是， ∴或或， 当时， 当时由可得， ∴或； 故答案为：或； （2）若，则， 由可得， ∵平分， ∴， 故答案为：40，50； （3）∵，平分， ∴，， ∴, 故答案为：3，4； （4）∵，，， ∴, ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （5）∵的一边长为8，周长为28， ∴当腰长为8时，，，构成三角形； 当底长为8时，，，，构成三角形； ∴的长度为8或10． 题型九　以直角三角形三边为边长的图形面积 例题：（24-25九年级上·广西南宁·开学考试）如图，在中，，以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示．若，则的值是（     ） A．3 B．5 C．7 D．9 【答案】C 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理，正方形面积，根据勾股定理，结合正方形的面积公式即可求解 【详解】解：在中，由勾股定理得，， ∵以的三边为边向外作三个正方形，其面积分别用表示． ∴, ∴ ∴, 故选：C 巩固训练 1．（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）如图，是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形、、、的面积分别为2、5、1、2．则最大的正方形的面积是（    ） A．5 B．10 C．15 D．20 【答案】B 【知识点】勾股树（数）问题 【分析】此题考查勾股定理的利用，正确理解图中几个正方形与直角三角形的关系是解题的关键.根据直角三角形勾股定理解答得到E的面积是A、B、C、D四个面积的和，由此得到答案. 【详解】解：如图， 由图知：正方形F的面积=正方形A的面积+正方形B的面积， 正方形G的面积=正方形C的面积+正方形D的面积， 正方形E的面积=正方形F的面积+正方形G的面积， ∴正方形E的面积=正方形A的面积+正方形B的面积+正方形C的面积+正方形D的面积， 故选：B. 2．（23-24八年级上·四川眉山·期末）如图，已知直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边），分别以直角三角形的三边为直径，向外作半圆，已知，那么（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查勾股定理，根据勾股定理进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，，， ∴； 故选B． 3．（23-24八年级下·河北保定·期末）如图，分别以直角三角形的三边为边、斜边和直径，向外作正方形、等腰直角三角形和半圆，则阴影部分的面积关系满足的图形有（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【知识点】以直角三角形三边为边长的图形面积 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键在于正确的表示各部分的面积．设两直角边分别为，，斜边为，用，，分别表示正方形、等腰直角三角形的面积，半圆，根据，求解，，之间的关系，进而可得结果． 【详解】解：设两直角边分别为，，斜边为， 则第一个图中，， ， ，故第一个图符合题意； 第二个图中，三个三角形是等腰直角三角形，根据等腰三角形的性质，斜边的高就是斜边的中线，由直角三角形斜边的中线等于斜边的一关，则三个等腰直角三角形斜边的高等于斜边的一半， ∴， ， ， ， ，故第二个图符合题意； 第三个图中，，，， ， ，故第三个图符合题意； 这3个图形中面积关系满足的有3个， 故选：D． 题型十　判断三边能否构成直角三角形 例题：（24-25九年级上·全国·课后作业）在中，，，的对边分别是，，，下列条件：①；②；③，，．其中可以判定是直角三角形的是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【知识点】三角形内角和定理的应用、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键．①根据三角形内角和定理求解即可；②根据勾股定理逆定理证明即可；③根据勾股定理逆定理证明即可． 【详解】①， ， ， ， 是直角三角形； ②， ， ， 是直角三角形，且； ③，， ， ，即， 不是直角三角形； 综上，是直角三角形的有①②， 故答案为：①②． 巩固训练 1．（23-24八年级上·四川达州·期末）如图，在中，，，，．    求： (1)的周长； (2)判断是否是直角三角形？为什么？ 【答案】(1)42 (2)不是，理由见解析 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，灵活运用勾股定理成为解答本题的关键． （1）运用勾股定理求得、的长，然后根据三角形周长的定义解答即可； （2）运用勾股定理逆定理判定即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ 同理： ∴的周长为； （2）∵ ， ， ∴ ∴不是直角三角形． 2．（23-24八年级下·安徽阜阳·期末）如图，在单位长度为1的正方形网格中，A，B，C，D都在小正方形的顶点上，连接，交于点P． (1)求的长； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【知识点】勾股定理与网格问题、判断三边能否构成直角三角形、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定及性质； （1）由勾股定理得，即可求解； （2）取格点，连接，由勾股定理及其逆定理得是等腰直角三角形，由等腰三角形的性质即可求解； 能熟练利用勾股定理及其逆定理进行求解，构建出等腰直角三角形是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得 ； （2）解：如图，取格点，连接， 由网格得： ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ． 3．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中．于点，，，．    (1)求的长； (2)判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2)是直角三角形 【知识点】用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，掌握相关的知识是解题的关键． （1）在中，根据勾股定理求解即可； （2）先根据勾股定理求出，进而求出，最后根据勾股定理逆定理求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， ； （2），，， ， ， ，， ， 是直角三角形． 题型十一　利用勾股定理的逆定理求解 例题：（23-24八年级上·四川巴中·阶段练习）在中，，，，则的面积是 ． 【答案】30 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握该定理是解题的关键．根据该三角形三边关系，确定为直角三角形，并确定两条直角边，从而计算面积 ． 【详解】解：在中，，， ， 是直角三角形，且两直角边为， 故答案为：30． 巩固训练 1．（23-24八年级下·广西桂林·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为 ． 【答案】135 【知识点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理的逆定理求解 【分析】先根据等腰三角形的性质及已知条件可得，再根据勾股定理可得，然后根据勾股定理逆定理可知，最后根据角的和差即可解答．本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用勾股定理相关知识成为解题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ，， ， 即， ． 故答案为：135 2．（23-24八年级下·浙江台州·期中）如图，在四边形中，已知，，，，，则四边形面积是 ．    【答案】 【知识点】利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理，勾股定理的逆定理是解题的关键． 连接，由勾股定理得，，由，可得是直角三角形，，根据，计算求解即可． 【详解】解：如图，连接，    由勾股定理得，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， 故答案为：． 3．（23-24八年级下·云南昭通·阶段练习）如图，在中，点为的中点，，，，则边上的高为 ． 【答案】/ 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、利用勾股定理的逆定理求解、用勾股定理解三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，勾股定理及其逆定理等知识，综合性强．延长到E，使得，连接，作于点F，先证明，得到，根据勾股定理逆定理得到，进而得到，，即可得到，，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长到E，使得，连接，作于点F， 则． ∵点为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴． 故答案为： 题型十二　勾股定理的证明方法 例题：（24-25八年级上·全国·课后作业）取两个同样的直角三角板，按如图所示摆放（B，C，D三点在一条直线上）． (1)连接，则是________三角形，四边形是________形； (2)设，，，试用两种不同的方法表示出四边形的面积； (3)由（2）你能得到什么结论？ 【答案】(1)等腰直角，直角梯 (2)或 (3)直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【知识点】等腰三角形的定义、运用完全平方公式进行运算、勾股定理的证明方法、全等三角形的性质 【分析】本题主要考查了全等三角形和勾股定理．熟练掌握全等三角形性质，等腰直角三角形的判定，梯形的判定，面积法证明勾股定理，是解决问题的关键． （1）根据两个直角三角板同样大，得到，， ，推出 ，得到，得到为等腰直角三角形；根据 ，得到，根据当时，，得到四边形是矩形，得到四边形不一定是矩形，是直角梯形； (2)设四边形的面积为S，方法一：根据梯形的面积公式，有；方法二：根据四边形是由3个三角形组成得到，； (3)由(2)知，，化简即得．得到结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 【详解】（1）∵两个直角三角板同样大， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形； ∵ ， ∴， 当时，, ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形不一定是矩形， ∴四边形为直角梯形； 故答案为：等腰直角，直角梯 （2）设四边形的面积为S， 方法一： ∵四边形为直角梯形， ∴ ； 方法二： ； （3）由(2)知， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 结论：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 巩固训练 1．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·阶段练习）勾股定理是解决直角三角形很重要的数学定理，这个定理的证明的方法很多，也能解决许多数学问题．请按要求作答：    (1)请你用文字叙述一下勾股定理； (2)选择下边图1或图2中任一个图形来验证勾股定理； (3)利用勾股定理来解决下列问题： 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯外离杯底的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁且与蜂蜜C相对的点A处，点A离杯口．则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为多少？    【答案】(1)在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 (2)见解析 (3) 【知识点】勾股定理的证明方法、求最短路径(勾股定理的应用)、根据矩形的性质与判定求线段长、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了勾股定理的证明与应用．解答该题时，利用“数形结合”的数学思想是解答关键． （1）在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方； （2）利用等面积建立等式进行解答； （3）把圆柱形玻璃杯表面展开，转化为平面图形，根据勾股定理分别求出即可． 【详解】（1）解：勾股定理：在直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方． （2）解：若选图1，如图，    则由图形可知：， 整理得：； 选择图2，则由图形可知：， 整理得：． （3）解：如图，延点A所在直线将圆柱剪开，过点C作，垂足为P，    由题意得：， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， 答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为． 2．（23-24八年级下·山东滨州·期末）用不同的方式表示同一图形的面积可以解决线段长度的有关问题，这种方法称为等面积法，这是一种重要的数学方法，请你用等面积法来探究下列三个问题： (1)如图1是著名的“赵爽弦图”，由四个全等的直角三角形拼成，请验证勾股定理． (2)如图2，在中，是边上的高，，求的长度； (3)如图1，若一个直角三角形的面积为54，，求中间小正方形的边长． 【答案】(1)见解析； (2) (3)3 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）如图1所示，大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和，用代数式表示出各部分面积按要求列等式化简即可得证； （2）利用勾股定理得到，根据等面积法列式求解即可得到； （3）由（1）的结论，结合完全平方公式变形，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）解：大正方形的面积等于四个全等的直角三角形面积与小正方形面积和， ；；； ，即； （2）解：在中，，， ∴由勾股定理可得， 是边上的高， 由等面积法可得， ，， ∴； （3）解：由已知可得：，即， ， 小正方形的边长为． 【点睛】本题考查等面积法解决问题，涉及勾股定理证明、等面积法求线段长、以及完全平方公式与勾股定理综合，熟练掌握等面积法求解是解决问题的关键． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）【探究发现】 我国三国时期的数学家赵爽利用四个全等的直角三角形拼成如图1所示图形，其中四边形和四边形都是正方形，巧妙地用面积法得出了直角三角形三边长a，b，c之间的一个重要结论：. （1）请你将数学家赵爽的说理过程补充完整： 已知：中，，，，. 求证：. 证明：由图可知， ，______， 正方形边长为______， ， 即． 【深入思考】 如图2，在中，，，，，以为直角边在的右侧作等腰直角，其中，，过点D作，垂足为点E （2）求证：，； （3）请你用两种不同的方法表示梯形的面积，并证明：； 【实际应用】 （4）将图1中的四个直角三角形中较短的直角边分别向外延长相同的长度，得到图3所示的“数学风车”，若，，“数学风车”外围轮廓（图中实线部分）的总长度为108，求这个风车图案的面积． 【答案】（1），  （2）见解析  （3）见解析  （4） 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理的证明方法、以弦图为背景的计算题 【分析】本题考查了勾股定理的验证和运用，理解勾股定理解决问题的关键． （1）依据题意得， 再由图形是由四个全等的直角三角形拼成如图所示图形,然后用两种方法表示正方形的面积，即可解题； （2）依据题意,通过证明即可判断得解； （3）依据题意，用两种方法分别表示出梯形和，再列式变形即可得解； （4）依据题意，结合图形，“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为，可得又设 故又在 中,则，求出后可列式计算得解. 【详解】(1)证明：由图可知， ，， 正方形边长为， ， 即． 故答案为：，； （2）证明: ∵, ∴， ∵, ∴， ∴， 又, , ∴. ∴； (3)证明： 由题意，第一种方法： ， 第二种方法： ， ， ， ； (4)由题意,如图, ∵“数学风车”外围轮廓 (图中实线部分)的总长度为, ， 设则， 在中, ， 将代入可得， ， ， ∴小正方形的边长等于 ∴风车的面积为：． 题型十二　勾股定理的实际应用 例题：（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）小强在物理课上学习了发声物体的振动试验后，对其作了进一步的探究：在一个支架的横杆点O处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动，如图，A表示小球静止时的位置，当小强用发声物体靠近小球时，小球从A摆到B位置，此时过点B作于点D，当小球摆到C位置时，过点C作于点E，测得，（图中的点A，B，O，C在同一平面内）． (1)猜想此时与的位置关系，并说明理由； (2)求的长． 【答案】(1)与的位置关系为，理由见解析； (2)； 【知识点】全等的性质和HL综合（HL）、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理； （1）证明即可得到答案； （2）根据勾股定理求出，再加减线段即可得到答案； 【详解】（1）解：猜想此时与的位置关系为：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， 由题意得：， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，（）， ∴． 巩固训练 1．（24-25八年级上·全国·单元测试）如图，是小朋友荡秋千的侧面示意图，静止时秋千位于铅垂线上，转轴B到地面的距离．小亮在荡秋千过程中，当秋千摆动到最高点A时，测得点A到的距离，点A到地面的距离，将他从A处摆动后的坐板记为． (1)当时，求到的距离； (2)当距地面最近时，求到地面的距离（结果精确到0.1，）． 【答案】(1)到的距离是 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、用勾股定理解三角形 【分析】（1）作，垂足为，根据全等三角形的判定和性质解答即可； （2）根据全等三角形的性质解答即可． 本题考查全等三角形的应用，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 【详解】（1）解：如图2，作，垂足为， ， ； 在中，； 又， ， ； 在和中， ， ； 且，， ； ， ， 即到的距离是． （2）解：由（1）知： ， 作，垂足为． ， ， ， 即到地面的距离是． 2．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，李师傅在两墙，之间施工（两墙与地面垂直），他架了一架长为的梯子，此时梯子底端距离墙角点． (1)此时梯子的顶端点距离地面有多高？ (2)若梯子底端点没有固定好，向后滑动到墙角处，使梯子顶端沿墙下滑了到点处，求梯子底端向后滑动的距离． 【答案】(1)梯子的顶端点距离地面有高 (2)梯子底端向后滑动的距离为 【知识点】求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求解即可； （2）由（1）知，进而勾股定理求得，根据即可求解． 【详解】（1）解：本题题意得：， ， 梯子的顶端点距离地面有高； （2）解：由（1）知， 根据题意得：， ， ， ， 梯子底端向后滑动的距离为 3．（23-24八年级下·河北沧州·期中）【阅读材料】 如图1，有一个圆柱，它的高为，底面圆的周长为，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面与点A相对的点B处的食物，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？ 【方法探究】 对于立体图形中求最短路程问题，应把立体图形展开成平面图形，再确定A，B两点的位置，依据“两点之间线段最短”，结合勾股定理，解决相应的问题．如图2，在圆柱的侧面展开图中，点A，B对应的位置如图所示，利用勾股定理即可求出蚂蚁爬行的最短路程线段的长． 【方法应用】 （1）如图3，圆柱形玻璃容器的高为，底面周长为，在外侧距下底的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处的点F处有一苍蝇，试求急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛，所走的最短路线的长度． （2）如图4，长方体的棱长，，假设昆虫甲从盒内顶点开始以的速度在盒子的内部沿棱向下爬行，同时昆虫乙从盒内顶点A以相同的速度在盒内壁的侧面上爬行，那么昆虫乙至少需要多长时间才能捕捉到昆虫甲？ 【答案】（1）34cm；（2）秒． 【知识点】用勾股定理构造图形解决问题、几何体展开图的认识、求最短路径(勾股定理的应用) 【分析】题目主要考查圆柱及棱柱的展开图，勾股定理解三角形，最短距离等问题，理解题意，熟练掌握运用勾股定理是解题关键． （1）根据题意将圆柱展开，然后利用勾股定理求解即可； （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒．在中，利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：（1）如图1，这是圆柱形玻璃容器的侧面展开图，线段就是蜘蛛走的最短路线． 由题意可得在中， ，，， ∴， ∴蜘蛛所走的最短路线的长度为34cm． （2）设昆虫甲从顶点沿棱向顶点C爬行的同时，昆虫乙从顶点A按路径爬行，爬行捕捉到昆虫甲需x秒． 如图2，在中， ∵长方体的棱长，， ∴，，，， ∴， 解得． 答：昆虫乙至少需要秒才能捕捉到昆虫甲． 题型十三　勾股定理逆定理的实际应用 例题：（22-23八年级下·重庆长寿·期中）2020年是第六届全国文明城市创建周期的第三年，是“强基固本、全力冲刺”的关键之年．“创城”，既能深入改变一座城市的现代化进程，也能深刻影响生活在此间的人们．某小区在社区管理人员及社区居民的共同努力之下，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的四边形空地．如图，已知，，，，技术人员在只有卷尺的情况下，通过测量某两点之间距离为15m，便快速确定了． (1)请写出技术人员测量的是哪两点之间的距离，并说明他确定的理由； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为100元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)测量的是A，C两点之间的距离，理由见解析； (2)元． 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查了勾股定理逆定理的实际应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接运用勾股逆定理进行列式计算，即可作答． （2）直接运用勾股逆定理进行列式计算，得证，再计算，，最后相加，即可作答． 【详解】（1）连接， 技术人员测量的是A，C两点之间的距离， 理由测量的是A，C两点之间的距离， 理由如下：∵， ∴ ∴； （2）∵， ∴ ∴ ∴， ， ∴ ∴绿化这片空地共需花费元． 巩固训练 1．（23-24八年级下·辽宁盘锦·期末）在一条东西走向的河流一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在同一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米． (1)求的度数； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) (2)8.45千米 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握相关知识是解题关键． （1）利用勾股定理的逆定理推导为直角三角形，即可获得答案； （2）设，则，在中，利用勾股定理解得的值，即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知千米，千米，千米， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，； （2）由（1）可知，，即， 设，则， 在中，可有， 即，解得， ∴千米， 即原来的路线的长为8.45千米． 2．（23-24八年级下·天津西青·期末）如图，一条南北走向的高速公路经过县城C，村庄A位于高速公路西侧，村庄A和县城C之间有一大型水库无法直达，A村村民需要乘车经公路和高速路段才能到达县城C．为方便A村村民出行，县政府计划新修一条公路．测得，，，． (1)请通过计算说明新公路是村庄A到高速公路的最短路线； (2)求村庄A到县城C的距离的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、勾股定理逆定理的实际应用、垂线段最短 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，注意计算的准确性即可； （1）判断是否成立即可； （2）根据即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． 根据“垂线段最短”可知新公路是村庄A到高速公路的最短路线． （2）解：设，则． 由（1）知，即． 在中，， ∴， 解得． 答：村庄A到县城C的距离是． 3．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）实践探索：检测某雕塑（如图）底座正面的边和边是否分别垂直与底边． 素材及工具只：一个雕塑，一把卷尺 步骤1：利用卷尺分别测量边，边和的长度，并测量出点B，D之间的距离； 步骤2：通过计算验证底座正面的边和边是否分别垂直于底边． 解决问题： (1)通过测量得到边的长是60厘米，边的长是80厘米，的长是100厘米，边垂直于边吗？为什么？ (2)如果你随身只有一个长度为的刻度尺，你能有更科学的方法检验边是否垂直于边吗？如果能，请写出你的方法，并证明． 【答案】(1),理由见解析 (2)见解析 【知识点】勾股定理逆定理的实际应用 【分析】本题考查的是勾股定理逆定理的应用，熟记勾股定理逆定理是解题的关键. （1）根据勾股定理进行检验即可； （2）在上取点厘米, 在线段上取厘米, 连接, 测量出的长即可得出结论. 【详解】（1）,理由： ∵厘米, 厘米，厘米, ， ∴是直角三角形, ∴； （2）能, 在上取点厘米, 在线段上取厘米, 连接, 测量出厘米, 则, 证明： 如图， ∵厘米, 厘米, 厘米, ， ∴是直角三角形, ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！8 学科网（北京）股份有限公司 $$